Movimiento Circular Uniforme 2009 Goodman & Zavorotniy 1
Cinemática del Movimiento Circular Uniforme Movimiento circular uniforme: movimiento en un círculo de radio constante a rapidez constante. La velocidad instantánea es siempre tangente al círculo. 2
** Cinemática del Movimiento Circular Uniforme Al observar el cambio de velocidad en el límite en el que el intervalo de tiempo se vuelve infinitesilamente pequeño, vemos que obtenemos dos triángulos semejantes. 3
** Cinemática del Movimiento Circular Uniforme Al observar el cambio de velocidad en el límite en el que el intervalo de tiempo se vuelve infinitesilamente pequeño, vemos que obtenemos dos triángulos semejantes. r θ vt r v 1 v 2 v 2 θ v 1 Δv 4
** Cinemática del Movimiento Circular Uniforme Al observar el cambio de velocidad en el límite en el que el intervalo de tiempo se vuelve infinitesilamente pequeño, vemos que obtenemos dos triángulos semejantes. vt v 1 r r θ v 2 Δv θ 5
** Éstos son triángulos semesejantes porque todos los ángulos son congruentes, así que los lados deben estar en proporción. Δv v Cinemática del Movimiento Circular Uniforme = vt r vt Δv v 2 t = r a = v 2 r θ v 1 v 2 Δv r θ r 6
** Cinemática del Movimiento Circular Uniforme Éstos son triángulos semejantes porque todos los ángulos son congruentes, así que los lados deben estar en proporción. Δv vt v = r Δv vt Δv v 2 t = r a = v 2 r Ésa es la magnitud de la aceleración. Podemos ver que la dirección es hacia el centro del círculo. v1 θ v2 r θ r 7
Cinemática del Movimiento Circular Uniforme Esta aceleración se llama centrípeta, o aceleración radial. Su dirección es hacia el centro del círculo. Su magnitud es dada por a = v 2 /r 8
1 Es posible que un objeto que se mueve a rapidez constante acelere? Explica. A B C D No. Si la rapidez es constante, entonces la aceleración es igual a cero. No. Un objeto puede acelerar sólo si hay una fuerza neta actuando sobre él. Sí. Aunque la rapidez es constante, la dirección de la velocidad puede ser cambiante. Sí. Si un objeto se mueve, puede experimentar aceleración. 9
2 Considera una partícula que se mueve a rapidez constante tal que su aceleración de magnitud constante es siempre perpendicular a su velocidad. A B C D Se mueve en línea recta. Se mueve en un círculo. Se mueve en una parábola. Ninguna de las opciones anteriores es totalmente verdadera todo el tiempo. 10
3 Un objeto se mueve en trayectoria circular a rapidez constante. Compara la dirección de los vectores de velocidad y aceleración del objeto. A B C D Ambos vectores siguen la misma dirección. Los vectores siguen direcciones opuestas. Los vectores son perpendiculares. La pregunta no tiene sentido, ya que la aceleración es igual a cero. 11
4 Qué tipo de aceleración experimenta un objeto que se mueve a rapidez constante en una trayectoria circular? A B C D caída libre aceleración constante aceleración linear aceleración centrípeta 12
5 Un objeto viaja con una velocidad de 6,0 m/s en una trayectoria circular cuyo radio es 4,0 m. Cuál es la magnitud de su aceleración centrípeta? 13
6 Un objeto viaja con una velocidad de 6,0 m/s en trayectoria circular. Su aceleración es 3,0 m/s 2. Cuál es el radio de su trayectoria? 14
7 Un objeto viaja en una trayectoria circular cuyo radio es 65 m. Su aceleración es 3,0 m/s 2. Cuál es su rapidez? 15
Dinámica del Movimiento Circular Uniforme Para que un objeto esté en movimiento circular uniforme, debe haber una fuerza neta actuando sobre él. Ya sabemos la aceleración, así que podemos escribir inmediatamente la fuerza: 16
Dinámica del Movimiento Circular Uniforme Podemos ver que la fuerza debe ser hacia adentro pensando en una bola sostenida con un cordón: Fuerza sobre la bola ejercida por el cordón Fuerza sobre la mano ejercida por el cordón 17
Dinámica del Movimiento Circular Uniforme No hay fuerza centrífuga hacia afuera; lo que sucede es que la tendencia natural del objeto a moverse en línea recta debe ser vencida. Si la fuerza centrípeta desaparece, el objeto vuela hacia afuera tangente al círculo. Esto sucede. Esto NO sucede. 18
Curvas en las autopistas, inclinadas y no inclinadas Cuando un auto toma una curva, debe haber una fuerza neta hacia el centro del círculo del cual la curva es un arco. Si el camino es plano, la fuerza es dada por la fricción. Fuerza sobre el auto (suma de las fuerzas de fricción sobre cada neumático) Tendencia del conductor a seguir en línea recta Fuerza sobre el conductor 19
Curvas en las autopistas, inclinadas y no inclinadas Si la fuerza de fricción es insuficiente, el auto tenderá a moverse en línea recta, como lo muestran las marcas de las patinadas en el pavimento. 20
** Curvas en las autopistas, inclinadas y no inclinadas Siempre que los neumáticos no resbalen, la fricción es estática. Si los neumáticos sí empiezan a resbalar, la fricción es cinética, lo cual es malo en dos maneras: La fuerza de fricción cinética es menor que la estática. La fuerza de fricción estática puede dirigirse hacia el centro del círculo, pero la fuerza de fricción cinética va en contra de la dirección del movimiento, y esto hace que sea muy difícil recuperar el control del auto y continuar por la curva. 21
** Trayectorias curvas Este concepto se puede usar para un objeto que se mueve en cualquier trayectoria curva; un segmento pequeño de la trayectoria será aproximadamente circular. Trayectoria del objeto 22
** Centrifugación Fuerza ejercida por el líquido Un centrifugador funciona girando muy rápidamente. Esto quiere decir que debe haber una fuerza centrípeta muy grande. El objeto en A iría en línea recta si no fuera por esta fuerza; entonces por esta fuerza termina en B. 23
8 Qué fuerza se necesita para que un objeto se mueva en círculo? A B C D fricción cinética fricción estática fuerza centrípeta peso 24
9 Cuando un objeto experimenta movimiento circular uniforme, la dirección de la fuerza neta es A B C D en la misma dirección que el movimiento del objeto en dirección opuesta al movimiento del objeto dirigida hacia el centro de la trayectoria circular dirigida lejos del centro de la trayectoria circular 25
** 10 Un carro de una montaña rusa está en una vía que forma una curva circular en el plano vertical. Si el carro va a sólo mantener contacto con la vía en la cima de la curva, cuál es el valor mínimo de su aceleración centrípeta en ese punto? A B C D g hacia abajo 0,5 g hacia abajo g hacia arriba 2 g hacia arriba 26
** 11 Un carro de una montaña rusa (masa = M) está en una vía que forma una curva circular (radio = r) en el plano vertical. Si el carro va a sólo mantener contacto con la vía en la cima de la curva, cuál es el valor mínimo de su rapidez en ese punto? A rg B (rg) 1/2 C (2 rg) 1/2 D (0,5 rg) 1/2 27
* 12 Un piloto ejecuta un descenso vertical, luego sigue un arco semi circular hasta que sube en línea recta. Justo cuando el avión está en el punto más bajo, la fuerza sobre él es A B C D menos que mg, y hacia arriba menos que mg, y hacia abajo más que mg, y hacia arriba menos que mg, y hacia abajo 28
* 13 Un auto va por una curva de radio r a una rapidez constante v. Luego va por la misma curva a la mitad de la rapidez original. Cuál es la fuerza centrípeta sobre el auto cuando toma la curva la segunda vez comparado con la primera vez? A B C D el doble cuatro veces mayor la mitad un cuarto 29
Periodo El tiempo que toma un objeto para completar un vuelta alrededor de una trayectoria circular se llama Periodo. El símbolo para el Periodo es "T" Los Periodos se miden en unidades de tiempo; generalmente usamos los segundos (s). Frecuentemente, sabemos el tiempo (t) que le lleva a un objeto hacer un cierto número de vueltas (n) alrededor de una trayectoria circular. En ese caso, T = t/n 30
14 Si un objeto viaja en movimiento circular y su periodo es 7,0 s, cuánto tiempo le llevará completar 8 vueltas? 31
15 Si un objeto toma 50 segundos para dar 5 vueltas alrededor de un círculo, cuál es el periodo de su movimiento? 32
Frecuencia El número de revoluciones que un objeto completa en un tiempo dado se llama frecuencia de su movimiento. El símbolo para la frecuencia es "f". Los Periodos se miden en unidades de revoluciones por unidad de tiempo; generalmente usamos 1/segundos (s 1 ). Otro nombre para s 1 es Hertz (Hz). La Frecuencia también puede ser medida en revoluciones por minuto (rpm), etc. Frecuentemente, sabemos el tiempo (t) que le lleva a un objeto completar cierto número de revoluciones (n). En ese caso, f = n/t 33
16 Un objeto viaja alrededor de un círculo 50 veces en diez segundos, cuál es la frecuencia (en Hz) de su movimiento? 34
17 Si un objeto viaja en movimiento circular con una frecuencia de 7,0 Hz, cuántas revoluciones completará en 20 s? 35
Periodo y Frecuencia Dado que T = t/n y f = n/t entonces T = 1/f y f = 1/T 36
18 Un objeto tiene un periodo de 4,0 s, cuál es la frecuencia de su movimiento en Hertz? 37
19 Un objeto da vueltas con una frecuencia de 8,0 Hz, cuál es su periodo en segundos? 38
* Velocidad de Rotación Por cada vuelta alrededor de un círculo, un objeto recorre una distancia igual a la circunferencia del círculo. La circunferencia de un círculo está dada por: C = 2πr El tiempo que le lleva recorrer el círculo una vez es el periodo, T. Y la rapidez del objeto está dada por s = d/t Entonces la magnitud de su velocidad debe ser: s = C/T = 2πr/T 39
* Velocidad de Rotación La velocidad debe tener una magnitud y una dirección. La magnitud de la velocidad instantánea de un objeto es su rapidez. Entonces, para un objeto en movimiento circular uniforme, la magnitud de su velocidad es: v = C/T = 2πr/T Si un objeto está en movimiento circular uniforme, la dirección de su velocidad es tangente a su movimiento circular. Entonces v = 2πr/T tangente al círculo 40
* 20 Un objeto está en movimiento circular. El radio de su movimiento es 2,0 m y su periodo es 5,0 s. Cuál es su velocidad? 41
* 21 Un objeto está en movimiento circular. El periodo de su movimiento es 2,0 s y su velocidad es 20 m/s. Cuál es el radio de su movimiento? 42
* 22 Un objeto está en movimiento circular. El radio de su movimiento es 2,0 m y su velocidad es 20 m/s. Cuál es su periodo? 43
* Velocidad de Rotación Dado que f = 1/T, también podemos determinar la velocidad de un objeto en movimiento circular uniforme por el radio y la frecuencia de su movimiento. v = 2πr/T y f = 1/T entonces v = 2πrf Por supuesto, la dirección de su velocidad es todavía tangente a su movimento circular. Entonces v = 2πrf tangente al círculo 44
* 23 Un objeto está en movimiento circular. El radio de su movimiento es 2,0 m y su frecuencia es 8,0 Hz. Cuál es su velocidad? 45
* 24 Un objeto está en movimiento circular. El radio de su movimiento es 2,0 m y su velocidad es 30 m/s. Cuál es su frecuencia? 46
* 25 Un objeto está en movimiento circular. La frecuencia de su movimiento es 7,0 Hz y su velocidad es 20 m/s. Cuál es el radio de su movimiento? 47
Un auto en un camino sinuoso... 48
* Un auto viaja a una velocidad de 20 m/s. El conductor del vehículo tiene una masa 60 kg. El auto está ubicado en la parte más baja de un declive en el camino. El radio del declive es 80 m. Cuál es el peso aparente del conductor (la fuerza normal ejercida por el asiento del vehículo para sostenerlo) en la parte más baja del declive? 49
* 1. Éste es un bosquejo del problema. Qué hago luego? 2. Dibuja un diagrama del cuerpo libre. 3. Indica la dirección de su aceleración. v = 20 m/s m = 60 kg r = 80 m 50
* a F N mg v = 20 m/s m = 60 kg r = 80 m 2. Éste es el diagrama del cuerpo libre. 3. La dirección de su aceleración está indicada. Luego, 4. Dibuja ejes con un eje paralelo a la aceleración. 51
* y 4. Las líneas punteadas representan ejes con un eje paralelo a la aceleración. a F N mg x Todas las fuerzas son paralelas o perpendiculares a los ejes, así que no tengo que determinar ningún vector en componentes. v = 20 m/s m = 60 kg r = 80 m 52
* 5. Aplica la Segunda Ley de Newton en cada uno de los ejes. x dirección y dirección a F N F = ma 0 = 0 F = ma F N mg = ma F N = mg + ma F N = m (g + a) mg x Mientras que no conozco "a", sí conozco "v" y "r". Cuál es mi siguiente paso? v = 20 m/s m = 60 kg r = 80 m 6. Sustituye a = v 2 /r F N = m (g + v 2 /r) 53
* 7. El último paso. Sustituye números. a F N F N = m (g + v 2 /r) mg x F N = (60 kg) ((9.8 m/s 2 + (20 m/s) 2 /(80 m)) F N = (60 kg) ((9.8 m/s 2 + 5 m/s 2 ) F N = (60 kg) ((14.8 m/s 2 ) v = 20 m/s m = 60 kg r = 80 m F N = (60 kg) ((14.8 m/s 2 ) F N = 890 N Cómo se compara esto con su peso en la parte plana del camino? 54
* F N mg v = 20 m/s m = 60 kg r = En el camino plano, el peso del conductor (la fuerza normal desde el asiento) es sólo mg. F N = mg F N = (60 kg) (9,8 m/s 2 ) = 590 N Peso Aparente Camino plano Fondo del declive (r = 80 m) 590 N 890 N La fuerza gravitacional sobre el conductor (mg) no cambia, pero sí lo hace su peso aparente (F N ). Hay alguna situación en la que el conductor parezca ingrávido? 55
* A qué velocidad debe ir un automóvil sobre una cuesta si el conductor (y por lo tanto el automóvil) pareciera ingrávido? El conductor tiene una masa de 60 kg. El radio de la cuesta es 80 m. 56
* 1. Éste es un bosquejo del problema. Qué hago luego? 2. Dibuja un diagrama del cuerpo libre. 3. Indica la dirección de su aceleración. m = 60 kg r = 80 m 57
* m = 60 kg r = 80 m 2. Éste es el diagrama del cuerpo libre (comencemos con F N, sabiendo que finalmente la dejaremos igual a cero) a F N mg 3. La dirección de la aceleración está indicada Luego, 4. Dibuja ejes con un eje paralelo a la aceleración 58
* m = 60 kg r = 80 m y 4. Las líneas punteadas representan los ejes con un eje paralelo a la aceleración. a F N mg x 59
* m = 60 kg r = 80 m y 5. Aplica la Segunda Ley de Newton en cada eje. x dirección y dirección a F N mg x ΣF = ma 0 = 0 ΣF = ma F N mg = ma F N = mg ma F N = m (g a) Pero me gustaría saber la velocidad a la que debe ir para que el conductor (y el auto) parezcan ingrávidos. Cómo? 6. Sustituye a = v 2 /r F N = m (g v 2 /r) 60
* m = 60 kg r = 80 m y 7. El último paso, cuándo F N = 0? Cuando el producto de dos variables es cero, uno de ellos debe ser cero. Como m no es cero, la única forma en que Fn pueda ser igual a cero es... a F N mg x F N = m (g v 2 /r) 0 = (60 kg) (g v 2 /r) 0 = (g v 2 /r) v 2 /r = g v = (gr) 1/2 v = ((9,8 m/s2) (80 m)) 1/2 v = 28 m/s 61
Un balde y un automóvil... 62
** Un automóvil viajando por un camino circular Un auto recorre un camino circular a una velocidad de 20 m/s. El radio del camino es 150 m. Cuál es el coeficiente mínimo de fricción estática que haría eso posible? Qué conoces y qué estás buscando? v = 20 m/s r = 150 m μ =? 63
** Un automóvil viajando por un camino circular Vista de arriba Vista de frente (el automóvil se dirige hacia usted) r v = 20 m/s r = 150 m μ =? 64
** Un automóvil viajando por un camino circular Vista de ariba Vista de frente (el automóvil se dirige hacia usted) F N r a f s v mg v = 20 m/s r = 150 m μ =? 65
r ** Un automóvil viajando por un camino circular vertical F N v a mg f s radial v = 20 m/s r = 150 m μ =? 66
** vertical Un automóvil viajando por un camino circular dirección vertical dirección radial F N mg f s ΣF = ma F N mg = 0 F N = mg radial ΣF = ma f s = ma μ s F N = m(v 2 /r) μ s mg = mv 2 /r μ s = v 2 /gr μ s = (20 m/s) 2 /((9,8 m/s2) (150 m)) μ s = 0,27 v = 20 m/s r = 150 m μ =? 67
* Un balde con agua es dado vuelta en un círculo vertical de radio 0,80 m. Cuál es la velocidad mínima a la que se puede girar el balde para que el agua no se salga de él? Qué conoces y qué estás buscando? r = 0,80 m g = 9,8 m/s 2 hacia abajo v =? 68
* r = 0,80 m g = 9,8 m/s 2 hacia abajo v mínima =? 69
* mg a T r = 0.80 m g = 9.8 m/s 2 hacia abajo v mínima =? 70
* mg ΣF = ma T r = 0.80 m g = 9.8 m/s 2 hacia abajo v mínima =? 71
* mg ΣF = mv 2/ r T r = 0,80 m g = 9,8 m/s 2 hacia abajo v mínima =? 72
* ΣF = ma mg T ΣF = mv 2/ r T + mg = m(v 2 /r) T = m(v 2 /r) mg T = m(v 2 /r g) v 2 /r g = 0 v 2 /r = g T = 0 para v mínima v = (gr) 1/2 = ((9,8) (0,8)) 1/2 = 2,8 m/s v = ((9,8) (0,8)) 1/2 = 2,8 m/s r = 0.80 m g = 9.8 m/s 2 hacia abajo v mínima =? 73
* Asumiendo una velocidad constante y que la masa del balde es 2,5 kg, cuál será la tensión en el cordón en la parte inferior del círculo? T 74
* Asumiendo una velocidad constante y que la masa del balde es 2,5 kg, cuál será la tensión en el cordón en la parte inferior del círculo? ΣF = ma T mg = ma T T mg = m(v 2 /r) ΣF = mv 2/ r T = m(v 2 /r) + mg T = m(v 2 /r + g) T = 2,5 kg (9,8 m/s 2 + 9,8 m/s 2 ) mg T = 2,5 kg (19,6 m/s 2 ) T = 490 N 75
Problemas Generales 76
* 26 Una bola está atada a un extremo de un cordón. Es balanceada en un círculo vertical de radio 8,0 m. Cuál es la velocidad mínima que debe tener la bola para recorrer el círculo? 77
* 27 Una bola está atada a un extremo de un cordón. Es balanceada en un círculo vertical de radio 2,25 m. Cuál es la velocidad mínima que debe tener la bola para recorrer el círculo? 78
** 28 Un automóvil va por la cima de una cuesta cuya curvatura se aproxima a un círculo de radio 175 m. A qué velocidad los ocupantes del vehículo parecerán tener un peso 10% menor que su peso normal? 79
** 29 Un automóvil desciende en un declive en el camino cuya curvatura se aproxima a un círculo de radio 175 m. A qué velocidad los ocupantes del vehículo parecerán tener un peso 10% menor que su peso normal? 80
** 30 Los ocupantes del automóvil viajando con una rapidez de 25 m/s notan que en cierta parte del camino su peso aparente es 20% mayor que su peso cuando viajan por un camino plano. Esa parte del camino, es una subida o un declive? A B Subida Declive 81
** 31 Los ocupantes del automóvil viajando con una rapidez de 25 m/s notan que en cierta parte del camino su peso aparente es 20% mayor que su peso cuando viajan por un camino plano. Cuál es la curvatura vertical del camino? 82
** Una bola de 0,45 kg es atada al extremo de un cordón. Se la balancea en un círculo vertical de radio 0,750 m. En la cima del círculo, su velocidad es 3,2 m/s. a. Dibuja un diagrama del cuerpo libre cuando está en la cima del círculo. Al lado del diagrama, indica la dirección de su aceleración. b. Usa ese diagrama del cuerpo libre para establecer las ecuaciones necesarias para determinar la Tensión en el cordón. c. Resuelve esas ecuaciones para determinar la Tensión en el cordón. 83
** Un automóvil que viaja con una rapidez de 25 m/s toma una curva plana cuyo radio es 125 m. a. Dibuja un diagrama del cuerpo libre de perfil. Indica la dirección de su aceleración. b. Usa ese diagrama del cuerpo libre para establecer las ecuaciones necesarias para determinar la fuerza de fricción que actúa sobre el automóvil. c. Resuelve esas ecuaciones para el coeficiente de fricción entre los neumáticos y el camino. 84
** Una bola de 0,45 kg es atada al extremo de un cordón. Es balanceada en un círculo vertical de radio 0,750 m. En la parte inferior del círculo, su velocidad es de 3,2 m/s. a. Dibuja un diagrama del cuerpo libre cuando está en la parte inferior del círculo. Al lado del diagrama indica la dirección de su aceleración. b. Usa ese diagrama del cuerpo libre para establecer las ecuaciones necesarias para determinar la Tensión en el cordón. c. Resuelve esas ecuaciones para la Tensión en el cordón. 85
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