Integrales dobles y triples

Tema Integrales dobles y triples Hasta ahora se han calculado el área de figuras geométricas planas elementales: el rectángulo, el círculo, el trapecio, etc. Pero, cómo calcular el área de figuras no regulares? Una buena aproximación puede ser la de dividir la zona en pequeños rectángulos y sumar las áreas de cada uno de ellos: Figura.: Mallado para la aproximación del área Esta idea era la que subyacía en la construcción de la integral que vimos en el tema anterior y que nos permitió calcular longitudes de curvas, áreas limitadas por curvas y volúmenes de cuerpos de revolución. En este tema, se generalizaelconceptodeintegraldefinidaafunciones dedosotres variables, obteniendo las llamadas integrales de área o de volumen, respectivamente. Estonospermitirácalcularelvolumendecuerpos limitados porsuperficies, nonecesariamente derevolución. Tambiénpermitirácalcularáreas mediante integrales dobles sencillas que en el tema anterior resultaban algo más complicadas. Se empezará definiendo la integral sobre un rectángulo. 6

.. Integrales dobles sobre rectángulos Sea f(x,y una función acotada sobre un rectángulo [a,b] [c,d]. Una partición del rectángulo son dos conjuntos de puntos {x j } n j e {y j} m j, satisfaciendo a x < x < x <... < x n b c y < y < y <... < y m d es decir, P P P, donde P y P son particiones de [a,b] y [c,d], respectivamente. Se llama área de a v( (d c(b a. Toda partición divide al rectángulo en n m subrectángulos jk [x j,x j ] [y k,y k ], j,...,n, k,...,m como se observa en la Figura.. Se llama norma de la partición P a P máx{v( jk : j,...,n; k,...,m} Figura.: Una partición del rectángulo [a,b] [c,d] Considérese cualquier punto c jk del rectángulo jk y fórmese la suma n S(f,P m j k 7 f(c jk v( jk

llamada suma de iemann para f En la siguiente gráfica hemos representado las sumas de iemann para la función f(x,y x + y tomando como punto c jk el punto medio del rectángulo y el punto inferior del rectángulo..5.5.5.5.5.75.5.5.75.5.5.5.75.75.5.5 (a c jk como punto inferior (b c jk como punto medio Figura.3: Sumas de iemann Definición. Si la sucesión {S(f,P} converge a un límite S, cuando la norma de la partición tiende a, que es el mismo para cualquier elección de c jk, entonces se dice que f es integrable sobre y se escribe f(x,ydxdy lím n m P j k f(c jk v( jk A continuación se resumen las propiedades más importantes de las funciones integrables. Teorema. Sean f y g dos funciones integrables sobre un rectángulo. Entonces 8

. (Linealidad f + g es integrable sobre y (f(x,y + g(x,ydxdy f(x,ydxdy + g(x,ydxdy. (Homogeneidad αf es integrable sobre, para todo α, y αf(x,ydxdy α f(x,ydxdy 3. (Monotonía Si f(x,y g(x,y, para todo (x,y, entonces f(x,ydxdy g(x,ydxdy. (Aditividad Si P QconP yqdosrectángulos cuyaintersección es una línea recta o un punto o vacía, entonces f(x,ydxdy f(x,ydxdy + f(x,ydxdy 5. (Valor absoluto f también es integrable y se verifica f(x,ydxdy f(x,y dxdy P Un primer ejemplo de una amplia clase de funciones integrables la proporciona el siguiente teorema Teorema.3 Toda función continua sobre un rectángulo cerrado es integrable Q Aunque la clase de las funciones integrables es mucho más amplia, el teorema anterior será suficiente en muchos casos prácticos. En general, las funciones integrables son aquellas que son continuas salvo en conjuntos muy pequeños. Definición. (Medida nula Un subconjunto de n tiene contenido nulo si, dado ǫ >, existe un número finito de rectángulos que lo recubren y la suma de sus volúmenes es menor que ǫ. 9

Un subconjunto de n tiene medida nula si, dado ǫ >, existe una sucesión (finita o infinita de rectángulos, n, que lo recubren y cumpliendo. V ( n < ǫ n El criterio general para saber qué funciones son integrables lo proporciona el siguiente teorema Teorema.5 (Criterio de Lebesgue Una función definida en un rectánguloes integrableiemannsi, ysólosi, elconjuntodepuntos de discontinuidad de la función tiene medida nula.... Cálculo de integrales dobles El cálculo de una integral doble se realiza mediante el cálculo de dos integrales iteradas, de acuerdo al siguiente teorema: Teorema.6 (Teorema de Fubini Sea f una función integrable sobre un rectángulo [a,b] [c,d].. Si para cada x [a,b], la sección transversal f x (y : f(x,y, y [c,d], es integrable sobre [c,d], entonces la función F(x : d es integrable sobre [a,b] y se verifica b f(x,ydxdy F(xdx a c f x (ydy b a ( d c f(x,ydy dx. Si para cada y [c,d], la sección transversal f y (x : f(x,y, x [a,b], es integrable sobre [a,b], entonces la función G(y : b es integrable sobre [c,d] y se verifica d f(x,ydxdy G(ydy c a f y (xdx d c ( b a f(x,ydx dy

f(x,y f(x,y a c d x x F(x a yy b d G(y b c Figura.: El teorema de Fubini Corolario.7 Si f es continua sobre un rectángulo [a,b] [c,d], entonces b ( d d ( b f(x,ydxdy f(x,ydy dx f(x,ydx dy a c c a Ejemplo. Se desea calcular la integral doble x y dxdy siendo [,] [,]. Solución: Dado que la función x y es continua en basta aplicar el Teorema de Fubini para obtener x ydxdy ( x dx x ydy dx [ x 3 6 ] x ] y [x y dx y x 8 6 6 7 6 Ejercicio. Cálculese la integral anterior cambiando el orden de integración.

... Integrales dobles sobre recintos acotados Para generalizar el concepto de integral doble a recintos acotados se hace uso de la función característica {, si x A A (x, si x / A donde A. Si el conjunto A es acotado y verifica que su frontera tiene medida nula, entonces lafuncióncaracterística es integrable sobre cualquierrectángulo que contiene a A y, en este caso, existe a(a : A (x,ydxdy que se llama la medida o área de A. El conjunto A se dice, entonces, medible. Entonces, dada una función integrable sobre un rectángulo A, se define f(x,ydxdy : A (x,yf(x,ydxdy A En la figura siguiente puede verse gráficamente este proceso, donde F(x,y A (x,yf(x,y:.5 -.5 -.5 Gráfica de f(x,y -.5 Gráfica de F(x,y.5 - -.5.5 D.5 - D Figura.5: ecinto acotado y función característica

Esta definición permite extender la integración a recintos más generales: aquellos que son medibles. Por tanto, hay que reconocer los conjuntos que son medibles. Para los objetivos de nuestro curso basta aplicar, en general el siguiente resultado: Teorema.8 La gráfica de una función continua tiene medida nula; es decir, si Φ(x es una función continua definida en un intervalo I, el conjunto tiene medida nula. A {(x,y : y Φ(x; x I} En definitiva, los conjuntos cuya frontera está formada por gráficas de funciones continuas son medibles. En particular, pueden distinguirse dos tipos de recintos: ecintos de tipo I A {(x,y : a x b; g (x y g (x} siendo g (x,g (x funciones continuas en [a,b]. En este caso, ( b g (x f(x,ydxdy f(x,ydy dx A a g (x g (x D g (x D D g (x g (x g (x g (x a b a b a b Figura.6: Algunos dominios de tipo I Ejemplo. Se quiere calcular la integral (x + ydy dx D 3

donde D es la región acotada por la parábolas y x e y + x. Solución: En primer lugar, tras representar gáficamente el dominio de integración, trazamos una recta vertical, L, que pase por el dominio D y marcamos los valores de la variables y pordondeentraysale la recta L, comopuedeverse en la siguiente figura. 3.5.5 y x +.5 L y x - -.5.5 Figura.7: Integración sobre una región de tipo I La región de integración es, por tanto, el dominio de tipo I: D {(x,y/ x ; x y + x } Luego: D (x + ydy dx +x x (x + ydy dx Ejercicio. Calcula la integral doble T xydxdy siendo T el recinto limitado por el triángulo de vértices A(,, B(, y C(,; expresando T como un recinto de tipo I. (Sol.: 3 Ejercicio.3 Calcula la integral doble T x ydxdy siendo T el recinto limitado por el triángulo de vértices A(,, B(, i C(3,3; expresando T como un recinto de tipo I.

(Sol.: 3 ecintos de tipo II A {(x,y : c y d; h (y x h (y} siendo h (y,h (y funciones continuas en [c,d]. En este caso, A f(x,ydxdy d ( h (y f(x,ydx dy c h (y d h (y D h (y d h (y D h (y d h (y D c c c h (y Figura.8: Algunos dominios de tipo II Ejemplo.3 Calculemos la integral xy dy dx donde D es la región acotada por y x y x + 6 y. D Solución: Después de representar gráficamente el dominio de integración, trazamos una recta horizontal, L, que pase por el dominio D y marcamos los valores de la variables x por donde entra y sale la recta L, como puede verse en la siguiente figura. 5

x y / -3 3 L x y + - 6 - - Figura.9: Integración sobre una región de tipo II Luego el dominio de integración es el dominio de tipo II: { y D y + x (y 6 Por tanto: D xy dy dx (y 6 y+ xy dxdy Ejercicio. Calcula la integral doble T xydxdy siendo T el recinto limitado por el triángulo de vértices A(,, B(, y C(,; expresando T como un recinto de tipo II. Compara el resultado con el obtenido en el Ejercicio.. (Sol.: 3 Ejercicio.5 Calcula la integral doble T (x ydxdy siendo T el recinto limitado por el triángulo de vértices A(,, B(, i C(3,3; expresando T como un recinto de tipo II. Compara el resultado con el obtenido en el Ejercicio.3. (Sol.: 3 Algunas regiones pueden escribirse indistintamente como de tipo I o de tipo II. En estos casos, se elige aquella que resulte más fácil o más corta. En el siguiente ejemplo, se hancalculadoambas paraquese puedancompararlos procedimientos. 6

Ejemplo. Se desea calcular la integral doble T xydxdy siendo T el triángulo de vértices A(,, B(, y C(,. Solución: El recinto puede verse en la figura expresado como de tipo I o de tipo II C C.5 y - x.5 x.5.5 x -y A...6.8 y B A...6.8 B (a ecinto de tipo I (b ecinto de tipo II Figura.: Un triángulo como región de tipo I y II x Para ello, si se expresa T como una región de tipo I: T y x y, entonces T xydxdy ( x xy dy dx ( x (x dx ] x [x + x x3 3 7 x + 3 5 6 ] y x [x y dx y ( x + x 3 x dx

y Si se expresa T como un recinto de tipo II: T x y y, entonces T xydxdy ( y xy dx dy... 5 6 Ejercicio.6 Calcula la integral de la función f(x,y x y sobre la región del primer cuadrante limitada por las hipérbolas equiláteras xy, xy y las rectas y x, y 3x. (Sol.: 7 6 ln6 Ejercicio.7 Calcularel áreadela regióndel primercuadrante limitada por las curvas xy, xy, y x, y 3x. (Sol.: ln3 u (unidades al cuadrado..3. Cálculo de áreas Si se considera una función continua no negativa f(x,y definida en un recinto acotado medible A, entonces la integral doble f(x,y dxdy A tieneunsignificadogeométrico claro: representael volumendelsólidoformadopor el recinto A comobase, paredes laterales verticales ycomo superficie superior la gráfica de f(x,y. Este resultado permite que, en el caso de integrar la función constante sobre unrecintomediblea, se obtengaeláreade dichorecinto (enrealidad, se obtiene el volumen de un prisma recto de base el recinto A y altura que equivale numéricamente al área de A. Es decir; a(a : dxdy A 8

Ejemplo.5 Vamos a utilizar esta propiedad para calcular el área comprendida por la gráfica de las funciones y sen(x + e y cos(x + en el intervalo [ 3, 5 ]. Solución: Primer paso: Un croquis Para representar gráficamente el área que queremos calcular, hallaremos en primer lugar, los puntos de interseción de las dos funciones que se encuentran en ese intervalo, es decir, igualamos las dos funciones y obtenemos que: Luego los puntos de intersección son P ( 3, +, P (, sen(x + cos(x + sen(x cos(x x 3,, 5 +, P 3 ( 5, + Comopodemos ver enlagráfica, Fig..se obtienendosdominios simétricos que tienen el mismo área. Es por ello que calcularemos el área que nos piden multiplicando por dos el área de uno de los dos dominios coloreados en la gráfica..5.5 - y cos(x + y sen(x + Figura.: Área entre dos gráficas Segundo Paso: Los límites de integración en y Trazamos una recta vertical, L, quepase poreldominiod ymarcamos los valores delavariables y por donde entra y sale la recta L. Como puede verse en la Fig.., 9

esos valores son justamente los valores de las funciones y sen(x + e y cos(x +. Por lo tanto el dominio D sobre el que tenemos que integrar es el dominio de tipo : D {(x,y/ x 5 ; cos(x + y sen(x + } Tercer Paso: Cálculo de la integral Aplicando la fórmula de integración sobre dominios de tipo I a la fórmula de cálculo de áreas, tendremos que: Área(D da D 5 5 sen(x+ cos(x+ 5 dy dx sen(x cos(xdx cos(x sen(x] 5 y] sen(x+ cos(x+ dx Ejemplo.6 Calcularel áreacomprendidaporla gráficade las funciones y x e y ( x y x. Solución: Primer paso: Un croquis Para representar gráficamente el área que queremos calcular, hallaremos en primer lugar, los puntos de interseción de las funciones que delimitan el dominio a integrar. Igualando las funciones se tiene que: x ( x x 5x + x y x Luego los puntos que delimitan el dominio son P (,, P (,, P 3 (,

...8.6.. x y x - y.5.5 Figura.: Área entre dos gráficas Segundo Paso: Los límites de integración en x Trazamos una recta horizontal que pase por el dominio D y marcamos los valores de la variable x por donde entra y sale la recta. Como puede verse en la Fig.. esos valores son y x y x y. Por lo tanto el dominio D sobre el que tenemos que integrar es el dominio de tipo II: D {(x,y/ y ; y x y} Tercer Paso: Cálculo de la integral Aplicando la fórmula de integración sobre dominios de tipo II a la fórmula de cálculo de áreas, tendremos que: Área(D da D ( y dx dy y ( y y dy [ [x] x y xy ] y y y3/ 3 y y 5 6 dy Ejemplo.7. Cálculese el área del círculo unidad. Solución: Según lo dicho a(c C dxdy

siendo C x + y. Si se considera como un recinto de tipo I, debemos hallar las ecuaciones de las dos curvas que delimitan el recinto por su parte inferior y superior, tal y como se ve en la Fig..3 Figura.3: Disco unidad por lo que los límites de integración serán x C x y x Por tanto, dxdy C ( x x dy y, haciendo el cambio de variable dx x dx x sint dx cos t dt x t x t, resulta cos t dt [ t + sin(t ] t t

Más adelante se verá que este tipo de integrales puede resolverse de forma más sencilla, aplicando el cambio de variables a la integral doble. Ejercicio.8 Considera un triángulo isósceles con un vértice en el punto (, y los lados iguales sobre las rectas determinadas por y x. Halla qué altura, h, debe tener el triángulo sobre el eje OY para que la circunferencia unidad lo divida en dos partes de igual área. (Sol.: h.. Integrales triples Las integrales triples no tienen ya mayor dificultad salvo la añadida por una dimensión más. Los rectángulos anteriores se substituyen ahora por rectángulos tridimensionales, o sea, cajas [a,b] [c,d] [p, q]. Una partición P de es ahora P P P P 3 siendo P, P y P 3 particiones de los intervalos [a,b], [c,d] y [p, q], con respectivamente. Si P tiene n + puntos, P tiene m + puntos y P 3 tiene r + puntos, la partición P P P P 3 divide al rectángulo en n m r subrectángulos ijk [x i,x i ] [y j,y j ] [z k,z k ]; cada uno de los cuales tiene volumen v( ijk (x i x i (y j y j (z k z k Procediendo de forma similar al caso de dos variables, dada una función real acotadaf definidaen, se define lasumade iemanncorrespondiente ala partición de P de como con x ijk ijk. S(f,P n m i j k r f(x ijk v( ijk Definición.9 Dadalafunciónacotadaf : se define laintegral triple como el límite de las sumas de iemann cuando P tiende a : f(x,y, zdxdydz lím 3 P j n f(x jkl v( jkl

siempre que dicho límite exista y sea independiente de la elección del punto x ijk. Como antes toda funcióncontinuaes integrabley todafunciónacotada cuyas discontinuidades tienen medida nula es integrable. Asimismo se cumplenlas propiedades del Teorema.. Finalmente, el cálculo de una integral triple puede reducirse al cálculo de tres integrales iteradas: Teorema. Sea f una función integrable sobre un rectángulo [a,b] [c,d] [p, q]. Siexiste cualquierintegraliterada, es igualalaintegral triple f(x,y, zdxdydz b a d c q p... ( d ( q c p ( q ( b p a ( b ( d a c f(x,y, zdz f(x,y, zdx f(x,y, zdy dy dx dz dy dx dz y así sucesivamente hasta completar todas las ordenaciones posibles. Ejemplo.8 Calcular la integral sobre [,] [,] [,] de la función f(x,y, z xyz Solución: Se tiene que xyz dxdydz ( ( xyz dz ( [ ] z z xy dy z [ ] 3 y y x dx y dy dx dx 3x dx ( 3 xy dy dx

Ejercicio.9 Averigua cómo plantear la integral anterior para obtener el resultado más rápidamente.... Integración sobre recintos acotados Al igual que sucedía en el caso de integrales dobles, la integral triple sobre recintos acotados se hace extendiendo la integral a unrectánguloyutilizando la función característica: f(x,y, z dxdydz : f(x,y, z χ Ω (x,y, z dxdydz Ω siendo un rectángulo que contiene a Ω. Paraelcálculodelaintegral, elprocedimientoahoraconsiste enexpresarel recinto en alguna de las formas siguientes: Ω {(x,y, z : (x,y D,ϕ (x,y z ϕ (x,y} siendo D proy XOY (Ω y ϕ, ϕ funciones continuas. Ω {(x,y, z : (x,z D,ϕ (x,z y ϕ (x,z} siendo D proy XOZ (Ω y ϕ, ϕ funciones continuas. Ω {(x,y, z : (y, z D,ϕ (y, z x ϕ (y, z} siendo D proy Y OZ (Ω y ϕ, ϕ funciones continuas. A continuación el recinto D se expresa como de tipo I o de tipo II, dando lugar a la integral iterada correspondiente. Por ejemplo, en el primer caso, si D es de tipo II en el plano XOY, se tendrá: α y β Ω g (y x g (y ϕ (x,y z ϕ (x,y y, por tanto, Ω f(x,y, z dxdydz β α ( ( g (y ϕ (x,yf(x,y, z dz dx dy ϕ (x,y g (y 5

Ejemplo.9 Se desea calcular el volumen del tetraedro limitado por los planoscoordenados yel planox+y +z. Paraelloseránecesariocalcular Ω dxdydz, siendo Ω el tetraedro. Para calcular los límites de integración se proyecta el recinto sobre el plano XOY obteniendo el triángulo señalado enlafigurafig... Las variables (x,y varíanendichotriángulo, mientras que z recorre el recinto desde la superficie inferior z hasta la superficie superior z x y. Figura.: Volumen de un tetraedro Por todo ello resulta: x Ω y x z x y 6

y, entonces Ω dxdydz ( x ( x y ( x [x x + x3 3 dz ( x y dy dx dy dx ] y x [y xy y dx y ( x ( x x( x dx ] x ( x3 + 6 x 3 6 6 Ejercicio. Calcular el volumen del cuerpo limitado por z xy,x + y,x + y. (Sol.: 7 u3.3. Cambio de variable Una transformación en el plano es una aplicación T : con T(u, v (x,y. Se llama determinante jacobiano de T a x x (x,y (u, v u v y u y v Teorema. (Dos variables Sean D y D dos regiones elementales del plano y sea T : D D una biyección de clase C, cuyo determinante jacobiano no se anula en D. Entonces, para cualquier función integrable f : D se tiene f(x,y dxdy (f T(u, v (x,y D (u, v dudv D 7

Cambio a coordenadas polares Es el dado por la transformación T : D [,] [,[ dada por (x,y T(r, θ (r cos θ, r sinθ Puede probarse fácilmente que T cumple las condiciones del teorema de cambio de variable y, además, con jacobiano: x x (x,y (r, θ r θ cos θ r sinθ sinθ r cos θ r y r y θ Supongamos que queremos calcular una integral doble f(x,yda cuando es un dominio como en la figura Fig..5. La descripción de un dominio de este tipo en coordenadas rectangulares parece bastante complicada, sin embargo describir en coordenadas polares nos simplificará bastante las cosas..5.5 - - Figura.5: Un anillo circular En general, las coordenadas polares son adecuadas cuando el recinto de integraciónes uncírculodecentroel origen (ounsectorcircular o, almenos, un círculo tangente al origen. En los siguientes ejemplos vamos a aplicar dicho cambio y hay que tener mucho cuidado de no olvidar multiplicar por r al hacer el cambio a coordenadas polares en la integral. Ejemplo. Calculemos la integral doble (3x+y da donde es la región circular que se encuentra en el semiplano superior y está limitada por las circunferencias x + y y x + y, como puede verse en la siguiente figura: 8

x + y.5.5 x + y - - Figura.6: Integración en coordenadas polares Solución: La región se describe como: Por tanto: {(r, θ/ r ; θ } (3x + y da (3r cos(θ + (r sen(θ r drdθ [ r 3 cos(θ + r sen (θ ] r r dθ 7 cos(θ + 5 sen (θdθ 7 cos(θ + 5 ( cos(θ dθ 7 sen(θ + 5θ 5 sen(θ ] 5 Ejemplo. Veamos como calcularel volumen delsólido que estálimitado por los planos z 3, z y el cilindro x + y y. Solución: Este sólido está encima del disco que tiene como círculo frontera a la circunferencia x +y y x +y y x +y y ( x + y 9

es decir, tiene como frontera la circunferencia de centro el punto (,/ y radio (ver figura Fig..7. Si consideramos coordenadas polares, se tiene que este circulo se expresa como: x +y y r cos (θ+r sen (θ r sen(θ r r sen(θ r sen(θ Por lo tanto, el disco sobre el que se encuentra el sólido está dado por: D {(r, θ/ r sen(θ ; θ } r sen(θ.75.5.5.8.6.... -.5 -.5 (a Sólido.5.5 -. -... (b Proyección en el plano XOY Figura.7: Volumen de un cilindro circular Aplicando la fórmula de integración en coordenadas polares: Vol D 3 da sen(θ 3 rdrdθ r ] sen(θ 6 cos(θ dθ θ sen(θ dθ ] sen (θ dθ 6 Ejemplo. Calcularel áreaporlas hojas de unarosadecuatropétalos, con ecuación es r cos(θ. 3

Solución: ecordar que área(d D dxdy. Como se observa en la gráfica, Fig..8, paracalculareláreaencerradaporlas hojasde unarosa decuatropétalos, nos bastaráconcalcularel áreaencerradaenlamitadde un sólo pétalo; es decir, el conjunto sobre el que vamos a integrar es D {(r, θ/ r cos(θ ; θ } /.5 - -.5.5 -.5 - / Figura.8: Una rosa de cuatro pétalos Luego, el área que buscamos es: Área P da 8 cos (θ ( θ + sen(θ ] 8 cos(θ r dr dθ 8 ( cos(θ + dθ r ] cos(θ dθ Ejemplo.3 Calcula la integral S {(x,y / x + y } S xy dxdy donde S es el recinto Solución: La ecuación x + y representa una circuferencia centrada en (, de radio. Así, la inequación x + y < corresponde a los puntos 3

interiores a la circunferencia y, por tanto, el recinto S es el disco unidad representadoenlafigura.9. Estaintegralse resolveráutilizandoelcambio a coordenadas polares. Así, el recinto S se transforma en D {(r, θ : r ; θ } Figura.9: Disco unidad xy dxdy (r cos θ(r sinθr drdθ S D ( r 3 cos θ sinθ dr dθ [ r cos θ sinθ cos θ sinθ [ sin ] θ θ 3 θ ] r r dθ

Ejercicio. Calcula A x dxdy siendo A el recinto comprendido entre el rectángulo [,] [,] y la circunferencia C x + y. (Sol.: 6 3 Ejercicio. Calcula A ex +y dxdy siendo A la parte del círculo unidad, x + y, situada en el semiplano positivo de las x, x. (Sol.: (e En ocasiones, resulta conveniente dividir el recinto en partes y calcular la integral sobre cada parte por separado Ejemplo. Calcula la integral x ydxdy donde T {(x,y / x + (y +, x y } T Solución: Para resolver la integral se utilizarán las integrales sobre C y S, siendo C círculo y S la parte interior del círculo que no está en T. De esta forma, T x y dxdy C x y dxdy x y dxdy S Sobre el círculo se emplea el cambio a coordenadas polares: } x r cos θ y r sinθ x + (y + x + y + y r + r sinθ r sinθ por lo que los límites de integración son { θ T r sinθ 33

y, entonces x y dxdy C ( sin θ cos θ sinθ cos θ sinθ 5 r cos θ r sinθ r dr ( sin θ [ r 5 5 ] r sin θ r 5 cos θ sin 6 θ dθ y, aplicando las fórmulas de reducción, ( [cos 5 θ sin 7 θ 5 8 5 sin 6 θ dθ ] + 8 r dr dθ dθ dθ sin 6 θ dθ y, de nuevo, aplicando ahora la fórmula de reducción ( [sin x y dxdy 5 ] θ cos θ + 5 sin θ dθ C 5 6 6 e, integrando, sin θ dθ 3 ( [sin 3 θ cos θ 3 sin θ dθ ] + 3 sin θ dθ [ ] (θ sinθ cos θ Para la integral sobre S se tendrá en cuenta que las rectas y x e y x corresponden a las ecuaciones polares θ 5 y θ 7, respectivamente. 3

Por tanto, y, por tanto, S x y dxdy S { 5 θ 7 r sinθ 7 5 7 5 ( sin θ 5 r cos θ r sinθ r dr 5 cos θ sin 6 θ dθ dθ y, aplicando la fórmula de reducción, S x y dxdy 5 5 5 ( [cos θ sin 7 θ 7 5 8 ]7 sin 6 θ dθ 5 + 8 7 5 sin 6 θ dθ y, aplicando ahora la fórmula de reducción S x y dxdy 5 e, integrando, ( [ sin5 θ cos θ 7 6 ]7 5 + 5 6 3 sin θ dθ 3 5 ( [ 3 sin3 θ cos θ 3 3 7 5 ]7 5 sin θ dθ 7 5 + 3 sin θ dθ 7 5 sin θ dθ 3 [ (θ sinθ cos θ 3 8 8 3 8 ]7 5 35

Y, finalmente, x y dxdy T C x y dxdy x y dxdy S 8 3 8 5 3 8 Ejercicio.3 Calcula la integral T e x dxdy donde T {(x,y / x, y, y x +, y x } (Sol.: 3e e Laextensióndelresultadodecambiodevariable afunciones de tres variables es inmediato. Teorema. (Tres variables Sean D y D dos regiones elementales del espacio tridimensional y sea T : D D una biyección de clase C, cuyo determinante jacobiano no se anula en D. Entonces, para cualquier función integrable f : D se tiene f(x,y, z dxdydz (f T(u, v, w (x,y, z D D (u, v,w dudvdw Cambio a coordenadas cilíndricas En la figura Fig.. puede apreciarse el significado de la coordenadas cilíndricas. OZ r z OX O θ OY Figura.: Coordenadas cilíndricas 36

Las ecuaciones del cambiode coordenadas y los nuevos límites de integración vienen dados por x r cos θ r y r sinθ θ [,] z z z siendo el determinante jacobiano: (x,y, z (r, θ,z cos θ r sinθ sinθ r cos θ r Ejemplo.5 (Coordenadas cilíndricas Un sólido Ω está limitado, en el primer octante, por la gráfica del semicono z x + y y los planos z, x, y. Se desea calcular la integral Ω (x + y dxdydz. Solución: Para ello se emplea el cambio a coordenadas cilíndricas. Como se ve enlafigura Fig.., está claro que z varíade la superficie delsemicono (de ecuación z r al plano z..5.5.75 z.75.5 z x + y.5.5.5.75 Figura.: Integración sobre un semicono La proyección en el plano z del sólido produce el sector circular x +y, x,y. Por tanto, la coordenada r varía de a y la coordenada θ de 37

a. En definitiva, θ r r z y, entonces Ω (x + y dxdydz ( ( r r r dz dr ( ( r 3 ( r dr dθ [ r r5 5 ( 5 ] r r dθ dθ dθ Ejercicio. Calcular la integral triple de la función f(x,y, z xyz sobre la región Ω que se encuentra en el primer octante (x >,y >,z > limitada por los paraboloides z x + y, z x + y, por los cilindros xy, xy, y por los planos y x, y 5x. (Sol.: 765 8 ( ln5 + 56 5 Cambio a coordenadas esféricas Enlafigurasiguiente, Fig..,puedeapreciarse el significadogeométrico de las coordenadas esféricas. 38

OZ u z O x OY y OX Figura.: Coordenadas esféricas Las ecuaciones del cambio de coordenadas vienen dadas por x r cos θ sinφ r y r sinθ sinφ θ [,] z r cos φ φ [,] siendo el determinante jacobiano: (x,y, z (r, θ,φ cos θ sinφ r sinθ sinφ r cos θ cos φ sinθ sinφ r cos θ sinφ r sinθ sinφ cos φ r sinφ r sinφ Ejemplo.6 (Coordenadas esféricas Se desea calcular el volumen de una esfera de radio. La integral correspondiente es v(s dxdydz Solución: Para ello, se introduce el cambio a coordenadas esféricas: al aplicar el cambio de coordenadas a la ecuación de la superficie esférica, x + y + z, resulta r. Como no depende de θ ni φ estas dos variables no tienen restricciones y, por tanto, θ r φ S 39

y, entonces dxdydz S ( ( ( r sinφ dφ r [ cos φ] φ φ dr [ r 3 3 ] r r dθ 3 3 dr dθ ( dθ r dr dθ 3 3 u.v. dθ Ejercicio.5 Calcular Ω (x + z dx dy dz, donde Ω {(x,y, z : x + y + z 9,z }. (Sol.: En ocasiones resulta imposible dibujar el recinto de integración. en el caso en que la superficie que encierra el sólido esté formada por una única ecuación aún resulta posible, mediante un cambio adecuado de coordenadas, calcularlos límites de integración, lo cualresultaríaimposible de realizaren coordenadas cartesianas. Ejemplo.7 Calculael volumendelsólidoω encerradoporla superficie de ecuación (x + y + z z(x + y. Solución: Se aplica el cambio a coordenadas esféricas (x + y + z z(x + y r r cos φ(r cos θ sin φ + r sin θ sin φ r r 3 cos φsin φ(cos θ + sin θ r r 3 cos φsin φ r cos φsin φ Como debe ser cos φ entonces φ [, ]. La ecuación anterior no depende de θ luego θ [,] por lo que los límites de integración son θ φ r cos φsin φ

con lo cual v(ω Ω dv 3 ( ( cos φsin φ r sinφ dr dφ ( [ ] r 3 rcos φsin φ sinφ dφ dθ 3 r ( cos 3 φsin 7 φ dφ dθ dθ Ahora [ cos cos 3 φsin 7 φsin 8 φ φ dφ [ sin 8 φ 8 ] φ φ ] φ φ y volviendo a la integral de volumen: v(ω... ( cos 3 φsin 7 φ dφ dθ 3 3 + cos φsin 7 φ dφ dθ 6 Ejercicio.6 Calculaelvolumenencerradoporlasuperficie de ecuación ( x + y + z x + y z (Sol.: u3.. Problemas adicionales Ejercicio.7 Calcula S (x + y ydxdy siendo S {(x,y / x + y, y x }

Ejercicio.8 Calcula vértices (,, (, y (,. S (Sol.: 8 3 x cos(x + ydxdy siendo S el triángulo de (Sol.: 3 Ejercicio.9 Calcula la integral de la función f(x,y x y sobre la región del primer cuadrante limitada por las hipérbolas equiláteras xy, xy y las rectas y x, y 3x. (Sol.: 7 6 ln6 Ejercicio. Calcula el área de la región del primer cuadrante limitada por las curvas xy,xy,y x,y 3x. (Sol.: ln3 u Ejercicio. Calcula el área encerrada por la lemniscata de Bernoulli ( x + y a ( x y. (Sol.: a u Ejercicio. Calculael volumendelcuerpolimitadoporel paraboloide hiperbólico z xy, el cilindro y x y los planos x + y, y y z. (Sol.: 6 u 3 Ejercicio.3 Calcula el volumen del cuerpo limitado por la semiesfera z x y y el cono z x + y. (Sol.: ( 3 u 3 Ejercicio. Calcula el volumen del cuerpo limitado por la superficie z xy y los planos x + y y x + y. (Sol.: 7 u3 Ejercicio.5 Calcula Ω (x + y + z dxdydz, donde Ω es la región limitada por el cilindro x + y 6,3 z. (Sol.: 976 3 Ejercicio.6 Calcula Ω (x + z dxdydz, donde Ω es la región definida por {(x,y, z : x + y + z 9,z }. (Sol.: