Tema 2: Representación y modelado de sistemas dinámicos

Fundamentos de Control Automático 2º G. Ing. Tecn. Industrial Tema 2: Representación y modelado de sistemas dinámicos

Índice del tema Tema 2: Representación y modelado de sistemas dinámicos 2. Señales y sistemas dinámicos 2.2 Modelado matemático de sistemas dinámicos 2.3 Régimen permanente y transitorio. Característica estática de un sistema. 2.4 Sistemas dinámicos lineales y no lineales 2.5 Linealización 2

Señales y Sistemas Dinámicos Señales y sistemas dinámicos Sistemas: Conjunto de cosas que relacionadas entre sí ordenadamente contribuyen a determinado objeto. Señal o variable: toda magnitud que evoluciona con el tiempo 3

Señales Caudal de vapor Desplazamiento del pistón Giro del eje Velocidad del eje Velocidad del regulador Desplazamiento del regulador Energía cinética del volante de inercia Existen infinitas señales (reales o virtuales)

Señales Clasificación de señales: pos Continuas (en el tiempo): definida en todo instante. Ej: cuerpo que se desplaza a velocidad constante vel tiempo Si impactase contra un muro, Es continua la señal de velocidad? tiempo vel No confundir con continuidad de la función v(t) respecto a t tiempo 5

Señales Discontinuas (o discretas): definidas sólo en ciertos instantes Ej. La deuda con el banco al contraer una hipoteca D t t 2 t 3 t 4 tiempo Un tipo de señales discretas muy frecuente: señales muestreadas (muestreo: medida de una magnitud en ciertos instantes) Ejemplos: Posición de un avión medida con un radar. Análisis químico de un producto (la medida toma un tiempo) Las señales son secuencias de valores definidas en secuencias de instantes 6

Señales Señales de prueba: (ideales pero bien conocidas) Impulso Escalón 0 t 0 t Rampa Senoide 0 0 t t 7

Señales Señales de prueba: Idealizaciones de señales dadas en la realidad Impulso 0 t Q e señal que toma valor infinito en un tiempo infinitesimal para qué sirve? m Q Q 3 a? e h(t) q s (t) h(t) q s (t) 8

Señales Interpretación del impulso: m 3 /s m 3 /s m 3 /s m 3 /s oo 4 c o(t) área t 2 área /2 t área /4 t área /oo t 9

Señales 3 Q e m h(t) q s (t) Q a = δ (t) 3 Q k m e Q a = k δ (t) h(t) q s (t) 0

Señales Trayectorias y comportamientos: Trayectoria de una señal: evolución temporal de una magnitud. g M y POSICIÓN (m) VELOCIDAD (m/s) 0 5 0 0 0.5.5 0-5 -0-5 0 0.5.5 ACELERACIÓN (m/s 2 ) 0-5 -0-5 0 0.5.5 tiempo Comportamiento: el conjunto de trayectorias de todas la señales del sistema Trayectoria Comportamiento Señal Sistema

Señales Estado de un sistema dinámico: El conjunto de variables que caracterizan el comportamiento del sistema. Conocido el estado en t 0, se puede saber la evolución del sistema t>t 0 Ejemplo: Cuerpo que cae g M variables de estado: posición y velocidad. y Otros ejemplos: Circuitos eléctricos: tensión de los condensadores e intensidad en bobinas. Sistemas mecánicos: posición y velocidad por cada grado de libertad. Orden: El número mínimo de variables de estado de un sistema. Es una medida de su complejidad 2

Señales Variables y parámetros: Tipos de variables: Entradas: son las causantes de la evolución del sistema. Salidas: son las señales que interesa analizar o medir. Internas: el resto de las (infinitas) señales x x x x x x x x x x x x x x Estados Ejemplos: 3

Señales Tipos de entradas: (desde el punto de vista tecnológico) Entradas manipulables: aquellas cuya evolución se puede fijar o manipular Perturbaciones: aquellas entradas que no son manipulables. Ejemplos: Parámetros de un sistema: magnitud que caracteriza al sistema y que lo distingue de otro semejante. Ejemplo: Distinguir parámetros y señales de los sistemas anteriores 4

Sistemas Dinámicos Tipos de señales Sistemas continuos: Señales continuas Sistemas discretos: Señales discretas Influencia del exterior Sistemas autónomos: No tiene entradas (aislado) Evoluciona por las condiciones de las que parte. Idealización Sistemas no autónomos: Si tiene entradas g M y Evoluciona por las entradas y por las condiciones iniciales. 5

Sistemas Dinámicos Carácter dinámico R Sistema estático: Las salidas sólo dependen de las entradas Sistema dinámicos: Las salidas dependen de las entradas y de sus valores pasados (historia) u u R R R y C y Variación con el tiempo de los parámetros Sistema variante en el tiempo Sistema invariante en el tiempo m m(t) 6

Índice del tema Tema 2: Representación y modelado de sistemas dinámicos 2. Señales y sistemas dinámicos 2.2 Modelado matemático de sistemas dinámicos 2.3 Régimen permanente y transitorio. Característica estática de un sistema. 2.4 Sistemas dinámicos lineales y no lineales 2.5 Linealización 7

Modelado matemático de sistemas Modelo: representación de un sistema Representación matemática: Ecuaciones diferenciales Modelo bien planteado: Nº Ecuaciones=Nº variables independientes implicadas Modelado a escala Errores de modelado 8

Modelado matemático de sistemas Selección del modelo según su utilidad Análisis: Objetivo: estudio cualitativo del comportamiento. Predecir la evolución del sistema. Analizar el efecto de la variación de parámetros. Estudiar el efecto de las entradas sobre la evolución del sistema. Diseño de controlador: Objetivo: controlar el sistema original a partir de un modelo simplificado que recoja su dinámica. Simulación: Objetivo: reproducir con fiabilidad la evolución del sistema Es una tarea más sencilla (integración numérica) Preferiblemente modelos con errores pequeños 9

Modelado matemático de sistemas Identificación de un modelo Determinación de los parámetros del modelo a partir de ensayos experimentales. Muy importante en ingeniería Exactitud frente a sencillez del modelo Compromiso Complejidad Error 20

Modelado matemático de sistemas Clasificación de los modelos Deterministas y no deterministas Paramétricos y no paramétricos Modelado paramétrico se basa en Modelo de fenómenos elementales Ecuaciones de balance Modelado no paramétrico o caja negra El modelo se determina a partir de la respuesta del sistema Parámetros concentrados y distribuidos R u C y 2

Modelos matemáticos Sistemas dinámicos en tiempo continuo: Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistema Descripción externa E/S Descripción interna (estado)

Modelos matemáticos El péndulo invertido θ>0 F Descripción externa E/S mg Descripción interna (estado) F Péndulo Estado: Parámetros: m,g,i,l (Un integrador por cada estado)

Modelos matemáticos Sistemas dinámicos en tiempo discreto: Ecuaciones en diferencias. Sistema Descripción externa E/S Descripción interna (estado)

Modelado matemático de sistemas Ecuaciones que permiten obtener los modelos paramétricos: Ecuaciones de los fenómenos elementales Ejemplo: un sistema mecánico ec. que relaciona el desplazamiento de los extremos de un muelle con la fuerza aplicada al mismo. ec. que relaciona las velocidades de los extremos de un amortiguador con la fuerza aplicada al mismo. ec. que relaciona las aceleraciones que experimenta una masa con la fuerza aplicada a la misma. Ecuaciones de balance suma de fuerzas igual a cero en cada elemento del sistema. Sistema de Ecuaciones Algebráicas Diferenciales 25

Modelado matemático de sistemas Elementos ideales Resistencia i R Bobina Condensador i v L v Ecuaciones de Kirchoff i C v Nudo: Bucle: 26

Modelado matemático de sistemas Ejemplo de modelos matemáticos de sistema eléctricos R R L u C y u C y.4.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 0 27

dt dv C i v R i v dt dv C i i v R i v s s i i i e 2 2 2 2 2 = + = = + = Modelado matemático de sistemas 28 Ecs. Alebraicas + Ecs. Diferenciales

Modelado matemático de sistemas 29

) ( ) ( ) ( t q t q dt t dv s e = ) ( ) ( ) ( t q t q dt t dv s e = Ec. de balance ) ( ) ( ) ( t q t q dt t dv s e = Modelado matemático de sistemas 30

a a p p s p gh p K p p K q t h A V + = = = ρ 2 ) ( ) ( ) ( ) ( t h K t q dt t dh A e = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t h g p t p t q t q dt t dv a s e + = = ρ Ec. de balance Ec. Presión en el depósito Volumen en función de h(t), para un área del depósito A Ec. Caudal en tubería de salida Modelado matemático de sistemas 3

Modelado matemático de sistemas Motor de corriente continua: 32

Modelado matemático de sistemas i R v R L v L ω - v v ce M J motor B motor V V T T ce = V = = = K J R K + V ce par motor ω i L + V ce dω + B dt = motor Ri ω + di L dt + V ce 33

i Modelado matemático de sistemas R L v R v L ω - v v ce M J motor J carga B motor B carga V V T T ce di = VR + VL + Vce = R i + L + Vce dt = K ce ω = K par i dω = ( J motor + J carga ) + ( Bmotor + Bcarga ) ω dt Potencia Potencia eléctrica mecánica = V i = T ω 34

Modelado matemático de sistemas Mecanismos de transferencia de Calor Conducción: Materiales en contacto a distintas temperaturas Covección: Fluidos en contacto a distintas temperaturas Radiación: Mecanismos combinados: U Coeficiente global de transferencia de calor 35

Modelado matemático de sistemas Balance de Energía (Simplificación) 36

Simulación de sistemas Integración numérica de las ecuaciones diferenciales Discretización del tiempo {t 0, t, t 2, } Paso de integración Determinación de las salidas {y 0, y, y 2, } entradas Modelo SIMULADOR salidas condiciones iniciales Ejemplo: método de Euler K p y& ( t) = q( t) y( t) A A Inicio: y 0 =y(0) Para k= hasta N Fin t k =k h Kyh qpyk= k + Ak Ak y 37

Índice del tema Tema 2: Representación y modelado de sistemas dinámicos 2. Señales y sistemas dinámicos 2.2 Modelado matemático de sistemas dinámicos 2.3 Régimen transitorio y permanente. Característica estática de un sistema. 2.4 Sistemas dinámicos lineales y no lineales 2.5 Linealización 38

Régimen transitorio y permanente 2.5 Régimen transitorio Régimen permanente 0.5 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 2.5 Régimen transitorio Régimen permanente 0.5 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 39

Régimen transitorio y permanente Punto de equilibrio dv dt s v e = RC + v s está en equilibrio cuando la derivada de v es cero, y por tanto, cuando v = s e v s 40

Régimen transitorio y permanente Unicidad del punto de equilibrio para sistemas lineales: dv dt s v e = RC + v s Para una entrada dada, por ejemplo v e = voltio, el sistema evolucionará hasta alcanzar un único punto de equilibrio que corresponde a una salida v s = voltio Si se aplican a la entrada, por ejemplo v e = 2 voltios, el sistema evolucionará hasta conseguir un punto de equilibrio que corresponde a una salida v s =2 voltios Para una entrada dada sólo existe un único punto de equilibrio 4

Característica Estática Relación entre la entrada y la salida en régimen permanente. Ejemplo: dv dt s v e = RC + v en régimen permanente: s v s v = v e s v e 42

Característica Estática La característica estática en muchos casos se puede obtener de forma experimental: Por ejemplo: Motor de corriente continua Entrada: Tensión aplicada V (voltios) ω Salida: Velocidad del eje (r.p.s.) revoluciones por segundo + _ V ω 43

Característica Estática Ensayo aplicando distintas tensiones de entrada y midiendo las revoluciones en régimen permanente: V(v) ω R(r.p.s.) 0 0 0 + _ V ω R 2 0.2 3.3 4 3.2 5 5. 6 6.5 ω 7 7.2 8 7.4 9 7.4 44

Característica Estática Representación gráfica de la característica estática. ω 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 V 45

Sistemas dinámicos lineales y no lineales En un sistema lineal se cumple el Principio de Superposición 3.5 3.5 3 2.5 2.5 u 3 2.5 2.5 y 0.5 0.5 0 0 5 0 5 20 25 30 0 0 5 0 5 20 25 30 3.5 3.5 3 3 2.5 2.5 2 2.5 0.5 u 2.5 y 2 0.5 0 0 5 0 5 20 25 30 0 0 5 0 5 20 25 30 3.5 3.5 3 2.5 2.5 u +u 2 3 2.5 2.5 y +y 2 0.5 0.5 0 0 5 0 5 20 25 30 0 0 5 0 5 20 25 30 47

Sistemas dinámicos lineales y no lineales 3.5 El Principio de Superposición NO se cumple en un sistema no lineal 2 3 0 2.5 2.5 u 6 4 y 8 0.5 2 0 0 5 0 5 20 25 30 0 0 5 0 5 20 25 30 3.5 2 3 2.5 2 0 8.5 0.5 6 u 2 4 y 2 2 0 0 5 0 5 20 25 30 0 0 5 0 5 20 25 30 3.5 2 3 2.5 2 0 8 y t =y / +y 2.5 u t =u +u 2 6 4 0.5 2 0 0 5 0 5 20 25 30 0 0 5 0 5 20 25 30 48

Sistemas dinámicos lineales y no lineales Descripción externa Sistema lineal: si f es lineal n d y( t) n dt n m m d y( t) dy( t) d u( t) d u( t) du( t) a +... + a a y b0 b... b b u( t) n + n = + + + n m m m + m dt dt dt dt dt + Sistema no lineal: si f no es lineal 49

Sistemas dinámicos lineales y no lineales Característica estática Sistema lineal y Sistema no lineal ω 9 8 7 6 5 4 3 2 u 2 3 4 5 6 7 8 9 V 50

Linealización Objetivo: obtener modelos lineales aproximados a partir de modelos no lineales Punto de funcionamiento: Punto de equilibrio en torno al que se linealiza Propiedades: Representa bien al sistema en una cierta zona en torno a un punto de equilibrio. Fuera de la zona de validez, el modelo linealizado tiene un error demasiado grande. 52

Linealización y Aproximación lineal y = y o +(dy/dx) o dx = y o +f(x o ) dx y o dy y=f(x) no lineal dx x o x 53

Linealización Consideraciones sobre la característica estática Zonas de comportamiento NO lineal R 9 8 7 6 5 4 3 2 Zona de comportamiento lineal 2 3 4 5 6 7 8 9 V 54

Linealización La ganancia estática permite determinar qué incrementos finales se producirán en la salida de un sistema como consecuencia de incrementos dados en la entrada al mismo. K estática = Δy Δu 55

Linealización Partiendo de los datos obtenidos de un ensayo sobre un sistema, cuál es su ganancia estática? 8 7 6 5 4 3 2 0 0 5 0 8 7 6 5 4 3 2 0 0 5 0 K est? 56

u 8 7 6 5 4 3 2 Δu = 0 0 5 0 y 8 7 6 5 4 3 Δy = 3 2 0 0 5 0 K est Δy Δu = 5 2 2 = 3 = 3 = Kest Kest 5 2 5 57

Linealización La característica estática de un sistema permite determinar cuál es su ganancia estática en cada punto de funcionamiento o equilibrio: es la pendiente de la tangente de la curva. Δy y 9 8 7 6 5 4 3 2 K estática = Δu 2 3 4 5 6 7 8 9 u 58

Linealización Las zonas lineales de la característica estática de un sistema tienen la misma pendiente, luego presenta la misma ganancia estática Zonas de comportamiento NO lineal: y 9 8 7 6 5 4 3 2 K est varía en cada punto de funcionamiento Zona de comportamiento lineal: misma ganancia estática K est 2 3 4 5 6 7 8 9 u 59

Linealización A dn( t) dt = u( t) y( t) y( t) = k n( t) No lineal 60

Linealización y y( t) y + 0 2 k n 0 dn aprox. lineal válida en el entorno de (n 0, y 0 ) dy y ( t) = k n( t) no lineal y o dn n o n 6

Linealización Punto de Funcionamiento Definiendo variables incrementales 62

Linealización Buena aproximación en torno al punto de funcionamiento Para variaciones grandes, el modelo lineal puede ser erróneo Todas las señales del sistema evolucionan en torno a su valor en el punto de equilibrio 63

Linealización Las variables incrementales dependen del punto de funcionamiento elegido 64

Linealización 65

Linealización 66