V. Grafos
Definiciones y ejemplos. Módulo 5 DEF. Sea V un conjunto finito no vacío, y sea El par (V, E) es llamada entonces grafo dirigido en V, donde V es el conjunto de vértices o nodos y E es su conjunto de arcos dirigidos. Denotamos a dicho grafo como G = (V, E). Si se desconoce la dirección de los arcos tenemos también que G = (V, E). Pero, en este caso, E es un conjunto de pares no ordenados de elementos de V, y a G se le denomina grafo no dirigido.
Módulo 5 Grafo dirigido b e a c V = {a, b, c, d, e} E = {(a,a), (a,b), (a,d), (b,c)} d El arco (b,c) es incidente con los vértices b y c. El nodo b es adyacente a c. El nodo c es adyacente de b. El nodo b es el origen de (b,c). El nodo c es el vértice terminal. El nodo e es un vértice aislado. (a,a) es el ejemplo de un lazo.
DEF. Sean x, y un par de vértices no necesariamente diferentes en el grafo no dirigido G = (V, E). Un camino x-y en G es una secuencia finita alternante libre de lazos: x = x 0, e 1, x 1, e 2, x 2, e 3,, e n-1, x n-1, e n, x n = y de vértices y arcos de G, iniciando en el vértice x y terminando en el vértice y e involucrando los n arcos e ={e 1, e 2,, e 3,, e n-1, e n }. La longitud de este camino es n: el número de arcos en el camino. Si n = 0, no hay arcos, x = y, y tenemos un camino trivial. Cualquier camino x-y donde x = y y n > 1 se llama camino cerrado. De otra manera es un camino abierto. Módulo 5 Si el grafo es no dirigido, el camino x-y es igual al camino y- x.
DEF. Consideremos cualquier camino x-y en un grafo no dirigido G = (V, E). a) Si ningún arco en el camino x-y se repite, entonces el camino es una pista x-y. Una pista cerrada x-x es llamada circuito. b) Si ningún vértice del camino x-y se presenta más de una vez, entonces el camino es llamado via x-y. Si x = y, se emplea el término ciclo para describir dicha via cerrada. Módulo 5
Módulo 5 TEOREMA. Sea G = (V, E) un grafo no dirigido, con Si existe una via en G de a a b, entonces, existe una pista en G de a a b.
Módulo 5 DEF. Sea G = (V, E) un grafo no dirigido. Lo llamamos G conectado si existe una via entre dos vértices distintos de G. Un grafo que no está conectado es llamado grafo desconectado. Un grafo no dirigido G = (V, E) está desconectado si y solo si V puede particionarse en al menos dos subconjunto V 1 y V 2 tal que no existe un arco en E de la forma {x, y} donde Un grafo está conectado si y solo si tiene un solo componente.
Módulo 5 DEF. Para cualquier grafo G = (V, E), el número de componentes de G está denotado por k(g). Ejemplo: k(g) = 1 Grafos conectados k(g) = 2 Grafos desconectados
DEF. Sea V un conjunto finito no vacío. Se dice que el par (V, E) determina un multigrafo G con el conjunto de vértices V y el conjunto de arcos E, si para algunos existen dos o más arcos en E de la forma: a) (x, y) para un multigrafo dirigido. b) {x, y} para un multigrafo no dirigido. En cualquier caso, se escribe G = (V, E) para designar el multigrafo, al igual que con los grafos. Módulo 5
Módulo 5 Subgrafos complementos e isomorfismos. DEF. Si G = (V, E) es un grafo, entonces G 1 = (V 1, E 1 ) es llamado subgrafo si y donde cada arco de E 1 es incidente con dos vértices de V 1. DEF. Dado un grafo dirigido o no dirigido G = (V, E), sea G 1 = (V 1, E 1 ) un subgrafo de G. Si V 1 = V, entonces G 1 es llamado subgrafo confinante de G.
DEF. Sea G = (V, E) un grafo dirigido o no dirigido. Si el subgrafo de G inducido por U es el subgrafo cuyo conjunto de vértices es U y el cual contiene todos los arcos (posibles) de G de la forma: a) (x, y) para si G es dirigido. b) {x, y} para si G es no dirigido. Denotamos a este subgrafo por. Un subgrafo G 1 del grafo G = (V, E) es llamado subgrafo inducido si existe donde Módulo 5
Módulo 5 DEF. Sea v un vértice en un grafo G = (V, E) dirigido o no dirigido. El subgrafo de G denotado G v tiene el conjunto de vértices V 1 = V {v} y el conjunto de arcos donde E 1 contiene todos los arcos de E excepto los que son incidentes en el vértice v. Por lo tanto G v es el subgrafo de G inducido por V 1. Similarmente, sea e un arco del grafo G = (V, E) dirigido o no dirigido. El subgrafo G e = {V 1, E 1 } tiene al conjunto de arcos E 1 = E {e} y el conjunto de vértices no cambia, esto es V 1 = V.
Módulo 5 DEF. Sea V el conjunto de n vértices. El grafo completo en V, denotado K n, es un grafo no dirigido libre de lazos, donde, a b, existe un arco {a, b}. DEF. Sea G un grafo no dirigido libre de lazos con n vértices. El complemento de G, denotado G, es el subgrafo de K n que consiste de los n vértices de G y todos los arcos que no están en G. (Si G = K n, G es un grafo con n vértices y sin arcos. Este grafo es llamado grafo nulo)
Módulo 5 DEF. Sea G 1 = (V 1, E 1 ) y G 2 = (V 2, E 2 ) dos grafos no dirigidos. Una función f: V 1 V 2 es llamada un isomorfismo de grafos si: a) f es uno a uno y es suprayectiva. b) si y solo si Cuando dicha función existe, G 1 y G 2 son llamados grafos isomorfos.
Pistas y circuitos de Euler. Módulo 5 DEF. Sea G un grafo o multigrafo no dirigido. Para cada vértice v de G, el grado de v, deg (v), es el número de arcos en G que son incidentes con v. Aquí un lazo en un vértice v es considerado como dos arcos incidentes en v.
Módulo 5 TEOREMA. Si G = (V, E) es un grafo o multigrafo no dirigido, entonces COROLARIO. Para cualquier grafo o multigrafo no dirigido, el número de vértices de grado impar debe ser par. Un grafo o multigrafo no dirigido donde cada vértice tiene el mismo grado es llamado grafo regular. Si deg(v) = k, el grafo es llamado k-regular.
Módulo 5 DEF. Sea G= (V, E) un grafo o multigrafo no dirigido sin vértices aislados. Entonces G se dice que tiene un circuito de Euler si existe un circuito (no repite arco) en G que pasa por cada arco del grafo exactamente una vez. Si existe una pista abierta (no repite arco) de a a b en G y esta pista pasa por cada arco de G exactamente una vez, la pista se dice que es una pista de Euler.
Módulo 5 TEOREMA. Sea G = (V, E) un grafo o multigrafo no dirigido sin vértices aislados. Entonces G tiene un circuito de Euler si y solo si G está conectado y todos los vértices de G tiene grado par. COROLARIO. Si G es un grafo o multigrafo no dirigido sin vértices aislados, entonces podemos construir una pista de Euler en G si y solo si G está conectado y tiene exactamente dos vértice de grado impar.
Módulo 5 DEF. Sea G = (V, E) un grafo o multigrafo dirigido. Para cada v que pertenece a V: a) El grado de entrada de v es el número de arcos en G que inciden en v y esto se denota id(v). b) El grado de salida de v es el número de arcos en G que son incidentes de v y esto se denota od(v). Si el grafo o multigrafo dirigido tiene uno o más lazos, cada lazo en un vértice dado v contribuye en una unida para cada id (v) o od(v).
Módulo 5 TEOREMA. Sea G = (V, E) un grafo o multigrafo dirigido sin vértices aislados. El grafo G tiene un circuito de Euler dirigido si y solo si G está conectado e id(v) = od(v) para todo v que pertecene a V.
Grafos planos. Módulo 5 DEF. Un grafo o multigrafo G es llamado plano si G puede dibujarse en el plano con sus arcos intersectando sólo a los vértices de G. Dicho dibujo es llamado instancia de G en el plano. DEF. Un grafo G = (V, E) es llamado bipartito si con y todo arco de G es de la forma {a, b} con y. Si cada vértice en V 1 está unido con todo vértice en V 2 tenemos un grafo bipartito completo. En este caso V 1 = m, V 2 = n, el grafo es denotado K m,n.
Módulo 5 DEF. Sea G = (V, E) un grafo no dirigido libre de lazos donde E Ø. Una subdivisión elemental de G resulta cuando un arco e = {u, w} es removido de G y entonces se agregan los arcos {u, v}, {v, w} se agregan a G e, donde Los grafos no dirigidos libres de lazos G 1 y G 2 se llaman homeomórficos si son isomórficos o si ambos pueden obtenerse de un mismo grafo no dirigido libre de lazos G a través de una serie de subdivisiones elementarias.
Módulo 5 TEOREMA. Sea G = (V, E) un grafo plano conectado o multigrafo con V = v y E = e. Sea r el número de regiones en el plano determinado por una instancia plana de G; una de estas regiones tiene un área infinita y es llamada región infinita. Entonces v e + r = 2. COROLARIO. Sea G = (V, E) un grafo plano conectado libre de lazos con V = v y E = e > 2, y r regiones. Entonces 3r 2e y e 3v 6.
Vías y ciclos de Hamilton. Módulo 5 DEF. Si G = (V, E) es un grafo o multigrafo con V 3, se dice que G es un ciclo de Hamilton si existe un ciclo (no repite nodo) en G que contiene a todo vértice de V. Una vía de Hamilton es una vía, y no un ciclo, en G que contiene cada vértice.
TEOREMA. Sea G = (V, E) un grafo libre de lazos con V = n 2. Si deg(x) + deg(y) n 1, entonces G tiene una via de Hamilton. Módulo 5 COROLARIO. Sea G = (V, E) un grafo libre de lazos con n 2 vértices. Si deg(v) (n-1)/2,. Entonces G tiene una via de Hamilton.
Módulo 5 TEOREMA. Sea G = (V, E) un grafo no dirigido libre de lazos con V = n 3. Si deg(x) + deg(y) n, no adyacentes, entonces G tiene un ciclo de Hamilton. COROLARIO. Sea G = (V, E) un grafo no dirigido libre de lazos con V = n 3, y si deg(v) n/2,. Entonces G tiene un ciclo de Hamilton. COROLARIO. Sea G = (V, E) un grafo no dirigido libre de lazos con V = n 3, y si E C(n-1, 2) + 2, entonces G tiene un ciclo de Hamilton.
VI. Árboles 1. Introducción a los árboles. DEF. Un árbol es un grafo no dirigido, conectado y sin ciclos. Un árbol necesariamente es un grafo simple. DEF. Un grafo sin ciclos, no conectado se denomina bosque y tiene la propiedad de que cada uno de sus componentes (conectado) es un árbol.
Módulo 6 TEOREMA. Un grafo no dirigido es un árbol si y solo si hay un camino único entre cada par de nodos. DEF. Un árbol con raíz es un árbol en el que uno de sus nodos ha sido designado como la raíz y todos los arcos están orientados de modo que se alejan de la raíz.
Módulo 6 DEF. Un árbol con raíz se llama árbol m-ario si todos los vértices internos tienen, a lo sumo, m hijos. El árbol se llama m-ario completo si todo vértice interno tiene exactamente m hijos. Un árbol m-ario con m = 2 se llama árbol binario. DEF. Un árbol m-ario exhaustivo es un árbol m-ario completo que tiene todas las hojas al mismo nivel. Árboles como modelos. Hidrocarburos saturados y árboles. Representación de organizaciones. Sistemas de ficheros en computadoras. Procesadores en paralelo conectados en árbol.
2. Propiedades de los árboles. Módulo 6 TEOREMA. Un árbol de n nodos tiene n-1 arcos. TEOREMA. Un árbol m-ario completo con i vértices internos tiene n = mi + 1 nodos.
Módulo 6 TEOREMA. Un árbol m-ario completo con a) n nodos tiene i = (n - 1)/m nodos internos y l = [(m - 1)n + 1]/m hojas. b) i nodos internos tiene n = mi + 1 nodos y l = (m - 1)i + 1 hojas. c) l hojas tiene n = (ml - 1)/(m - 1) nodos e i = (l - 1)/(m - 1) nodos internos.
Módulo 6 TEOREMA. Un árbol m-ario de altura h tiene, a lo sumo, m h hojas. COROLARIO. Si un árbol m-ario de altura h tiene l hojas, entonces. Si un árbol m-ario es completo y equilibrado entonces
Supongamos que alguien comienza una cadena de cartas. A cada persona que recibe una de esa cartas se le pide que la envie a otras cuatro. Algunas personas lo hacen, pero otras no. Cuántas personas han leido la carta, incluyendo a la primera persona, si nadie recibe más de una carta y si la cadena finaliza después de que 100 personas que han visto la carta no hayan enviado ninguna? Cuántas personas en enviaron la carta? Calcular el nivel de cada nodo en el árbol raíz mostrado. Cuál es su altura?