Métodos Matemáticos de la Física II Curso 2004-2005, grupo I, Pedro López Rodríguez PROGRAMA COMUN DE LA ASIGNATURA METODOS MATEMATICOS DE LA FISICA II 1 Cálculo con una y varias variables 2 Análisis vectorial 3 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias 5 Funciones de variable compleja 6 Funciones especiales 7 Series de Fourier 8 Transformadas integrales 9 Introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 10 Cálculo numérico Profesores de la asignatura: Grupo I: Pedro López Rodríguez Grupo II: María Angeles Japón Pineda Grupo III: Miguel Lacruz Martín PROYECTO DOCENTE PARA EL GRUPO I Tema 1. Cálculo en varias variables 1.1 Fórmula de Taylor, problemas de extremos 1.2 Teorema de la función inversa 1.3 Teorema de la función implícita 1.4 Teorema de los multiplicadores de Lagrange 1.5 Teorema de Fubini 1.6 Interpretación geométrica de la integral 1.7 Teorema de cambio de variables 1.8 Coordenadas polares en R 2 y esféricas y cilíndricas en R 3 1.9 Integrales dependientes de parámetros Tema 2. Análisis vectorial 2.1 Campos vectoriales y escalares, gradiente, divergencia y rotacional 2.2 Integrales de linea 2.3 Teorema de Green 2.4 Integrales de superficie 2.5 Teorema de Stokes 2.6 Teorema de Gauss 1
Tema 3. Introducción a las ecuaciones diferenciales 3.1 Ecuaciones diferenciales, clasificación y aplicaciones 3.2 Familias de curvas, trayectorias ortogonales 3.3 Problemas de valores iniciales, teorema de Picard 3.4 Ecuaciones diferenciales separables Tema 4. Ecuaciones diferenciales de primer orden 4.1 Ecuaciones homogéneas 4.2 Ecuaciones exactas 4.3 Factores integrantes 4.4 La ecuación lineal de primer orden 4.5 Ecuaciones de primer orden no resueltas respecto a la derivada 4.6 Reducción del orden 4.7 Ejemplos de aplicaciones físicas Tema 5. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo y otros órdenes 5.1 Introducción, ecuación homogénea y completa y sus soluciones 5.2 Soluciones de la ecuación homogénea, el Wronskiano 5.3 La ecuación homogénea con coeficientes constantes y el método de selección 5.4 Ejemplos de aplicaciones físicas Tema 6. Soluciones en series de potencias, puntos ordinarios 6.1 El método de las series de potencias, puntos ordinarios 6.2 La ecuación y las funciones de Chebyshev 6.3 La ecuación y las funciones de Legendre 6.4 La ecuación y las funciones de Hermite Tema 7. Soluciones en series de potencias, puntos singulares regulares 7.1 La ecuación de Euler 7.2 La ecuación general, el método de Frobenius 7.3 La ecuación y las funciones de Laguerre 7.4 La ecuación y las funciones de Bessel 7.5 Puntos singulares regulares en infinito Tema 8. Ecuaciones de orden n, sistemas de ecuaciones diferenciales 8.1 Sistemas de ecuaciones lineales, descripción de las soluciones 8.2 Resolución de sistemas con coeficientes constantes 8.3 Puntos críticos, criterios de estabilidad 8.4 Aplicaciones físicas Tema 9. Funciones de variable compleja 9.1 Funciones complejas 9.2 Derivación, ecuaciones de Cauchy Riemann 9.3 Integración de funciones complejas sobre caminos 9.4 Teorema de Cauchy en un abierto convexo, fórmula integral de Cauchy 9.5 Desarrollos en series de potencias 2
9.6 Series de Laurent 9.7 Clasificación de puntos singulares aislados 9.8 Teorema de los residuos 9.9 Aplicación al cálculo de integrales complejas sobre curvas cerradas 9.10 Aplicaciones al cálculo de integrales reales Tema 10. Series de Fourier 10.1 Espacios euclídeos, sistemas ortogonales y ortonormales 10.2 Aproximación óptima 10.3 Desigualdad de Bessel e igualdad de Parseval 10.4 Polinomios ortogonales 10.5 Desarrollo en serie de Fourier de una función 10.6 Criterios de convergencia Tema 11. Transformadas integrales 11.1 La transformada de Fourier 11.2 La transformada de Laplace 11.3 Aplicaciones Tema 12. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales 12.1 Introducción, ecuaciones del calor, de onda, de Laplace y de Schrödinger 12.2 Soluciones generales y particulares 12.3 Curvas características y la existencia de soluciones 12.4 El método de separación de variables, ecuaciones del calor, de onda y de Laplace 12.5 El problema de Dirichlet en el cuadrado y en el círculo 12.6 Algunas otras ecuaciones de la Física. Tema 13. Cálculo numérico 13.1 Método de Newton 13.2 Regla de Simpson 13.3 Fórmula de cuadratura de Gauss 13.4 El método de Runge Kutta BIBLIOGRAFIA Todo lo necesario para seguir el curso se entregará a los alumnos. Existen numerosos libros que pueden ser consultados si así se desea, entre ellos: EARL A. CODDINGTON, An Introduction to Ordinary Differential Equations, Prentice Hall, 1964, (Temas 3-8, sobre todo el 7) A. KISELIOV, M. KRASNOV y G. MAKARENKO, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, Editorial Mir, 1988, (Temas 3-8) JOSE ANTONIO FACENDA y FRANCISCO JOSE FRENICHE, Integración de Funciones de Varias Variables, Ediciones Pirámide, 2002, (excelente para Temas 1-2) R. KENT NAGLE y EDWARD B. SAFF, Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, segunda edición, Addison-Wesley Iberoamericana, 1992, (Temas 3-8 y 12) 3
A.C.KING, J. BILLINGHAM, S.R.OTTO, Differential equations, Linear, Nonlinear, Ordinary, Partial, Cambridge University Press, 2003, (Temas 3-8 y 12) K.F RILEY, M.P. HOBSON, S.J. BENCE, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 2003, (Temas 3-8, 9-11, 13 y sobre todo 12) GEORGE B. ARFKEN, HANS WEBER, Mathematical methods for Physicists, 5th edition, Elsevier Science and Technology Books, 2001 HANS J. WEBER, GEORGE B. ARFKEN, GEORGE ARFKEN, Essential Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, 2003 GEORGE F. SIMMONS, Ecuaciones Diferenciales, segunda edición, McGraw-Hill, 1993, (Temas 3-8, sobre todo el 8) RICHARD HABERMAN, Ecuaciones en Derivadas Parciales con Series de Fourier y Problemas de Contorno, tercera edición, Prentice Hall, 1998 FRANCISCO GRANERO, Calculo integral y aplicaciones, Prentice Hall, 2001, (Temas 1-2) JAMES C. ROBINSON, An introduction to ordinary Differential Equations, Cambridge University Press, 2003, (Temas 3-8) RUEL V. CHURCHILL y JAMES WARD BROWN, Variable Compleja y Aplicaciones, McGraw Hill, 1992, (Tema 9) B. P. DEMIDOVICH e I. A. MARON, Cálculo Numérico Fundamental, Paraninfo, 1997, (Tema 13) GERALD L. BRADLEY y KARL J. SMITH, Cálculo de varias variables, Prentice Hall, 1999, (Temas 1-2) MURRAY R. SPIEGEL, Transformadas de Laplace, McGraw Hill, 1991, (Tema 11) HORARIO DE CLASES Lunes y martes de 9.00 a 10.00, jueves y viernes de 10.00 a 11.00, en el Aula III de la Facultad de Física. HORARIO DE CONSULTAS Lunes de 10.00 a 13.00 y de 15.00 a 18.00. Avisar con antelación. El despacho se encuentra en el módulo 38, en la tercera planta de la facultad de matemáticas, entrando a la derecha. E-mail: plopez@us.es. METODOLOGIA Las clases de dedicarán a la explicación de los resultados teóricos y a la resolución de problemas. Las hojas de problemas se entregarán siempre varios días antes de ser resueltos en la pizarra con el fin de que sean trabajados con antelación por los alumnos. Algunos documentos relativos a la asignatura serán publicados en la página web http://euler.us.es/ plopez/ 4
EVALUACION Se efectuarán dos exámenes parciales en febrero y junio, consistentes en la resolución de problemas muy similares a los resueltos en clase, tanto en tipo como en dificultad. En la hoja de examen se especificará el valor de cada pregunta. La calificación se obtendrá sumando los puntos obtenidos en cada pregunta, necesitando alcanzar cinco puntos sobre diez posibles para aprobar. Los exámenes parciales aprobados se guardan hasta el examen final de junio, es decir no se guardan para el de setiembre. Fechas de exámenes: Primer examen parcial: Por determinar Segundo examen parcial: Por determinar Examen final de junio: Por determinar Convocatoria de setiembre: Por determinar Convocatoria de diciembre: Por determinar Pedro López Rodríguez 5