TEMA 1 ARITMÉTICA ÍNDICE 1. ARITMÉTICA.... 3 1.1.- NUMEROS NATURALES.... 3 1.2. NUMEROS ENTEROS.... 7 1.3. NUMEROS RACIONALES. FRACCIONES. NUMEROS DECIMALES.... 14 1.4. RAZONES Y PROPORCIONES... 37 1.5. PORCENTAJES... 49 1.6. MEDIDAS. PESOS... 51 Pág. 1
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1. ARITMÉTICA. 1.1.- NUMEROS NATURALES. Los números naturales se emplean para contar los elementos de un conjunto El conjunto de los números naturales se denota por N = { 0,1, 2, 3, 4,... }. Están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta cuyo origen es el 0. Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos Los números naturales se pueden sumar y multiplicar y el resultado de esas operaciones es, también, un número natural. Sin embargo, no ocurre lo mismo con la resta y la división. 1.1.1.- Relación de divisibilidad. Es la relación que existe entre dos números cuando uno contiene al otro una cantidad exacta de veces Pág. 3
1.1.2.- Múltiplos y divisores. Cuando existe una relación de divisibilidad entre dos números a uno lo llamamos múltiplo y al otro divisor a es múltiplo de b ó si la división a : b es exacta b es divisor de a Múltiplos de un número. Se obtienen al multiplicar un número por cualquier otro número natural Sea un número a y k un número natural a Divisores de un número. Son todos los números que dividen a otro siendo la división exacta. 12 : 1= 12, 12 : 2 = 6, 12 : 4 = 3, 12 : 6 = 2, 12 : 12 = 1 Pág. 4
1, 2, 3, 4, 6, y 12 son divisores de 12 Si b es divisor de a, a:b = c es exacta c es divisor de a, a:c = b Propiedades de los múltiplos y divisores. La suma de dos múltiplos de un número a, es otro múltiplo del mismo número a m.a + n.a = (m+n).a 4 + 6 = 2.2 + 2.3 = (2+3),2 = 5.2 Si a un múltiplo de un número a se le suma un número que no es múltiplo de a, el resultado no es múltiplo de a Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c 24 = 6.4 6 = 3.2 24= 12.2 Si b es divisor de a, también lo es de todos los múltiplos de a 1.1.3.- Criterios de divisibilidad. Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o en número par Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3 Un número es divisible por 5 si acaba en 5 o en 0 Pág. 5
Un número es divisible por 10 si acaba en 0 Un número es divisible entre 11si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y las cifras que ocupan los lugares impares es 0 ó múltiplo de 11 1.1.4.- Números primos y compuestos. Números primos. Son aquellos distintos de la unidad que no se pueden descomponer en factores y sólo pueden dividirse por ellos mismos y por la unidad. Números compuestos. Son aquellos que se pueden descomponer en factores. Descomposición en factores primos. Para descomponer un número en factores primos, se divide por el primer número primo, el 2, tantas veces como sea posible, después por el 2º, el 3, luego por el 5 y así sucesivamente por los siguientes números primos hasta obtener un cociente de 1 Mínimo común múltiplo de dos o más números. Es el menor de sus múltiplos comunes. Para calcularlo: Descomponemos los números en factores primos. Se toman todos los factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. Pág. 6
60 y 45 60 2 45 3 60 = 2 2.3.5 30 2 15 3 45 = 3 2.5 15 3 5 5 m.c.m. = 2 2.3 2.5 = 180 5 5 1 1 Máximo común divisor. Es el mayor de sus divisores comunes. Para calcularlo: Descomponemos los números en factores primos Se toman todos los factores primos, comunes, elevados al menor exponente 60 y 45 60 2 45 3 60 = 2 2.3.5 30 2 15 3 45 = 3 2.5 15 3 5 5 5 5 1 1 m.c.d. = 3.5 = 15 1.2. NUMEROS ENTEROS. El conjunto de los números enteros es el formado por el conjunto de los números naturales más los números negativos. - 4.- 3,- 2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}. Pág. 7
Están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta Valor absoluto de un número entero. Es el número natural que resulta al quitar su signo. +5 = -5 = 5, 5 es el valor absoluto de +5 y de -5 Opuesto de un número entero. Dos números enteros son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y signo contrario +5 y -5 son dos números opuestos 1.2.1.- Operaciones con números enteros. Suma. Para sumar dos números enteros: Si tiene el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo Si tiene el distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone el mi signo del que tiene mayor valor absoluto. Reglas básicas para resolver expresiones con sumas de números enteros: Pág. 8
Al suprimir un paréntesis precedido de un signo más, los signos interiores no varían. + (5-7+8) = 5-7+8 Al suprimir un paréntesis precedido de un signo menos, los signos interiores cambian de signo. - (5-7+8) = -5+7-8 Para sumar varios números positivos y negativos: Resta. Se suman los positivos por un lado y los negativos por otro Se restan los resultados y se pone el signo del mayor 5+3-4-2+8 = (5+3+8)-(4+2) = 16-6 = 10 Para restar dos números enteros, se suma al primero el opuesto de segundo Multiplicación. (-7) - (-4) = (-7) + op (-4) = (-7) + (+4) = -3 Calculamos el producto de sus valores absolutos, el signo será: POSITIVO: Si los dos números tienen el mismo signo Pág. 9
NEGATIVO: Si los dos números son de signos contrarios Regla de los signos: División. (+3). (+5) = 15 (+3). (-5) = -15 (-3). (-5) = 15 (-3). (+5) = -15 + + = + - - = + + - = - - + = - Para dividir conocer dos números enteros, hallamos el cociente de sus valores absolutos, el signo será: POSITIVO: Si los dos números tienen el mismo signo. NEGATIVO: Si los dos números son de signos contrarios. Regla de los signos: + : + = + - : - = + + : - = - Operaciones combinadas. Regla de prioridad: Las operaciones combinadas de números enteros hay que efectuarlas siguiendo un orden: Pág. 10
1º Se resuelven las operaciones dentro de los corchetes y paréntesis 2º Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. 3º Se efectúan las sumas y las restas en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. 1.2.2.- Potenciación. 3. (5-2+4) + (3-6-2): (-5) = 3. (+7) + (-5): (-5) = 21 + 1 = 26 Es la operación aritmética que tiene por objeto hallar el producto de factores iguales. El factor repetido se llama base. El exponente es el número que indica cuántas veces se toma la base como factor. a n a es la base n es el exponente 3 3 = 3.3.3 = 27 Potencia de un producto. La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores (a.b) n = a n.b n (3.2) 2 = 3 2. 2 2 Pág. 11
Potencia de un cociente. Se elevan dividendo y divisor a dicha potencia (a:b) n = a n : b n (a:b) - n = (b:a) n (3:2) 2 = 3 2 : 2 2 (3:2) - 2 = (2:3) 2 = 2 2. 3 2 Producto de potencias de una misma base. Es otra potencia con la misma base y con el exponente igual a la suma de los exponentes a n. a m = a n+m 3 2. 3 3 = 3 2+3 = 3 5 Cociente de potencias de una misma base. Es otra potencia con la misma base y con el exponente igual a la diferencia de los exponentes a n : a m = a n-m 3 5 : 3 2 = 3 5-2 = 3 3 Potencia de una potencia. Es otra potencia con la misma base y con exponente igual al producto de los exponentes ( a n ) m = a n.m ( 3 3 ) 2 = 3 3.2 = 3 6 Pág. 12
Potencia de exponente cero. Siempre vale uno sea cual sea la base a 0 5 0 = 1 Potencia de base negativa. Si elevamos un número negativo a una potencia: Si el exponente es par el resultado es positivo (-a) n = a n (-3) 2 = 3 2 = 9 Si el exponente es impar el resultado es negativo (-a) n = -a n (-3) 3 = -3 3 = -27 Potencia de exponente negativo. Es la inversa de la misma potencia con exponente positivo a -n = 1/a n 3-2 = 1/ 3 2 = 1/9 Pág. 13
Potencia de exponente racional. a m/n = 3 2/3 = Operaciones combinadas. Regla de prioridad: Las operaciones combinadas de números enteros hay que efectuarlas siguiendo un orden: 1º Se resuelven las operaciones dentro de los corchetes y paréntesis 2º Potencias y raíces 3º Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. 4º Se efectúan las sumas y las restas en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. (-3)+[5-(-1)] 2.2- = (-3)+[5+1] 2.2- = (-3)+6 2.2- = (-3)+36.2-5=(-3)+72-5 = 64 1.3. NUMEROS RACIONALES. FRACCIONES. NUMEROS DECIMALES. El conjunto de los números racionales es el formado por todos los números enteros y por todos los números fraccionarios Pág. 14
1.3.1. Fracciones. Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas partes, se las denomina fracción. Mediante las fracciones podemos expresar números fraccionarios Un número fraccionario se expresa como cociente de dos números enteros a y b a es el numerador y b es el denominador. Fracciones propias e impropias. Una fracción se llama impropia, cuando el numerador es mayor que el denominador. Son mayores que la unidad Una fracción se llama propia, cuando el numerador es menor que el denominador. Son menores que la unidad Pág. 15
Fracción mixta. Consta de una parte entera y de una fracción propia. 3 Las fracciones mixtas se pueden expresar como fracciones impropias. 3 = = Fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes si ambas expresan el mismo valor numérico = 0.6 = 0.6 = 0.6 Si dos fracciones y son equivalentes si se cumple que a d = b c Propiedad fundamental de las fracciones. Si a una fracción multiplicamos su numerador y su denominador por un mismo número se obtiene una fracción equivalente. Pág. 16
= = = Simplificación de fracciones. Si dividimos los dos términos de una fracción por un mismo número la fracción no varia = = = Fracciones irreducibles. Son fracciones que no se pueden simplificar más. Numerador y denominador son primos entre sí. = = = = Fracción irreducible Para hallar rápidamente la fracción irreducible, hay que dividir por el m.c.d. de los dos términos. Pág. 17
18 = 2.3 2 24 =2 3.3 m.c.m. =2.3 = 6 Dos fracciones son equivalentes, cuando se simplifican dando lugar a la misma fracción irreducible. Reducción de fracciones a común denominador. Para comparar, sumar y restar fracciones todas ellas tienen que tener el mismo denominador. Para reducir fracciones a un denominador común: Por ejemplo: Hay que calcular el m.c.m, de los denominadores Hay que multiplicar numerador y denominador por el número que resulta de dividir el m.c.m. por el denominador correspondiente. Si tenemos las siguientes fracciones:,, Y queremos ordenarlos de mayor a menor 9 = 3 2 12 = 2 2.3 m.c.m. = 2 2. 3 2 18 = 2.3 2 Pág. 18
36:9 = 4 = 36:12 = 3 = ahora podemos ordenarlas > > Luego > > 1.3.1.1.- Operaciones con fracciones. Suma y resta. Para poder sumar o restar fracciones tenemos que reducir a común denominador y luego operar Por ejemplo: - + 6 = 2.3 10 = 2.5 m.c.m. = 2.3.5 = 30 15 = 3.5 - + = + = - + = = = Pág. 19
Fracciones opuestas. Dos fracciones son opuestas si su suma es cero La fracción opuesta de es + = 0 La fracción opuesta de es pues + = = = 0 Multiplicación de fracciones. El producto de dos fracciones en otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. =. = = = Fracción de una fracción. Es el producto de ambas fracciones de = = Pág. 20
Fracciones inversas. Dos fracciones son inversas cuando su producto es la unidad La fracción inversa de es. = 1 La fracción inversa de es pues = 1 División de fracciones. El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda : =. = : =. = = Potencias de fracciones. Para elevar una fracción a un exponente entero `positivo, se elevan numerador y denominador a dicho exponente Para elevar una fracción a un exponente entero negativo, se eleva su inversa al mismo exponente cambiado de signo Pág. 21
Las potencias de las fracciones se operan igual que las potencias de números enteros De una misma base De distinta base Operaciones combinadas con fracciones. Regla de prioridad: Las operaciones combinadas de fracciones hay que efectuarlas siguiendo un orden: 1º Se resuelven las operaciones dentro de los corchetes y paréntesis, siempre se empieza por los interiores Pág. 22
2º Potencias y raíces 3º Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. 4º Se efectúan las sumas y las restas en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. Paso de número mixto a fracción impropia. Para transformar en fracción un número mixto, se multiplica el entero por el denominador y se suma al numerador, dando origen al numerador de la nueva fracción. El denominador se mantiene. a = 2 = = Paso de fracción impropia a número mixto. Para transformar en fracción impropia un número mixto, se divide el numerador por el denominador. El cociente será el número entero, el resto será el numerador de la fracción y mantendremos el mismo denominador. Por ejemplo: 9: 4 = 2 y resto 1 luego la fracción será 2 Pág. 23
Fracción como operador. Cuando una fracción actúa como operador de una cantidad D, para obtener la cantidad que resulta hay que multiplicar D por a y dividir el resultado por b. de 1000 = = 400 1.3.1.2.- Racionalización de fracciones. Racionalizar una fracción, consiste en eliminar las raíces, si existen, del denominador, obteniendo una fracción equivalente Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos: Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada. Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción, multiplicaremos numerador y denominador por 2 5 5 2 5 2 5 2 2 2. 2 2 2 2 Pág. 24
Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa. Por ejemplo 7 7 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 3 2 2 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 2 Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia de exponente n. Por ejemplo: 1.3.2. Números decimales. 3 3 3 1 1 5 5 5 25 5 5 5 5 3 3 2 3 2 3 3 3 Para expresar cantidades con unidades incompletas utilizamos también los números decimales. Si dividimos el numerador por el denominador de un número racional obtenemos un número decimal. Están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta 5 Pág. 25
Entre dos números decimales siempre hay otro número decimal Por ejemplo 4.4 < 4.45 < 4.5 Clases de números decimales. Decimales exactos: Tiene un número limitado de cifras decimales 5.365 Decimales periódicos: Tienen infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente. Existen dos tipos: o Periódicos puros: El periodo comienza después de la coma o Periódicos mixtos: Entre la coma y el periodo hay una o varias cifra no periódicas Decimales no exactos y no periódicos: Tienen infinitas cifras decimales no periódicas = 1.4142135 Pág. 26
Algunos números decimales pueden ponerse en forma de fracción, son estos números por tanto, números racionales igual que las fracciones. Estos números decimales son los exactos y los periódicos. Paso de decimal a fracción. Decimal exacto a fracción. Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Por ejemplo 0,045 = Decimal periódico puro a fracción. Los pasos a seguir son los siguientes: En el numerador se anota la parte entera seguida de la parte periódica y se resta la parte entera. En el denominador tantos 9 como cifras tiene el periodo. Si se puede simplificar, se simplifica. 2,6 = = Pág. 27
Decimal periódico mixto a fracción. En el numerador se anota la parte entera seguida de la parte no periódica y de la parte periódica y se la parte enteras seguida de la parte no periódica. En el denominador tantos 9 como cifras tiene el periodo seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica. Si se puede simplificar, se simplifica. 4.723 = = 1.3.2.1.- Operaciones con números decimales. Suma y resta. Para sumar dos o más números decimales, se colocan en columna haciendo coincidir las comas, después se suman como si fueran números naturales y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas 13.08 + 17.9 13.08 + 17.90 + 30.98 Para restar números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas. Si los número no tienen el mismo número de cifras decimales, se completan con ceros las cifras que faltan. Luego se restan como si fuesen números naturales y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas 13.4-1.39 13.40-1.39 + 12.01 Pág. 28
Multiplicación. Para multiplicar dos números decimales efectuamos la multiplicación como si fueran dos números naturales. Después, en el producto, se pone la coma decimal de manera que tenga tantos decimales como haya entre los dos factores. 4.23 x 0.4 1.692 Multiplicación por la unidad seguida de ceros. Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad División. 2.5 x 10 = 25 2.5 x 100 = 250 División de un número decimal por otro natural Se divide como si fueran números natrales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la primea cifra decimal 6.32 2 3.16 División de un número natural por otro decimal. Pág. 29
Se suprime la coma del divisor y a la derecha del dividendo se ponen tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Luego se divide como si fueran números naturales. 75:0,5 750 5 25 150 00 División de un número decimal por otro decimal Se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendo tantos lugares a la derecha del dividendo como cifras decimales tenga el divisor, si es necesario se añaden ceros 21,66:3,8 216,6 38 266 5.7 00 División por la unidad seguida de ceros. Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad 25: 10 = 2.5 25: 100 = 0.25 Pág. 30
1.3.2.2.- Raíz cuadrada. Paso 1: Se divide el número del radicando en dos cifras desde el punto decimal. Desde el punto decimal de derecha a izquierda y los números decimales de izquierda a derecha partiendo desde el punto decimal. Si del lado de los decimales hay un número que ya no alcanza a completar un grupo de dos se agrega un cero, por el contrario, si queda un número el lado entero se queda así Paso 2: Se busca un número que elevado al cuadrado, es decir multiplicado por sí mismo, se aproxime o coincida con el número de las primeras dos cifras, este número no tiene que ser superado. Una vez encontrado el número se agrega a la parte de la raíz Paso 3: El número que está en el renglón se eleva al cuadrado y se le resta a las primeras dos cifras. Una vez obtenido el resultado de la resta, se baja el siguiente grupo de dos cifras y se multiplica por dos el número de la raíz y se agrega en el siguiente renglón auxiliar Pág. 31
Paso 4: Se dividen las primeras dos cifras del resto entre el número del renglón auxiliar, el resultado se agrega al número de la raíz y al del renglón auxiliar. Si el resultado de la división sale con números decimales solo se toma el entero. Paso 5: Se multiplica el número obtenido de la división anterior por el número del renglón auxiliar. El resultado es restado al primer resto. Una vez obtenido el resultado de la resta se baja el siguiente grupo de cifras, si el siguiente grupo está después del punto decimal se agrega un punto decimal al número de la raíz. Paso 6: Se multiplica por dos la cifra de la raíz y con el número resultante se divide el formado por las tres primeras cifras del tercer resto. El resultado se agrega al número del tercer renglón auxiliar y al de la raíz. Se multiplica el número obtenido por el del tercer renglón auxiliar y se le resta al segundo resto. Una vez realizada la resta se baja el siguiente grupo de cifras y se continúa el proceso, sólo que el número a dividir entre renglón auxiliar y resto va aumentado. Pág. 32
Paso 7: Se continúa el mismo proceso, la raíz se vuelve a multiplicar por dos, si hay punto decimal en la raíz se ignora y se multiplica como número entero. El resultado de la multiplicación se agrega al tercer renglón auxiliar, se vuelve a dividir entre los primeros cinco números del tercer residuo entre el resultado de la multiplicación, y se obtiene la siguiente cifra para la raíz y el número del renglón auxiliar. Dicha cifra se multiplica por el número del tercer renglón auxiliar y se le resta al tercer residuo. Se continúa el proceso, si ya no hay más cifras la raíz ha terminado Pág. 33
1.3.2.3.- Raíz cubica. Paso 1 Para calcular la raíz cúbica de un número se comienza separando el número en grupos de tres cifras, empezando por la derecha Paso 2 lo separaríamos así: 16'387'064 A continuación se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo más posible al número del primer grupo (empezando por la izquierda). En nuestro ejemplo el primer número es 16 y el numero entero que elevado al cubo se acerca más a 16 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz. Paso 3 Después se eleva al cubo esta cifra y se resta del número del primer grupo En nuestro ejemplo 2 3 = 8 y restándolo del número del primer grupo que es 16, sale 16-8 = 8 Paso 4 A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo. En nuestro ejemplo nos quedaría 8387 Pág. 34
Paso 5 Después tenemos que calcular un número a que haciendo las operaciones siguientes: 3 * (raíz obtenida hasta el momento) 2 * a * 100 + 3 * (raíz obtenida hasta el momento) * a 2 * 10 + a 3 se aproxime lo más posible al número obtenido en el punto 4. El número a, es el siguiente dígito de la raíz. En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 2 2 * 5 * 100 + 3 * 2 * 5 2 *10+5 3 =7625 Paso 6 A continuación restamos este número al número obtenido en el paso 4. En nuestro ejemplo: 8387-7625 = 762. Paso 7 Repetimos el paso 4 En nuestro ejemplo: 762064 Paso 8 Repetimos el paso 5 y el número obtenido sería el siguiente número de la raíz. Pág. 35
En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 25 2 * 4 * 100 + 3 * 25 * 4 2 *10 + 4 3 = 7 62064 Paso 9 Repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo 762064-762064 = 0 Luego = 254 Pág. 36
1.4. RAZONES Y PROPORCIONES. 1.4.1.- Razón. Es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción. Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor. La razón de los números 3 y 4 es Diferencia entre razón y fracción. No hay que confundir razón con fracción. Si es una fracción, entonces a y b son números enteros razón los números a y b pueden ser decimales. Pág. 37
1.4.2.- Proporción. Una proporción es la igualdad de dos razones = ; donde a y d son los extremos y, b y c son los medios. Las fracciones y son equivalentes. Propiedades de las proporciones. En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos. a.d =b.c 2.10 = 5.4 En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones. Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía. Pág. 38
Calculo del término desconocido de una proporción. Para calcular el término desconocido de una proporción se aplica la propiedad: Producto de extremos igual al producto de medios. = a- = = 10-7 = 2. x = = 35 Cuarto proporcional. Es uno cualquiera de los términos de una proporción. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos. Medio proporcional. Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos. Pág. 39
Tercero proporcional. En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual Pág. 40
Proporcionalidad directa. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción y al disminuir una, disminuye la otra en la misma proporción, es decir, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Magnitud A a b c Magnitud B x y z Si son directamente proporcionales se verifica: Proporcionalidad inversa. k es la constante de proporcionalidad directa. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción Magnitud A a b c Magnitud B x y z Si son inversamente proporcionales se verifica: a.x =b.y = c.z = k Pág. 41
k es la constante de proporcionalidad inversa. Resolución de problemas de proporcionalidad. Una de las formas de resolver este tipo de problemas es la regla de tres Se ordenan los datos y la incógnita Se forman las razones correspondientes Se igualan ambas razones Se calcula el valor de la incógnita 1.4.2.1.- Proporcionalidad simple. Intervienen dos magnitudes. Puede ser: Directa. Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional de la segunda magnitud. Ejemplo El precio de tres Pág. 42
Inversa. Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se dé a una magnitud calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitud Ejemplo En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más En cuánto tiempo comerán la misma cantidad de grano? 1.4.2.2.- Repartos proporcionales. Directos. Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas. Pág. 43
Ejemplo Un abuelo proporcionalmente a sus edades. Cuánto corresponde a cada uno? Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno. 1º El reparto proporcional es: 2º Por la propiedad de las razones iguales: 3º Cada nieto recibirá: Pág. 44
Inversos. Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes. Ejemplo Tres hermanos ayudan al mantenimiento familia sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, cuánto aporta cada uno? 1º Tomamos los inversos: 2º Ponemos a común denominador: Pág. 45
3º Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: 24, 20 y 15. 1.4.2.3.- Proporcionalidad compuesta. Interviene tres o más magnitudes. Al intervenir más de dos magnitudes las relaciones proporcionales dos a dos de las magnitudes pueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B y C, la relación proporcional entre A y B puede ser directa o inversa y entre B y C puede ocurrir lo mismo. Proporcionalidad directa entre las magnitudes. Para calentar 2 litros de agua desde 0ºC a 20ºC, se han necesitado 1000 calorías. Si queremos calentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC Cuántas calorías son necesarias? En este problema intervienen 3 magnitudes, la cantidad de agua, el salto térmico y la cantidad de calorías. Cuál es la relación entre las magnitudes? Si se quiere calentar más cantidad de agua habrá que usar más calorías (relación directa) Si se quiere dar un mayor salto térmico habrá que usar más calorías (relación directa). Pág. 46
Proporcionalidad directa e inversa entre las magnitudes. Se han necesitado 2000 calorías para calentar 2 litros de agua desde 10ºC a 50ºC. Si a 5 litros de agua a la misma temperatura inicial le suministramos 8000 calorías Qué temperatura alcanzarán? Cuál es la relación entre las magnitudes? A mayor cantidad de calorías más se calienta el agua (relación directa) Con las mismas calorías a mayor cantidad de agua menos se calienta, menor salto térmico (relación inversa). Pág. 47
Proporcionalidad inversa entre las magnitudes. Cuatro obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 9 días en hacer la estructura de una nave industrial. Otra cuadrilla trabajando 6 horas diarias realiza el mismo trabajo en 12 días Cuántos obreros tiene la otra cuadrilla? Cuál es la relación entre las magnitudes? A mayor cantidad de horas hacen falta menos obreros (relación inversa) A más días trabajando hacen falta menos obreros (relación inversa). Pág. 48
1.5. PORCENTAJES Un porcentaje supone una proporción. Es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Para obtener un tanto por ciento se divide entre 100 y se multiplica por el tanto Para calcular el a % de una cantidad C Problemas de porcentajes. Cálculo del total conocida la parte. Sabemos la parte asociada a determinado porcentaje. Hay que averiguar el total Ejemplo: En una clase hay 6 chicas lo que supone el 20% del número total de alumnos. Averiguar el número total de alumnos de la clase Pág. 49
Calculo del porcentaje conocido el total y la parte Conocemos el total del que se ha tomado una parte determinada también conocida. Hay que averiguar el porcentaje correspondiente Ejemplo: En las elecciones para delegado de clase, han votado los 50 alumnos, y el delgado elegido recibió 30 de los votos Qué porcentaje apoyo su elección? Aumentos porcentuales Aumentar una cantidad en un a% equivale a calcular el (100+a) % de dicha cantidad Para calcular la cantidad final, se multiplica la cantidad inicial por el índice de variación. El índice de variación es l más el aumento porcentual en forma decimal. Pág. 50
Ejemplo: Un disco d 18 euros aumenta su precio en un 20% Cuál será su nuevo precio? Índice de variación 1+0.20 = 1.20 Precio inicial 20 euros Precio final 20x1.20 = 24 euros Disminuciones porcentuales Disminuir una cantidad en un a% equivale a calcular el (100-a) % de dicha cantidad. Para calcular la cantidad final, se multiplica la cantidad inicial por el índice de variación. El índice de variación es l menos la disminución porcentual en forma decimal. Ejemplo: Un libro cuesta 18 euros y lo rebajan un 30 % Cuál será el precio final del libro? 1.6. MEDIDAS. PESOS Medida compleja. Índice de variación 1-0.30= 0.70 Precio inicial 18 euros Precio final 18 x0.70 = 12.60 euros Es aquella que expresa distintas clases de unidades: 3 kg 2 00g, 5 km 1 20m. Pág. 51
Medida incompleja o simple Se expresa únicamente con una clase de unidades. 3.2kg, 5.1 2m. Paso de medidas complejas a incomplejas. Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener como resultado final. Pasar a cm: 12 km 5 dam 42 cm. Paso de medidas incomplejas a complejas Tenemos dos casos: 12 km =12.100 000 = 1 200 000 5 dam = 5.1000 = 5 000 42 cm = = 42 12 km 5 dam 42 cm= 1205042 cm 1º Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir. 5317 mm Pág. 52
5317 1000 317 100 17 10 5 m 3 dm 7 mm 1 cm 5317 mm = 5 m 3 dm 1 cm 7 mm 2º Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar. 2.325 = 2 km 325 m 1.6.1.- Medidas de longitud La unidad principal para medir longitudes es el metro. Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son: k ilómetro k m 1 000 m hectómetro hm 1 00 m decámetro dam 1 0 m metro m 1 m decímetro dm 0.1 m cent ímet ro cm 0.01 m milímet ro mm 0.001 m Pág. 53
Para convertir unas unidades en otras se multiplica o divide por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplo: 50 m cm Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación. 5 0 100 = 5 000 cm 4 385 mm m Para pasar de milímetros a metros tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros, ya que hay 3 lugares de separación. 1.6.2.- Pesos 4385: 1000 = 4.385 m La unidad principal para medir masas es el gramo. Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son: k ilogramo k g 1 000 g hectogramo hg 1 00 g Pág. 54
decagramo dag 1 0 g gramo g 1 g decigramo dg 0.1 g cent igramo cg 0.01 g miligramo mg 0.001 g Para convertir unas unidades en otras se multiplica o divide por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejem plo: 50 k g dg Tenemos que multiplicar, porque el kilogramo es mayor que el decigramo; por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay cuatro lugares entre ambos. Ejem plo 5 0 kg 10 0 00= 500 00 0 dg 4 08 m g dg Tenemos que dividir, porque el miligramo es menor que el decigramo, por la unidad seguida de dos ceros, ya que hay dos lugares entre ambos. 408 : 100 = 4.08 dg Pág. 55
Otras unidades de masa Tonelada métrica Se utiliza para medir masas muy grandes. 1 t = 1000 kg Quintal métrico Utilizado en la agricultura. q = 100 kg 1.6.3.- Medidas de capacidad La unidad principal para medir capacidades es el litro. También existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores: k ilolit ro k l 1 000 l hectolit ro hl 1 00 l decalit ro dal 1 0 l lit ro l 1 l decilit ro dl 0.1 l cent ilitro cl 0.01 l mililitro ml 0.001 l Pág. 56
Para convertir unas unidades en otras se multiplica o divide por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejem plo 5 0 Hl cl 5 0 10 000 = 500 0 00 c l 2 587 c l l 2 587 : 100 = 25.8 7 l Otras unidades de volúmenes son: k ilómetro cúbico k m 3 1 000 000 000 m 3 hectómetro cúbico hm 3 1 000 000m 3 decámetro cúbico dam 3 1 000 m 3 M etro m 3 1 m 3 decímetro cúbico dm 3 0.001 m 3 cent ímet ro c úbico cm 3 0.000001 m 3 milímet ro c úbico mm 3 0.00000000 1 m 3 Para convertir unas unidades en otras se multiplica o divide por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas, elevando esta cifra al cubo. 1.6.4.- Medidas de superficies La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado. Pág. 57
Otras unidades mayores y menores son: k ilómetro cuadrado k m 2 1 000 000 m 2 hectómetro cuadrado hm 2 1 0 000 m 2 decámetro cuadrado dam 2 1 00 m 2 metro cuadrado m 2 1 m 2 decímetro cuadrado dm 2 0.01 m 2 cent ímet ro c uadrado cm 2 0.0001 m 2 milímet ro c uadrado mm 2 0.000001 m 2 Para convertir unas unidades en otras se multiplica o divide por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas, elevando esta cifra al cuadrado. Ejem plo : 1.5 Hm 2 m 2 Tenemos que multiplicar, porque el Hm 2 es mayor que el m 2 ; por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay dos lugares entre ambos. 1.5 10 000 = 1 5 000 m 2 1 5 000 mm 2 m 2 Tenemos que dividir, porque el mm 2 es menor que el m 2, por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay tres lugares entre ambos. Pág. 58
1 5.000: 1 000 000 = 0.0 15 m 2 1.6.5.- Medidas de superficie agrarias Para medir extensiones en el campo se utilizan las llamadas medidas agrarias: La medida fundamental es la hectárea. La hectárea que equivale al hectómetro cuadrado. 1 Ha = 1 Hm 2 = 10 000 m² El área equivale al decámetro cuadrado. 1 a = 1 dam 2 = 100 m² La centiárea equivale al metro cuadrado. 1 ca = 1 m² 1.6.6.- Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa Existe una relación muy directa entre el volumen y capacidad. 1 l es la capacidad que contiene un recipiente cúbico de 1 dm de arista; es decir, la capacidad contenida en un volumen de 1 dm 3. Pág. 59
También existe una relación entre el volumen y la masa de agua. 1 g equivale a 1 cm ³ de agua pura a 4 C. Capacidad Vo lumen M asa (de agua) 1 kl 1 m³ 1 t 1 l 1 dm 3 1 k g Pág. 60