Josep-luis Suñer artínez Francisco José Rubio ontoya Vicente ata Amela José Albelda Vitoria Juan Ignacio Cuadrado Iglesias PROBEAS RESUETOS E TEORÍA E ÁQUINAS ECANISOS EITORIA UNIVERSITAT POITÈCNICA E VAÈNCIA
Primera edición, 1 reimpresión, 16 Josep luís Suñer artínez Francisco José Rubio ontoya Vicente ata Amela José Albelda Vitoria Juan Ignacio Cuadrado Iglesias de la presente edición: Editorial Universitat Politècnica de València distribución: Telf. 96 877 1 / www.lalibreria.upv.es / Ref.: 197_1_1_6 Imprime: Byprint Percom, sl ISBN: 978-8-975-1- Impreso bajo demanda a Editorial UPV autoriza la reproducción, traducción y difusión parcial de la presente publicación con fines científicos, educativos y de investigación que no sean comerciales ni de lucro, siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV, la publicación y los autores. a autorización para reproducir, difundir o traducir el presente estudio, o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma, con fines comerciales/lucrativos o sin ánimo de lucro, deberá solicitarse por escrito al correo edicion@editorial.upv.es Impreso en España
Ë1',( 7($ $1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16... 5 5%/($ 1. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 7. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 11. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 15. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 19 5. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 5 6. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 9 7. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 8. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 8 9. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 1. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 6 11. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 5 1. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 57 1. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 6 1. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 69 15. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 7 16. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 78 17. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 8 18. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 86 19. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Vectoriales... 9. Centros Instantáneos de Rotación... 9 1. Centros Instantáneos de Rotación... 95. Centros Instantáneos de Rotación... 98. Centros Instantáneos de Rotación... 11. Centros Instantáneos de Rotación... 1 5. Centros Instantáneos de Rotación... 16 6. Centros Instantáneos de Rotación... 19 7. Centros Instantáneos de Rotación... 11
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 8. Centros Instantáneos de Rotación... 115 9. Centros Instantáneos de Rotación... 118. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Numéricos... 1 1. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Numéricos... 1. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Numéricos... 18. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Numéricos... 11. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Numéricos... 1 5. Análisis Cinemático de ecanismos Planos por étodos Numéricos... 17 7($ $1È/,6,6',1È,'(($1,66/$16... 11 5%/($ 1. Análisis de Fuerzas... 1. Análisis de Fuerzas... 17. Análisis de Fuerzas... 151. Análisis de Fuerzas... 155 5. Análisis de Fuerzas... 16 6. Análisis de Fuerzas... 169 7. Análisis de Fuerzas... 17 8. Análisis de Fuerzas... 18 9. Análisis de Fuerzas... 185 1. Análisis de Fuerzas... 19 11. Análisis de Fuerzas... 195 1. Análisis de Fuerzas... 199 1. Análisis de Fuerzas... 1. Análisis de Fuerzas... 8 15. Análisis de Fuerzas... 1 16. Análisis de Fuerzas... 17 17. Análisis de Fuerzas... 18. Análisis de ovimiento... 6 19. Análisis de ovimiento... 9. Análisis de ovimiento... 7 1. Análisis de ovimiento...
Ë1',(. Análisis de ovimiento... 6. Análisis de ovimiento... 5. Análisis de ovimiento... 56 5. Análisis de ovimiento... 61 6. Análisis de ovimiento... 66 7. Análisis de ovimiento... 7 8. Análisis de ovimiento... 7 7($ /(9$6<(1*5$1$-(6... 79 5%/($ 1. iagrama de esplazamiento del Seguidor de eva... 81. iagrama de esplazamiento del Seguidor de eva... 86. iagrama de esplazamiento del Seguidor de eva... 9. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 95 5. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 97 6. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 99 7. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 1 8. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 9. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 5 1. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 7 11. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 9 1. Análisis Cinemático y inámico de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 1 1. Análisis Cinemático y inámico de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 15 1. Análisis Cinemático y inámico de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 19 15. Análisis Cinemático y inámico de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 1 16. Análisis Cinemático y inámico de Trenes de Engranajes Epicicloidales... 6 17. iseño de Trenes Ordinarios... 9 $1(;)81,1(6'('(6/$$,(17'(6(*8,'5(6'(/(9$6... 1
7($ $1È/,6,6,1(È7,'( ($1,66/$16
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 5%/($ ado el mecanismo de la figura en la configuración señalada, obtener: a) Velocidades lineales de los puntos $, $ y velocidad angular de la barra. b) Aceleraciones lineales de los puntos $, $ y aceleración angular de la barra. atos geométricos: $ mm, % 6 mm, %$ 6º. atos cinemáticos: θ 15ºω 15 rad/s, constante con sentido antihorarioθ 165º, $% 6 mm. ω T $ X % T 7
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 6ROXFyQ a) Velocidades lineales de los puntos $, $ y velocidad angular de la barra. a velocidad angular de la barra es ω 15 N rad/s. e los datos del problema se deduce que: cos U 15 + sen 15 ( ( ) ( ) ) ( 8,98 + 7,76 )mm a velocidad del punto $ por pertenecer a la barra es: * ω N 15 ( 116,7 +,67 )mm/s 8,98 7,76 U a velocidad del punto $por pertenecer a la barra es: En esta configuración, la relación entre las velocidades del punto $ considerado como perteneciente a la barra y a la barra es: + + [1] / a velocidad del punto $ por pertenecer a la barra es: * ω U a diferencia de velocidades entre los puntos $ y $ es: * ω U a velocidad relativa del punto $ respecto de un sistema de referencia solidario con la barra, se puede expresar así: / / X, siendo X un vector unitario en la dirección del movimiento relativo (en este caso de la guía $%). 8 Sustituyendo las velocidades en la ecuación [1] se llega a esta otra: ω U ω U + [] / X
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 el esquema del mecanismo se puede comprobar que: U U + U 6( cos( 165 ) + sen( 165 ) ) + 6 cos( 5 ) + sen( 5 ) U ( 15,5 + 57,96 ) mm X cos 5 + sen 5,71 +,71 ( ) ( ) ( ) as incógnitas son ω y / y se obtendrán desarrollando la ecuación vectorial [] en sus componentes escalares: N ω ( 116,7 +,67 ) + (,71 / +, 71 / ) 15,5 57,96 Haciendo operaciones, se tendrá: 57,9ω 15,5ω + + + 116,7,67,71 /, 71 / Separando las componentes escalares según y y resolviendo el sistema resultante: 57,9ω 116,7 +,71 15,5ω,67 +,71 / / ω 1, rad/s / 9,1 mm/s En forma vectorial resulta: ω 1, N rad/s 9,1(,71 +,71 ) ( 66,5 66,5 ) mm/s / ( 75, 1,88 )mm/s b) Aceleraciones lineales de los puntos $, $ y aceleración angular de la barra. a velocidad del punto $ por pertenecer a la barra es: ω U + α U ω U 15 8,98 + 7,75 6.5, 1.77, mm/s ( ) ( ) Se cumple la siguiente ecuación entre las aceleraciones del punto $ considerando que pertenece a la barra y a la barra : + + + / [] 9
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 Por pertenecer el punto $ a la barra : ( 6.5, 1.77, ) mm/s ω U + α U a aceleración relativa del punto $ considerando que pertenece a la barra respecto de un sistema de referencia ligado a la barra es: / / X a aceleración de Coriolis es: ( ω / ) con ω ω Por pertenecer el punto $ a la barra : ω U + α U Sustituyendo las expresiones anteriores en [], queda: ω U + α U ω U +,71 +,71 + ( ) ( ω ) / / y sustituyendo de nuevo las expresiones conocidas:.6, 9.79,56 57,96α 15,5α 6.5, 1.77, + N +,71 +,71 + 1, / ( ) 66,5 66,5 Operando y separando las componentes escalares, se llega al siguiente sistema de ecuaciones: 57,956α +,771 15,59α +,771 / / 7.5,67 α 7,95 rad/s 8.5,5 /.58,89 mm/s 1 En forma vectorial: α 7,95N rad/s /.58,89,71 +,71 1.5, + 1.5, mm/s.55,.971,9 mm/s ( ) ( ) ( )
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 5%/($ ado el mecanismo de la figura, calcular para la posición indicada en la figura: a) Velocidad y aceleración del punto $. b) Velocidad y la aceleración del punto % de la barra. atos geométricos: $ 8 cm, $% 6 cm, θ 5º. a dirección del par prismático de guía recta que conecta las barras y forma 9º con la del par prismático entre las barras 1 y. atos cinemáticos: θ º,ω N rad / s, α 8 N rad / s. < α θ ω ; $ % θ 11
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 6ROXFyQ a) Velocidad y aceleración del punto $. a velocidad del punto $, por pertenecer a la barra es: ω U Sustituyendo: ( ) 8 sen( ) 8 cos ( 1,1 + 1,78 )m/s N ( 1,1 + 17,8 ) cm/s a aceleración del punto $ por pertenecer a la barra es: ω U + α U Sustituyendo: ( ) ( ) 8 cos( ) + 8 sen( ) 8 cos ( 1,9 + 787,8 ) cm/s (,19 + 7,878 )m/s + ( ) 8 sen( ) N 8 Al haber un par de revolución en el punto $ que conecta las barras y se cumple que: ( 1,1 + 1,78 ) m/s (,19 + 7,878 )m/s b) Velocidad y la aceleración del punto % de la barra. a ecuación de velocidades del movimiento relativo en el punto $ es: + / [1] a velocidad del punto $ será la misma que la del punto %, al tener la barra un movimiento de traslación rectilínea, y será, por pertenecer a la barra : X X 1 1 1
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 Con X1 cosb5 g + sen b5 g onde X / /, siendo X un vector unitario en la dirección del movimiento relativo (en este caso de la guía). Por tanto: X cos θ + 9 + sen θ + 9 cos 115 + sen 115 b g b g b g b g Sustituyendo las velocidades en la ecuación [1] llegamos a esta otra: X 1, 1 + 17, 8 + X / [] 1 as incógnitas son y / y se obtendrán desarrollando la ecuación vectorial [] en sus componentes escalares:,96 +,6 1,1 + 17,8,6 + /, 96 / Separando las componentes escalares según y, y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, se obtiene:,96,6 +,6,96 / / 1,1 17,8 En forma vectorial: X 17, cos( 5 ) sen( 5 ) 1 + 1,577 +,75 m/s ( ) / 17, cm/s 81,1 cm/s ( ) ( 157,7 + 7,5 ) cm/s Para el cálculo de aceleraciones se establece la ecuación de aceleraciones del movimiento relativo en el punto $: + + / [] a aceleración relativa del punto $ considerando que pertenece a la barra respecto de un sistema de referencia ligado a la barra es: X / / / cos 115 + sen 115 a aceleración de Coriolis es: c b g b g dω / i ya que ω Por pertenecer el punto $ a la barra : X 1 cosb5 g + sen b5 g c h h 1
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 Sustituyendo las expresiones anteriores en [], queda: cos 5 + sen 5 15, + 787, 76 + cos 115 + sen 115 c b g b g h c b g b g / Operando y separando las componentes escalares, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones, que resuelto da:,96,6 +,6,96 / / 1,5 787,76 /, cm/s 858, cm/s h En forma vectorial: X1, cos( 5 ) + sen( 5 ) (,1 +,99 ) m/s!! a B a A ( ) ( 1, + 9,9 ) cm/s 1
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 5%/($ Sea el mecanismo de cuatro barras que se muestra en la figura. En él se aprecia que las barras y están unidas por un par prismático, mientras que la barra está unida a la barra fija mediante un par de revolución (no se ve en el dibujo). El accionamiento se realiza a través de la barra. Se pide: a) Velocidad angular de la barra (en rad/s). b) Aceleración angular de la barra en (rad/s ). < T ; $ PP % atos geométricos: % 75 mm; $ 5 mm; $ 1 mm; atos cinemáticos: θ 9º; ω rad/s, antihoraria y constante. 15
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 6ROXFyQ a) En primer lugar se resolverá la geometría del problema. θ θ 75 mm % $ e esta figura se tendrá que: $ $ sen cos( θ ) + $% cos( θ) ( ) ( ) $% θ + $% sen θ % θ 8,5995,8 mm a ecuación de velocidades se obtendrá relacionando las velocidades de los puntos % y %. Evidentemente, la velocidad de este último punto es nula. Suponiendo un sistema de referencia móvil ligado a la barra y con origen en el punto %, se tendrá que: + + / que será: X ω [1] + U + X + 16
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 Por otra parte se tendrá que: + ω U + ω U por lo que la expresión [1] quedará como sigue: ω U + ω U + X [] a orientación del vector U viene dada por el ángulo θ 9º, mientras que la orientación del vector U vendría dada por θ 8, 5995º. En consecuencia se tendrá que: U 5 ccos b9 g + senb9 g h c17, 11 6, 986 h mm U, 8 cos 8, 5995 + sen 8, 5995 17, 11 8, 15 mm c b g b g h c h y el vector unitario en la dirección $% será: X cos 8, 5995 + sen 8, 5995, 51, 855 b g b g Sustituyendo en [] y operando se tendrá que: 1.879,85 + 68, + 8,15 ω 17,11 ω,51 /, 855 / Separando componentes se tendrá el siguiente sistema lineal de ecuaciones: 1.879,85 + 8,15 ω,51 68, 17,11 ω,855 / / El vector velocidad relativa vendrá dada por: ( 81,97 1.,115 )mm/s / ω ω 8,17 rad/s / 1.56,1 mm/s b) Para el cálculo de las aceleraciones se seguirá el mismo procedimiento: + + + donde: se tiene que: / + + X + ω / / ω U + α U d i [] 17
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 Además se tendrá que: + + + + ω U + α U ω U + α U hay que tener en cuenta que α. Sustituyendo la expresión anterior en [] se tendrá que: ω U ω U + α U + X+ ω / d / i y sustituyendo valores numéricos y operando se obtendrá el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 8,15 α,51 17,11 α,855 / / + 1.81, α α 5.55,5 rad/s + 177.578, / 97.7,7 mm/s 18
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 5%/($ Para el mecanismo representado en la figura, en la posición indicada, se pide: a) Velocidad angular de la barra. b) Aceleración angular de la barra. Supóngase que entre las barras y se dan las condiciones de rodadura sin deslizamiento. atos geométricos: $ 1,5 cm; %, cm. U, cm; U,5 cm; siendo U y U los radios de las barras circulares y atos cinemáticos: %,78 cm;, cm;ω rad/s antihorario y constante. % < ž ; FP $ FP 19
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 6ROXFyQ a) Velocidad angular de la barra. Para resolver el problema de velocidades se debe tener resuelto el problema de posición. el triángulo formado por $, se calcula el ángulo existente entre el segmento $ y el, que permitirá más adelante obtener el vector de posición. U α 1 β 1 ž α $ β % γ 1 γ FP FP Utilizando el teorema del coseno, se utiliza la siguiente ecuación: U $ + $ cos ( ) α 1 e donde se despeja α 1: cos ( α ) α 1,5º 1 1 $ + U $ 1,5 +, 1,5,
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 Finalmente: ( ) α 1 ( 18 α1 ),5º y por tanto U, cos(,5 ) + sen(, 5 ) e forma análoga, para expresar el vector U y el el γ. U se necesita obtener el ángulo β y Se calcularán usando el teorema del coseno: cos ( β ) β 5,8º 1 $ 1 + $ $ $ + $ $ $ $ cos ( β ) 1,5 +, 1,5 1,616 de donde β 1 º 5,8º 69,9º ( ) Por tanto U,5 cos( 69,9 ) + sen( 69, 9 ) Similarmente se obtiene: cos cos ( γ ) 1 ( γ ) 1 5,75 cos % 5,75,cos γ 1 18,7º luego γ 18 γ 1 161,7º por tanto U cos( 161,7 ) + sen( 161, 7 ) ( α) % cos( β ) ( ) (,5 ),5 cos( 69,9 ),99 A partir de este momento se puede pasar a la resolución del problema de velocidades. Se conoce la velocidad angular de la barra que es ω N rad/s. a velocidad del punto por pertenecer a la barra es: * ω U Resolviendo la ecuación, se tiene que: (,6 +,56 )cm/s 1
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 Por existir rodadura sin deslizamiento, se cumple que: Pasando al rodillo, se tiene: * + + ω U esarrollando el producto vectorial, se obtiene la ecuación [1]: + (,6 +,56 ),5 cos (,6,7ω ) + (,56 +,17ω ) ( 69,9 ),5 sen( 69,9 ) N ω [1] Por otro lado, al pertenecer el punto % a la barra : * ω U ( 161,7 ) sen( 161,7 ) cos ( 1,5ω,8 ω )cm/s N ω [] Igualando las ecuaciones [1] y [] se obtiene: 1,5ω,8 ω,6,7ω +,56 +, 17ω ( ) ( ) escomponiendo la ecuación anterior en sus componentes escalares se tiene:,6,7ω 1,5ω,56 +,17 ω,8 ω ω,57 rad/s ω 8 rad/s En forma vectorial: ω 8,N ω,57 N rad/s rad/s b) Para resolver el problema de aceleraciones Se plantea la siguiente ecuación entre las aceleraciones del punto considerando que pertenece a la barra y a la barra : + + []
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 Por pertenecer el punto a la barra : ω U + α U ω U, cos,5 + sen,5 Además se tiene que. ( ( ) ( ) ) ( 7,1 6,7 ) cm/s a aceleración relativa del punto considerando que pertenece a la barra respecto de un sistema de referencia ligado a la barra es: U U / ωx U + U X ω ω ω ( cos( 69,9 ) + sen( 69,9 ) ) Sustituyendo:,5 +,5 ( 1) X ( 1,65 +,7 ) / cm/s Con lo que: 7,1 6,7 + 1,65 +,7 ( 7,5 +, ) cm/s Pasando al punto %, por un lado: + ω U + α U ( 8),5 ( cos( 69,9 ) + sen( 69,9 ) ) + N +,5 cos ( 69,9 ),5sen( 69,9 ) ( 1,9,69α ) + (,17α,7) α Sustituyendo: + 7,5 +, + ( 1,9,69 ) + (,17 α,7) (,1,69 α ) + (,17 α +,1) α []
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 Por otro lado: ω U U + α Sustituyendo: ( ) (,57) cos( 161,7 ) + sen( 161,7 ) + cos ( 161,7 ) sen( 161,7 ) N ( 1, 1,55α ) + (,8 α,8) + α [] Igualando las ecuaciones [] y [], se obtienen las siguientes ecuaciones escalares que resueltas dan las aceleraciones:,69α,1 1,1,55α,17α +,1,8,8 α α,668 rad/s α 11,68 rad/s Expresadas en forma vectorial: α,668n rad/s α 11,68 N rad/s
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 5%/($ Para el mecanismo representado en la figura, en la posición indicada, se pide: a) Velocidad angular de la barra. b) Aceleración angular de la barra. Supóngase que entre las barras y se dan las condiciones de rodadura con deslizamiento. atos geométricos: $ 1,5 cm; %, cm. U, cm; U,5 cm; siendo U y U los radios de las barras circulares y. atos cinemáticos: %,78 cm;, cm;ω rad/s antihorario y constante. < ž % ; FP $ FP 5
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 6ROXFyQ os datos del problema de posición son los del problema, con lo que en este problema únicamente se mostrarán los cálculos de vectores que no se resolvieron en dicho problema. U U + U ( 1,951 + 1,988 ) cm U U + U (+,5) ( cos( 69,9 ) + sen( 69,9 ) ) U ( 1, +,87 )cm Se obtendrán la velocidad y aceleración angular de la barra utilizando el punto % y considerando que pertenece a la barra. a) Velocidad angular de la barra. * * * * + + [1] / Por pertenecer el punto % a la barra. * ω U * * / ω U X / 1,951 1,988 N (,976 +,9 ) cm/s con X cos ( 9 + 69,9 ) + sen( 9 + 69,9 ),99 +,, siendo X el vector unitario normal a la dirección que une los puntos $ y %. X % U $ 6
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 Además, en el punto % de la barra : N * ω U ω 1,5ω, [] 8 ω cos ( 161,7 ) sen( 161,7 ) Por lo tanto, igualando [1] y [], se tiene que:,5ω,8 ω,976 +,9 +,99 +, 1 / ( ) Ecuación vectorial que da lugar a las dos siguientes ecuaciones escalares y que resueltas dan las velocidades buscadas. 1,5 ω,976,99,8 ω,9 +, / / ω,57 rad/s / 5, cm/s En forma vectorial: ω,57 N rad/s 5,,99 +, ( ) cm/s (,695 1,715 )cm/s / b) Aceleración angular de la barra. + + + / [] a aceleración del punto % considerando que pertenece a la barra es: ω U + α U 1,951 + 1,988 7,8 7,95 cm/s ( ) ( ) a aceleración relativa es: / / / / X U + U 5,5 + α U ( cos( 69,6 ) + sen( 69,6 ) ) +,5 cos (,,889α ) + ( 1,197 α 6,71) ( 69,6 ),5 sen( 69,6 ) N α 7
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 a aceleración de Coriolis: ω * ( ) ( 159,9 ) 5 sen( 159,9 ) ( 6,8 + 18,79 ) / cm/s 5 cos N Por pertenecer también a la barra la aceleración de % es: ω U + α U,57 ( cos( 161,7 ) + sen( 161,7 ) ) + ( 1, 1,55α ) + (,77,8 α ),8 1,55 N α [] Igualando las ecuaciones [] y [] y separando las componentes, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones, que resuelto da las aceleraciones buscadas. 1,55α +,889 α,8 α 1,197 α,61,57 α,668 rad/s α 1,668 rad/s En forma vectorial: α,668 N rad/s α 1,668 N rad/s Como conclusión al comparar el resultado de este problema con el del problema, se comprueba que el resultado de la velocidad y aceleración angular de la barra es el mismo. Con esto se muestra que la presencia de una par de rodadura con deslizamiento entre las barras y provoca que el mecanismo tenga un grado de libertad más que si ese par no tiene deslizamiento, pero ese grado de libertad resulta pasivo, al no tener influencia en la relación entrada-salida del mecanismo. 8
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 5%/($ ado el mecanismo de Cruz de alta mostrado en la figura, determinar para la configuración del mecanismo indicada: a) a velocidad angular de la barra. b) a aceleración angular de la barra. atos geométricos del mecanismo: 8 mm, $ 6 mm. atos cinemáticos del mecanismo: θ 1º, 1 N r.p.m. ω, constante. $ < T ; ω 9
5%/($65(68(/76'(7(5Ë$'(È8,1$6<($1,66 6ROXFyQ a) Velocidad angular de la barra. Sea la figura siguiente, obtenida a partir del mecanismo original. θ $ % θ e los triángulos $% y $%, se deduce inmediatamente que: $ cos $ sen 6cos 6sen 1 ( θ ) $ cos( θ) ( θ ) 8 + $ sen( θ) ( 1 ) $ cos( θ) ( ) ( ) θ 8 $ sen θ $ 5,67º,56 mm os vectores posición y unitario necesarios para el análisis de velocidades y aceleraciones serán: U $ cos 5,67 sen 5,67,,85 mm U! u $ ( ( ) ( ) ) ( ) ( cos( 1 ) + sen( 1 ) ) (, + 51,9615 )!!! cos 767 ( 5,67º ) i + sen( 5,67º ) j,767 i, j El sistema de referencia móvil se elige sobre la barra, { ; } < mm $, de modo que la trayectoria relativa del punto $ respecto dicho sistema de referencia sea una recta coincidente con la guía de la propia barra. En primer lugar se expresará la velocidad angular de la barra en radianes por segundo, ω 1,7 rad/s!
7($$1È/,6,6,1(È7,'(($1,66/$16 1 y la relación de velocidades vendrá dada por: / + + [1] siendo: ( ) ( ) ( )mm/s,776,767 mm/s,,85,85, mm/s 1,159 5,196 51,9615, 1,7 / / / X U N U N U ω ω ω ω ω ω Sustituyendo en la ecuación [1], se tendrá que: / / 776,,767,,85 1,159,196 5 ω ω Separando componentes en ; y en <, se obtendrá el siguiente sistema lineal de ecuaciones, con el que se resuelve el problema de velocidades. 66,7675 mm/s rad/s,896,776, 1,159,767,85 5,196 / / / ω ω ω En forma de velocidades. ( )mm/s 9 87 8 86 rad/s 896 N ω b) a aceleración angular de la barra. anteniendo el mismo sistema de referencia móvil, la ecuación que relaciona las aceleraciones será: + + + [1]
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