Instituto Tecnológico de Saltillo ROBÓTICA Especialidad: Electrónica Ríos Enero-Junio 211
Unidad II Morfología 2.1 Introducción 2.2 Estructura mecánica 2.3 Estructura cinemática 2.4 Tipos de articulaciones 2.5 Configuraciones cinemáticas 2.6 Capacidad de carga 2.7 Velocidad de respuesta y estabilidad 2.8 Precisión de movimientos 2.9 Control coordinado de fuerza y posición 2
2.3 Estructura cinemática La cinemática del brazo de un robot trata con el estudio analítico de la geometría del movimiento de un robot con respecto a un sistema de coordenadas fija como una función del tiempo sin considerar las fuerzas/momentos que originan dicho movimiento. Es decir, trata de la descripción analítica del desplazamiento espacial del robot como función del tiempo, las relaciones entre las variables espaciales de tipo articulación y la posición y orientación del efector final del robot. 3
La cinemática del brazo de un robot trata de resolver dos tipos de problemas: El problema cinemático directo. El problema cinemático inverso. Parámetros de los elementos Ángulos de las articulaciones θ1, θ2, θn Cinemática directa Posición y orientación del efector final Parámetros de los elementos Ángulos de las articulaciones θ1, θ2, θn Cinemática inversa 4
z El problema cinemático directo Para este estudio se requiere de: 1 1 y T = 1 1 1 1 1 x Algebra Vectorial Algebra Matricial 5
El problema cinemático directo z y x Sistema de coordenadas en el espacio 6
El problema cinemático directo z P(x,y,z) y x Sistema de coordenadas rectangulares 7
El problema cinemático directo z w v pxyz(p x,p y,p z ) puvw(p u,p v,p w ) y u x Sistema de coordenadas rectangulares 8
Sistema de coordenadas de referencia (x,y,z) El problema cinemático directo z Sistema de coordenadas ligada al cuerpo (u,v,w) w v y u x Sistema de coordenadas rectangulares 9
Sistema de coordenadas de referencia (x,y,z) El problema cinemático directo z Sistema de coordenadas ligada al cuerpo (u,v,w) w v y u x Sistema de coordenadas rectangulares 1
El problema cinemático directo z w v y u x Sistema de coordenadas rectangulares 11
El problema cinemático directo z w v y u x Sistema de coordenadas rectangulares 12
Matrices de rotación Una matriz de rotación 3 3 se puede definir como una matriz de transformación que opera sobre un vector de posición en un espacio tridimensional y transforma sus coordenadas expresadas en un sistema de coordenadas rotado UVW (sistema ligado al cuerpo) a un sistema de coordenadas de referencia XYZ. z w v p y u x 13
z Sean (ix, jy, kz) e (iu, jv, kw) los vectores unitarios de los dos diferentes sistemas de coordenadas. w ix u k kw kz jy jv iu v y x 14
Un punto p en el espacio se puede representar por sus coordenadas con respecto a ambos sistemas de coordenadas. Para facilitar el análisis supondremos que p esta en reposo y fijo con respecto al sistema de coordenadas UVW. Entonces el punto p se puede representar por sus coordenadas con respecto al sistema UVW y XYZ respectivamente como: u z w v p y p uvw = (p u, p v, p w ) T y p xyz = (p x, p y, p z ) T x 15
Nos gustaría encontrar una matriz R de transformación 3 3 que transformará las coordenadas de p uvw a las coordenadas expresadas con respecto al sistema XYZ, después de que el sistema de coordenadas UVW ha sido girado. Esto es, p xyz = Rp uvw (1) Observe que físicamente el punto p uvw ha sido girado junto con el sistema de coordenadas UVW. Recordando la definición de la componente de un vector tenemos p uvw = p u i u + p v j v + p w k w (2) Así utilizando la definición de producto escalar y la ecuación anterior P x = i x p uvw = i x i u p u + i x j v p v + i x k w p w P y = j y p uvw = j y i u p u + j y j v p v + j y k w p w (3) P z = k z p uvw = k z i u p u + k z j v p v + k z k w p w 16
o expresado en forma matricial, p x p y p z = i x i u i x j v i x k w j y i u j y j v j y k w k z i u k z j v k z k w p u p v p w (4) Utilizando esta notación, la matriz R en la ecuación (1) esta dada por = i x i u i x j v i x k w j y i u j y j v j y k w R (5) k z i u k z j v k z k w 17
De la misma manera se puede obtener las coordenadas de p uvw con las coordenadas de p xyz. puvw = R T pxyz p u p v p w = i u i x i u j y i u k z j v i x j v j y j v k z k w i x k w j y k w k z p x p y (6) p z 18
La transformación en la ecuación (1) se llama una transformación ortogonal, y como los vectores en los productos escalares son todos vectores unitarios, se llama también una transformación ortonormal. El interés en desarrollar la matriz de transformación anterior es encontrar las matrices de rotación que representan rotaciones del sistema de coordenadas UVW respecto a cada uno de los tres ejes principales del sistema de coordenadas de referencia XYZ. Si el sistema de coordenadas UVW se gira un ángulo α respecto al eje X para llegar a una nueva posición en el espacio, entonces el punto p uvw, que tiene coordenadas (p u,p v,p w ) T con respecto al sistema UVW, tendrá coordenadas diferentes (p x,p y,p z ) T con respecto al sistema de referencia XYZ. 19
La matriz de transformación necesaria R x,α se llama matriz de rotación respecto al eje X con un ángulo α. R x,α se puede derivar del concepto de matriz de transformación anterior, esto es, p xyz = R x,α p uvw i x i u i x j v i x k w 1 R x,α = j y i u j y j v j y k w = cos α -sen α (7) k z i u k z j v k z k w sen α cos α 2
Rotación del cuerpo con respecto del eje X z z u w v y w u v y x x 21
z z w α w u v y α v y i x i u = i x i u cos ϕ x i x i u i x j v i x k w 1 R x,α = j y i u j y j v j y k w = k z i u k z j v k z k w cos α sen α -sen α cos α 22
La matriz de transformación R y,ϕ se llama matriz de rotación respecto al eje Y con un ángulo ϕ. R y,ϕ se puede derivar del concepto de matriz de transformación anterior, esto es, p xyz = R y,ϕ p uvw i x i u i x j v i x k w R y,ϕ = j y i u j y j v j y k w = 1 k z i u k z j v k z k w cos ϕ -sen ϕ sen ϕ cos ϕ (8) 23
Rotación del cuerpo con respecto del eje Y z z u w v y u w v y x x 24
z z w ϕ u v w y x u ϕ x i x i u = i x i u cos ϕ i x i u i x j v i x k w cos ϕ sen ϕ R y,ϕ = j y i u j y j v j y k w = 1 k z i u k z j v k z k w -sen ϕ cos ϕ 25
La matriz de transformación R z,θ se llama matriz de rotación respecto al eje Z con un ángulo θ. R z,θ se puede derivar del concepto de matriz de transformación anterior, esto es, p xyz = R z,θ p uvw i x i u i x j v i x k w R z,θ = j y i u j y j v j y k w = k z i u k z j v k z k w cos θ -sen θ sen θ cos θ 1 (9) 26
Rotación del cuerpo con respecto del eje Z z z u w v y w v u y x x 27
z v θ y w v u y x θ u x i x i u = i x i u cos ϕ i x i u i x j v i x k w R z,θ = j y i u j y j v j y k w = k z i u k z j v k z k w cos θ -sen θ sen θ cos θ 1 28
Matrices de rotación básicas Las matrices R x,α, R y,ϕ y R z,θ se llaman matrices de rotación básicas. Se pueden obtener otras matrices de rotación finitas a partir de estas matrices. 1 cos ϕ R x,α = cos α -sen α R y,ϕ = 1 sen α cos α sen ϕ (1) (11) -sen ϕ cos ϕ cos θ -sen θ R z,θ = sen θ cos θ (12) 1 29
Ejercicios Ejemplo 1: Dado dos puntos P uvw = (4, 3, 2) T y Q uvw = (6, 2, 4) T con respecto al sistema de coordenadas UVW, determinar los puntos correspondientes P xyz, Q xyz con respecto al sistema de coordenadas de referencia si ha sido rotado 6º respecto del eje Z. Solución: P xyz = R z,6º Q uvw y Q xyz = R z,6º Q uvw P xyz =.5 -.866.866.5 1 4 3 2 = 4(.5) + 3(-.866) + 2() 4(.866) + 3(.5) + 2() = 4() + 3() + 2(1) -.598 4.964 2. Q xyz =.5 -.866.866.5 1 6 2 4 = 6(.5) + 2(-.866) + 4() 6(.866) + 2(.5) + 4() = 6() + 2() + 4(1) 1.268 6.196 4. 3
Ejercicios Ejemplo 2: Dado dos puntos P uvw = (5, 4, 1) T y Q uvw = (4, 1, 3) T con respecto al sistema de coordenadas UVW, determinar los puntos correspondientes P xyz y Q xyz con respecto al sistema de coordenadas de referencia si ha sido rotado 45º respecto del eje Y. Solución: P xyz = R y,45º P uvw y Q xyz = R y,45º Q uvw 31
Ejercicios Ejemplo 3: Si P xyz = (4, 3, 2) T y Q xyz = (6, 2, 4) T son las coordenadas con respecto al sistema de coordenadas de referencia, determinar los puntos correspondientes P uvw y Q uvw con respecto al sistema de coordenadas rotado UVW si ha sido rotado 6º respecto del eje Z. Solución: P uvw = R T z,6º P xyz y Q uvw = R T z,6º Q xyz P uvw =.5.866 -.866.5 1 4 3 2 = 4(.5) + 3(.866) + 2() 4(-.866) + 3(.5) + 2() = 4() + 3() + 2(1) 4.598-1.964 2. Q uvw =.5.866 -.866.5 1 6 2 4 = 6(.5) + 2(-.866) + 4() 6(.866) + 2(.5) + 4() = 6() + 2() + 4(1) 4.732-4.196 4. 32
Ejercicios Ejemplo 4: Si P xyz = (5, 4, 1) T y Q xyz = (4, 1, 3) T son las coordenadas con respecto al sistema de coordenadas de referencia, determinar los puntos correspondientes P uvw y Q uvw con respecto al sistema de coordenadas rotado UVW si ha sido rotado 45º respecto del eje X. Solución: P uvw = R T x,45º P xyz y Q uvw = R T x,45º Q xyz 33
Matriz de rotación compuesta Las matrices de rotación básicas se pueden multiplicar entre si para representar una secuencia de rotación finita respecto del eje principal del sistema de coordenadas XYZ. Como las multiplicaciones de matrices no conmutan, es importante el orden o secuencia de realización de las rotaciones. 34
Por ejemplo, para desarrollar una matriz de rotación que represente una rotación de ángulo α respecto del eje X seguida por una rotación de ángulo θ respecto del eje Z seguida por una rotación de ángulo ϕ respecto del eje Y, la matriz de rotación resultante que representa estas rotaciones es Cϕ Sϕ Cθ -Sθ 1 R = R y,ϕ R z,θ R x,α = 1 Sθ Cθ Cα -Sα = -Sϕ Cϕ 1 Sα Cα Donde: Cϕ = Cos ϕ Sϕ = Sen ϕ Cα = Cos α Sα = Sen α = Cϕ Cθ Sϕ Sα Cϕ Sθ Cα Cϕ Sθ Sα + Sϕ Cα S θ Cθ Cα - Cθ Sα - Sϕ Cθ Sϕ Sθ Cα + Cϕ Sα Cϕ Cα Sϕ Sθ Sα 35
Ejemplo 5. Desarrollar una matriz de rotación que represente una rotación de 6º respecto del eje X seguida por una rotación de 45º respecto del eje Z seguida por una rotación de 3º respecto del eje Y, la matriz de rotación resultante que representa estas rotaciones es C3º 1 R = R y,3º R z,45º R x,6º = 1 C45º C6º -S3º S3º C45º -S45º C3º S45º C6º -S6º = 1 S6º C6º R =.6124.771.1268.783.3536 -.6124 -.3536.9268.1268 36
Esto es diferente de la matriz de rotación que representa una rotación de ángulo ϕ respecto del eje Y seguida por una rotación de ángulo θ respecto del eje Z seguida por una rotación de ángulo α respecto del eje X, la matriz de rotación resultante que representa estas rotaciones es R = R x,α R R y,ϕ = R z,θ 1 Cθ -Sθ Cϕ Cα -Sα Cθ 1 Sα Cα Sϕ Sθ = 1 -Sϕ Cϕ Cθ Cϕ -Sθ Cθ Sϕ = Cα Sθ Cϕ + Sα Sϕ Cα Cθ Cα Sθ Sϕ Sα Cϕ Sα Sθ Cϕ Cα Sϕ Sα Cθ Sα Sθ Sϕ + Cα Cϕ 37
Matriz de rotación compuesta Además de girar respecto de los ejes principales del sistema de referencia XYZ, el sistema de coordenadas giratorio UVW puede también rotar respecto de su propio eje principal. En este caso, la matriz de rotación compuesta se puede obtener de las siguientes reglas simples: 1. Inicialmente ambos sistemas de coordenadas son coincidentes, de aquí que la matriz de rotación es matriz identidad I 3 de 3x3. 2. Si el sistema de coordenadas giratorio UVW esta girando respecto de uno de los ejes principales del sistema XYZ, entonces premultiplicar la matriz de rotación previa (resultante) por una matriz de rotación básica apropiada. 3. Si el sistema de coordenadas rotante UVW esta girando respecto de su propio eje principal, entonces postmultiplicar la matriz de rotación previa (resultante) por una matriz de rotación básica apropiada. 38
Por ejemplo, encontrar la matriz de rotación resultante que representa un giro de ángulo ϕ respecto del eje Y seguido por una rotación de ángulo θ respecto del eje W seguido por una rotación de ángulo α respecto del eje U R =R y,ϕ I 3 R w,θ R u,α = Cϕ Sϕ Cθ -Sθ 1 -Sϕ Cϕ 1 1 Sθ Cθ Cα -Sα = Sα Cα Cϕ Cθ Sϕ Sα Cϕ Sθ Cα Cϕ Sθ Sα + Sϕ Cα = Sϕ Cθ Cα - Cθ Sα - Sϕ Cθ Sϕ Sθ Cα + Cϕ Sα Cϕ Cα Sϕ Sθ Sα 39
Ejemplo 6. Encontrar la matriz de rotación resultante que representa un giro de 45º respecto del eje Y seguido por una rotación de 5º respecto del eje W seguido por una rotación de 65º respecto del eje U C45º 1 R =R y,45º I 3 R w,5º R u,65º = 1 S5º C5º C65º -S45º S45º C5º -S5º C45º 1 C65º -S65º S65º C65º.4545.4119.7898 R =.766.2717 -.5826 -.4545.8698 -.1921 4
Matriz de rotación respecto a un eje arbitrario Algunas veces el sistema de coordenadas rotante UVW puede girar un ángulo ϕ respecto de un eje arbitrario r que es un vector unitario que tiene de componentes r x, r y, r z y que pasa a través del origen O. La ventaja es que para ciertos movimientos angulares el sistema UVW puede realizar una rotación alrededor del eje r en lugar de algunas rotaciones respecto de los ejes principales de los sistemas de coordenadas UVW y/o XYZ. Para derivar esta matriz de rotación R r,ϕ, podemos primero realizar algunas rotaciones respecto de los ejes principales del sistema XYZ para alinear el eje r con el eje Z. Luego hacemos la rotación respecto de r con ángulo ϕ y giramos el eje principal del sistema XYZ para volver el eje r otra vez a su posición original. 41
Con referencia en la siguiente figura, el alineamiento del eje Z con el eje r se puede hacer girando respecto del eje X con ángulo α (el eje r ahora esta en el plano XZ), seguido por una rotación de ángulo β respecto del eje Y (el eje r ahora se alinea con el eje Z). Después de la rotación del ángulo ϕ respecto del eje Z o eje r, invertir las secuencias de rotaciones anteriores con sus respectivos ángulos opuestos. Y,V 1. R x,α r y 2. R y,-β 3. R z,ϕ 4. R y, β 5. R x, -α α r 1 5 r x X,U r z β Z,W 3 ϕ 4 2 42
La matriz de rotación resultante es: R z,ϕ R r,ϕ = R x,-α R y,β R y,-β R x,α = 1 Cβ Sβ = Cα Sα 1 Sϕ Cϕ 1 Cα -Sα Cϕ -Sϕ -Sβ Cβ 1 Cβ -Sβ 1 Cα -Sα Sβ Cβ Sα Cα De la figura anterior podemos encontrar fácilmente que, r y sen α = r 2 y + r 2 z r z cos α = r 2 y + r 2 z sen β = r cos β = r 2 y + r 2 x z 43
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores tenemos, R r,ϕ = r 2 x vϕ + cϕ r x r y vϕ - r z sϕ r x r z vϕ + r y sϕ r x r y vϕ + r z sϕ r 2 y vϕ + cϕ r y r z vϕ - r x sϕ r x r z vϕ - r y sϕ r y r z vϕ + r x sϕ r 2 z vϕ + cϕ (13) Donde vϕ = vers ϕ = 1 cos ϕ. Esta es una matriz de rotación muy útil. 44
Ejemplo 7. Encontrar la matriz de rotación R r,ϕ que representa la rotación de 45º respecto del vector r = (1, 1, 1) T. Solución: Como el vector r no es un vector unitario, necesitamos normalizar y encontrar sus componentes a lo largo del eje principal del sistema XYZ, por lo tanto, 1 r x = r 2 x + r 2 y + r = 1, 1, 1 r 2 y = r z = z 3 3 3 x + y + z Sustituyendo en la ecuación, obtenemos la matriz R r,ϕ R r,ϕ = 1/3 vϕ + cϕ 1/3 vϕ 1/ 3sϕ 1/3 vϕ + 1/ 3 sϕ 1/3 vϕ + 1/ 3 sϕ 1/3 vϕ + cϕ 1/3 vϕ - 1/ 3 sϕ 1/3 vϕ - 1/ 3 sϕ 1/3 vϕ + 1/ 3 sϕ 1/3 vϕ + cϕ 45
R r,45º = 1/3 V45º + C45º 1/3 V45º 1/ 3 s45º 1/3 V45º + 1/ 3 S45º 1/3 V45º + 1/ 3 S45º 1/3 V45º + C45º 1/3 V45º - 1/ 3 S45º 1/3 V45º - 1/ 3 S45º 1/3V45º + 1/ 3 S45º 1/3V45º + C45º.847 -.316.559 R =.559.847 -.316 -.316.559.847 46
Matriz de rotación con representación de ángulos de Euler La representación matricial para la representación de un cuerpo rígido simplifica muchas operaciones, pero necesita nueve elementos para describir completamente la rotación de un cuerpo rígido rotante. No conduce directamente a un conjunto completo de coordenadas generalizadas. Tal conjunto de coordenadas generalizadas pueden describir la orientación de un cuerpo rígido rotante con respecto a un sistema de coordenadas de referencia. Pueden ser proporcionadas por los llamados tres ángulos de Euler ϕ, θ y ψ. Aunque los ángulos de Euler describen la orientación de un cuerpo rígido con respecto a un sistema de referencia fijo, hay muchos tipos diferentes de representaciones de ángulos de Euler. Las tres representaciones más ampliamente utilizadas de los ángulos de Euler son los siguientes. 47
Tres tipos de representaciones de ángulos de Euler Sistema I ángulos Sistema II ángulos Sistema III elevación eulerianos de Euler desviación y giro Secuencia ϕ respecto del eje Z ϕ respecto del eje Z ψ respecto del eje X de θ respecto del eje U θ respecto del eje V θ respecto del eje Y rotaciones ψ respecto del eje W ψ respecto del eje W ϕ respecto del eje Z La primer representación de ángulos de Euler se suele asociar con el movimiento giroscópico. Esta representación se suele llamar los ángulos eulerianos, y corresponde a la siguiente secuencia de rotaciones: 1. Una rotación de ángulo ϕ respecto del eje Z (R z,ϕ ). 2. Una rotación de ángulo θ respecto del eje U (R u,θ ). 3. Finalmente, una rotación de ángulo ψ respecto del eje W (R w,ψ ). 48
Sistema I: Matriz de Rotación de Ángulos Eulerianos R ϕ,θ,ψ = R z,ϕ R u,θ R w,ψ = Cϕ Sϕ 1 Sϕ Cϕ Cθ Sθ Sψ Cψ = 1 Sθ Cθ Cψ Sψ 1 Cϕ Cψ Sϕ Cθ Sψ Cϕ Sψ Sϕ Cθ Cψ Sϕ Sθ = Sϕ Cψ + Cϕ Cθ Sψ Sθ Sψ Sϕ Sψ + Cϕ Cθ Cψ Sθ Cψ Cϕ Sθ Cθ (14) 49
Matriz de Rotación de Ángulos Eulerianos La matriz de rotación de ángulos eulerianos anterior R ϕ,θ,ψ se puede también especificar en términos de las rotaciones respecto de los ejes principales del sistema de coordenadas de referencia: una rotación de ángulo ψ respecto del eje Z, seguida por una rotación de ángulo θ respecto del eje X y finalmente una rotación de ángulo ϕ con respecto del eje Z. 1. Una rotación de ángulo ψ respecto del eje Z (R z,ψ ). 2. Una rotación de ángulo θ respecto del eje X (R x,θ ). 3. Finalmente, una rotación de ángulo ϕ respecto del eje Z (R z,ϕ ). 5
Sistema II: Matriz de Rotación de Ángulos de Euler La segunda representación es llamada Ángulos de Euler y corresponde a la siguiente secuencia de rotaciones: 1. Una rotación de ángulo ϕ respecto del eje Z (R z,ϕ ). 2. Una rotación de ángulo θ respecto del eje V (R v,θ ). 3. Finalmente, una rotación de ángulo ψ respecto del eje W (R w,ψ ). 51
Sistema II: Matriz de Rotación de Ángulos de Euler Cθ R ϕ,θ,ψ = R z,ϕ R Cϕ v,θ R w,ψ = 1 1 Sθ Cϕ Sϕ Sθ Sϕ Sψ Cψ = Cθ Cψ Sψ 1 = Cϕ Cθ Cψ Sϕ Sψ Sϕ Cθ Cψ + Cϕ Sψ Sθ Cψ Cϕ Cθ Sψ Sϕ Cψ Cϕ Sθ Sϕ Cθ Sψ + Cϕ Cψ Sϕ Sθ Sθ Sψ Cθ (15) 52
Matriz de Rotación de Ángulos de Euler La matriz de rotación de ángulos de euler anterior R ϕ,θ,ψ se puede también especificar en términos de las rotaciones respecto de los ejes principales del sistema de coordenadas de referencia: una rotación de ángulo ψ respecto del eje Z, seguida por una rotación de ángulo θ respecto del eje Y y finalmente una rotación de ángulo ϕ con respecto del eje Z. 1. Una rotación de ángulo ψ respecto del eje Z (R z,ψ ). 2. Una rotación de ángulo θ respecto del eje Y (R y,θ ). 3. Finalmente, una rotación de ángulo ϕ respecto del eje Z (R z,ϕ ). 53
Sistema III: Matriz de Rotación de elevación, desviación y giro La tercera representación de Ángulos de Euler para la rotación es llamada elevación, desviación y giro (roll, pitch, yaw)(rpy).esta se utiliza principalmente en ingeniería aeronáutica en el análisis de vehículos espaciales y corresponde a la siguiente secuencia de rotaciones: 1. Una rotación de ángulo ψ respecto del eje X (R x, ψ )-desviación. 2. Una rotación de ángulo θ respecto del eje Y (R y,θ )-elevación. 3. Finalmente, una rotación de ángulo ϕ respecto del eje Z (R z, ϕ )-giro. 54
Sistema III: Matriz de Rotación de elevación, desviación y giro Cϕ Sϕ Cθ Sθ 1 R ϕ,θ,ψ = R z,ϕ R Cϕ y,θ R x,ψ = 1 1 Sθ Sϕ Cψ Sψ = Cθ Sψ Cψ Cϕ Cθ Cψ Sϕ Sψ Cϕ Cθ Sψ Sϕ Cψ Cϕ Sθ = Sϕ Cθ Cψ + Cϕ Sψ Sθ Cψ Sϕ Cθ Sψ + Cϕ Cψ Sθ Sψ Sϕ Sθ Cθ (16) 55
Interpretación geométrica de las matriz de rotación básicas Dado un sistema de referencia XYZ y una matriz de rotación, los vectores columna de la matriz de rotación representan los ejes principales del sistema del sistema de coordenadas UVW con respecto al sistema de referencia y se puede deducir la localización de todos los ejes principales del sistema de coordenadas UVW con respecto al sistema de referencia. En otras palabras, una matriz de rotación geométricamente representa los ejes principales del sistema de coordenadas rotado con respecto al sistema de coordenadas de referencia. 56
Coordenadas homogéneas y matriz de transformación Como una matriz de rotación 3 3 no nos da ninguna posibilidad para la traslación y el escalado, se introduce una cuarta coordenada o componente al vector de posición p = (p x, p y, p z ) T en un espacio tridimensional que lo transforma en ^p = (wp x, wp y, wp z, w) T. Decimos que el vector de posición ^p se expresa en coordenadas homogéneas. El concepto de una representación en coordenadas homogéneas en un espacio tridimensional es útil para desarrollar transformaciones matriciales que incluyan, rotación, traslación, escalado y transformación de perspectiva. En general, la representación de un vector de posición de N componentes por un vector de (N+1) componentes se llama representación en coordenadas homogéneas. 57
En un espacio tridimensional, un vector de posición p = (p x, p y, p z ) T se representa por un vector ampliado (wp x, wp y, wp z, w) T en la representación de coordenadas homogéneas. Las coordenadas físicas se relacionan a las coordenadas homogéneas como sigue: p x = w wp x py = w wp y pz = w wp z (17) No existe una representación en coordenadas homogéneas únicas para una representación en un espacio tridimensional. Por ejemplo ^p 1 = (w 1 p x, w 1 p y, w 1 p z, w 1 ) T y p^ 2 = (w 2 p x, w 2 p y, w 2 p z, w 2 ) T son todas coordenadas homogéneas representando el mismo vector de posición p = (p x, p y, p z ) T. Así se puede ver a la cuarta componente de las coordenadas homogéneas w como un factor de escala. 58
Matriz de Transformación Homogénea La matriz de transformación homogénea es una matriz de 4 4 que transforma un vector de posición expresado en coordenadas homogéneas desde un sistema de coordenadas hasta otro sistema de coordenadas. Se puede considerar que consiste en cuatro submatrices: T = R 3 3 P 3 1 Matriz de f 1 3 1 1 = rotación Transformación de perspectiva vector de posición escalado Esta matriz se puede utilizar para explicar la relación geométrica entre el sistema ligado al cuerpo UVW y el sistema de coordenadas de referencia XYZ. 59
Matrices de Rotación Homogéneas Básicas Si un vector de posición p = (p x, p y, p z ) T en un espacio tridimensional se expresa en coordenadas homogéneas, es decir, (p x, p y, p z, 1) T entonces, utilizando el concepto de matriz de transformación, una matriz de rotación 3 3 se puede ampliar a una matriz de rotación homogénea 4 4 para operaciones de rotación pura, así de esta manera se representan las matrices de rotación homogéneas: 6
Matrices de Rotación Homogéneas Básicas T x,α = 1 cos α sen α -sen α cos α 1 T y,ϕ = (18) cos ϕ 1 cos ϕ 1 -sen ϕ sen ϕ (19) cos θ -sen θ sen θ cos θ T z,θ = 1 1 (2) 61
La submatriz superior derecha 3 1 de la matriz de transformación homogénea tiene el efecto de trasladar el sistema de coordenadas UVW que tiene ejes paralelos al sistema de coordenadas de referencia XYZ, pero cuyo origen esta en (dx, dy, dz) del sistema de coordenadas de referencia. T trans = 1 dx 1 dy (21) 1 dz 1 Esta matriz de transformación T trans de 4 4 se llama matriz de traslación homogénea básica 62
La submatriz inferior izquierda 1 3 de la matriz de transformación homogénea representa la transformación de perspectiva, que es útil para visión por computadora y la calibración de modelos de cámara. Por ahora los elementos de esta matriz se fijan a cero para indicar la transformación de perspectiva nula. T trans = 1 dx 1 dy 1 dz 1 (22) 63
Los elementos de la diagonal principal de una matriz de transformación homogénea producen escalado local y global. Los primeros tres elementos diagonales producen un alargamiento o escalado local, como en a b c 1 x y z 1 = ax by cz 1 (23) Así, los valores de las coordenadas se alargan mediante los escalares a, b y c, respectivamente. Observa que las matrices de rotación básicas no producen ningún efecto de escalado local. 64
El cuarto elemento diagonal produce escalado global como en 1 1 1 s x y z 1 = x y z s (24) donde s >. Las coordenadas cartesianas físicas del vector son p x = s x p y = s y p z = s z w = s s = 1 (25) Por tanto, el cuarto elemento diagonal en la matriz de transformación homogénea tiene el efecto de globalmente reducir las coordenadas si s > 1 y de alargar las coordenadas si < s < 1. 65
En resumen una matriz de transformación homogénea 4 4 transforma un vector expresado en coordenadas homogéneas con respecto al sistema de coordenadas UVW en el sistema de coordenadas de referencia XYZ. Esto es con w = 1, p^ xyz = Tp^ uvw (26) n x s x a x p x T = n y s y a y p y n z s z a z p = n s a p z 1 1 (27) 66
Como la inversa de una submatriz de rotación es equivalente a su transpuesta, los vectores fila de una submatriz rotacional representan los ejes principales del sistema de coordenadas de referencia con respectos al sistema de coordenadas UVW. Sin embargo, la inversa de una matriz de transformación homogénea no es equivalente a su transpuesta. La posición del origen en el sistema de coordenadas UVW se puede deducir solamente después de que determine la inversa de la matriz de transformación homogénea. En general, la inversa de una matriz de transformación homogénea se puede encontrar que es T -1 = n x n y n z -n T p s x s y s z -s T p a x a y a z -a T p 1 = R T 3 3 -n T p -s T p -a T p 1 67 (28)
Matriz de transformación homogéneas compuesta Las matrices de rotación y traslado homogéneas se pueden multiplicar juntas para obtener una matriz homogénea compuesta. Sin embargo, como la multiplicación de matrices no es conmutativa, se debe tener cuidado al orden en el cual se multiplican estas matrices. Las reglas que siguen son las siguientes: 1. Inicialmente, ambos sistemas de coordenadas son coincidentes, ya que la matriz de transformación homogénea es una matriz identidad 4 4, I 4. 2. Si el sistema de coordenadas rotante UVW está rotando/trasladándose respecto de los ejes principales del sistema XYZ, entonces premultiplicar la matriz de transformación homogénea previa (resultante) por una matriz de translación/rotación básica apropiada. 3. Si el sistema de coordenadas UVW está rotando/trasladándose respecto de su propio eje principal, entonces posmultiplicar la matriz de transformación homogénea (resultante) por una matriz de translación/rotación básica apropiada. 68
Ejemplo 8. Dos puntos P uvw = (4, 3, 2) T y Q uvw = (6, 2, 4) T se trasladan a una distancia de +5 unidades a lo largo del eje X y -3 unidades a lo largo del eje Z. Utilizando la matriz de transformación homogéneas apropiada, determinar los nuevos puntos P xyz y Q xyz. ^ ^ Solución: P xyz = TP uvw ^ P xyz = 1 5 1 1-3 1 4 4(1) + 1(5) 3 3(1) + 1() 2 = = 2(1) + 1(-3) 1 1(1) 9 3-1 1 ^ P xyz = 1 5 1 1-3 1 6 2 4 = 1 11 2 1 1 69
Por ejemplo se quiere determinar una matriz T que representa una rotación de ángulos α respecto del eje X, seguida por una traslación de b unidades a lo largo del eje girado V. Solución: T = T x,α T v,b = 1 1 cos α -sen α 1 b sen α cos α 1 1 1 = = 1 cos α -sen α sen α cos α 1 b cos α b sen α 7
Ejemplo 9. Encontrar una matriz de transformación homogénea T que representa una rotación de 45º respecto del eje X, seguida por una traslación de 4 unidades a lo largo del eje X, seguida por una traslación de 6 unidades a lo largo del eje Z, seguida por una rotación de 55º respecto del eje Z. Solución: T = T z,55º T z,6 T x,4 T x,45º Cos 55º -sen 55º sen 55º Cos 55º = 1 sen 55º 1 1 1 1 6 1 1 4 1 1 Cos 45º -sen 45º Sen 45º Cos 45º 1 1 1 = cos 55º Sen 55º -cos 45º sen55º cos 45º cos55º Sen 45º sen 45º sen 55º -sen 45º cos 55º Cos 45º 4 cos 55º 4 sen 55º 6 1 71
T =.5736.8192 -.5792.5792 2.2943.456 -.456 3.2766.771.771 6. 1 72
En resumen Hemos identificado dos sistemas de coordenadas, el sistema de coordenadas de referencia fijo XYZ y el sistema de coordenadas ligado al cuerpo o móvil (traslación y rotación) UVW. Para describir la relación del desplazamiento espacial entre estos dos sistemas de coordenadas, se utiliza una matriz de transformación homogénea 4 4, estas tienen el efecto combinado de rotación, traslación, perspectiva y escalado global cuando operan sobre vectores de posición expresados en coordenadas homogéneas. 73
Si estos dos sistemas de coordenadas se asignan a cada elemento del brazo del robot, por ejemplo, el elemento i 1 y el elemento i, respectivamente, entonces el sistema de coordenadas del elemento i 1 es el sistema de coordenadas de referencia y el sistema de coordenadas del elemento i es el sistema de coordenadas móvil o ligado al cuerpo cuando se activa la articulación i. Utilizando la matriz T podemos especificar un punto P i en reposo en el elemento i y expresado en el sistema de coordenadas del elemento i (o UVW) en términos del sistema de coordenadas del elemento i-1 (o XYZ) como p i-1 = Tp i (29) 74
Elementos, articulaciones y sus parámetros Un manipulador mecánico consiste en una secuencia de cuerpos rígidos, llamados elementos, conectados mediante articulaciones prismáticas o de revolución. Cada par articulación-elemento constituye un grado de libertad. 75
De aquí que para un manipulador con grados de libertad hay N pares articulación-elemento con el enlace (no considerado parte del robot) unido a una base soporte donde se suele establecer un sistema de coordenadas inercial, y el último elemento está unido a la herramienta. 76
Las articulaciones y elementos se enumeran hacía afuera desde la base; así la articulación 1 es el punto de conexión entre el elemento 1 y la base soporte. Cada elemento se conecta a lo más, a otros dos, así pues no se forman lazos cerrados. 77
En general, dos elementos se conectan mediante un tipo de articulación que tiene dos superficies deslizantes, una sobre la otra, mientras permanecen en contacto. Únicamente son posibles seis tipos de articulaciones: de revolución (giratoria), prismática (deslizante), cilíndrica, esférica, de tornillo y planar. De estas únicamente la giratoria y prismática son comunes en los manipuladores. 78
Un eje de articulación se establece (para la articulación i) en la conexión de dos elementos. Este eje de articulación tendrá dos normales conectadas a él, una para cada uno de los elementos. La posición relativa de tales elementos conectados (elemento i-1 y elemento i) viene dada por d i, que es la distancia medida a largo del eje de la articulación entre las normales. 79
El ángulo de la articulación θ i entre las normales se mide en un plano normal al eje de la articulación. De aquí que d i y θ i se puedan llamar la distancia y el ángulo entre los elementos adyacentes, respectivamente. Determinan la posición relativa de los elementos vecinos. 8
Un elemento i(i=1, 6) se conecta a lo más a otros dos elementos (por ejemplo, el elemento i-1 y el elemento i+1), así se establecen dos ejes de articulación en ambos extremos de la conexión. El significado de los elementos desde una perspectiva cinemática, es que mantienen una configuración fija entre sus articulaciones, que se pueden caracterizar por dos parámetros: a i y α i. El parámetros a i es la distancia más corta medida a lo largo de la normal común entre los ejes de la articulación (es decir, los ejes z i-1 y z i para las articulaciones y i e i+1, respectivamente), 81
y α i es el ángulo entre los ejes de articulación medidos en un plano perpendicular a a i. Así, a i y α i se pueden llamar la longitud y el ángulo de torsión del elemento i, respectivamente. Determinan la estructura del elemento i. 82
En resumen, se asocian cuatro parámetros, a i, α i, d i y θ i, con cada elemento de un manipulador. Si se ha establecido un convenio de signo para cada uno de estos parámetros, entonces constituyen un conjunto suficiente para determinar completamente la configuración cinemática de cada elemento del brazo del robot. Obsérvese que estos cuatro parámetros van apareados: los parámetros del elemento (a i, α i ) que determinan la estructura del elemento y los parámetros de la articulación (d i, θ i) que determinan la posición relativa de los elementos vecinos. 83
La representación de Denavit-Hartenberg Para describir la relación traslacional y rotacional entre elementos adyacentes, Denavit y Hartenberg [1955] propusieron un método matricial de establecer de forma sistemática un sistema de coordenadas (sistema ligado al cuerpo) para cada elemento de una cadena articulada. La representación de Denavit-Hartenberg (D-H) resulta en una matriz de transformación homogénea 4 4, que representa cada uno de los sistemas de coordenadas de los elementos en la articulación con respecto al sistema de coordenadas del elemento previo. 84
Así, mediante transformaciones secuenciales, el efector final expresado en las <<coordenadas de la mano>> se puede transformar y expresar en las <<coordenadas de base>> que constituyen el sistema inercial de este sistema dinámico. 85
Se puede establecer para cada elemento en sus ejes de articulación un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal (x i, y i, z i ), donde i = 1, 2,,n (n = numero de grados de libertad), mas el sistema de coordenadas de la base. Como una articulación giratoria tiene solamente un grado de libertad, cada sistema de coordenadas (x i, y i, z i ) del brazo de un robot corresponde a la articulación i+1 y está fija en el elemento i. 86
Cuando el actuador de la articulación activa la articulación i, el elemento i se moverá con respecto al elemento i-1. Como el sistema de coordenadas i-ésimo está fijo en el elemento i, se mueve junto con el elemento i. Así pues el sistema de coordenadas n-ésimo se mueve con la mano (elemento n). 87
Las coordenadas de la base se definen como el sistema de coordenadas número (x, y, z ), que también se le conoce como sistema de coordenadas inercial del brazo. Así, para un brazo como el PUMA de seis ejes, tenemos siete sistemas de coordenadas, que representamos con (x, y, z ), (x 1, y 1, z 1 ),, (x 6, y 6, z 6 ). 88
Cada sistema de coordenadas se determina y establece sobre la base de tres reglas: 1. El eje z i-1 yace a lo largo del eje de la articulación. 2. El eje x i es normal al eje z i-1 y apunta hacía afuera de él. 3. El eje y i completa el sistema de coordenadas dextrógiro según se requiera. 89
Mediante estas reglas, uno es libre de escoger la localización del sistema de coordenadas en cualquier parte de la base soporte, mientras que el eje z esté a lo largo del eje de movimiento de la primera articulación. Y el último sistema de coordenadas (n-énesimo) se puede colocar en cualquier parte de la mano, mientras que el eje x n sea normal al eje z n-1. 9
La representación de D-H de un elemento rígido depende de cuatro parámetros geométricos asociados con cada elemento. Estos cuatro parámetros describen completamente cualquier articulación prismática o de revolución. Refiriéndonos a la siguiente figura, estos cuatro parámetros se definen como θ i, d i, a i y α i en la siguiente figura: 91
Para una articulación giratoria d i, a i y α i son los parámetros de articulación y permanecen constantes para un robot, mientras que θ i es la variable articulación que cambia cuando el elemento i se mueve (o gira) con respecto al elemento i-1. Para una articulación prismática θ i, a i y α i son los parámetros de la articulación y permanecen constantes para un robot, mientras que d i es la variable de la articulación. Para el resto de las presentaciones, la variable de articulación se refiere a θ i (o d i ), esto es, la cantidad que varía, y los parámetros de articulación se refieren a los restantes tres valores geométricos constantes (d i, a i, α i ) para una articulación giratoria o (θ i, a i, α i ) para una articulación prismática. 92
Con las tres reglas básicas anteriores para establecer un sistema de coordenadas ortonormal en cada elemento y la interpretación geométrica de los parámetros de la articulación y del elemento, se presenta en el siguiente algoritmo un procedimiento para establecer un sistema de coordenadas ortonormal consistente para un robot. Ejemplos de aplicación de este algoritmo se dan a un robot tipo PUMA de seis GDL y un Stanford como se ve en las siguientes figuras: Robot PUMA de seis grados de libertad Stanford de seis grados de libertad 93
Algoritmo 2.1: Asignación del sistema de coordenadas de los elementos. Dado un brazo con n grados de libertad, este algoritmo asigna un sistema de coordenadas ortonormal a cada elemento del brazo de acuerdo a configuraciones de brazos similares a aquellas de la geometría del brazo humano. El etiquetado del sistema de coordenadas comienza de la base soporte hasta el efector final del brazo. Las relaciones entre los elementos adyacentes se pueden presentar mediante una matriz de transformación homogénea 4 4. La importancia de esta asignación es que ayudará al desarrollo de un procedimiento consistente para derivar la solución de la articulación tal como se presentará más adelante. (Obsérvese que la asignación de los sistemas de coordenadas no es única). 94
D1. Establecer el sistema de coordenadas de la base. Establecer un sistema de coordenadas ortonormal (x, y, z ) en la base soporte con el eje z estando a lo largo del eje de movimiento de la articulación 1 y apuntando hacía afuera del hombro del brazo del robot. Los ejes x y y se pueden establecer convenientemente y son normales al eje z. Sistema de coordenadas de la base 95
D2. Inicializar y repetir. Para cada i, i = 1,,n-1, realizar los pasos D3 a D6. D3. Establecer los ejes de la articulación. Alinear el z i con el eje de movimiento (giratorio o deslizante) de la articulación i+1. 96
D4. Establecer el origen del sistema de coordenadas i-ésimo. Localizar el origen del sistema de coordenadas i-ésimo en la intersección de los ejes z i y z i-1. 97
D5. Establecer el eje x i. Establecer x i a lo largo de la normal común entre los ejes z i-1 y z i cuando son paralelos. 98
D6. Establecer el eje y i. Asignar y i para completar el sistema de coordenadas dextrógiro. (Extender si es necesario los ejes z i y x i a los pasos D9 a D12). 99
D7. Establecer el sistema de coordenadas de la mano. Normalmente la articulación n-ésima es de tipo giratorio. Establecer z n a los largo de la dirección del eje z n-1 y apuntando hacía afuera del robot. Establecer x n tal que sea normal a ambos ejes z n-1 y z n. Asignar y n para completar el sistema de coordenadas dextrógiro. 1
D8. Encontrar los parámetros de la articulación y del elemento. Para i, i = 1,,n, realizar los pasos D9 a D12. D9. Encontrar d i. d i es la distancia del origen del sistema de coordenadas (i-1)-ésimo a la intersección del eje z i-1 y el eje x i a lo largo del eje z i-1. Es la variable de la articulación si i es prismática. 11
D1. Encontrar a i. a i es la distancia de intersección del eje z i-1 y el eje x i al origen del sistema de coordenadas i-ésimo a lo largo del eje x i. 12
D11. Encontrar θ i. θ i es el ángulo de rotación desde el eje x i-1 hasta el eje x i respecto del eje z i-1. Es la variable de articulación si i es giratoria. 13
D12. Encontrar α i. α i es el ángulo de rotación desde el eje z i-1 hasta el eje z i respecto del eje x i. 14
Una vez establecido el sistema de coordenadas D-H para cada elemento, se puede desarrollar fácilmente una matriz de transformación homogénea que relacione el sistema de coordenadas i-ésimo con el sistema de coordenadas (i-1)-ésimo. Un punto r i expresado en el sistema de coordenadas i-ésimo se puede expresar en el sistema de coordenadas (i-1)-ésimo como r i-1 realizando las siguientes transformaciones sucesivas. 1. Trasladar a lo largo del eje z i-1 una distancia de d i para llevar en coincidencia los ejes x i-1 y x i. 2. Girar respecto del eje z i-1 un ángulo de θ i para alinear el eje x i-1 con el eje x i (el eje x i-1 es paralelo a x i y apunta en la misma dirección). 3. Trasladar a lo largo del eje x i una distancia de a i para traer en coincidencia también los dos orígenes de los ejes x. 4. Girar respecto del eje x i un ángulo α i para traer en coincidencia a los sistemas de coordenadas. 15
Cada una de estas cuatro operaciones se puede expresar mediante una matriz rotación/traslación homogénea básica y el producto de estas cuatro matrices de transformación homogéneas básicas da una matriz de transformación homogénea compuesta i-1 A i, conocida como la matriz de transformación D-H para sistemas de coordenadas adyacentes i e i-1. Así, i-1 A i = T z,d T z,θ T x,a T x,α = = 1 Cos θ i -sen θ i 1 a i sen θ 1 i Cos θ i 1 1 d i 1 1 1 1 1 1 Cos α i Sen α i -sen α i Cos α i 1 16
Matriz de transformación D-H para una articulación de tipo giratoria i-1 A i = cos θ i sen θ i -cos α i sen θ i cos α i cos θ i sen α i sen θ i -sen α i cos θ i sen α i cos α i d i a i cos θ i a i sen θ i 1 (3) Donde α i, a i, d i son constantes mientras que θ i es la variable de la articulación para una articulación tipo giratoria. 17
Utilizando la ecuación (28) se puede encontrar la inversa de esa transformación como [ i-1 A i ] -1 = cos θ i -cos α i sen θ i sen α i sen θ i sen θ i cos α i cos θ i -sen α i cos θ i 1 -a i sen α i -d i sen α i cos α i -d i cos α i (31) Donde [ i-1 A i ] -1 = i A i-1 (32) 18
Para una articulación prismática, la variable articulación es d i, mientras que α i, a i y θ i son contantes. En este caso, i-1 A i se hace i-1 A i = T z,θ T z,d T x,α = i-1 A i = -sen θ i Cos θ i 1 Cos θ i sen θ i 1 1 1 1 d i 1 1 Cos α i -sen α i Sen α i Cos α i 1 19
Matriz de transformación D-H para una articulación de tipo prismática i-1 A i = -cos α i sen θ i sen α i sen θ i cos α i cos θ i -sen α i cos θ i sen α i cos α i d i 1 cos θ i sen θ i (33) 11
Y su inversa es [ i-1 A i ] -1 = i A i-1 (34) [ i-1 A i ] -1 = cos θ sen θ i i -cos α i sen θ i cos α i cos θ i sen α i -d i sen α i sen α i sen θ i -sen α i cos θ i cos α i -d i cos α i i i i i i i i 1 (35) 111
Utilizando la matriz i-1 A i se puede relacionar un punto p i en reposo en el elemento i y expresado en coordenadas homogéneas con respecto al sistema de coordenadas i en el sistema de coordenadas i-1 establecido en el elemento i-1 por p i-1 = i-1 A i p i (36) Donde p i-1 = (x i-1, y i-1, z i-1 ) T y p i = (x i, y i, z i ) T. 112
Las seis matrices de transformación i-1 A i para el robot PUMA 56 de seis ejes han sido determinadas sobre la base del sistema de coordenadas establecido en la siguiente figura. 113
Parámetros de coordenadas de los elementos de un Robot PUMA 56 Articulación i θ i α i a i d i Rango de la articulación 1 9-9 -16 a +16 2 431.8 mm 149.9 mm -225 a +45 3 9 9-2.32 mm -45 a +225 4-9 433.7 mm -11 a +17 5 9-1 a +1 6 56.25 mm -266 a +266 Tabla 1. Parámetros de coordenadas de los elementos de un Robot PUMA 56 114
Obtener A 1 PUMA 56 i-1 A i = de la ecuación (3) para la articulación del Robot cos θ i sen θ i -cos α i sen θ i cos α i cos θ i sen α i sen θ i -sen α i cos θ i sen α i cos α i d i a i cos θ i a i sen θ i 1 Articulación i θ i α i a i d i 1? -9 A 1 = cos θ i sen θ i -cos (-9)sen θ i cos (-9)cos θ i sen (-9)sen θ i -sen (-9)cos θ i sen (-9) cos (-9) ()cos θ i ()sen θ i 1 115
A 1 = cos θ i sen θ i ()sen θ i ()cos θ i (-1)sen θ i (1)cos θ i ()cos θ i ()sen θ i -1 1 A 1 = Cos(θ 1 ) -1 1 Cos(θ 1 ) -Sen(θ 1 ) Sen(θ 1 ) 116
Matrices de transformación D-H i-1 A i para el robot PUMA 56 A 1 = -1 1 C 1 -S 1 S 1 C 1 1 A 2 = C 2 -S 2 S 2 C 2 a 2 C 2 a 2 S 2 1 d 2 1 (37) (38) 2 A 3 = a 3 C 3 -C 3 a 3 S 3 3 1 A 4 = 1 C 3 S 3 S 3 C 4 -S 4 S 4 C 4-1 1 d 4 (39) (4) 4 A 5 = C 5 S 5 S 5 -C 5 1 1 5 A 6 = -S 6 C 6 1 d 6 1 C 6 S 6 (41) (42) donde C i = cosθ i ; S i = senθ i ; 117
Se pueden multiplicar las primeras tres matrices para obtener T1 T 1 = A 1 1 A 2 2 A 3 = C 1 C 23 S 1 C 23 -S 1 C 1 C 1 S 23 S 1 S 23 -S 23 C 23 1 a 2 C 1 C 2 + a 3 C 1 C 23 d 2 S 1 a 2 S 1 C 2 + a 3 S 1 C 23 + d 2 C 1 a 2 S 2 a 3 S 23 (43) Después multiplicar las últimas tres matrices para obtener T2 T 2 = 3 A 4 4 A 5 5 A 6 = C 4 C 5 C 6 S 4 S 6 C 4 C 5 S 6 S 4 C 6 S 4 C 5 C 6 + C 4 S 6 S 4 C 5 S 6 + C 4 C 6 S 5 C 6 S 5 C 6 C 4 S 5 S 4 S 5 C 5 d 6 C 4 S 5 d 6 S 4 S 5 d 6 C 5 + d 4 1 (44) donde C i = cosθ i ; S i = senθ i ; C ij = cos(θ i +θ j ); S ij = sen(θ i +θ j ) 118
Ecuaciones cinemáticas para los manipuladores La matriz homogénea T i que especifica la localización del sistema de coordenadas i-ésimo con respecto al sistema de coordenadas de la base es el producto en cadena de matrices de transformación de coordenadas sucesivas i-1 A i y se expresa como T i = A 1 1 A 2 2 A 3 i-1 A i para i = 1, 2,, n donde: R i p i T = R i p i 1 = Matriz de orientación del sistema de coordenadas i-ésimo establecido en el elemento i con respecto al sistema de coordenadas de la base. Vector de posición que apunta desde el origen del sistema de coordenadas de la base hasta el origen del 119 sistema coordenadas i-ésimo. = (45)
Específicamente, para i = 6, obtenemos la matriz T, T = T 6, que especifica la posición y orientación del punto final del manipulador con respecto al sistema de coordenadas de la base. Esta matriz T se utiliza tan frecuente en la cinemática del brazo del robot que se llama matriz del brazo. Y tiene la siguiente forma: x 6 y 6 z 6 p 6 R = 6 p T 6 1 = 1 = n s a p 1 T = n x s x a x p x n y s y a y p y n z s z a z p z 1 (46) 12
La matriz del brazo T para un robot de la serie PUMA 56 que se muestra en la figura de la diapositiva 113 se obtiene multiplicando T 1 por T 2 de las ecuaciones (43) y (44) o bien realizando la multiplicación en cadena de las ecuaciones (37) a la (42) T = A 6. Tal como se muestra a continuación. T = T 1 T 2 = A 6 = A 1 1 A 2 2 A 3 3 A 4 4 A 5 5 A 6 = n x s x a x p x n y s y a y p y n z s z a z 1 p z (47) 121
T = T 1 T 2 = A 1 1 A 2 2 A 3 3 A 4 4 A 5 5 A 6 = Donde n x s x a x p x n y s y a y p y n z s z a z p z 1 n = vector normal de la mano. Suponiendo una mano del tipo mordaza paralela que es ortogonal a los dedos del brazo del robot. s = vector de deslizamiento de la mano. Está apuntando en dirección del movimiento de los dedos cuando la pinza se abre y se cierra. a = vector de aproximación de la mano. Esta apuntando en la dirección normal a la palma de la mano. p = vector de posición de la mano. Apunta desde el origen del sistema de coordenadas de la base hasta el origen del sistema de coordenadas de la mano, que se suele localizar en el punto central de los dedos totalmente cerrados. 122
Sistema de coordenadas de la mano [n, s, a]. 123
Matriz T para determinar la cinemática directa de un robot de la serie PUMA 56 T = A 6 = n x s x a x n y s y a y n z s z a z 1 donde: n x = C 1 [C 23 (C 4 C 5 C 6 S 4 S 6 ) S 23 S 5 C 6 ] S 1 (S 4 C 5 C 6 + C 4 S 6 ) n y = S 1 [C 23 (C 4 C 5 C 6 S 4 S 6 ) S S 5 C 6 ] + C 1 (S 4 C 5 C 6 + C 4 S 6 ) n z = - S 23[C 4C 5C 6 S 4S 6] C 23S 5C 6 s x = C 1 [- C 23 (C 4 C 5 S 6 + S 4 C 6 ) + S 23 S 5 S 6 ] S 1 (- S 4 C 5 S 6 + C 4 C 6 ) s y = S 1 [- C 23 (C 4 C 5 S 6 + S 4 C 6 ) + S 23 S 5 S 6 ] + C 1 (- S 4 C 5 S 6 + C 4 C 6 ) s z = S 23 (C 4 C 5 S 6 + S 4 C 6 ) + C 23 S 5 S 6 a x = C 1 (C 23 C 4 S 5 + S 23 C 5 ) - S 1 S 4 S 5 a y = S 1 (C 23 C 4 S 5 + S 23 C 5 ) + C 1 S 4 S 5 a z = - S 23 C 4 S 5 + C 23 C 5 p x = C 1 [d 6 (C 23 C 4 S 5 + S 23 C 5 ) + S 23 d 4 + a 3 C 23 + a 2 C 2 ] S 1 (d 6 S 4 S 5 + d 2 ) p y = S 1 [d 6 (C 23 C 4 S 5 +S 23 C 5 ) + S 23 d 4 + a 3 C 23 + a 2 C 2 ] + C 1 (d 6 S 4 S 5 + d 2 ) p z = d 6 (C 23 C 5 S 23 C 4 S 5 ) + C 23 d 4 a 3 S 23 a 2 S 2 p x p y p z (51.3) (48.1) (48.2) (48.3) (49.1) (49.2) (49.3) (5.1) (5.2) (5.3) (51.1) (51.2) 124
Si el manipulador se relaciona a un sistema de coordenadas de referencia mediante una transformación B y tiene una herramienta unida a la base de montaje de la última articulación descrita por H, entonces el punto final de la herramienta se puede relacionar con el sistema de coordenadas de referencia multiplicando las matrices B, T 6 y H juntas como ref T herr = B T 6 H (52) donde: H = 6 A herr y B = ref A O bien sumar a d 6 la longitud de la herramienta en las ecuaciones (51.1) a (51.3) anteriores, tal como se muestra en la figura de la diapositiva 123. 125
Como una comprobación para determinar la cinemática directa de un robot PUMA 56, utilice todos los parámetros dados en la Tabla 1 de la diapositiva 114 y calcule la matriz T. T = -1-149.9 1 921.12-1 2.32 1 Parámetros de coordenadas de los elementos de un Robot PUMA 56 Articulación i θ i α i a i d i Rango de la articulación 1 9-9 -16 a +16 2 431.8 mm 149.9 mm -225 a +45 3 9 9-2.32 mm -45 a +225 4-9 433.7 mm -11 a +17 5 9-1 a +1 6 56.25 mm -266 a +266 126
z P xyz (-149.9, 921.12, 2.32) x y 127
Referencia Bibliográfica Libro: Robótica: Control, Detección, Visión e Inteligencia. Autores: K. S. Fu, R. C. González, C. S. G. Lee Editorial: McGraw Hill. 128