Solución Clásica de Rayleigh-Jeans (1900) La Hipótesis: Los electrones de las paredes se agitan térmicamente y emiten radiación electromagnética dentro de la cavidad. En la cavidad se establece y se mantiene un equilibrio térmico mediante la absorción y re-radiación de la energía por las paredes. La radiación dentro de la caja de volumen V consta de ondas estacionarias con nodos en las paredes. El número de ondas estacionarias para el intervalo de frecuencias es f y f + df N( f ) df 8πV 2 c f 2 df
La energía promedio por onda cuando el sistema esta en equilibrio es donde T es la temperatura y k es la constante de Boltzman k E 23 1,37*10 Así multiplicando el número de ondas por la energía promedio se obtiene la densidad de energía (acuérdese del grafico!) kt J K ρ ( f ) df 2 8πν c T 3 ktdf Al comparar esta ecuación con los resultados experimentales queda de manifiesto un error en la teoría clásica. predice una energía infinita, lo que difiere del resultado experimental.
Solución de Planck Max Planck Explica el mecanismo que hace que los átomos radiantes produzcan la distribución de energía observada, El Nacimiento de La Teoría Cuántica Planck sugirió: La radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con los átomos de las paredes que se comportan como osciladores armónicos de frecuencia dada f. (i.e la energía) Promedio de las ondas estacionarias depende de la frecuencia Cada oscilador puede absorber o emitir energía de la radiación en una cantidad proporcional a f. Cuando un oscilador absorbe o emite radiación electromagnética, su energía aumenta o disminuye en una cantidad hf. (Energías Discretas)
Las suposiciones de Planck se pueden resumir en la igualdad: E n nhf, Donde h es una constante. La famosa constante de Planck h6,63*10-34 Js, n es un NUMERO ENTERO y f es la frecuencia. E n son los posibles valores de energía correspondiente del modo de frecuencia f, as La energía promedio viene dada por E hf / kt e hf 1 Con la fórmula de Planck la densidad de energía radiada toma la forma 2 8 f hf ρt ( f ) df π 2 hf / kt c e 1 df FORMULA DE PLACK PARA LA RADIACIÓN DE CUERPO NEGRO
O bien en terminos de la longitud de onda, f c λ λ λ π λ λ ρ λ λ ρ λ d e c d d df f d kt hc T T 1 1 8 ) ( ) ( / 5
Antes de seguir examinemos el curioso supuesto de las energías discretas Energía proporcional a la amplitud de la oscilación, todo valor esta permitido. Energía Clásica es Continua Cuánticamente (la idea de Planck), no todas las amplitudes estan permitidas. Los posibles cambios en la energía NO pueden tener un tamaño arbitrariamente pequeño
Periodo 2 (s) f 0.5 (ciclos/s) Si calculamos el cambio en la energía usando la idea de Planck E hf 3,3*10 34 J Por otro lado clásicamente la energía del péndulo E mgd 2J E << E
La Ley del Desplazamiento de Wien La posición del máximo en el espectro de la radiación del cuerpo negro depende de la temperatura del cuerpo negro y está dado por la ley de desplazamiento de Wien. Calculando la derivada primera de la función de la distribución de Planck expresada en términos de la longitud de onda o de la frecuencia d d λ 1 λ e 1 1 5 hc / λkt 0
( ) Obtenemos la ecuación trascendente x x 5 e 1 xe 0 hc kt con x 4. 965 λ m Este resultado constituye la ley de desplazamiento de Wien, que establece que el máximo de la densidad de energía a distintas temperaturas T1, T2, T3,.., se produce a las longitudes de onda λ1, λ2, λ3 tales que λ1t 1 λ2t2 λ3t3 2898* 10 3 mk Donde C es una constante 2,897 y T es la temperatura del cuerpo en kelvin
5800 K 0.5 µm Espectro del Sol. El sol emite la mayor parte de su radiación en la banda de longitud de onda entre los 0.1 y 4.0 micrometros (µm). 288 K 10 µm Espectro de la Tierra. La tierra emite la mayor parte de su radiación en la banda de longitud de onda entre los 0.4 y 30.0 micrometros (µm).
La Ley de Stefan-Boltzmann El flujo de energía emitida por un cuerpo negro esta relacionado con la cuarta potencia de la temperatura absoluta del cuerpo T
La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo) por unidad de longitud de onda para la longitud de onda l, de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresión deλ dλ 2πhc 5 λ 2 1 hc / λkt e 1 La intensidad total en W m 2, de la radiación emitida por un cuerpo negro, se obtiene integrando la expresión anterior para todas las longitudes de onda (o frecuencias). E 0 de λ 0 de f
luego: E λ 2πhc 2 0 5 usamos el cambio de variables λ ( e dλ hc ht reemplazamos en la expresión anterior λ 1) hc hc x y obtenemos que dx dλ 2 λkt λ kt W λ 2π ( kt 3 2 h c 4 ) 0 3 x dx x e 1 usamos el hecho BIEN SABIDO QUE: 0 3 x dx x e 1 π 15
E λ 5 4 2π k 3 15h c T 4 o bien WσT 4, con σ 5.670 10-8 (Wm -2 K -4 ) Esta expresión se conoce como Ley de Stefan-Boltzmann Boltzmann. La energía emitida por un cuerpo negro por unidad de área y unidad de tiempo es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T. Del mismo modo, integrando def/df para todas las frecuencias, podemos comprobar que la densidad de energía de la radiación contenida en una cavidad es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T de sus paredes. La constante de proporcionalidad vale σ 4 σ /c.
Efecto Fotoeléctrico Luz Incidente Electrón eyectado e Un metal como un contenedor de electrones
frecuencia ν Intensidad I Heinrich Hertz (1889) Philipp Lenard (1899)
Dispositivo Experimental En el circuito de la figura, conectamos el potenciómetro de manera que la parte negativa (cátodo) esté conectada a placa iluminada. De esta manera un aumento de potencial provoca que los electrones arrancados sean atraídos hacia la otra placa (ánodo).y lleguen a ella por efectos del campo eléctrico.
Si aumentamos el potencial observamos que un mayor número de electrones llega al ánodo Variando el voltaje que nos suministra el potenciómetro y registrando la intensidad de corriente ( i ) para una intensidad de la radiación incidente fija ( I ) y para luz de una determinada frecuencia de radiación
ν > ν ν <ν 0 0 Mayor Intensidad
Ahora invertimos la conexión del potenciómetro El fotón consigue desprender electrones del receptor pero las fuerzas electrostáticas impiden su llegada a la otra placa, no se observa circulación de corriente. El potencial de corte está invertido y observa que lo que antes era un cátodo ahora es positivo.
0 3 0 2 0 1 3 2 I I I I I I V 0 Potencial de Frenado o Potencial de Corte A mayor Intensidad conseguimos arrancar mas electrones, OJO no significa electrones Mas rápidos. Potencial de corte es el mismo en todos los casos 0 3 0 2 0 1 I I I I I I Potencial de corte distinto en todos los casos
Observaciones Experimentales Sólo algunos materiales emiten electrones con luz visible Cada metal requiere, para que se produzca la extracción, una radiación con una frecuencia mínima (νo). Cualquier otra radiación de menor frecuencia, no será capaz de arrancar electrones. Por debajo de la frecuencia mínima la intensidad de corriente -"i" (amperios)- será cero. No hay efecto fotoeléctrico. Existe una frecuencia umbral. La emisión es prácticamente instantánea y no depende de la Intensidad - I- ( watt/m 2 )de la luz incidente. El tiempo es del orden de 10 9 s ( 1ns ). La intensidad de la corriente fotoeléctrica (i, amperes, reflejo del número de electrones liberados) que origina una radiación de una determinada longitud de onda que incide sobre una superficie metálica, aumenta si aumentamos la intensidad de radiación "I" (watt/m 2 ).
Teoría Electromagnética Clásica La energía de los electrones debería depender de la intensidad, NO de la frecuencia Si la intensidad es baja, debería haber un tiempo de acumulación tiempo de acumulación hasta que un Electrón logre salir!!!!
Explicación de A. Einstein (PN 1921) 1.-La energía no se transmite repartida en toda la onda (como se suponía en la teoría clásica), sino agrupada en unos paquetes de energía que llamó CUANTOS DE ENERGÍA (fotones ) (partícula sin masa en reposo, pero con una cantidad de movimiento y energía) que se mueven con la onda. 2.- El cuanto de energía es proporcional a la frecuencia E hν γ 1905 Cuando la luz llega a la superficie del metal la energía no se reparte equitativamente entre los átomos que componen las primeras capas en las que el haz puede penetrar, sino que por el contrario sólo algunos átomos son impactados por el fotón que lleva la energía y, si esa energía es suficiente para extraer los electrones de la atracción de los núcleos, los arranca del metal.
Función Trabajo de un Metal: mínima energía necesaria para sacar un electrón (Ф) Metales Sodio Función Trabajo (ev) 2.28 Aluminio Cobre Plata Plomo Fierro 4.08 4.7 4.73 4.14 4.50
Así Si el fotón tiene Si el fotón tiene E γ > eφ E γ < eφ Los electrones salen de inmediato NO salen electrones Transferencia de energía es 1 fotón a 1 electrón La energía cinética de los electrones emitidos depende de la frecuencia de la radiación incidente y de la posición que ocupa ese electrón en el metal. K hν eφ Ecuación de Einstein. (La energía incidente menos el trabajo de extracción es igual a la energía cinética del electrón extraído)
Existe un potencial de corte (Vo) o potencial de frenado para el que i0. Este potencial de corte es independiente de la intensidad de la radiación (I), pero depende de su frecuencia. ν K 0 ν c max hν c eφ
Volvamos al experimento con el Potencial Inverso Logran llegar al cátodo solo los Electrones con K > e V I0 K máx e V
Experimental V aν + 0 b a: Pendiente del gráfico b: Intercepto del grafico Teórico de la ecuación de Eisntein hν e V + eφ 0 h a e b Φ
Finalmente podemos afirmar que La energía emitida es discontinua, va en paquetes, tal como había enunciado Planck (que sin embargo creía que se propagaba repartida en la onda, como lo suponía la teoría clásica). El aporte original de Einstein es que la energía se transmite e impacta de manera discontinua o discreta, en paquetes.