SESION 02 1. TASA DE INTERES Desde la perspectiva de un prestatario, el que obtiene un préstamo, la tasa de interés que tiene que pagar se define como: 2. TASA DE RENDIMIENTO Desde la perspectiva de un ahorrador o un inversionista, la tasa de rendimiento o tasa generada que se obtiene por una inversión se define como: 3. PERIODO DE INTERES Es la unidad de tiempo usada para expresar la tasa de interés. El periodo de interés más común para expresar una tasa de interés es de un año. También la tasa de interés a menudo se expresa en periodos de tiempo más cortos que un año tal como periodos mensuales, semestrales, trimestrales, etc. Ejemplo 01: Una compañía petrolera invirtió $ 120 000 y retiro un total de $ 126 000 exactamente un año después. Calcular (a) el interés ganado y (b) la tasa de rendimiento. Solución: a) El Interés será: Interés = Cantidad final Inversión original Interés = 126 000 120 000 = $ 6000 por año b) La tasa de rendimiento será:
TR = 5% anual Ejemplo 02: Una compañía Energética solicita un préstamo de $ 100 000 hoy y paga en un año $ 110 000. Calcular (a) el interés que se paga y (b) la tasa de interés del préstamo. Solución: a) El Interés será: Interés = Cantidad final Préstamo original Interés = 110 000 100 000 = $ 10 000 por año b) La tasa de interés será: Ejemplo 03: Tasa de interés = 10% anual Una Empresa planea solicitar un préstamo de $ 20 000 a un año, al 15% de interés. Calcular (a) el interés y (b) la cantidad total a pagar al cabo de un año. Solución: a) El Interés será: Interés = 20 000 x 15% = $ 3 000 b) La cantidad total a pagar al cabo de un año es la suma del monto prestado más los intereses. Total a pagar = 20 000 + 3000 = $ 23 000
4. EQUIVALENCIA El termino equivalencia se utiliza muy a menudo para pasar de una escala a otra o para cambiar valores de un sistema de unidades a otro. Se presenta a continuación algunas equivalencias comunes o conversiones: Longitud: Presión: 100 cm = 1m; 1000 m = 1 Km; 12 pulg = 1 pie. 1 atm = 14.696 psi = 760 mm Hg. = 101.325 KPa En ingeniería Económica el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizada conjuntamente generan el concepto de equivalencia. Esto significa que diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor económico. Ejemplo 04: Si la tasa de interés es de 12% por año. $ 100 hoy puede ser equivalentes a $ 112 un año después, ya que: Cantidad acumulada = Original + (Original)(tasa de interés) Cantidad acumulada = Original (1 + tasa de interés) Cantidad acumulada = 100 + 100 x 0.12 = 100 (1+ 0.12) = $ 112 Así, si alguien le ofrece darle $ 100 hoy o $ 112 un año después, no habría diferencia en la oferta, ya que en ambos casos se tendrían los $ 112 dentro de un año. Las dos cantidades de dinero son equivalentes si las tasas de interés para cada uno son iguales. Si las tasas de interés son diferentes, hace que $100 hoy no sea equivalente a $112 dentro de un año. También se puede determinar equivalencias previas. Así, $ 100 pueden ser equivalencias a un a año anterior: (Un a año anterior)
Tabla 1: Equivalencia del dinero al 12% anual Un año atrás Hoy Dentro de un después $ 89.29 $ 100 $ 112 i = 12 % i = 12 % i = 12 % La equivalencia de estas cantidades se verifica calculando las tasas de interés en dada periodo: i (un año atrás) = i (hoy) = i (dentro de un año) = 12 %. 5. INTERES SIMPLE Se calcula usando el capital (principal) solamente, ignorando cualquier interés que podría haberse generado con los intereses. El interés simple total durante varios periodos se calcula de la siguiente manera: Ejemplo 05: Una persona solicita un préstamo de $ 1000 por tres años al 14 % anual de interés simple. Cuánto dinero pagara en tres años? Solución: El interés para cada uno de los tres años es: Interés anual = 1000 x 0.14 = $ 140 El interés total de los tres años es: Interés total = 1000 x 3 x 0.14 = $ 420 El monto adeudado después de tres años es: Monto adeudado = 1000 + 420 = $ 1420
En detalle: Interés del primer año = 1000 x 0.14 = $ 140 Deuda total después del primer año = 1000 + 140 = $ 1140 Interés del segundo año = 1000 x 0.14 = $ 140 Deuda total después del segundo año = 1140 + 140 = $ 1280 Interés del tercer año = 1000 x 0.14 = $ 140 Deuda total después del tercer año = 1280 + 140 = $ 1420 Los $ 140 de interés del primer año así como los del segundo y tercer año NO GENERAN INTERESES. El interés adeudado fue calculado solamente sobre el principal (capital). También: El crecimiento económico es lineal
6. INTERES COMPUESTO Se calcula usando el capital y toma en cuenta el interés sobre el capital y el interés sobre el interés. Es decir el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto significa interés sobre el interés. Esto refleja el valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo cualquiera se calcula de la siguiente manera: Ejemplo 06: Si una persona solicita un préstamo de $ 1000 por tres años al 14 % anual de interés compuesto. Cuánto dinero pagara en tres años? Solución: Interés del primer año = 1000 x 0.14 = $ 140 Deuda total después del primer año = 1000 + 140 = $ 1140 Interés del segundo año = 1140 x 0.14 = $ 159.60 Deuda total después del segundo año = 1140 + 159.60 = $ 1299.60 Interés del tercer año = 1299.60 x 0.14 = $ 181.94 Deuda total después del tercer año = 1299.60 + 181.94 = $ 1481.54
El plan de pagos es el mismo que el ejemplo de interés simple, es decir se paga al final del año 3. El valor del dinero en el tiempo es especialmente reconocido en el interés compuesto. SE OBSERVA EL INTERÉS SOBRE EL INTERÉS. Los cálculos con interés compuesto, los $ 1000 originales pueden acumular un dinero extra con respecto a los cálculos con interés simple: $ 1481.54 1420.00 = $ 61.54 También para interés compuesto: El crecimiento económico es geométrico.
7. TERMINOLOGIA Y SIMBOLOS Las ecuaciones y procedimientos de la ingeniería económica emplean los siguientes términos y símbolos: P = F = A = n = i = t = Valor o cantidad de dinero en un tiempo denominado presente, expresado en Nuevos Soles, dólares, etc. Ocurre una vez en el tiempo. Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro, expresado en Nuevos Soles, dólares, etc. Ocurre una vez en el tiempo. Serie de cantidades de dinero consecutivas e iguales, se expresa en Nuevos soles por año, Dólares por año, etc. Ocurre en cada periodo por un número específico de periodos con el mismo valor uniforme. numero de periodos del interés, expresado en años, meses, días, etc. Tasa de interés o tasa de retorno por periodo, se expresa en porcentaje anual, porcentaje mensual, etc. Tiempo expresado en periodos, expresado en años, meses, días, etc. 8. DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA Es una representación grafica de un flujo de caja en una escala de tiempo. El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra los datos que se tienen a la mano y los que deben obtenerse. Una vez dibujado el diagrama de flujo de caja, el observador está en capacidad de resolver el problema. La flecha en cero (0) es considerada el presente y la flecha en uno (1) es el final del periodo uno. La dirección de la flecha en el flujo de caja es importante para la solución del problema. Se considera una flecha hacia arriba cuando se indica un flujo de caja positivo (Ingresos de dinero). Una flecha hacia abajo indica un flujo de caja negativo (Egresos de dinero).
Flujo de Caja: Cada persona o compañía tiene INGRESOS (entradas de dinero, se considera flujo de caja positivo) y EGRESOS (salidas de dinero, se considera flujo de caja negativo) que ocurren particularmente cada lapso de tiempo y se denomina flujos de caja. Flujo de Caja Neto: En cualquier instante de tiempo, el flujo de caja neto podría representarse como: Flujo de caja neto = Ingresos Egresos Fin de Periodo: Un flujo de caja normalmente toma lugar en diferentes intervalos de tiempo dentro de un periodo de interés, un supuesto para simplificar es el que todos los flujos de caja ocurren al final de periodo. Así, cuando varios ingresos y egresos ocurren en un periodo dado, el flujo de caja neto se asume que ocurre al final de cada periodo de interés. Esto significa que el periodo termina cada fin de mes o cada fin de año. Ejemplo 07: Si usted solicita un préstamo de $ 2000 ahora y debe pagar la deuda mas intereses a una tasa de 12% por año en 5 años cuál es la cantidad que debe pagar? Haga una lista de los valores de los símbolos involucrados, luego construya el diagrama de flujo de caja. Ejemplo 08: Si se comienza ahora y se hacen 5 depósitos de $ 1000 por año, en una cuenta que paga el 17% anual, Cuánto dinero se habrá acumulado inmediatamente después de que se haya hecho el depósito? Haga una lista de los valores de los símbolos involucrados, luego construya el diagrama de flujo de caja.
Ejemplo 09: Asuma que se desea depositar una suma de dinero en una cuenta de ahorros dentro de dos años, de manera que le sea posible retirar $ 400 anuales durante 5 años consecutivos, empezando dentro de tres años a partir de este momento. Suponga una tasa de 15% anual. Construya el diagrama de flujo de caja.