Distribución y Transporte de Portadores de Carga Lección 01.2 Ing. Jorge Castro-Godínez EL2207 Elementos Activos Escuela de Ingeniería Electrónica Instituto Tecnológico de Costa Rica I Semestre 2014 Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 1 / 51
Contenido Estado y distribución de portadores 1 Estado y distribución de portadores 2 Corriente de difusión Corriente de arrastre Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 2 / 51
(1) El valor numérico del dopado de un semiconductor quizá no resulta tan interesante como conocer la distribución de portadores en función de la energía para una determinada banda. Relaciones de distribuciones y concentraciones de portadores bajo condiciones de equilibrio. Cantidad de estados por unidad de volumen y unidad de energía. Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 3 / 51
(2) Banda de energía = número total de estados permitidos. Cómo están distribuidos los estados? Cuántos estados pueden ser encontrados a un nivel determinado de energía? = distribución energética de los estados. g c (E) y g v (E) son las densidades de estado a una energía E determinada en la banda de conducción y valencia, respectivamente. establece cuantos estados existen para una energía E dada. Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 4 / 51
(3) Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 5 / 51
(4) Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 6 / 51
Nivel de Fermi (1) Es el término utilizado para describir la parte superior del conjunto de niveles de energía de electrones a la temperatura de cero absoluto. o el nivel más alto ocupado por un sistema cuántico a 0 K. E F, E i cuando se trata del valor intrínseco. En el caso de semiconductores intrínsecos, el nivel de Fermi intrínseco se encuentra aproximadamente a la mitad de la banda prohibida. A temperaturas altas, existirá una cierta fracción de portadores de carga, caracterizada por la función de Fermi, por encima del nivel de Fermi. Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 7 / 51
Función de Fermi (1) La densidad de estados establece cuantos estados existen a una energía E dada. La función de Fermi especifica cuantos estados existentes, a una energía E, se encuentran llenos con un electrón. f(e) Especifica, bajo condiciones de equilibrio, la probabilidad de que un estado disponible a una energía E se encuentre ocupado por un electrón Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 8 / 51
Función de Fermi (2) f(e) = 1 1 + e (E E F )/kt E F energía de Fermi o nivel de Fermi k constante de Boltzmann, k = 8, 62 10 5 ev/k T temperatura en Kelvin (K) Es una función de distribución de probabilidad. Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 9 / 51
Función de Fermi (3) Se tienen un par de aproximaciones: f(e) = 1 1 + e (E E F )/kt Si E > E F f(e) = e (E E F ) kt Si E < E F f(e) = 1 e (E E F ) kt Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 10 / 51
Función de Fermi (4) Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 11 / 51
Función de Fermi (5) Dependencia de la función de Fermi respecto de la energía. Considérese los siguientes casos: 1 T 0 K 2 E = E F 3 E E F + 3kT 4 E E F 3kT Función de Fermi aplica únicamente bajo condiciones de equilibrio. f(e) es válida para todo los materiales. Función estadística asociada con los electrones en general. Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 12 / 51
E F por encima de E g /2 Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 13 / 51
E F cerca de E g /2 Estado y distribución de portadores Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 14 / 51
E F por debajo de E g /2 Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 15 / 51
Representaciones (1) Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 16 / 51
Representaciones (2) Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 17 / 51
Distribución de portadores La densidad de electrones cae conforme se incrementa la energía (banda de conducción). La situación es análoga para los huecos (banda de valencia). Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 18 / 51
E F y E i Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 19 / 51
Degenerados y no degenerados (1) Cuando E F se encuentra entre: E v + 3kT E F E c 3kT se establece que el semiconductor es no degenerado Si E F se encuentra en la banda prohibida, cerca más cerca de 3kT de cualquiera de los bordes de las bandas, o penetra inlcusive alguna de las bandas, el semiconductor se determina como degenerado Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 20 / 51
Degenerados y no degenerados (2) Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 21 / 51
Expresiones para n y p Expresiones válidas para cualquier semiconductor en equilibrio que haya sido dopado de manera tal que el nivel de Fermi se encuentre posicionado en una región no degenerada n = n i e (E F E i )/kt p = n i e (E i E F )/kt Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 22 / 51
Ley de acción de masas Para un semiconductor no degenerado en equilibrio: n 2 i = n p n i : concentración intrínseca de portadores de carga [ cm 3] n i 1, 45 10 10 cm 3 para el Si n: concentración de electrones libres [ cm 3] p: concentración de huecos [ cm 3] Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 23 / 51
Relación de neutralidad de carga (1) Para establecer relaciones de neutralidad de carga se debe considerar un semiconductor dopado uniformemente. # atomos dopante/cm 3 es el mismo en todo el semiconductor. Carga neutral, esto es, no posee carga neta. Si este no fuera el caso, se tendrían campos eléctricos dentro del semiconductor. Esto ocacionaría movimiento de portadores, y con ello, corrientes asociadas. Habría equilibrio? Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 24 / 51
Relación de neutralidad de carga (2) carga cm 3 = qp qn + qn + D qn A = 0 p n + N + D N A = 0 N + D N A = número de donadores ionizados /cm3 = número de aceptores ionizados /cm3 Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 25 / 51
Relación de neutralidad de carga (3) N + D = N D N A = N A Asumiendo ionización de todos los átomos dopates: p n + N D N A = 0 Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 26 / 51
Cálculos de la concetración de portadores (1) p = n2 i n n 2 i n n + N D N A = 0 n 2 + n (N D N A ) n 2 i = 0 Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 27 / 51
Cálculos de la concetración de portadores (2) n = N D N A 2 + [ (ND N A 2 ) 2 + n 2 i ] 1/2 p = n2 i n = N A N D + 2 [ (NA N D 2 ) 2 + n 2 i ] 1/2 Evidentemente, solo la solución positiva interesa, puesto que físicamente la concentración de portadores debe ser mayor o igual que cero. Las anteriores soluciones constituyen casos generales. Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 28 / 51
Determinación de E F E F E i = kt ln(n D /n i ) para N D N A y N D n i E i E F = kt ln(n A /n i ) para N A N D y N A n i Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 29 / 51
E F en función del dopado Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 30 / 51
E F en función de la temperatura Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 31 / 51
Clasificación de semiconductores (1) Intrínseco N A = 0, N D = 0 n = p = n i Dopado donde: N D N A N D n i, o N A N D N A n i Tipo n: n N D, p = n 2 i /N D Tipo p: p N A, n = n 2 i /N A Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 32 / 51
Clasificación de semiconductores (2) Dopado donde: n i N D N A Entonces n = p = n i Compensado N D N A = 0 N D N A > 0 entonces: Tipo n: n N D N A, p = n 2 i /(N D N A) Tipo p: p N A N D, n = n 2 i /(N A N D) Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 33 / 51
Ejercicio Estado y distribución de portadores Considere una muestra no degenerada de Ge que se mantiene en condiciones de equilibrio, a una temperatura cercana a la temperatura ambiente. Si se sabe que n i = 10 13 /cm 3, n = 2p y N A = 0. Determine n N D Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 34 / 51
Corriente de difusión Corriente de arrastre Transporte de Portadores de Carga La corriente eléctrica consiste en el movimiento de cargas Electrones Huecos Iones Los átomos de dopado pueden ionizarse como parte del proceso de conducción eléctrica: Los átomos donadores se ionizan positivamente al ceder un electrón para la conducción eléctrica (N D+ ) Los átomos aceptores se ionizan negativamente al recibir un electrón durante la conducción eléctrica (N A -) En semiconductores, los dopantes ionizados son inmóviles y no contribuyen a la conducción 2 mecanismos de transporte de portadores de carga -Corriente de difusión, debido a gradientes de concentración de portadores de carga -Corriente de arrastre, debido a la aplicación de un campo eléctrico Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 35 / 51
Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de Difusión Debido a gradientes de concentración Obedece a la ley de Fick J q Dn n Jdif, dif, n, F D Flujo proporcional al gradiente de concentración. En el caso de semiconductores p q D p p n n x n xˆ y n yˆ z zˆ En una dimensión, J dn q Dn dx J dif, n, dif, p dp q Dp dx D: Coefficiente de difusión, medido en cm 2 /s Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 36 / 51
Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de Difusión Movilidad relacionada con difusión por medio de la relación de Einstein kt D Vt q V t : voltaje térmico 25 mv a temperatura ambiente (300 K) Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 37 / 51
Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de Difusión Electrones se desplazan de mayor concentración a menor concentración J diff debe tener el signo de corriente técnica, no corriente real Signo de J diff es igual al del gradiente (dirección x ) Electrones difundiéndose (corriente real) Corriente técnica Electrones difundiéndose (corriente real) Corriente técnica Electrones se desplazan de mayor concentración a menor concentración J diff debe tener el signo de corriente técnica, no corriente real Signo de J diff es igual al del gradiente (dirección - x ) Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 38 / 51
Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de Difusión Huecos se desplazan de mayor concentración a menor concentración J diff debe tener el signo de corriente técnica Signo de J diff contrario al del gradiente (dirección ) x Huecos difundiéndose (corriente técnica) Huecos difundiéndose (corriente técnica) Huecos se desplazan de mayor concentración a menor concentración J diff debe tener el signo de corriente técnica Signo de J diff contrario al del gradiente (dirección - x ) Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 39 / 51
Corriente de difusión Corriente de difusión Corriente de arrastre Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 40 / 51
Corriente de difusión Corriente de difusión Corriente de arrastre Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 41 / 51
Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de Arrastre* J drift E ( qn qp ) h e J: densidad de corriente de arrastre : conductividad E: campo eléctrico q: carga del electrón n: concentración de portador de carga : movilidad del portador de carga J ( qn qp E drift e h) *En inglés: drift current Algunas veces traducido como corriente de desplazamiento o corriente de deriva, sin embargo, corriente de desplazamiento se refiere a la variación de densidad de flujo en materiales aislantes Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 42 / 51
Corriente de difusión Corriente de arrastre Movilidad En ausencia de un campo eléctrico, el electrón presenta un movimiento térmico aleatorio con una velocidad térmica promedio v t Al aplicar un campo eléctrico, el electrón adquiere una velocidad de arrastre determinada por 3 v d para 3x10 V / cm v d : velocidad de arrastre (cm/s) : movilidad (cm 2 /Vs) E: campo eléctrico (V/cm) Para E > 3x10 3 V/cm la velocidad de deriva se satura 10 7 cm/s Los electrones tienen una movilidad mayor que los huecos en un factor de 2..3 ante un campo eléctrico, los electrones son 2..3 veces más rápidos que los huecos La movilidad está determinada por: masa efectiva, dispersión por impurezas, dispersión por la estructura cristalina Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 43 / 51
Corriente de difusión Corriente de arrastre Movilidad vs Dopado El caso ilustrado corresponde al silicio Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 44 / 51
Corriente de difusión Corriente de arrastre Movilidad vs Temperatura Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 45 / 51
Corriente de arrastre Corriente de difusión Corriente de arrastre Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 46 / 51
Difusión y arrastre Estado y distribución de portadores Corriente de difusión Corriente de arrastre Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 47 / 51
Concentración de portadores Determine las concentraciones de electrones y huecos en equilibrio para una muestra de Si uniformemente dopado, bajo las siguientes condiciones: 1 Temperatura ambiente, N A N D, N D = 10 15 /cm 3 2 Temperatura ambiente, N A = 10 16 /cm 3, N A N D 3 Temperatura ambiente, N A = 9 10 15 /cm 3, N D = 10 16 /cm 3 4 T = 450 K, N A = 0, N D = 10 14 /cm 3 5 T = 650 K, N A = 0, N D = 10 14 /cm 3 Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 48 / 51
Concentración de portadores Dado una muestra de Si dopado con N A = 10 14 /cm 3 : 1 Calcule E F como función de T en un material en intervalos de 50 K desde T = 300 K hasta T = 500 K 2 Qué concluye al respecto del comportamiento general de la posición del nivel de Fermi con respecto a la temperatura? 3 Cómo se modificarían sus respuestas anteriores si la muestra de Si se dopa con donadores en lugar de aceptores? Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 49 / 51
Densidad de corriente Se inyectan huecos de manera constante en una región de silicio tipo N. En estado estable, se establece el perfil de concentración de huecos mostrado en la figura. Encuentre D y J. Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 50 / 51
Referencias Bibliográficas I J. M. Albella et al. Fundamentos de microelectrónica, nanoelectrónica y fotónica. Pearson, 1era edición, 2005. R. Pierret. Semiconductor Device Fundamentals Adisson-Wesley, 1996. Jorge Castro-Godínez Distribución y transporte de portadores 51 / 51