Proceedings of te 5 t Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 03 Upper Bound solutions of ing Compression Test F. Martín (), L. Sevilla (), A. Camaco (), M.A. Sebastián () () Department of Manufacturing Engineering. University of Malaga. C/Dr. Ortiz amos s/n. 907, Malaga. Spain fdmartin@uma.es. () Department of Manufacturing Engineering. National Distance University of Spain (UNED), Madrid. Spain. ESUMEN El presente trabajo aborda una particularización del proceso de forja, estudiando la deformación de un anillo. El conformado plástico se realiza mediante el empleo del Teorema del Límite Superior y siguiendo el modelo de Bloques ígidos Triangulares para calcular la carga mínima necesaria para deformar plásticamente la pieza. Se establece la pieza a deformar como un anillo de geometría determinada por el denominado Ensayo de Compresión de Anillo (ing Compression Test) bajo su configuración canónica, justificándose asimilar el proceso a uno de deformación plana. Se plantea desde una nueva perspectiva el estudio del radio neutro (radio a partir del cual el material de la pieza fluye en sentidos contrarios), elemento clave en la solución del problema. Palabras clave: Teorema del Límite Superior; Ensayo de Compresión de Anillo; Bloques ígidos Triangulares; Deformación Plana; adio Neutro. ABSTACT In tis paper a particularization of forging process is presented, studying te deformation of a ring specimen. Plastic forming is performed by means of te Upper Bound Tecnique and te model of Triangular igid Blocks to calculate te minimal carge needed to deform te part. Te establising te part to deform a ring geometry is determined by te so-called ing Compression Test under its canonical configuration, tat allows assimilating to a plane strain process. A new perspective to calculate te neutral plane (radius at wic te workpiece material flows in opposite directions) is proposed, a basic element in te solution of te problem. Keywords: Upper Bound Tecnique; ing Compression Test; Triangular igid Blocks; Plane Strain; Neutral adius.. Introducción La obtención de la solución más adecuada en el cálculo de las fuerzas necesarias para deformar plásticamente un material requiere de un profundo conocimiento de los diferentes factores que influyen de una manera decisiva en la evolución del proceso de deformación. Factores entre los cuales se encuentran las propiedades del material sometido a deformación, las condiciones de rozamiento en su doble vertiente de rozamiento por deslizamiento y por aderencia y, de forma especial, la geometría y la fluencia del material en su deformación, tanto en lo referente a su dirección como a su velocidad. El establecimiento de un determinado modelo de estudio debe perseguir la consecución de una solución lo más exacta posible, dentro de un rango de valores suficientemente aceptable, proporcionar un mínimo coste operativo así como la posibilidad de minimizar los ensayos necesarios para validar el procedimiento. Hasta el momento, an sido desarrollados diferentes métodos analíticos como el Análisis Local de Tensiones, Campo de líneas de deslizamiento y Análisis Límite que, basados en su diferente tratamiento, suponen distintos grados de aproximación a la solución exacta del problema, posibilitando o no discriminar la inclusión de los factores indicados [-5]. Los métodos basados en Análisis Límite (superior e inferior) ofrecen, desde un punto de vista analítico, soluciones que acotan el rango en el que a de encontrarse esta solución exacta. De entre ambos límites, el superior es el que garantiza, tanto por su facilidad de aplicación como por su fundamento
Proceedings of te 5 t Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 03 teórico, que la deformación necesaria será factible mediante la solución calculada, siendo el que se emplea en mayor medida. El Teorema del Límite Superior (en adelante UBT por sus siglas en inglés), no sólo aporta como solución el mínimo valor de carga que asegura su deformación, sino que, dado su tratamiento analítico, permite discriminar los parámetros que entran en juego y posibilita optimizar las condiciones del proceso. La expresión del Teorema del Límite Superior, formulada por Prager y Hodge [6] (Ec. ), indica que, teniendo presentes las superficies de discontinuidad existentes entre los diferentes bloques rígidos considerados, de entre todos los campos cinematicamente admisibles posibles, el real es aquel que minimiza la expresión J* 0 i j ijdv v ds Ti vi ds (Ec. ) 3 V S St Expresión en la cual la energía de deformación externa (J*) nunca tendrá un valor superior a la calculada a partir de la anterior ecuación. El primer término expresa la energía consumida debido a la distorsión interna en la deformación producida sobre el cuerpo deformado. El segundo término incluye la energía producida por los esfuerzos cortantes existentes en las superficies de discontinuidad, incluyendo la zona de contacto entre erramienta y pieza. El tercer término de la ecuación provee la energía consumida por los posibles esfuerzos externos de tracción (o compresión) que puedan presentarse en los procesos de conformado. El objetivo del presente trabajo es la aplicación del método UBT sobre piezas cilíndricas con orificio interior, extendiendo así la utilización de este método a casos de conformado plástico en los que, aunque la geometría de la pieza no está sometida estrictamente a deformación plana, son asimilables a ella. Se desarrolla, pues, un modelo universal con el que obtener la carga necesaria para deformar un anillo (elemento axil-simétrico) sometido a forja (compresión) utilizando el Teorema del Límite Superior [7]. El UBT, como ya a sido citado, permite incluir el efecto del rozamiento, las condiciones geométricas de fluencia del material y la presión de conformado. Cuando sobre una pieza cilíndrica en forma de anillo plano, se realiza una compresión sobre sus caras planas, manteniendo constantes las condiciones de temperatura, el cambio resultante en la forma depende básicamente de la magnitud de la compresión en la dirección aplicada y de las condiciones de fricción en las interfaces entre las matrices y el anillo. Si la fricción en las superficies de contacto es nula, el anillo se deforma de forma similar a la de un disco sólido, en el que cada elemento fluye radialmente acia el exterior, a una velocidad proporcional a su distancia desde el centro de la pieza. Cuando el rozamiento en estas superficies de contacto es moderado, el diámetro exterior, frenado por la acción de este efecto, es algo menor que el generado en el caso de fricción nula. Si la fricción excede un valor crítico, la resistencia de fricción al flujo acia el exterior se vuelve tan elevada que una parte del material del anillo fluye acia el interior. Las mediciones de los diámetros interiores de los anillos comprimidos proporcionan un medio particularmente sensible ante el estudio de la fricción, dado que aumenta el diámetro interior si la fricción es baja y disminuye si el rozamiento es elevado. El ensayo de compresión de anillos (ing Compression Test) es, por lo tanto, un ensayo de compresión que incorpora una medición de la fricción. Será posible medir las dimensiones del anillo y calcular tanto el valor del rozamiento como el de la carga necesaria para deformar la pieza, bajo las condiciones de deformación dada [8,9]. El análisis efectuado sobre la deformación del anillo se contempla para un material rígido-plástico perfecto. Sobre la base de estos supuestos (tipo de material y modelo de rozamiento, entre otros), las ecuaciones de la plasticidad an aportado soluciones para geometrías diversas en anillos dentro de un rango completo de valores en el coeficiente de rozamiento por aderencia m entre 0 y. El espesor de los anillos se expresa generalmente en relación con los diámetros interior y exterior. Bajo condiciones de fricción máxima, la mayor altura utilizable se obtiene con anillos de dimensiones tales que cumplan la
Proceedings of te 5 t Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 03 relación D o : D i : de 6:3: (Figura ), donde D 0 es el radio exterior del anillo, D i el radio interior y la altura del anillo. Para condiciones normales de lubricación, se puede utilizar una relación geométrica canónica de 6:3: [0] con la que se pueden obtener resultados de precisión suficiente para la mayoría de aplicaciones. D i Figura. Parámetros geométricos del anillo Avitzur [] a analizado ampliamente, mediante técnicas de análisis límite, la mecánica resultante de la compresión entre matrices en el campo plástico de deformaciones de piezas en forma de anillo. A partir de dicos estudios puede estimarse que el progresivo aumento del esfuerzo cortante en la interfase pieza-erramienta derivado del endurecimiento del material [-4] se puede asumir como constante durante el proceso de deformación. En cualquier caso, es asimilable a procesos reales, planteando un valor de fricción de Tresca (aderencia) constante y de valor m.. Metodología D o Se partirá inicialmente de la relación geométrica canónica correspondiente a las condiciones de rozamiento moderado (6:3:). El anillo de partida tendrá un diámetro exterior de 9 mm, uno interior de 4.5 mm y una altura de 3 mm, con la consideración de material rígido-plástico perfecto. La consideración de esta relación canónica, ampliamente ensayada, posibilita la asunción de la condición de deformación plana, pues aún siendo una geometría claramente axil-simétrica, la relación entre la longitud del desarrollo de la pieza frente a las dimensiones de su sección es suficientemente elevada para afirmar la validez de esta condición. Por lo tanto, cada sección del anillo se deforma (en un alto grado de aproximación) dentro de su propio plano. El rango de fricción considerado para un rozamiento de aderencia (Tresca) abarcará valores desde 0 a. Considerando estudios previos del UBT sobre procesos de forja [5-7,8], se analizará un cuarto de la pieza (anillo), al establecer una condición de doble simetría, con la que se simplificará el problema y se plantearán las condiciones de contorno impuestas por esta doble condición en la aplicación del modelo de Bloques ígidos Triangulares (BT) dentro del Teorema del Límite Superior. Partiendo de una cuarta parte del anillo total, se desarrolla un modelo de BT formado por dos módulos separados por el denominado radio neutro ( n ) (Figura ), a partir del cual el material fluye en la misma dirección y con sentidos opuestos. Cada uno de estos dos módulos estará compuesto por 3 BT. La posición del radio neutro respecto al radio exterior a sido establecida por Avitzur [] de forma empírica para casos axil-simétricos, entre otros, para configuraciones en las que i < n < 0 (siendo i = radio interior, n = radio neutro, 0 = radio exterior) y con relaciones geométricas del anillo diferentes a las del presente estudio. n / Modulo Modulo
Proceedings of te 5 t Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 03 Figura. Cuarto de pieza sometida a análisis y composición por Módulos La consideración de la posición del radio neutro en el caso en estudio, está basada en la ipótesis de conservación de volumen de todo proceso de deformación plástica. Se parte de la sección inicial del cuarto de pieza, de dimensiones.5 mm x.5 mm, reduciendo su altura en decrementos de 0. mm asta alcanzar los 0.5 mm de altura final (.5;.3;.; 0.9; 0.7; 0.5). Determinando el n geométrico a través de (Ec. ): ( o i ) ( n i ) ( o n ) (Ec. ) n Siendo el volumen de la pieza analizada: V i = π ( 0 - i ) = 57.55 mm 3, y el área inicial de contacto: A i = 90.85 mm (Área total inicial de contacto con la matriz de compresión). 3.56 4.0 5.56,5. 0,5.3 0.94 n.78.8 n 3.9.8 n Figura 3. Valores de n frente a diferentes alturas de la pieza en estudio Se establece como elemento de comparación los valores del radio neutro calculados a partir de la ecuación de Avitzur (Ec. 3) []: n o 3 m o i o i o 3 o i o m (Ec. 3) Una vez estimados los diferentes radios neutros, la aplicación del método UBT mediante BT exige determinar las velocidades de cada uno de los bloques que conforman los módulos en la configuración geométrica de la sección de la pieza. En especial, serán las velocidades de los bloques extremos exterior e interior (denominados 3 y 6 de la Figura 4) las que aporten los mayores valores en uno y otro sentido. Las velocidades de cada uno de los bloques finales de cada módulo, calculadas a partir de sus odógrafos (Figura 4), servirán para comprobar el extremo en el que se produce una mayor fluencia del material, permitiendo incluir un mayor número de módulos en el caso de anillos de grandes dimensiones, vinculando las velocidades de salida y entrada de material de cada uno de ellos. Esta adición de módulos logrará una mejor adaptación a la configuración geométrica del anillo analizado. 5 6 4 3 V6 V3 V56 V45 V V V V3 V5 V
Proceedings of te 5 t Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 03 Figura 4. Direcciones de fluencia del material y odógrafos de ambos módulos Las velocidades de fluencia de material en los extremos del cuarto de sección del anillo (V o velocidad acia el exterior del anillo; V i, velocidad acia el interior del anillo) vendrán determinadas por la relación V b/ [9], siendo b el anco de la sección (anco del total de los dos módulos), la altura de la sección y V el valor inicial de la velocidad de descenso de la matriz, tomado con valor unidad (Figura 5). Los valores de las velocidades indicadas para las diferentes alturas quedan recogidos en la Tabla..5 V i V b,3,5 0.87 V o b V 0,94,5 0.68.3 0.94 Figura 5. Ejemplo de velocidades exterior e interior de cada módulo Finalmente, a partir de la expresión de p/k de la Ecuación, se obtiene la relación adimensional con la que se determinará la presión y, teniendo en consideración el área sobre la que actúa, la carga necesaria para alcanzar la deformación prevista: p k b b ( m) 4 (Ec. 4) A partir de esta relación, por lo tanto, se obtiene la presión p a aplicar, de la que se deduce, una vez determinada el área de la interfase erramienta-pieza, la carga necesaria para garantizar la deformación de la pieza sometida a estudio (siendo k la tensión a cizalladura del material de la pieza en la Ec. 4). 3. esultados Manteniendo las dimensiones canónicas definidas al inicio de este trabajo y aplicando la ecuación 3 para casos de m variable y la constancia de volumen, se establece el radio neutro desde una consideración puramente geométrica. Los resultados obtenidos se recogen en la Tabla, y se expresan gráficamente en la Figura 6. Puede apreciarse como el empleo de la Ecuación 3 facilita unos valores del radio neutro ( n ) más reducidos que los obtenidos a partir de consideraciones geométricas, sin tener en cuenta el rozamiento existente. En este último caso los radios serán mayores, puesto que la fluencia del material no se considera frenada por ningún efecto. Tabla. Valores de radio neutro ( n ) o (mm) Geométrico (mm) Avitzur m=0. (mm) Avitzur m=0.3 (mm) Avitzur m= (mm) 4.50 3.56.64.7.85 4.83 3.77.74.40 3.00 5.5 4.0.85.54 3.6 5.8 4.36.93.66 3.34 6.59 4.8.93.70 3.46 7.79 5.56.50.4 3.4
p/k adio neutro (n) Proceedings of te 5 t Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 03 6 Evolución del radio neutro 5 4 3 0 n geométrico m=0, Avitzur m=0,3 Avitzur m= Avitzur 4 5 6 7 8 adio Exterior (o) Figura 6. Evolución del radio neutro ( n ) La descomposición de los módulos permite establecer, a partir de los odógrafos correspondientes en cada caso (Figura 4), las velocidades de fluencia del material, tanto en sentido exterior (a partir del radio exterior) como acia el interior de la pieza (desde el radio interior), pudiéndose apreciar el comportamiento del anillo y la disminución del valor de su radio interior a una mayor velocidad que el aumento del radio exterior. Tabla. Valores del radio neutro ( n ) Altura () Velocidad interior V i Velocidad exterior V o.5 0.87 0.68.3.60 0.836..6.68 0.9.4.745 0.7 4.00.885 0.5 7.845 5.654 Las condiciones de rozamiento de Tresca son simples de incorporar en la Ecuación 4 [0], mostrando para un rango de m=0 a m= los resultados que se recogen en la gráfica de la Figura 7. 4,0 3,5 3,0,5 m=0 m=0,3 m=0,5 m=0,7 m=0,9 m= m variable,0,5,0 0,5 0,0 0 4 6 8 0 4 b/ Figura 7. Evolución de p/k para diferentes valores de m
Proceedings of te 5 t Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June 03 La Figura 7 permite observar que los resultados obtenidos tienen un comportamiento similar en la aplicación del UBT mediante el modelo de BT a las curvas de evolución de la relación adimensional p/k típicas aportadas en aplicaciones del mismo método sobre otros procesos de conformado plástico. Estas curvas ofrecen unos mínimos con los que se puede lograr la mejor adaptación del número de módulos necesarios para que el valor límite calculado sea óptimo. 4. Conclusiones Los mayores valores de las velocidades interiores de la sección de pieza sometida a estudio respecto a las velocidades exteriores, reflejadas en la Tabla, confirman los resultados obtenidos experimentalmente mediante el Ensayo de Compresión de Anillo, en el sentido del efecto del rozamiento que impide la fluencia natural del material acia el exterior y provoca un repliegue del material acia el ueco central interior, reduciendo por tanto, el radio de éste. Por este motivo, el ampliamente empleado Ensayo de Compresión de Anillo se considera un ensayo idóneo para determinar la influencia del rozamiento en procesos de forja. A tenor de los resultados obtenidos se observa una evolución de la relación adimensional p/k similar a las generadas en otros procesos de deformación plástica, ya sean éstos estacionarios (estirado) como no estacionarios (forja). En esta evolución de p/k aparecen curvas con un mínimo de aplicación de la carga coincidente con aquella configuración geométrica que ofrece una mínima distorsión del material. El método del Teorema del Límite Superior mediante la aplicación del modelo de BT presenta una versatilidad que le ace adecuado para ser implementado en el cálculo de las cargas mínimas a aplicar sobre piezas a deformar, sin que éstas presenten obligatoriamente disposiciones geométricas típicas de la deformación plana. La aplicación del Teorema del Límite Superior mediante el modelo de Bloques ígidos triangulares tradicionalmente a sido empleada en diferentes procesos de deformación plástica estacionarios o no estacionarios, pero bajo la consideración de deformación plana. Los resultados de este trabajo aportan una nueva línea de desarrollo del método, sin la necesidad de imponer esta restricción, y por tanto, aún con ciertas limitaciones en el factor de forma, aplicable a piezas con configuraciones axil-simétricas. 5. eferencias [] E.M. ubio. Energetic analysis of tube drawing processes by te Upper Bound Metod using teoretical work-ardening materials. Steel esearc International, (0), pp. 555-558. [] J. Ajiboye. Upper Bound analysis of extrusion for square billets troug circular and square/rectangular dies. Journal of Mecanical Science and Tecnology, 3 (009), pp. 46-474. [3] C. Bermudo, F. Martín, L. Sevilla. Application of te Upper Bound Element Tecnique wit Triangular igid Blocks in Indentation. Proc. of 4 t Manufacturing Society International Conference, Cádiz, Spain, 0. [4] F. Martin, L. Sevilla, C. Bermudo. Analytical approac to te indentation process application of te Upper Bound Element Tecnique. Materials Science Forum, 73 (0), pp. 3-8. [5] C. Bermudo, F. Martín, L. Sevilla. Friction influence on te implementation of te Upper Bound Teorem in Indentation process. Annals of DAAAM for 0 & Proceedings of te 3 rd International DAAAM Symposium, 3() (0), pp.09-4. [6] W. Prager and P.G. Hodge. Teory of Perfectly Plastic Solids. Capman & Hall, Ltd., London, (95). [7] ASM Handbook, Forming and Forging. ASM International. 4, Metals Park, Oio, USA (996). [8] B. Avitzur. Metal forming: Processes and analysis. obert E. Krieger Publising Company, Inc. Huntington, New York, USA (968). [9] T. Altan, C.H. Lee. Influence of Flow Stress and friction Upon Metal Flow in Upset Forging of ings and Cylinders. Journal of Engineering for Industry. Transactions of te ASME. 94 (3), (97), pp. 775-78.
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