Resuelve los ejercicios de Distribución de Poisson 1. Algunos registros muestran que la probabilidad de que a un automóvil se le desinfle un neumático al atravesar cierto túnel es de 0.00005. Utiliza la aproximación de Poisson a la distribución binomial para determinar la probabilidad de que entre 10 000 vehículos que pasan por este túnel cuando menos a dos se les desinfle un neumático. 2. En un proceso de manufactura en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio uno de cada 1,000 piezas tiene una o más burbujas. Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8,000 piezas, menos de 7 de ellas tengan burbujas? 3. Si un banco recibe en promedio λ = 6 cheques sin fondos por día, cuál es la probabilidad de que reciba cuatro cheques sin fondos en un día dado? 4. Si se esperan λ = 1. 6 accidentes en cierto crucero por día, cuál es la probabilidad de que haya tres accidentes en el crucero en un día determinado? 5. Suponga que una gran planta procesadora y enlatadora de alimentos tienen 20 máquinas enlatadoras automáticas en operación constante. Si la probabilidad de que una máquina se descomponga durante un día determinado es 0.05, encuentra la probabilidad de que durante un día determinado fallen dos máquinas enlatadoras. 6. Un fabricante de podadoras de césped adquiere de un proveedor motores de dos tiempos de 1 caballo de fuerza, en lotes de 1000. En cada podadora se instala uno de estos motores. La experiencia indica que la probabilidad de que un motor suministrado por este proveedor esté defectuoso es 0.001. En un envío de 1000 motores, cuál es la probabilidad de tener exactamente uno, dos, tres y cuatro motores defectuosos? 7. Desde el año 1960 la clausura de bancos por problemas financieros ha ocurrido a razón de 5.7 por año, en promedio. Suponga que el número de cierres en un determinado período de tiempo tiene una distribución de probabilidad de Poisson.
a) Encuentra la probabilidad de que ningún banco sea clausurado durante un período de cuatro meses. b) Encuentra la probabilidad de que por lo menos tres bancos sean clausurados durante un determinado año. 8. La calidad aparente de un producto es por lo menos tan importante como la calidad real que se determina a través de laboratorios imparciales de pruebas. Los resultados de una investigación revelan que el 40% de los hombres de negocios en Japón piensan que los artículos eléctricos japoneses son de mayor calidad que los manufacturados en USA, pero únicamente el 5% de los hombres de negocios de USA tienen la misma opinión. Es posible que esta diferencia se deba a la calidad aparente. Estima la probabilidad de que exactamente 5 de una muestra de 100 hombres de negocios de USA prefieran los productos eléctricos japoneses. Estima la probabilidad de que no más de cinco de los 100 prefieran los productos japoneses. 9. El gerente local de una compañía de renta de automóviles compra neumáticos en lotes de 500 para aprovechar los descuentos por compras al mayoreo. El gerente sabe, por experiencias anteriores, que el 1% de los neumáticos nuevos adquiridos en un determinado almacén salen defectuosos y se deben reemplazar durante la primera semana de uso. Encuentra la probabilidad de que en un envío de 500 neumáticos: a) Haya solamente uno defectuoso. b) No más de tres neumáticos defectuosos. c) Ningún neumático defectuoso. 10. El conmutador telefónico de un edificio de consultorios médicos puede manejar un máximo de 5 llamadas por minuto. Si la experiencia indica que se recibe un promedio de 120 llamadas por hora, encuentra la probabilidad de que en un determinado minuto el conmutador esté sobrecargado. 11. La concertista de Piano Donna Prima se preocupa cada vez más por el número de tosidos que se presentan en la audiencia justo antes de que empiece a tocar. Durante su ultima gira, Donna estimó un promedio de ocho tosidos justo antes de empezar su concierto. La señora Donna le ha prometido a su director que si escucha más de cinco tosidos en el concierto de esa noche, se rehusará a tocar. Cuál es la probabilidad de que la artista toque esa noche? 12. Guy Ford, supervisor de producción de la planta Charlottesville de la compañía Winstead, esta preocupado por la habilidad de un empleado ya mayor para mantener el menor ritmo de trabajo. Además de los descansos diarios obligatorios, este empleado deja de trabajar durante periodos cortos un promedio de 4.1 veces por hora. El periodo de descanso que se toma es de tres minutos cada vez. Ford ha decidido que si la probabilidad de que el descanso adicional, 12 minutos o más por hora del empleado (es decir, además del obligatorio), es mayor de 0.5, entonces lo cambiará a una tarea diferente. Debería hacer esto? 13. En promedio cinco pájaros chocan contra el monumento de Washington y mueren por este motivo cada semana. Bill Gacy, un oficial del servicio de parques nacionales de USA, ha decidido que el congreso asigne fondos para adquirir equipo que aleje a los pájaros del monumento. Un subcomité del congreso le ha respondido que no puede asignarle fondos para
tal motivo a menos que la probabilidad de que mueran más de tres pájaros cada semana sea mayor a 0.7. Deben asignarle fondos para espantar pájaros? 14. La compañía Southwestern Electronics ha diseñado una nueva calculadora de bolsillo que efectúa una serie de funciones que otras calculadoras todavía no tienen. El departamento de comercialización está planeando hacer una demostración de la calculadora a un grupo de clientes potenciales, pero está preocupado por algunos problemas iniciales, que se han manifestado en el 4% de las calculadoras nuevas producen incongruencias matemáticas. El vicepresidente de comercialización planea seleccionar aleatoriamente un grupo de calculadoras para su demostración y está preocupado por la posibilidad de elegir una que empiece a funcionar mal. Tiene la creencia de que el hecho de que una calculadora funcione o no es un proceso de Bernoulli, y está convencido de que la probabilidad de que se presente un mal funcionamiento es en realidad alrededor de 0.04. a) Suponiendo que el vicepresidente elige exactamente 50 calculadoras para ser utilizadas en la demostración y utilizando la distribución de Poisson como una aproximación a la binomial, cuál es la probabilidad de obtener al menos tres calculadoras defectuosas? b) Cuál es la probabilidad de no tener ninguna calculadora defectuosa? 15. El centro contencioso del Condado de Orange, en California, maneja varios tipos de litigios, pero casi todos ellos son de tipo conyugal. De hecho, el 96% de los pleitos que atiende el centro son de esta naturaleza. a) Cuál es la probabilidad de que 80 litigios acreditados por el centro, exactamente siete no sean de tipo conyugal? b) Cuál es la probabilidad de que ninguno sea de tipo conyugal? 16. El US Bureau of Printing and Engraving (Departamento de impresión y grabado) de USA es el responsable de imprimir papel moneda en aquel país. El departamento tiene una impresionante baja de frecuencia de errores de impresión; solo 0.5% de los billetes presentan errores graves que no permiten su circulación. Cuál es la probabilidad de que de un fajo de 1000 billetes: a) Ninguno presente errores graves. b) 10 presenten errores que no permitan su circulación 17. La probabilidad de que una persona muera debido a cierta infección respiratoria es 0.002. Encuentra la probabilidad de que mueran menos de 5 de las próximas 2000 personas infectadas. Encuentra la media y la varianza. 18. Supón que en promedio una persona de cada 1000 comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar 10000 formas y se examinan, encuentra la probabilidad de que 6, 7 u 8 formas tengan error. Encuentra la media y la varianza. 19. En lo que va de la mitad de un viernes cualquiera, una camarera no recibe ninguna propina de 5 clientes que atendió. Se quiere saber la probabilidad de que no reciba ninguna propina de 7 clientes ese viernes.
20. El número promedio de partículas radioactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4. Cuál es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en el milisegundo determinado? 21. En un proceso de manufactura en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas tiene una o más burbujas. Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 7 de ellas tengan burbujas? 22. Una complicada maquinaria, cuando funciona perfectamente, puede producir una utilidad de C $ por hora (C>2) a una compañía. Sin embargo, esta máquina tiene una tendencia a fallar en momentos inesperados e impredecibles. Si la máquina falla x veces durante t horas, la pérdida ocasionada (la improductividad de la máquina más la reparación) es igual a (x+x) $. Luego, la utilidad total P durante cualquier período de t horas es igual a P = Ct -(x+x), donde x representa el nº de fallas de la máquina. Se desea calcular el valor de t de manera tal que la utilidad esperada sea maximizada. 23. En una concurrida intersección de tráfico la probabilidad de que un automóvil tenga un accidente es muy escasa, digamos p=0.0001. Sin embargo, durante cierta parte del día, entre las 4 PM y las 6 PM un gran número de automóviles pasa por la intersección, digamos 1000. En dichas condiciones, Cuál es la probabilidad de que dos o más accidentes ocurran durante ese período? 24. En una gran central telefónica, entran en promedio 2.7 llamadas por minuto. Encuentra la probabilidad de que a) no mas de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera b) menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera c) más de 10 llamadas entren en un período de 5 minutos 25. La probabilidad de que una persona muera debido a cierta infección respiratoria es 0.002. a) Calcula la probabilidad de que mueran menos de 5 de las próximas 2000 personas infectadas. b) Encuentra la media, la varianza de la V.A. X que representa el número de personas de entre 2000 que muere de ésta infección. 26. Una secretaria comete en promedio 2 errores por página. Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página a) Cometa 4 ó más errores? b) No cometa errores? 27. Un restaurante prepara una ensalada que contiene en promedio 5 verduras diferentes. Encuentra la probabilidad de que la ensalada contenga mas de 5 verduras a) En un determinado día. b) En 3 de los siguientes 4 días. c) Por primera vez el 5 de abril.
28. Los empleados de cierta oficina llegan al reloj checador a una tasa media de 1.5 por minuto. Calcula las probabilidades de que: a) a lo mas 4 lleguen en un minuto cualquiera. b) a lo menos 3 lleguen durante un intervalo de 2 minutos. d) a lo mas 15 lleguen durante un intervalo de 6 minutos. 29. Si el 0.8% de los fusibles depositados en un lote están defectuosos, determina la probabilidad de que 4 fisibles estén defectuosos en una muestra aleatoria de 400. 30. El promedio de pedidos de taxi, hechos al centro de despacho en 1 minuto es exactamente de 3. Halla la probabilidad de que en 2 minutos se hagan: a) 4 pedidos. b) menos de 4 pedidos. c) No menos de 4 pedidos. 31. Suponga que, en promedio, una persona en 1000 comete un error numérico al preparar sus declaraciones de impuestos. Si se seleccionan al azar 10,000 formas y se examinan, encuentra la probabilidad de que 6, 7 u 8 de las formas contengan un error. Solución de algunos ejercicios 1. 9.020%, 3. 13.5%, 5. 18.4%, 7. a) 15%, b) 92.42%, 9. a) 3.35%, b) 26.5%, c) 0.67%, 11. 17.08%, 13. Si asignaran fondos. 15. a) 2.78%, b) 4.1%, 17. 61.8%, 4, 2, 19. 10.44%, 21. 31.07%, 23. 0.52%, 25. a) 6.8%, b) 4, 4. 29. 17.913%.