Práctica La Conservación de la Energía Eduardo Rodríguez Departamento de Física, Universidad de Concepción 30 de junio de 2003 La Conservación de la Energía Un péndulo en oscilación llega finalmente al reposo. Es ésta una violación de la ley de la conservación de la energía mecánica? No. Un péndulo que llega al reposo lo hace por la acción de la fuerza de roce, la cual es no conservativa (disipativa). La Conservación de la Energía es válida para fuerzas conservativas solamente. El roce realiza trabajo negativo sobre el péndulo, de manera que, del Teorema del Trabajo y la Energía, K = W < 0. Esto significa que la energía cinética del péndulo disminuye como efecto del roce. 2 La montaña rusa El carrito (sin fricción) de una montaña rusa parte del punto A en la figura a la velocidad v 0. Cuál será la velocidad del carrito (a) en el punto B, (b) en el punto C, y (c) en el punto D? Supóngase que el carrito puede ser considerado como una partícula y que siempre permanece sobre la vía. Como no hay fricción, la energía mecánica total del carrito, e-mail: edurodriguez@udec.cl E = 2 mv2 + mgy, ()
A B h h C h/2 D Figure : Una montaña rusa. La velocidad del carrito depende sólo de su altura (si ignoramos el roce). se mantiene constante. Aquí v es su velocidad e y es su altura en un instante dado. En el punto A, v = v 0 e y = h; por lo tanto, E = 2 mv2 0 + mgh. (2) Como v 0 y h son conocidos, la ec. (2) nos entrega el valor de la energía mecánica total del carrito. Reemplazando en (), encontramos de donde 2 mv2 0 + mgh = 2 mv2 + mgy, (3) v 2 = v 2 0 + 2g (h y). (4) Esta última expresión nos da (el cuadrado de) la magnitud de la velocidad del carrito en el instante en que su altura era y. Reemplazando las alturas correspondientes para los puntos B, C y D, obtenemos v B = v 0, (5) v C = v0 2 + gh, (6) v D = v0 2 + 2gh. (7) La velocidad del carrito es mayor mientras menor es su altura; esto corresponde a la conversión de energía potencial a energía cinética. 2
3 Las Cataratas de Oro Por las cataratas del Niágara caen aproximadamente 3.3 0 5 m 3 de agua cada minuto, desde una altura de 50 m. (a) Cuál sería la salida de potencia de una planta generadora de electricidad que pudiera convertir el 48% de la energía potencial del agua en energía eléctrica? (b) Si la compañía de luz vendiera esta energía a una tasa industrial de.2 /kwh, cuál sería su ingreso anual por esta fuente? Un metro cúbico de agua tiene una masa de 000 kg. Sea m la masa de agua que cae por las cataratas en un intervalo de tiempo t. Como el cuociente m/ t es constante, debe ser igual a m t = 3.3 05 m 3 03 kg 5.5 0 6 kg 60 s m 3 s. (8) La energía potencial gravitatoria almacenada en esta cantidad de agua es U = mgh, donde h = 50 m es la altura de las cataratas; por lo tanto, la potencia generada es P = U t = m t gh 2.7 09 W. (9) Sólo el 48% de esta energía es aprovechada; luego, la potencia generada por la compañía será P a = 0.48P.3 0 9 W. (0) Si se genera energía a esta potencia durante un año, habremos acumulado un total de E = P a T.3 0 9 W año 365 día año 24 h día.3 00 kwh. () (Recordar: kwh = 0 3 W h). Si esta cantidad de energía es vendida a.2 /kwh, produce un ingreso anual de (aproximadamente) $ 36 0 6 (donde $ = 00 ). 4 Un resorte y un bloque en un plano inclinado Un resorte ideal sin masa puede comprimirse 2.33 cm por una fuerza de 268 N. Un bloque de masa m = 3.8 kg es lanzado a partir del reposo desde 3
lo alto de un plano inclinado como se muestra en la figura, siendo 32.0 o la inclinación del plano. El bloque llega momentáneamente al reposo después de haber comprimido al resorte 5.48 cm (a) Cuánto se movió el bloque hacia abajo del plano en ese momento? (b) Cuál era la velocidad del bloque en el momento en que toca el resorte? A: v = 0 θ a d m B: v = v 0 θ a m C: v = 0 θ a x m Figure 2: Un bloque de masa m cae a lo largo de un plano inclinado sobre un resorte de constante elástica k. Un resorte que se comprime 2.33 cm bajo la acción de una fuerza de 268 N tiene, por definición, una constante elástica de k = 268 N 0.0233 m 500 N m. (2) 4
Hay tres situaciones claramente identificadas en este problema, y cada una de ellas se muestra en la figura. La energía mecánica total del sistema resorte-bloque permanece siempre constante. En la tabla se muestran las expresiones que adoptan la energía cinética y potencial del bloque, así como la energía potencial elástica del resorte, en cada una de las tres situaciones. Energía cinética del bloque Energía potencial del bloque Energía potencial elástica Energía Mecánica (total) A B C 0 2 mv2 0 0 mg (a + d) sin θ mga sin θ mg (a x) sin θ 0 0 2 k ( x)2 mg (a + d) sin θ 2 mv2 0 + mga sin θ mg (a x) sin θ + 2 k ( x)2 La conservación de la energía produce el trío de ecuaciones mg (a + d) sin θ = 2 mv2 0 + mga sin θ, (3) mg (a + d) sin θ = mg (a x) sin θ + 2 k ( x)2, (4) 2 mv2 0 + mga sin θ = mg (a x) sin θ + 2 k ( x)2. (5) Estas parecen ser tres ecuaciones para las tres incógnitas a, d y v 0. Sin embargo, al desarrollar los paréntesis encontramos que a desaparece de todas las ecuaciones: mgd sin θ = 2 mv2 0, (6) mgd sin θ = mg x sin θ + 2 k ( x)2, (7) 2 mv2 0 = mg x sin θ + 2 k ( x)2. (8) Una simple inspección revela que estas ecuaciones son redundantes; con dos de ellas basta para determinar las incógnitas d y v 0. Por ejemplo, de (7) tenemos que ( ) k x d = 2mg sin θ x. (9) 5
El valor de v 0 puede obtenerse de (8): k 2g sin θ v 0 = x m x. (20) La ausencia de a no debe preocuparnos; más bien, ella refleja el hecho que lo único importante es cuanto se contrajo el resorte, y no su longitud total. 5 Dos bloques y una polea Dos bloques, uno de masa m A y otro de masa m B, se conectan entre sí por medio de una cuerda, como se ve en la figura. La polea no presenta fricción y su masa es despreciable. El coeficiente de fricción cinético entre A y la pendiente es µ k. Determine el cambio en la energía cinética de A cuando se mueve de C a D, una distancia d. µ 0 A θ B Figure 3: Dos bloques y una polea en un plano inclinado. El cambio en la energía cinética del bloque A puede obtenerse a partir del teorema del Trabajo y la Energía, K = W, donde W es el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre A. Estas fuerzas están identificadas en el diagrama de cuerpo libre para A. Luego, W = (N + T + m A g + f) r, donde r es el vector de desplazamiento del bloque A. Usando la definición de producto punto, A B = AB cos (A, B), podemos escribir W = (T m A g sin θ µ k N) d, (2) 6
f N y m A g θ T x m B g y T' x Figure 4: Diagramas de cuerpo libre para los bloques del problema 5. donde d = r y hemos usado la relación f = µ k N. Para determinar T y N debemos recurrir a las leyes de Newton. De los diagramas de cuerpo libre respectivos tenemos que En componentes, N + T + m A g + f = m A a A, (22) T + m B g = m B a B. (23) µ k N m A g sin θ + T = m A a, (24) N m A g cos θ = 0, (25) T m B g = m B a. (26) Aquí T = T = T y a = a A = a B son las magnitudes comunes de la tensión y la aceleración. Este trío de ecuaciones permite encontrar los valores de T, a y N, de los cuales sólo nos interesan T y N. La magnitud de la reacción normal se obtiene directamente de (25): N = m A g cos θ. (27) Reemplazamos (27) en (24) y construimos un sistema junto con (26): T m A a = (sin θ + µ k cos θ) m A g, (28) T + m B a = m B g. (29) 7
La resolución de este sistema (que no haremos explícitamente aquí) produce T = ( + sin θ + µ k cos θ) m Am B g m A + m B. (30) Sustituyendo (27) y (30) en (2) encontramos que el trabajo realizado sobre A (y por lo tanto el cambio en su energía cinética) es ( K = m ) A m A ma m B gd sin θ µ k cos θ, (3) m B m B m A + m B 8