El efecto Hall cuántico

El efecto Hall cuántico P. H. Rivera * Facultad de Ciencias Físicas Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú Ciudad Universitaria, 31 de mayo del 2013 * priverar@unmsm.edu.pe 1

1. El efecto Hall cuántico 1.1. Precedentes En la primera edición de Treatise on Electricity and Magnetism de 1873, Maxwell discute la deflección de la corriente por un campo magnético y afirma que debe ser recordado cuidadosamente que la fuerza mecánica que surge en un conductor... no actúa sobre la corriente eléctrica, sino sobre el conductor que lleva la corriente. En 1878, Edwin Hall estudiante de la Johns Hopkins University leía a Maxwell en un curso dictado por Henry Rowland, y le preguntó sobre la afirmación de Maxwell, Rowland respondió dudo de la veracidad de la afirmación de Maxwell, anteriormente he rea- 2

lizado un experimento... aunque sin éxito 1. La magnetoresistencia es el cambio de la resistencia eléctrica debido al campo magnético aplicado perpendicularmente al plano de la corriente. Hall repite el experimento de Rowland, pero en vez de usar un bloque metálico, por sugerencia de Rowland, usa una lámina de Au, para ver el efecto sugerido por Maxwell, debido a su poca inercia y a los campos magnéticos no muy intensos de la época. Asimismo, él no sólo mide el voltaje longitudinal sino el voltaje transversal al cual se le llama ahora de Voltaje de Hall. 1 J. E. Avron et al Physics Today, 58, N. o 8, 38 (2003) 3

σ xx I V L, σ xy I V H I corriente longitudinal constante 4

σ = 1 ρ σ xx σ yx σ xy σ yy = 1/ ρ xx ρ yx ρ xy ρ yy σ xx = ρ xx ρ 2 xx + ρ 2 xy, σ xy = ρ xy ρ 2 xx + ρ 2 xy σ yy = σ xx, σ yx = σ xy ρ xx = σ xx σ 2 xx + σ2 xy, ρ xy = σ xy σ 2 xx + σ2 xy ρ yy = ρ xx, ρ yx = ρ xy ρ xy V H I = R H El campo de Hall compensa la fuerza de Lorentz 5

evb ev H W = 0 La corriente longitudinal está definida como: Luego: I = W evn 2D ρ xy R H = V H I = 1 en 2D B ρ xx I V L 6

1.2. Efecto Hall Cuántico a (1980) a Klaus von Klitzing, G. Dorda y M. Pepper, PRL 45, 494 (1980) 7

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11 Extracto de las notas del cuaderno de laboratorio de Klauss von Klitzing sobre la primera observación del efecto Hall cuántico. Tomado del libro Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties de Peter Y. Yu y Manuel Cardona, cuarta edición, Springer, New York (2010).

Primera observación del efecto Hall cuántico en una muestra de GaAs/AlGaAs a T = 1.2 K, corriente(s-d) 25.5 µa y n= 5.6 10 11 e s/cm 2. Cage et al IEEE Trans. Instrum. Meas. IM.34, 301 (1985) 12

Analizando el problema El efecto de un campo magnético sobre los portadores de carga debe estar incluído a través de un momento lineal incorporado en la dirección perpendicular a la corriente y en el plano de la corriente. Peierls describe este efecto como ˆp ˆp qâ (1) Para ello debe escogerse un gauge para definir el potencial vectorial magnético. Existen dos, el gauge de Coulomb o gauge simétrico  = ( ŷb/2, ˆxB/2, 0) y el gauge de Landau  = (0, ˆxB, 0). Ambos son equivalentes porque reproducen el campo magnético en la dirección perpendicular B = (0, 0, B) = Â. Consideramos que la corriente longitudinal está definido por el hamiltoniano en la aproximación de masa efectiva de la forma Ĥ = ˆp2 2m. (2) Con el campo magnético actuando perpendicular al plano de la corriente y usando el gauge de Landau se tiene Ĥ = ( ˆp + eâ)2 2m = 1 2m [ ˆp2 + e ˆp Â+e ˆp + e2  2 ], (3) 13

usando el gauge de Landau tenemos que e ˆp  = e(ˆp x, ˆp y, 0) (0, ˆxB, 0) = eˆp yˆxb (4) eâ ˆp = e(0, ˆxB, 0) (ˆp x, ˆp y, 0) = eˆxˆp y B (5) Sabemos que luego e ˆp Â+e ˆp = e(ˆp yˆx + ˆxˆp y )B. (6) [ˆx i, ˆp j ] = i δ ij (7) [ˆx, ˆp y ] = 0 ˆxˆp y ˆp yˆx = 0 ˆxˆp y = ˆp yˆx (8) luego el hamiltoniano e ˆp Â+e ˆp = 2eˆxˆp yb (9) e 2  2 = e 2 B 2ˆx 2 (10) Ĥ = 1 2m (ˆp2 x + ˆp 2 y) + eb m ˆxˆp y + e2 B 2 2m ˆx2. (11) 14

Considerando que la frecuencia ciclotrónica y la longitud magnética están definidas como ω c = eb m l c = reescribimos el hamiltoniano, Ec.(11), como Ĥ = ˆp2 x 2m + 1 2 m ( eb m eb (12) ) 2 ˆx 2 + ˆp2 ( ) y eb 2 ( ) m 2m + m eb ˆxˆp y, (13) en esta última expresión se observa en el cuarto sumando el producto de ˆxˆp y que podría indicar un acoplamiento entre ambos movimientos, pero se observa que [Ĥ, ˆp y] = 0, luego el momento ˆp y a lo largo de la dirección y es constante, luego podemos considerar ˆp y p y = p y p y = k y k y de modo que se considere un centro del oscilador como x 0 = l 2 ck y (14) que posee dimensiones del inverso del volumen. Finalmente, el hamiltoniano se expresa como Ĥ = ˆp2 x 2m + 1 2 m ω 2 c ˆx2 + 1 2 m ω 2 c 2x 0ˆx + ˆp2 y 2m (15) 15

Ĥ = ˆp2 x 2m + 1 2 m ω 2 c (ˆx2 + 2x 0ˆx) + ˆp2 y 2m = ˆp2 x 2m + 1 2 m ω 2 c (ˆx2 + 2x 0ˆx + x 2 0 x2 0 ) + ˆp2 y 2m = ˆp2 x 2m + 1 2 m ω 2 c(ˆx + x 0 ) 2 + ˆp2 y 2m 1 2 m ω 2 cx 2 0 Ĥ = ω c (n + 1 2 ) + 2 k 2 y 2m 1 2 m ω 2 cx 2 0 (16) Este hamiltoniano indica que el campo magnético produce una barrera de potencial parabólica en la que los electrones se mueven como un oscilador armónico con un corrimiento x 0 y en la dirección y se mueve como onda plana modulado por una energía potencial definido por m ω 2 c x2 0 /2. Los niveles del oscilador armónico son los niveles de Landau. Usar el gauge de Coulomb para obtener el hamiltoniano de un oscilador armónico bidimensional. 16

2. El efecto Hall cuántico La parte del hamiltoniano que se reduce al oscilador armónico, los autoestados de energía corresponde al del oscilador armónico E n = ω(n + 1), para cada valor de n tenemos un conjunto de estados degenerados llamados niveles de Landau. Las dimensiones de la muestra son L x y L y, que produce un área A = L x L y, el flujo magnético a través de esta área es φ = BL x L y (17) La relación entre el flujo magnético y el quantum de flujo magnético está dado por φ = L xl y B φ e h/e = L xl y 2π /eb = L xl y 2πl 2 c que significa el número de quantums de flujo magnético existentes en la muestra. Si el área es una área unitaria osea L x L y = 1, tenemos N B = 1 2πl 2 c (18). (19) La razón de llenado 2 de los niveles de Landau es la razón que existe entre la densidad 2 filling factor 17

de electrones N y N B ν = N N B. (20) El factor de llenado es un entero ν = n + 1, si los estados más bajos de los n + 1 niveles de Landau están completamente ocupados y los otros están vacíos. Esto es equivalente a que el sistema contiene un número entero de electrones por quantum de flujo. La corriente está dado por donde v es la velocidad de corrimiento en un autoestado j, I = env (21) v j = 1 de j (k). (22) dk Asumiendo que existe un pequeño voltaje Hall, V H, y podemos relacionarlo a la diferencia de los potenciales químicos de los contactos izquierdo y derecho, ev H = µ l µ r, (23) la densidad de electrones en este intervalo de energía está dado por N = 2πL x de j (k) dk 18 kf 1 ev H (24)

luego I = ν e2 h V H G = ν e2 (25) h En una muestra siempre hay impurezas y las energías de los niveles de Landau se ensanchan en una banda. Los autoestados de la banda pertenecen a dos clases: los autoestados debajo y encima de la banda son estados localizados, mientras que los autoestados en el centro de la banda son estados extendidos. Estos son los autoestados que llevan la corriente. 19

3. Efecto Hall cuántico fracccionario Este efecto se observa solo cuando un nivel de Landau está parcialmente lleno. Una meseta es vista cuando el nivel de Landau más bajo es aproximadamente a un tercio del total. En este caso la resistividad de Hall es igual a un tercio del cuadraddo de la carga del electrón dividido por la constante de Planck. ρ xy = 1 e 2 3 h Se encuentra que ν = 1/3, 2/5, 3/7, 2/3, 3/5, 1/5, 2/9, 3/13, 5/2, 12/5,... Este efecto es debido a la interacción electrón-electrón dentro del nivel de Landau. La función de onda dentro de un nivel de Landau debe describirse a través del determinante de Slater para cumplir con el principio de Pauli. Ψ = 2 x c m l +1 1 (ml + 1)! m l n=0 1 n! Φ(1, 2,..., m l + 1), (26) 20

Φ = exp 1 2 m l +1 i=1 z i 2.. z m l 1 z m l 1 1... 1 z 1 z 2... z ml +1 z1 2 z2 2... zm 2 l +1.... 2... z m l m l +1 (27) = exp 1 2 m l +1 i=1 z i 2 i>j=m l 1 i>j=0 (z i z j ) (28) donde z = u exp[ iφ]. Pero esta función no es tan adecuada para analizar el efecto Hall cuántico fracccionario. En 1983, Robert Laughlin, sugiere una función de onda en la que introduce una invariancia de gauge a través de la topología de Chern donde el número de llenado ν = p/q son los números de Chern y tiene una relación con la fase de Berry. Φ ν = exp 1 2 m l +1 i=1 z i 2 i>j=m l +1 i>j=0 (z i z j ) ν (29) Previamente se ha entendido que la teoría de quiebra de simetría podría explicar todos los conceptos importantes y las propiedades esenciales de todas las formas de la materia. El efecto Hall cuántico fraccionario no puede ser explicado por una teoría de quiebra de simetría. 21

Los estados del efecto Hall cuántico fraccionario representan un nuevo estado de la materia que contiene un nuevo tipo de orden, el orden topológico. E n = ω c (n + 1 2 ) = e m (n + 1 )B (30) 2 22

3.1. Espectro de red cuadrada infinita D. R. Hofstadter, PRB 14, 2239 (1976) 23

El hamiltoniano de una red cuadrada de sitios se expresa como Ĥ = i,j i, j E 0 i, j i,j ( i, j t x i 1, j i, j t x i + 1, j ) i,j ( i, j t y i, j 1 i, j t y i, j + 1 ) (31) donde E 0 son los autovalores de energía de los electrones de valencia en cada sítio atómico, t x y t y son las energía de los acoplamientos a primeros vecinos a lo largo de las direcciones x e y, respectivamente. El campo magnético se aplica perpendicular al plano de sitios bidimensionales usando el gauge de Landau y aplicando la aproximación de Peierls entra como una fase de Berry de la forma k k + e A (k x, k y ) + 2π h e (0, xb, 0) (32) k r k r + e A r k xx + k y y + 2π φ e xby k x x + k y y + 2π φ φ e (33) k x x + k y y + 2π p q (34) 24

El hamiltoniano expresado de manera matricial sin campo magnético H = E 0 t x 0 t y 0 0 0 0 0 t x E 0 t x 0 t y 0 0 0 0 0 t x E 0 0 0 t y 0 0 0 t y 0 0 E 0 t x 0 t y 0 0 0 t y 0 t x E 0 t x 0 t y 0 0 0 t y 0 t x E 0 0 0 t y 0 0 0 t y 0 0 E 0 t x 0 0 0 0 0 t y 0 t x E 0 t x 0 0 0 0 0 t y 0 t x E 0 (35) El hamiltoniano expresado de manera matricial con campo magnético 25

E 0 t x 0 t y e i2πp/q 0 0 0 0 0 t x E 0 t x 0 t y e i2πp/q 0 0 0 0 0 t x E 0 0 0 t y e i2πp/q 0 0 0 t y e i2πp/q 0 0 E 0 t x 0 t y e i2πp/q 0 0 H = 0 t y e i2πp/q 0 t x E 0 t x 0 t y e i2πp/q 0 0 0 t y e i2πp/q 0 t x E 0 0 0 t y e i2πp/q 0 0 0 t y e i2πp/q 0 0 E 0 t x 0 0 0 0 0 t y e i2πp/q 0 t x E 0 t x 0 0 0 0 0 t y e i2πp/q 0 t x E 0 (36) 26

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La intensa similaridad observada entre los efectos Hall cuánticos enteros y fraccionarios es explicada por la tendencia de los electrones a formar estados ligados con un número par de cuantos de flujo magnético, llamados de fermiones compuestos. 28

4. Grafeno Configuración electrónica del carbono 1s 2 2s 2 2p 2 1s 2 (2s 2p x 2p y ) 2p z 2s2p x 2p y 2p z 4 sp 3 3 sp - 1p z Estructura tetrahedral Estructura planar Diamante a=3.57å Grafito a=1.42å b=3.37å 29

4.1. Obtención experimental: El método de la cinta adhesiva El grupo de Geim, University of Manchester y el grupo de Kim, Columbia University K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S.V. Dubonov, I.V. Grigorieva y A.A. Firsov; Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films, Science 306, 666 (2004) Fotografías del Grupo de Philip Kim. 30

Microscopía óptica y de fuerza atómica 31

Dos redes triangulares forma la red hexagonal V.P. Gusynin, S.G. Sharapov y J.P. Carbotte, Int. J. Mod. Phys. B 21(27) 4611 (2007). Red real Red recíproca Método tight binding para el grafeno Aproximación a primeros vecinos. Se considera que los orbitales 2p z contribuyen a la conductividad, por ende solamente estos orbitales son considerados para obtener la estructura electrónica del grafeno como una red bidimensional infinita. 32

E = H 11 ± H 12 (37) H 11 = E 0 2t(cos 2πk y a + 2 cos πk x a 3 cos πk y a) (38) H 12 = t 1 + 4 cos 2 πk y a + 4 cos πk y a cos πk x 3a (39) donde: 1. E 0 es la energía del orbital 2p z. 2. t es el parámetro de hopping entre primeros vecinos e igual a -2.97 ev. P.R. Wallace, Phys. Rev. 71, 622 (1947). 33

V.P. Gusynin, S.G. Sharapov y J.P. Carbotte; cond-mat.mes-hall/0706.3016 (20 junio 2007) 34

( ) E = ± γ0 2 1 + 4 cos2 πk y a + 4 cos πk y a cos πk x 3a http://en.wikipedia.org/wiki/graphene 35

Estructura electrónica y los puntos de Dirac. M. Wilson; Physics Today 59(1), 21 (2006) 36

Propiedades de transporte a temperatura ambiente 300 K La mobilidad cuantifica la respuesta lineal de un material a un campo eléctrico aplicado. v = µe v: velocidad del electrón E: campo eléctrico aplicado µ: mobilidad Material µ(cm 2 /V-s) Si 1,500 GaAs 8,500 Grafeno 200,000 37

En el año 2005, se observó el efecto Hall cuántico en el grafeno. Muestra del grupo de Andrei Geim. K. S. Novosolov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, and A. A. Firsov, Nature 438, 197 (2005). 38

Muestra del grupo de Philip Kim. Y. Zhang, Y-W. Tan, H. L. Stormer, and P. Kim, Nature 438, 201 (2005). 39

Bajas temperaturas T=1K. 40

Temperatura ambiente T=300K. K.S. Novoselov, Z. Jiang, Y. Zhang, S.V. Morozov, H.L. Stormer, U. Zeitler, J.C. Maan, G.S. Boebinger, P. Kim, A.K. Geim, Science 315, 1379 (2007). 41

Espectro Hofstadter del grafeno. 42