7.1.3. Vigas de gran peralte Con este tercer grupo de modelos, se pretende investigar el efecto en la optimización topológica cuando una carga cambia de posición. Para ello se consideraron las siguientes posiciones de una carga puntual: - a.) Carga puntual vertical, aplicada en el centro de la luz, fibra superior, - b.) Carga puntual vertical, aplicada en el centro de la luz, fibre media y - c.) Carga puntual vertical, aplicada en el centro de la luz, fibra inferior, tal como se indica en la Figura 7.12 Figura 7.12: Vigas aperaltadas simplemente apoyadas y solicitadas por una carga puntual en el centro de la luz: a.) fibra superior, b.) fibra media y c.) fibra inferior. El dominio de los esquemas indicados en la Figura anterior se modeló mediante dos tipos de mallas estructuradas de dimensiones 300 y 1.200 elementos rectangulares como se muestra a continuación: Figura 7.13: Discretización del modelo de viga aperaltada simplemente apoyada: a.) Malla de 30 x10 elementos y b.) Malla de 60 x 20 elementos. Para modelar las vigas se estableció un dominio rectangular de dimensiones L x H, donde L = 3H. El sistema está simplemente apoyado, solicitado por una carga 108
vertical tal como se indica en la Figura (7.12) (a), (b) y (c). Con el objeto de establecer la incidencia del tamaño de la malla sobre el proceso de optimización, se elaboraron dos modelos, uno con una malla de regular precisión 30 x 10 elementos y otro con una malla más fina de 60 x 20 elementos. Como fracción de volumen se tomó un valor de 50%. Los demás parámetros de optimización corresponden a los indicados al inicio del Capítulo. El primer grupo de modelos presentado en las Figuras 7.14, 7.15 y 7.16 muestra muy poca definición en las zonas a retirar o en las que están solicitadas. Sin embargo se puede apreciar, que para los tres casos el resultado de la optimización topológica hace uso de toda la altura de las vigas para reducir los esfuerzos y con ello economizar material. Otra particularidad que se puede apreciar es la conformación de una estructura utilizando forma de arco para transmitir las cargas a los apoyos. Buscando mayor definición en el resultado de la optimización se utiliza la segunda malla más fina. Se aprecia en las Figuras 7.17, 7.18 y 7.19, que los contornos de las zonas retiradas y solicitadas aparecen mejor definidos.con elementos más pequeños es posible asignar en forma más precisa la cantidad necesaria de material para conformar y/o rigidizar elementos. La energía de deformación U es comparable en todos los modelos, bien sea con los dos tipos de mallas o con la carga aplicada en las diferentes fibras. Argumento que tiene su explicación debido a que los desplazamientos no cambian radicalmente y las propiedades del sistema permanecen constantes para los tres casos de carga. Un comportamiento, tal vez inadvertido, corresponde al debido a la carga aplicada sobre la fibra media Figura (7.18) (l). Se aprecia, que se hace uso de toda la altura para reducir esfuezos. En este caso particular los elementos que conforman la cruceta del centro se comportan en forma mixta; de la mitad hacia arriba estan solicitados a tensión y de la mitad hacia abajo a compresión. De esta forma se optimza el trabajo al distribuir la acción de la fuerza hacia arriba y hacia abajo. 109
(a) i= 1, U= 101J (b) i= 2, U= 64J (c) i= 3, U= 47J (d) i= 4, U= 38J (e) i= 5, U= 34J (f) i= 6, U= 31J (g) i= 7, U= 29J (h) i= 8, U= 28J (i) i= 9, U= 27J (j) i= 10, U= 26J (k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J Figura 7.14: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada y cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 30 x 10. = 50%. 110
(a) i= 1, U= 97J (b) i= 2, U= 63J (c) i= 3, U= 47J (d) i= 4, U= 39J (e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J (g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J (i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J (k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J Figura 7.15: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra media. Malla 30 x 10. = 50%. 111
(a) i= 1, U= 101J (b) i= 2, U= 64J (c) i= 3, U= 48J (d) i= 4, U= 40J (e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J (g) i= 7, U= 29J (h) i= 8, U= 26J (i) i= 9, U= 25J (j) i= 10, U= 25J (k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J Figura 7.16: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra inferior. Malla 30 x 10. = 50%. 112
(a) i= 1, U= 115J (b) i= 2, U= 67J (c) i= 3, U= 49J (d) i= 4, U= 39J (e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J (g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J (i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J (k) i= 28, U= 23J (l) i= 29, U= 23J Figura 7.17: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 20. = 50%. 113
(a) i= 1, U= 105J (b) i= 2, U= 65J (c) i= 3, U= 48J (d) i= 4, U= 39J (e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J (g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J (i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J (k) i= 28, U= 22J (l) i= 29, U= 22J Figura 7.18: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra media. Malla 60 x 20. = 50%. 114
(a) i= 1, U= 111J (b) i= 2, U= 68J (c) i= 3, U= 50J (d) i= 4, U= 41J (e) i= 5, U= 36J (f) i= 6, U= 32J (g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 28J (i) i= 9, U= 26J (j) i= 10, U= 25J (k) i= 28, U= 23J (l) i= 29, U= 23J Figura 7.19: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra inferior. Malla 60 x 20. = 50%. 115
7.1.4. Vigas de peralte moderado Con este grupo de modelos se pretende identificar, el efecto del cambio de los apoyos sobre el proceso de optimización topológica. Para ello se consideraron tres modelos de vigas de peralte moderado con una relación largo alto de 6:1. Las condiciones de apoyo son las siguientes: - a.) Viga simplemente apoyada con carga en el centro de la luz, fibra superior, Figura (7.20) (a) - b.) Viga doblemente apoyada con carga en el centro de la luz, fibra superior Figura (7.20) (b)y - c.) Viga enpotrada en los dos costados con carga en el centro de la luz, fibra superior Figura (7.20) (c). El esquema adoptado para este grupo de modelos corresponde a una viga de dimensiones L x H donde L = 6H. Los apoyos como se muestra en la Figura (7.20) (a), (b) y (c) son cada vez más rígidos. Figura 7.20: Esquema del modelo para una viga de peralte moderado solicitada por una carga puntual en centro de la fibra superior con la siguiente condición de apoyo: a.) simplemente apoyada, b.) doblemente apoyada y c.) empotrada en sus dos extremos. El dominio de las vigas de peralte moderado indicado en la Figura anterior se discretizó mediante una malla de 60 x 10 elementos, tal como se muestra en la Figura (7.21). Los parámetros de optimización utilizados, además de los indicados al inicio del capítulo corresponden a una fracción de volumen del 50% para los tres casos. Se aprecia en la Figura (7.22), Figura (7.23) y Figura (7.24) que el cambio de apoyos genera un comportamiento totalmente diferente en el mismo dominio. 116
Figura 7.21: Discretización del modelo para una viga de peralte moderado solicitada por una carga puntual en centro de la fibra superior. Para el caso del apoyo simple indicado en la Figura (7.20) el comportamiento se puede deducir facilmente a partir de la analogía de la cercha. Para el caso doblemente apoyado indicado en la Figura (7.23), el comportamiento no es tan evidente, pues resulta una combinación del principio del arco con un aprovechamiento de la altura de la viga. Para el caso del empotramiento en los dos costados indicado en la Figura (7.24), la distribución del material luego de la optimización permite deducir las trayectorias de esfuerzos en este tipo de estructuras. En los costados laterales se observa que no se hace uso de toda la altura, sino que el material se concentra en los extremos. La convergencia hacia la estructura optimizada, en los tres casos, es relativamente rápida. Entre la 5. a y la 8. a iteración ya se define la forma optimizada, la cual se mantiene hasta el final de las iteraciones. Respecto a la energía U, se observa que en la medida que se aumentan las restricciones de los apoyos, la energía interna de deformación disminuye. Debido a que los desplazamientos se encuentran cada vez más restringidos. Lo siguientes valores iniciales de energía se toman como referencia para hacer una comparación de su comportamiento: caso simplemente apoyado Figura (7.22) (a) 492 J, caso doblemente apoyado Figura (7.23) (a) 275 J y caso empotrado en los dos costados Figura (7.24) (a) 152 J. 117
(a) i= 1, U= 492J (b) i= 2, U= 286J (c) i= 3, U= 204J (d) i= 4, U= 171J (e) i= 5, U= 161J (f) i= 6, U= 154J (g) i= 7, U= 149J (h) i= 8, U= 144J (i) i= 9, U= 140J (j) i= 10, U= 136J (k) i= 11, U= 133J (l) i= 12, U= 128J (m) i= 13, U= 123J (n) i= 14, U= 119J (o) i= 28, U= 107J (p) i= 29, U= 107J Figura 7.22: Optimización topológica de una viga de peralte moderado simplemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 10. = 50%. 118
(a) i= 1, U= 275J (b) i= 2, U= 148J (c) i= 3, U= 95J (d) i= 4, U= 69J (e) i= 5, U= 60J (f) i= 6, U= 56J (g) i= 7, U= 54J (h) i= 8, U= 53J (i) i= 9, U= 52J (j) i= 10, U= 51J (k) i= 11, U= 51J (l) i= 12, U= 50J (m) i= 13, U= 50J (n) i= 14, U= 50J (o) i= 28, U= 49J (p) i= 29, U= 49J Figura 7.23: Optimización topológica de una viga de peralte moderado doblemente apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 10. = 50%. 119
(a) i= 1, U= 152J (b) i= 2, U= 108J (c) i= 3, U= 86J (d) i= 4, U= 76J (e) i= 5, U= 71J (f) i= 6, U= 65J (g) i= 7, U= 60J (h) i= 8, U= 55J (i) i= 9, U= 51J (j) i= 10, U= 48J (k) i= 11, U= 46J (l) i= 12, U= 45J (m) i= 13, U= 43J (n) i= 14, U= 43J (o) i= 28, U= 41J (p) i= 29, U= 41J Figura 7.24: Optimización topológica de una viga de peralte moderado empotrada en sus dos extremos, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 10. = 50%. 120