Universidad Nacional Agraria La Molina IA-406 Hidrología Aplicada CLASE X ANÁLISIS PROBABILISTICO DE LAS VARIABLES PRECIPITACIÓN TOTAL ANUAL Y CAUDAL MEDIO ANUAL 1. Longitud necesaria de registro Diversos investigadores como Rubinstein et al, han estudiado el problema de encontrar el período más racional para obtener valores estables y mutuamente comparables de los diversos elementos meteorológicos y concluyen que para el caso de la precipitación, un periodo de 30 años es aún insuficiente para obtener un promedio estable de precipitación total mensual, pero son suficientes para un promedio de precipitación total anual. Cuantitativamente se puede utilizar el parámetro estadístico: Coeficiente de Variación (Cv), definido como: S Cv = x, para indicar que valores menores a 0.0 indican para la mayoría de los propósitos una aceptable longitud de la serie y una moderada variabilidad. Valores de Cv mayores a 0.5 puede indicar que la serie de datos de lluvia anual es muy corta para obtener de ella estimaciones confiables. Shuh Chai Lee (1956), utilizó la estadística de la media para estimar la longitud de registro necesario para determinar el valor medio de los datos dentro de ciertos límites seleccionados de la media poblacional (µ), comúnmente el 5% o 10%, esto implicaría que x estaría entre 0.95 x y 1.05 x o 0.90 x y 1.1 x, respectivamente. Para probar los anterior se puede utilizar la distribución t de Student, ν=n- grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra o también el valor buscado y un nivel de significancia α. El estadístico t está definido por la siguiente ecuación: t = x µ S n S t x Despejando n se obtiene n = 1 µ x ó t ( Cv) e Donde Cv es el coeficiente de variación y 'e' es el límite de exactitud deseado y por lo tanto x (1-e) y x (1+e) son los llamados límites de confianza de µ. Como el valor de t es función de n, la ecuación anterior se resuelve por tanteos. Por otra parte el nivel de significancia α es función del nivel de confianza deseado, o la probabilidad adoptada para que la media del registro de tamaño 'n' este dentro del límite 'e'. 1 4/05/04
Por ejemplo Universidad Nacional Agraria La Molina IA-406 Hidrología Aplicada Se desea conocer la longitud de registro necesario para que con una probabilidad del 90%, la media de la estación climatológica X, esté dentro del 10% de la media verdadera, si se sabe que para un periodo de registro de 38 años se tiene una media de 745 mm con una desviación estándar típica de 83.5 mm. Reemplazando en la ecuación n = entonces n = 14.4808 t t ( Cv) e, y sabiendo que Cv = (83.5/745) y e = 0.10, Por lo tanto se requiere un registro de 41 años para obtener una media en la estación X, que difiera de la verdadera en 10% con una probabilidad del 90%. n (años) 38 media (mm) 745.00 desviación estandar (mm) 83.50 Alfa 0.10 n t n Error (%) 38 1.688 41.8-8.6 39 1.687 41. -5.68 40 1.686 41.16 -.90 41 1.685 41.11-0.6 4 1.684 41.06.4 43 1.683 41.01 4.63 44 1.68 40.97 6.90 45 1.681 40.9 9.06. Funciones de distribución utilizadas en el análisis probabilístico de precipitaciones totales anuales y caudales medios anuales.1 Selección de la función de distribución más adecuada Aunque existe un número importante de distribuciones de probabilidad empleadas en hidrología, son sólo unas cuantas las comúnmente utilizadas, debido a que los datos hidrológicos de diversos tipos han sido probados en repetidas ocasiones ajustarse satisfactoriamente a ciertos modelos teóricos. Pauta: a. Las distribuciones de probabilidad más adecuadas para aproximar series anuales de precipitación o descargas son la normal y la log normal, según el siguiente criterio: Cv Coeficiente de oblicuidad (g) -1.5 a -0. -0. a 0.5 0.00 a 0.5 Normal 0.5 a.00 Normal Si Cs<0. Log-normal Weibull Si Cs>0. Siendo: ( ) 3 n log xi log x Coeficiente de oblicuidad (g), g = n 1 n Iv ( )( )( ) 3 [ ] 1 Indice de variabilidad (Iv), Iv = ( log xi log x) n 1 4/05/04
3 Coeficiente de asimetría, Cs = 3 ( n 1)( ( n ) ) Universidad Nacional Agraria La Molina IA-406 Hidrología Aplicada a S ( xi ) 3 3 = n a x. Utilidad Después de ajustar una cierta distribución de probabilidades a un registro de precipitación total anual o descarga media anual, ésta se utiliza para obtener la probabilidad de tener lluvias anuales o descargas medias anuales menores que un cierto valor previamente seleccionado y también valores mayores que otra determinada magnitud. Tales determinaciones son valiosas para el diseño de sistemas hidráulicos como por ejemplo en proyectos de irrigación. Si por ejemplo los límites inferior y superior de lluvia de acuerdo a la tolerancia de un cultivo son conocidos, entonces puede ser evaluada la probabilidad de falla de tal cultivo debido a la sequía o al exceso de lluvia. Los registros de precipitación de un determinado mes o época son bastante susceptibles de análisis probabilístico, semejante al descrito para las lluvias anuales, sin embargo, en este caso interesa por lo general construir gráficas que indiquen las lluvias mensuales para determinadas probabilidades de ocurrencia, por ejemplo para el 50%, 75% y 95%. Es así que para proyectos de irrigación se utilizan valores de precipitación con probabilidad de ocurrencia o persistencia correspondiente al 75% y para proyectos hidroenergéticos se utiliza 95%. Por ejemplo, para el río Santa, siendo evaluadas las descargas medias mensuales para diferentes niveles de probabilidad de ocurrencia o persistencia. 3 4/05/04
DESCARGAS MEDIAS AL 5%,50% y 75% DE PERSISTENCIA DEL RIO SANTA ESTACION CONDORCERRO 1978/000 Universidad Nacional Agraria La Molina IA-406 Hidrología Aplicada 450 400 350 DESCARGAS (m3/s) 300 50 00 150 100 50 0 ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC Q75% 1,104 158,507 173,93 140,745 77,81 47,963 38,808 38,355 41,1 53,13 70,605 87,796 Q50% 14,460 9,714 315,505 30,104 103, 6,003 44,978 41,389 48,476 63,553 94,93 114,403 Q5% 19,999 350,5 391,06 31,688 14,017 64,79 51,588 45,040 53,96 96,195 114,59 176,884 Qmedio 183,97 95,33 313,978 31,53 104,70 59,4 45,641 4,178 48,379 7,191 101,835 139,95 TIEMPO (Meses) 3. Concepto y selección del periodo de retorno El objetivo primario del análisis estadístico de datos hidrológicos es la determinación del llamado periodo de retorno en un cierto evento hidrológico de una magnitud dada x. El periodo de retorno Tr se define como el lapso promedio entre la ocurrencia de un evento igual o mayor a una magnitud dada. Como en hidrología se utilizan muestras integradas por los eventos hidrológicos anuales, se podrá plantear la siguiente ecuación basándose en el concepto de probabilidad. P ( X x) 1 = Tr La ecuación anterior indica que si un evento hidrológico X igual o mayor que x, ocurre una vez en Tr años, su probabilidad de excedencia es 1/Tr, es decir que si una excedencia ocurre en promedio una vez cada 5 años, la probabilidad de que tal evento ocurra en cualquier año es 1/5. 4. Ecuación general del análisis hidrológico de frecuencias Ven Te Chow (1951) propuso que toda variable X de una serie hidrológica puede ser expresada de la siguiente manera: X = x + K(S) X x = 1+ K( Cv) Siendo : X : Variable aleatoria x : Valor medio de la serie S : Desviación típica de la serie Cv : Coeficiente de variación de la serie K : Factor de frecuencia 4 4/05/04
Universidad Nacional Agraria La Molina IA-406 Hidrología Aplicada La ecuación anterior es aplicable a casi todas las ecuaciones de probabilidad empleadas en hidrología. La incertidumbre debida al desconocimiento de la distribución de probabilidades de los datos es un tema de controversia, sin embargo existen test o pruebas estadísticas para resolver este problema como son las pruebas de Kolmogorov-Smirnov y Chi-cuadrado. Asimismo el comparar gráficamente la distribución de probabilidades empíricas y la teórica propuesta, conjuntamente con el juicio ingenieril y la experiencia en hidrología, pueden conducir en forma más precisa y rápida a seleccionar la distribución teórica más adecuada a los datos. 5. Distribuciones de probabilidad adecuadas a lluvias y escurrimientos anuales 5.1 Distribución normal y Log-normal La distribución normal es simétrica, con forma de campana; su distribución representa los errores accidentales alrededor de la media y por eso se conoce como Ley de Errores o de Gauss. La distribución Log-normal es simétrica con sesgo hacia la derecha y equivale a una distribución normal en la cual la variable se reemplaza por su valor logarítmico. Al igual que la distribución normal, la log-normal es función de sólo dos parámetros estadísticos, la media y la desviación estándar. La función de distribución de probabilidad normal se define como: F( x) = 1 Πσ e 1 x µ σ dx Donde µ y σ son los parámetros de la distribución. Para el cálculo numérico de las distribuciones normal y log-normal se utilizan las siguientes ecuaciones: - Para la distribución normal X = x + K(S) - Para la distribución log-normal log X = log x + K( Iv) El factor de frecuencia K es conocido también con el nombre de variable estandarizada para el caso de la distribución normal, está en función de la probabilidad P(X<=x) o del periodo de retorno Tr, mediante la siguiente tabla. 5 4/05/04
P(X<=x) % Tr (años) K = Z 99.9 1000.00 3.090 99.8 500.00.878 99.0 100.00.364 98.0 50.00.0538 95.0 0.00 1.6449 90.0 10.00 1.816 80.0 5.00 0.8416 50.0.00 0 0.0 1.5-0.8416 10.0 1.11-1.816 5.0 1.05-1.6449.0 1.0 -.0538 1.0 1.01 -.364 0.1 1.00-3.090 Universidad Nacional Agraria La Molina IA-406 Hidrología Aplicada La metodología de aplicación consistirá en calcular x y S, cuando se quiere ajustar a una distribución normal y log x e Iv cuando se quiere ajustar a una distribución log-normal, respectivamente. A continuación se calculan los valores de la variable X (lluvia anual) para los periodos de retorno de los factores de frecuencia o variable estandarizada. 6 4/05/04
Universidad Nacional Agraria La Molina IA-406 Hidrología Aplicada Ejemplo: Consideremos la precipitación total anual registrada en la Estación Tacalaya, Cuenca del río Locumba, Departamento de Tacna. Estación : Tacalaya Cuenca : Locumba Departamento : Tacna Año Pp.Total Anual (mm) Log(Pp.Total Anual) 1953 54.9.735 1954 603.8.781 1955 646.4.811 1956 5.3.353 1957 356.0.551 1958 310..49 1959 46.8.665 1960 345.9.539 1961 666.9.84 196 503..70 1963 665.0.83 1964 47.7.631 1965 85.0.455 1966 35..51 1967 544.9.736 1968 615.0.789 1969 506.8.705 1970 40..63 1971 494.9.695 197 700..845 1973 69.9.799 1974 56.5.750 1975 543.3.735 1976 454.7.658 1977 367.5.565 1978 361.4.558 1979 355.5.551 1980 308.3.489 1981 504.1.703 198 351.8.546 1983 111.4.047 1984 657.6.818 1985 736.4.867 Media 47.5.647 Desv.Est. 151.9 0.170 Factor de Frecuencia Mediante Factor de Frecuencia P(X<=x) % Tr (años) K = Z Normal Log-Normal 99.9 1000.00 3.090 941.8 3.831 99.8 500.00.878 909.6.990 99.0 100.00.364 85.8 0.936 98.0 50.00.0538 784.4 19.991 95.0 0.00 1.6449 7.3 18.65 90.0 10.00 1.816 667. 17.537 80.0 5.00 0.8416 600.3 16.77 50.0.00 0 47.5 14.11 0.0 1.5-0.8416 344.7 1.36 10.0 1.11-1.816 77.9 11.356 5.0 1.05-1.6449.7 10.678.0 1.0 -.0538 160.6 9.96 1.0 1.01 -.364 119. 9.51 0.1 1.00-3.090 3. 8.357 7 4/05/04
Universidad Nacional Agraria La Molina IA-406 Hidrología Aplicada N Orden Prob.Empírica (%) Prob.Emp.Excedencia Series ordenadas de mayor a menor Distribución Distribución Weibull P(X>=x) Pp.Total Anual Log(Pp.Total Anual) Normal Log-normal 1 3 97 736.4.867 759.5 19.44 6 94 700..845 710. 18.400 3 9 91 666.9.84 677.8 17.747 4 1 88 665.0.83 65.8 17.58 5 15 85 657.6.818 631.8 16.860 6 18 8 646.4.811 613.6 16.519 7 1 79 69.9.799 597. 16.19 8 4 76 615.0.789 58.1 15.949 9 6 74 603.8.781 568.0 15.700 10 9 71 56.5.750 554.7 15.469 11 3 68 544.9.736 54.0 15.51 1 35 65 543.3.735 59.8 15.045 13 38 6 54.9.735 518.0 14.847 14 41 59 506.8.705 506.4 14.656 15 44 56 504.1.703 495.0 14.471 16 47 53 503..70 483.7 14.90 17 50 50 494.9.695 47.5 14.11 18 53 47 46.8.665 461.3 13.937 19 56 44 454.7.658 450.0 13.76 0 59 41 47.7.631 438.6 13.589 1 6 38 40..63 47.0 13.414 65 35 367.5.565 415. 13.37 3 68 3 361.4.558 403.0 13.058 4 71 9 356.0.551 390.3 1.874 5 74 6 355.5.551 377.0 1.685 6 76 4 351.8.546 36.9 1.487 7 79 1 345.9.539 347.8 1.79 8 8 18 35..51 331.4 1.056 9 85 15 310..49 313. 11.81 30 88 1 308.3.489 9.3 11.540 31 91 9 85.0.455 67. 11. 3 94 6 5.3.353 34.9 10.84 33 97 3 111.4.047 185.5 10.44 Ajuste de datos a Distribución normal y log-normal Prob.Emp.No Excedencia P(X<=x) Distribución Normal Distribución Log-normal Pp.Total Anual (mm) 800 700 600 500 400 300 00 100 0 0 0 0 40 60 80 100 Probabilidad (X<=x) 5 0 15 10 5 Pp.Ajuste Log.normal 8 4/05/04