CAPITULO INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL. INTRODUCCIÓN Este capitulo se centra en los conceptos básicos de los sistemas de control realimentado. Otra temática a tratar es el modelamiento y análisis de sistemas dinámicos, es importante resaltar que el modelamiento matemático parte de una predicción de su funcionamiento por tanto no va ser exacto. En el ámbito de este curso, se emplearán modelos de tipo matemático, es decir, nuestros modelos serán ecuaciones, y el análisis de los sistemas asi modelados estará ligado a la solución de dichas ecuaciones. Las siguientes definiciones ayudarán a puntualizar qué tipo de modelos matemáticos son los que se pretenden estudiar, en este curso los sistemas que se estudiarán son Sistemas Dinámicos con las siguientes características: determinísticos, lineales, invariantes en el tiempo, continuos y de simple entrada y simple salida. Variable S. Entrada + S. Error Manipulada S. Salida - Controlador Planta o Proceso Variable Realimentada Realimentación Figura.: Esquema de un Sistema de Control.
La figura. presenta el esquema en bloques de un sistema de control realimentado clásico. El objetivo del control realimentado es el de utilizar el concepto de realimentación para que la salida de un sistema dinámico siga o tome un valor deseado pese a las perturbaciones externas o cambios de los parámetros internos del proceso. Dentro de la bucla clásica de control realimentado se destacan los siguientes bloques y señales: Planta o Proceso: Maquina o equipo cuyo objetivo es realizar un trabajo. Controlador: Mecanismo que manipula la señal de entrada a la planta para obtener una señal de salida deseada. Realimentación: Este bloque esta compuesto por dispositivos que permiten sensar la señal de salida de la planta (temperatura, velocidad, etc.) y llevar esta señal sensada nuevamente a la entrada, para obtener una señal de error que le permite al controlador ajustar la señal de entrada a la planta. Variable controlada: Hace referencia a la variable física que se desea tener alrededor de un valor deseado. Variable manipulada: Es la señal que el controlador debe manipular para lograr que la variable controlada tome el valor deseado, por ejemplo si se desea controlar la intensidad lumínica, el controlador debe manipular el voltaje que le llega a la lampara, en este caso la variable controlada será la intensidad lumínica, y la manipulada el voltaje. Señal realimentada: Es una muestra de la señal de salida, la cual es comparada con la señal de entrada para generar cambios en la variable manipulada. Señal de error: Es la diferencia entre la señal realimentada y la señal de referencia, este error indica al controlador la acción que debe realizar (incrementar, decrementar o mantener constante la variable manipulada).. DEFINICIONES BÁSICAS.. Sistema Dinámico Un sistema es dinámico si su salida actual depende de entradas anteriores, si su salida en curso únicamente depende de su entrada actual el sistema se denomina estático. La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no cambia y cambia cuando varia la entrada. En un sistema dinámico la salida cambia con el tiempo.
3.. Sistemas Lineales Un sistema lineal es aquel en el cual hay una relación proporcional entre la variable de entrada y de salida, en otras palabras que cumpla con los principios de superposición y homogeneidad. Dado un sistema dinámico el cual tiene como señal de entrada x(t) y su correspondiente señal de salida y(t), se puede asegurar que el sistema es lineal si dada la señal de entrada al sistema x (t)+x (t) ocasiona una respuesta y (t)+y (t). Esto se conoce como el principio de superposición. Además, para que un sistema sea lineal debe cumplir también con la propiedad de homogeneidad, la cual consiste en que dada una señal de entrada x(t) y una su correspondiente salida y(t), si se multiplica la señal de entrada por una constante, la señal de salida debe ser igualmente afectada por esta constante, en otras palabras para una señal de entrada αx(t) la señal de salida debe estar dada por αy(t). Entonces un sistema es lineal si y solo si se satisfacen las propiedades de superposición y homogeneidad. Ejemplo. Verificar si el circuito de la figura. es un sistema lineal, tener en cuenta que el voltaje es la señal de entrada y la corriente la de salida. Figura.: Circuito DC. El voltaje en la resistencia esta dado por V =I*R, esta ecuación cumple con el principio de superposición ya que (I +I )R =I *R +I *R =V +V, ahora veamos si cumple con la propiedad de homogeneidad; sí αi*r = α*v R. Por lo tanto el circuito es un sistema lineal ya que cumple con las condiciones de superposición y homogeneidad. Todos los sistemas dinámicos se pueden representar por medio de ecuaciones diferenciales, teniendo en cuenta esto, podemos asegurar que un sistema es lineal si la ecuación diferencial que los representa es lineal, algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales son:. 4(d y/dt ) - (dy/dt) + 6y = 9x
4. (d y/dt ) + (dy/dt) + 6y = 9cos(3t) Ejemplo. El sistema descrito por la siguiente ecuación: t y(t) = x(t)dt (.) Donde x(t) es la entrada y y(t) es la variable de salida, determinar si este es un sistema lineal. Para verificar la linealidad del sistema descrito por la anterior ecuación, se debe verificar si cumple con las propiedades de superposición y homogeneidad, así que: t α[x (t)+ x (t)]dt = αx (t) dt + αx (t)dt = αy (t)+αy (t) Se cumple con las dos propiedades de linealidad por tanto el sistema descrito por la ecuación. es lineal...3 Sistemas No Lineales Gran parte de los sistemas son lineales en un pequeño rango de operación por ejemplo, los amplificadores operacionales, transistores; pero en realidad estos sistemas son no lineales ya que no cumplirían con las propiedades de linealidad. Un sistema es no lineal si esta descrito por una ecuación no lineal, por ejemplo:. (dy /dt) + 5y = 6xy. x(dy/dt) - y=4x t t..4 Sistemas Multivariables En estos sistemas se tienen dos o más variables de salida, es decir que se pretende controlar simultáneamente varias salidas con un solo sistema, es también posible considerar un sistema con varias entradas. Los sistemas multivariables son descritos por un conjunto de ecuaciones diferenciales, el estudio de este tipo de sistemas se conoce como control moderno; el control clásico estudia los sistemas de simple entrada simple salida (SISO), el cual es el objetivo de este curso.
5..5 Sistemas Variantes e Invariantes con el tiempo Los sistemas dinámicos los cuales se representan por ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se denominan invariantes con el tiempo o con coeficientes constantes, si los coeficientes de la ecuación diferencial que representa el sistema son función del tiempo estos se denominan variantes con el tiempo. Un ejemplo de los sistemas variantes con el tiempo es los autos de formula uno ya que la masa del sistema cambia debido al consumo del combustible...6 Sistemas de Tiempo Continuo Son aquellos sistemas en los cuales las señales que se procesan como la señal de realimentación, la señal controlada, son continuas. La figura.3 representa una señal continua. T f(t) Donde t R t Figura.3: Señal continua...7 Sistemas de Tiempo Discreto Las señales que procesan estos sistemas son discretas (sucesiones) o digitales, en la figura.4 se ilustra este tipo de señales. T f(n) Donde n Z 3 4 5 6 7 8 Figura.4: Señal discreta. t..8 Sistemas Estocásticos y Determinísticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema, pero no es posible predecir el valor que éstas puedan tomar; una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria, y buscar técnicas basadas en la teoría de probabilidades para analizar el sistema. Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocástico,
6 mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinísticos. Éstos últimos serán los que se estudien en este curso.3 MODELOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES Para entender y controlar sistemas complejos, hay que obtener el modelo matemático que lo representa. Por lo tanto es necesario analizar las relaciones entre las variables del sistema y así obtener su respectivo modelo matemático. Los sistemas que se van ha analizar son de naturaleza dinámica, estos van a ser representados por ecuaciones diferenciales. Además si se puede linealizar estas ecuaciones, se puede aplicar la transformada de Laplace para simplificar el método de solución de la ecuación. En este ítem se estudiara los sistemas dinámicos a partir de las leyes físicas que los rigen..3. Sistemas Mecánicos Las ecuaciones diferenciales que describen el funcionamiento dinámico de un sistema físico se obtienen utilizando las leyes físicas del proceso, por ejemplo las leyes de Newton. A continuación se desarrollaran ejercicios demostrativos sobre este tipo de sistemas mecánicos. Ejercicio.3 Determinar el modelo matemático del sistema que representa por la figura.5. f fricción K M y r(t) Fuerza Figure.5: Sistema masa-resorte. Para el análisis de este sistema recurrimos a la segunda ley de Newton, por lo tanto se tiene que, la fuerza que realiza la masa debido a la fuerza de la gravedad es igual a la fuerza externa r(t) menos las fuerzas que se oponen al movimiento, como son la
7 fuerza que ofrece el resorte y la fricción de la masa con las paredes laterales del sistema, la ecuación que describe este sistema es: M*a(t) = r(t) - f*v(t) - K*y(t) (.) Donde y(t) representa la posición, v(t) la velocidad, a(t) la aceleración, M la masa, f la fuerza de fricción, K la constante del resorte y r la fuerza que se la aplica a la masa. Reescribiendo la ecuación. se tiene que: M (d y(t)/dt )= r(t) - f (dy(t)/dt) - K y(t) (.3) La ecuación.3 representa el modelo matemático del sistema masa-resorte. Ejercicio.4 Obtener el modelo matemático del sistema de la figura.6, desprecia la fricción de las masas sobre la superficie en que se deslizan. f M x K b m y Figura.6: Sistema masa-resorte-amortiguador. La fuerza del resorte actúa sobre ambas masas en proporción a su desplazamiento, mientras que el amortiguador ejerce una fuerza sobre cada masa proporcional a su velocidad, las fuerzas que se ejercen sobre ambas masa son de igual magnitud pero sentidos opuestos, la ecuación que describe este sistema es: M(d x/dt )= f+b[(dy/dt) - (dx/dt)] + K(y - x) (.4) m(d y/dt )= -b[(dy/dt) - (dx/dt)] - K(y - x) (.5) Las ecuaciones.4 y.5 describen el sistema masa-resorte-amortiguador..3. Sistemas Eléctricos Para el modelamiento de los sistemas eléctricos se recurre a las leyes de Kirchhoff y Ohm.
8 Ejercicio.5 Determinar el modelo matemático del circuito de la figura.7. Señal de entrada E i y de salida E o. Figura.7: Circuito R-L-C. Para determinar el modelo matemático del circuito R-L-C, se debe analizar el voltaje que cae en cada elemento del circuito y así se conoce la ecuación de corriente de malla, una vez determinada la ecuación de la corriente, se halla la ecuación del voltaje que almacena el condensador. LdI/dt + RI + C - Idt = E i C - Idt = E o (.6) (.7) Las ecuaciones.6 y.7 representan el modelo matemático del circuito R-L-C. Ejercicio.6 Teniendo en cuenta el circuito de la figura.8, con señal de entrada E i y de salida E o, determinar la ecuación que rige su funcionamiento. I3 I I E Figura.8: Amplificador Operacional Realimentado. Utilizando las reglas de simplificación de diseño de amplificadores operacionales, se tiene que I =I +I 3, ahora se determina la ecuación para cada corriente:
9 I = (E i -E )/R I = (E -E o )/R I 3 = C d(e -E o )/dt Como I =I +I 3 y como E =V n =V p = entonces (E i )/R = (-E o )/R + C d(-e o )/dt (.8) La ecuación.8 representa el modelo matemático del amplificador operacional realimentado de la figura.8..3.3 Aspectos de otros Sistemas Dinámicos Algunos sistemas de control implican la regulación de variables físicas como temperatura, presión, flujo, campos electromagnéticos, entre otras; cada uno de estos sistemas obedece a leyes físicas como la termodinámica, electromagnetismo, etc., que permiten al ingeniero determinar las ecuaciones que describen su funcionamiento y por ende obtener su modelo matemático..4 LINEALIZACIÓN DE MODELOS NO LINEALES Todos los sistemas son no lineales si sus variables aumentan sin ningún límite. Por ejemplo el sistema masa-resorte del ejercicio.3 esta descrito por la ecuación.3 y es lineal siempre y cuando la masa este sujeta a pequeñas deflexiones y(t); sí y(t) aumenta continuamente, el resorte terminará por romperse. Por tanto los sistemas deben considerarse la linealidad del sistema solo en un intervalo de aplicación. Existe matemáticamente la forma de linealizar los sistemas que no son lineales, suponiendo unas condiciones especiales, al igual que se tiene cuando se aplica el equivalente circuital de un transistor o amplificador operacional. Considerando un sistema dinámico cuya entrada sea x(t) y la señal de salida es y(t), la relación de estas dos señales es: y(t) = g(x(t)) (.9) La relación se puede ver en la figura.9. y y dg dx x=x o y = g(x) x x Figura.9: Respuesta de un elemento no lineal.
El punto de operación se define por x, como la curva es continua alrededor de este punto, se puede realizar el desarrollo en series de Taylor en el punto de operación así: dg( x) ( x x ) d g( x) ( x x ) y = g( x) = g( x ) + + +...!! x = x x= x (.) dx dx La recta tangente al punto de operación tiene una pendiente de dg ( x) dx x= x y es una buena aproximación lineal de la curva en un pequeño intervalo (x-x ), entonces la ecuación de la recta en este intervalo es: dg( x) y = g( x) = g( x ) + x= x ( x x ) = y + m( x x ) (.) dx Donde m es la pendiente de la tangente en el punto de operación, reescribiendo la ecuación., los demás términos de la serie son despreciados por su poco aporte a la función. y - y = m(x x ) (.) La ecuación. cumple con las propiedades de superposición y homogeneidad de los sistemas lineales. Si la variable dependiente y dependen de diferentes variables de excitación, x, x,..., x n entonces la relación se escribe y = g(x, x,..., x n ) (.3) El desarrollo en series de Taylor en el punto de operación x o, x o,..., x no es útil para la aproximación lineal a la función no lineal, cuando se desprecian los términos de orden mas alto la aproximación es y = g( x o g( x)... + x n, x o x= x,..., x ( x n no! g( x) ) + x x no ) x= x ( x x! o ) g( x) + x x= x ( x x! o ) +... (.4) Donde x es el punto de operación. Ejemplo.7 Considere el péndulo de la figura.. donde el momento de torsión en la masa es: T=MgLsenθ
Donde g es la constante de la fuerza de la gravedad, la condición de equilibrio es θ=. Entre T y θ existe una relación no lineal que se representa en la figura.. θ L M Figura.: Péndulo. T -π -π/ π/ π θ Figura.: Relación entre T y θ. La primera derivada calculada en el punto de equilibrio, proporciona la aproximación lineal, luego T T senθ = MgL θ = θ ( θ θ = MgL( θ )cos θ ) T = MgLθ (.5) π π Esta aproximación es exacta para θ. 4 4 Ejemplo.8 Linealizar la ecuación para la dependencia de las tasas de reacción química de la temperatura: k(t)=k o e -(E/RT) Donde ko, E y R son constantes. De la ecuación. se tiene: dk( T ) k( T ) k( T ) + T = T ( T T ) dt
dk( T ) ( E / RT ) E E T = T = ke ( ) = k( T )( dt RT RT Sustituyendo en la ecuación general E k( T ) k( T ) + k( T ) ( T T ) RT La ecuación anterior es la linealización de k(t)=k o e -(E/RT) en el punto de operación T. ).5 MODELOS EN TERMINOS DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA La función de transferencia es utilizada para obtener la relación entre la señal de entrada y de salida de un sistema. La función de transferencia de sistemas dinámicos (representada por ecuaciones diferenciales), es la relación entre la transformada de Laplace de la señal de entrada y la salida. La linealización de sistemas físicos permite al ingeniero aplicar la transformada de Laplace, esta transformada sustituye las ecuaciones diferenciales que describen el sistema, facilitando la solución de dicha ecuación. Considerando un sistema lineal dado por la siguiente ecuación diferencial: a x n +a x n- +...+a n x = b y m +b y m- +...+b m y (m n) (.6) Donde y es la salida y x la entrada. La función de transferencia se obtiene aplicando la transformada de Laplace bajo el supuesto que las condiciones iniciales sean cero. FT=G(s)= Y(s)/X(s) Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación.6, se obtiene X(s)[a s n +a s m- +...+a n ]= Y(s)[b s m +b s m- +...+b m ] por lo tanto la función de transferencia es: a s n +a s m- +...+a n FT=G(s)= b s m +b s m- +...+b m La máxima potencia del denominador indica el orden del sistema, en el caso anterior el sistema es de orden ene-esimo.
3 En la tabla. se encuentran las trasformadas de Laplace más utilizadas en el curso. f(t) F(s) Función Impulso Función Escalón /s Función Rampa /s e -at /(s+a) Sen(wt) w/(w +s ) Cos(wt) s/(w +s ) d k f(t)/dt k s k F(s)-s k- f()-s k- f () -...- f (k-) () t f(t)dt - Tabla. F(s)/s+( f(t)dt o - )/s Ejercicio.9 Retomando el ejercicio.6, donde la ecuación diferencial que determina el funcionamiento del amplificador operacional realimentado es: (Ei)/R = (-Eo)/R + C d(-eo)/dt (.8) Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación.8 se tiene: E(s)/R=-Eo(s)/R + CS(-Eo(s)) Como la función de transferencia está dada por FT= Eo(s)/E(s), por lo tanto, F( S) = = (.7) R R + CS R R + CSR La ecuación.7 es la función del amplificador operacional realimentado. Ejercicio. Determinar la función de transferencia del sistema que se presenta en la figura..
4 R(S) + _ 4( S + 4) S + 6 4 S( S + ) C(S) Figura.: Diagrama en bloques de un sistema realimentado. Teniendo en cuenta la bucla clásica de control de la figura. y definiendo la señal de error como E(s), la entrada R(S), la salida C(S), la realimentación X(S), la función de transferencia está dada por: E(S)G(S)=C(S) (.8) Donde G(s) es la función de transferencia del sensor y la planta. Además E(S)=R(S) - X(S) y X(S)=H(S)C(S) De las anteriores ecuaciones se obtiene E(S)=R(S) - H(S)C(S) (.9) Sustituyendo.9 en.8 C(S)=G(S)[R(S) - H(S)C(S)] C(S)[+H(S)C(S)]=R(S)G(S) Por lo tanto la función de transferencia de la bucla de control es: C( S) R( S) G( S) = (.) + G( S) H ( S) Sustituyendo las funciones de transferencia de la figura. en la ecuación., se tiene: C( S) R( S) 4( S + 4) 4 S + 6 S( S + ) = 4( S + 4) 4 + S + 6 S( S + ) = 6( S + 4) S( S + 6)( S + ) + 6( S + 4)