SOFTWARE PARA MANEJO DE SISTEMAS DINAMICOS Introducción Laura Patricia Peñalva Rosales En el estudio de los Sistemas Dinámicos uno encuentra cálculos que, si bien son teóricamente simples, pueden ser un obstáculo en el aprendizaje de conceptos fundamentales y en el análisis de tales sitemas. Si la representación del sistema es matemática, la solución se encuentra algunas veces en forma analítica, aplicando métodos directos de solución, y otras, generando diversas soluciones numéricas, modificando en forma simulada y con el uso de computadoras las seiíales de entrada y las condiciones iniciales del sistema, y aplicando métodos iterativos de solución. La literatura existente sobre este tipo de soluciones se encuentra concentrada en el campo de la Ingeniería; es muy abundante y se presenta con enfoques variados; pero, en general, no detalla ni algoritmos ni apoyos computacionales posibles. Algunos desarrollos computacionales existentes han sido elaborados con lenguajes "obsoletos" y, muchos de ellos, implementados para computadoras grandes o con enfoque exclusivo a problemas particulares, esto los hace generalmente incompletos e imprácticos para fines de nueva aplicación en rírens de conocimiento distintas a la Ingeniería. El propósito central de este proyecto es elaborar apoyos operacionales computarizados para promover la aplicación de la
Sofiware para mattejo... llamada Teoría del Control en el estudio de Sistemas Dinámicos, en campos de conocimiento distintos a los de la Ingeniería, particularmente en los referidos a las Ciencias Sociales. 1) QUE SON LOS SISTEMAS DlNAMICOS Un Sistema Dinámico es un conjunto de elementos que interactúan en forma conjunta para el cumplimiento de un objetivo determinado y que se caracteriza por presentar un continuo proceso de evolución, es decir, por un comportamiento cambiante y adaptable a las situaciones novedosas que le afectan. 2) TEORIA DEL CONTROL Cuando el sistema tiene una "actitud de comando, dirección o regulación dinámica, sea sobre sí mismo, sea sobre otros sistemas, se le conoce como un Sistema de Control. Los Sistemas de Control se clasifican como sistemas de "lazo abierto" y sistemas de "lazo cerrado": en los primeros, la salida no tiene efecto sobre la señal de control del mismo sistema, mientras que en los últimos sí; luego, los sistemas de lazo cerrado son Sistemas de Control por Retroalimentación. El concepto de retroalimentación, como proceso fundamciital de la naturaleza, se halla presente en casi todos los sistemas dinámicos; se dice que se presenta cuando existe una secuencia cerrada causa-efecto entre las variables del sistema. Véase figura 1.
Producciórt Econótíiica Figura 1 Figura 1 Señal Salido Controlado Referencia Elementos de Retroalirnentaci6n Planla: un equipo cuyo objetivo es renlizar una función determinada. Proceso: Operación o desarrollo natural y progresivo que se caracteriza por una serie de cambios graduales que llevan sistemáticamente hacia un Ein determinado. Perturbación: scñal que tiende a afectar en forma adversa el valor de salida de un sistema. Elementos de retroalimentación: Medida de la diferencia entre comportamiento real y esperado del sistema. Control de retroalimentación: operación que, en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida producida y el estado deseado de un sistema, y que lo hace con base cn esta diferencia. Sistemas de Control retroaliinentiido: aquél que tiende a mantener una relación preestablecida entre la salida y entrada de referencia, comparando ambas y utilizando la diferencia como parámetro de control.
Los sistemas de control por retroalirneiitación, miden la señal de salida y la comparan con un valor esperado de funcionamiento. La diferencia encontrada les indica en qué magnitud y dirección debe ser corregida la entrada de referencia para "alcanzar" cse valor esperado. Considerar la retroalimentación resulta útil cuando el funcionamiento del sistema en cuestión puede ser afectado por perturbaciones no previsibles y/o por variacioiies imprevisibles de componentes del mismo. Uno de los conceptos fundamentales en el estudio de los sistemas es el de estabilidad. Se dice que un sistema es estable si permanece en reposo, a no ser que se excite por una fuente externa y, en tal caso, volverá al reposo una vez que desaparezcan todas las excitaciones. Dicho de otra manera, la estabilidad existe si la respuesta del sistema a un impulso dado tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito, o, desde otro punto de vista, si cada entrada linlitada produce una salida limitada. En los sistemas de lazo cerrado la estabilidad siempre constituye un problema de importancia, pues existe una tendencia a sobrecorregir los errores, lo cual puede producir oscilaciones en las respuestas. 3) TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DINAblICOS Los siguientes pueden ser coilsiderados como estados subsecuentes en el análisis de un sistema dinámico: - RepresentaciOn del sistema. - Determinación de una solución espccífica.
Producción Econóntica - Exploración de las relaciones estructiirales existentes, para conocer cúanto influye un cierto parámetro en la solución. - Determinación de las relaciones existentes entre estructuras y comportamientos. - Control sobre el comportamiento del sistema para la continuación de una o varias actividades necesarias para su operación. Dado que el análisis de los sistemas se refiere a la investigación de sus propiedades, se necesita presentar la configuración de los mismos en forma tal que sea susceptible de análisis. Se reconoce que la investigación significativa de un fenómeno involucra la consideración de un gran número de variables interrelacionadas. Uno suprime algunos detalles y evalúa la importancia de las interrelaciones encontradas con tal de lograr un mejor entendimiento del fenómeno en estuclio. En iiluchos casos, el comportamiento dinámico puede ser entendido y analizado de manera intuitiva; pero, para lograr.,*ía aproximación más eficiente a situaciones que no son familiares, o que son más complejas, resulta imprescindible contar con representaciones más sistemáticas, objetivas y comunicables. 4) PAPEL DEL ALGEBRA LINEAL EN EL ANALISIS DE SISTEMAS Las matemáticas proveen de un lenguaje adecuado y económico para la representación y el análisis de los sistemas dinámicos. Si bien es enorme el número de situaciones dinámicas reales que se
Sofiware para nzar~ejo... pueden encontrar, el número de formas generales correspondientcs en la representación matemática es relativamente pequeño. Las herramientas matemáticas a utilizar deben tener la característica de combinar los cambios en el tiempo con la acci0ii de múltiples variables incidentes. Dada la característica de cambio en los sistemas dinríinicos, la representación de su configuración estructural y comportamiento está dada por ecuaciones en diferencias (si las scíiales de entrada-salida son discretas) o por ecuaciones difereiiciales (si las señales de entrada-salida son continuas), las cuales explicitan cómo se relacionan las razones de cambio en el tiempo de variables del sistema con otros parámetros del mismo. Respecto a la incidencia de múltiples variables, nos encontramos con la existencia de Sistemas Dinámicos lineales y no lineales. Los primeros pueden identificarse por cumplir con el principio de superposición, que seiiala: "la respuesta generada por diversas entradas actuando en forma simultánea es igual a la suma de las respuestas de cada entrada actuando sola". Si bien ningún sistema se podrá describir exactamente por medio de ecuaciones diferenciales (ó en diferencias) lineales, muchos sistemas tienen un intervalo limitado de linealidad o bien se pueden aproximar por tales ecuaciones. Cuando la respuesta de cada uno de los componentes del sistema, y, por lo tanto, del sistema mismo, no depende del tiempo sino más bien sólo de la entrada proporcionada a tal sistema, se dice que el sistema es invariable en el tiempo. La representación matemática de esto se refleja en el hecho de que los coeficientes de las ecuaciones diferenciales representativas son constantes.
Producción Económica Aunque es difícil pensar en un sistema cuyos componentes internos no cambien en el tiempo, dada por ejemplo la degradación natural de los mismos, se puede iniciar el estudio de la teoría matemática de representación de Sistemas Dinámicos bajo esta consideración, dado que los resultados obtenidos fundamentarán, de manera importante, lo que se plantee para sistemas dinámicos variables en el tiempo. Los sistemas complejos de múltiples entradas y salidas requieren para su descripción una gran cantidad de ecuaciones simultáneas. La resolución de sistemas lineales con coeficientes constantes es en algún sentido el corazón de la teoría de sistemas dinámicos; aquella se deriva directamente de la Teoría de Matrices y de conceptos fundamentales del Algebra Lineal, como son el de eigenvalores (raíces características o valores propios) y el de eigenvectores (vectores característicos o propios): Toda ecuación diferencial tiene asociado un polinornio caractenstico que, al ser igualado a cero, forma una ecuación cuya solución pasa a su vez a conformar un conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial original. En un sistema lineal invariable la respuesta se compone de una suma de funciones de tiempo exponenciales, cuyos exponentes son las raíces de la ecuación característica del sistema. Luego, una condición necesaria para definir al sistema como estable es que las partes reales de estas raíces sean negativas, ya que esto asegura que la respuesta al impulso decaerá exponencialmente con el tiempo. Por otra parte, los vectorespropios definen a los sistemas dinámicos de primer orden que se hallan involucrados dentro del sistema total, pero que pueden presentar un comportamiento independiente del resto del sistema. Si se pueden encontrar un 105
Sofiware para marzejo... conjunto de vectores propios linealmente independientes, el sistema total, originalmente complejo, puede descomponerse en una colección de sistemas de primer orden. Los sistemas de control complejos pueden tener n~últiples entradas y múltiples salidas, y pueden ser variables en el tiempo. Del análisis de estos sistemas surge la Teonrr de COrltrol Modenza basada en el concepto de estado: El estado de un sistema dinámico queda definido por el conjunto más pequeño de variables cuyo valor al tiempo t = to junto con la entrada a un tiempo t to determinan totalmente el comportamiento futuro del sistema. Si consideramos el conjunto de variables de estado xl(t),..., xn(t) como las componentes de un vector, que por ello llamareinos vector de estado, éste determinará en forma unívoca el estado del sistema para cualquier t to, una vez especificada la entrada u(t). La Teoría de Control Moderna basa su descripciórl del sistema dinámico erz una ecuació~z difererzcial vectorial-nzatricial de primer orderl dotzde el tiempo es la variable irzdeperidietzte. Los procedimienlos utilizados para el análisis de los sistemas con el uso de esta notación son apenas algo más complejos que los requeridos para el análisis de ecuaciones diferenciales escalares de primer orden: - x (t) =A X(t) +6 ü(t) y (t) =z X(t)
Produccióiz Económica A - x (t) - x (9 la matriz de paráinetros o coeficientes del sistema, el vector de estados, el vector de estados derivado, 6 (0 el vector de distribución de entradas, - u (9 la entrada de control K - r (t) ganancia controlada, entrada de referencia, l coeficientes de retroaliinentación, Y (9 - c salida controlada, y vector de salida. La solución de una ecuación diferencial homogénea x = ax, viene dada por x(t) = e at x(0). En forma análoga, la solución de la ecuación diferencial vectorial- inatricial es - x (t) = eat?(o) que se puede escribir coino
Software para manejo... - x (t) = 0 (t) ;(o) con A ~ (t) se le llama la Matriz de Transición de estado. En la solución de ecuaciones de estado no homogéneas, de la forma x(t) = &(t) + BÜ(t), también se halla presente la matriz de transición ~ (t) = e At en la solución: la solución es aquí la suma de un término consistente en la transición a partir del estado inicial y un término que se produce por el vector de entrada. Varias técnicas usadas para resolver problemas se basan en reemplazar funciones de la variable real tiempo por funciones de variable compleja que dependen de la frecuencia. La transformada de Laplace es un tipo de transforn~ación que relaciona este tipo de funciones y que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, la propiedad fundamental de esta transformada y su inversa es que son lineales. El método de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones de estado lioinogéneas, al extenderse a la ecuación vectorial-matricial antes mencionada, genera la solución
Producción Ecortómica donde la transformada inversa de Laplacc aplicada a (SI- A )-~ da -1 [(SI - A)-'] = e At La matriz resolvente (SI- A)-' = fi (S) se calcula en la forma con D(s) el polinomio característico det(si - A). Para definir un sistema lineal discreto invariante y de orden n, la forma general usada es: con k el referente de tiempo A - x(k) B - u@) la matriz de coeficientes del sistema, el vector de estado, la matriz de distribución de las entradas, el vector de entrada controlada,
Software para rnarlejo... C 7 (k) la matriz de salida, y el vector de salida controlada. Si sólo se especifica una variable de salida y(k), C se vuelve de orden 1 x 11, la notación usada es ahora Desde el punto de vista de la Teoría del Cottrol, la estructura de las entradas determina el grado en el que el coinportamiento del sistema puede ser modificado y la estructura de las salidas gobierna la clase de información disponible para control. Si el sistenia es de entrada y salida íinicas, es posible deducir una única ecuación en diferencias que gobierne la variable de salida, este procedimiento es inverso al de coiivertir una ecuación de orden 11 a la forma del espacio de estados. Si el sis~eina tiene varias entradas y salidas, resulta posible y útil particionarlo en un conjunto interconectado de subsi\ternas, cada uno de los cuales tenga una entrada y una salida. Cada subsistema puede ser aiiali7ado por separado y los resultados conlbinados de la manera más adecuada. Esta coinbinación es un punto importante del tratamiento liecho vía la Teoría del Control. 5) JUSTIFICACION Y OBJETIVOS ESYECIFICOS DEL SOFTWARE QUE SE PRESENTA La Teoría de Sistemas de Control por Retroalimentación surge en la Ingeniería, se extiende pronto a diversos campos de la Física y se 110
desarrolla con una marcada orientación hacia aplicaciones tecnológicas. Su amplia formulación matemática y sus planteamientos analógicos le permiten ser considerada como un enfoque valioso en diversos campos del conociinieilto, sin embargo, dado que es una amplia investigación experimental la que sustenta y valida la Teoría del Control en Ingeniería, sólo el estudio de situaciones reales en otras áreas podrá enfatizar su utilidad práctica en la formulación y resolución de problemas en las mismas. Recordando que el propósito central de este proyecto es elaborar apoyos operacionales coinputarizados para promover la aplicación de la Teoría del Control en el estudio de Sistemas Dinámicos, particularmente en campos de conocimiento referidos a Ciencias Sociales; este análisis pretende específicainente, lo siguiente: Atender la Descripción y Retroalimentación de Variables de Estado en Sistemas de Control Lineal. Tratar el estudio de la estabilidad solamente en sistemas invariantes, ya que en los variables los coeficientes generan problemas en el análisis de estabilidad por la convergencia. 6) METAS 1) Adaptar a una versión moderna del lenguaje Pascal, y para uso en computadoras personales, aigunos desarrollos metodológicos de la Teoría del Control elaborados en lenguaje Fortran.
Sofiare para rltarzejo... 2) Desarrollar el "software" de apoyo necesario para introducir la metodología de este tipo a toda persona con antecendentes mínimos en computación. 3) Ilustrar la aplicacion de la Teoría del Control, a algunos casos concernientes a las Ciencias ~ocia1es.l 7) FORMAS DE TRABAJO DEL NUEVO SOFTWARE La metodología propuesta por la Teoría del Control se computarizará mediante el uso de Métodos de Análisis Numérico. Estos métodos pretenden aproximarse, mediante iteraciones sucesivas, a la solución del problema planteado inatemáticainente. Su eficicncia dcpende de la precisión requerida y de la facilidad de implementación. La elección del método apropiado estará fuertemente influenciado por los cambios lecnológicos en las computadoras. Dado que, tanto la representación como la aritmética usadas por la computadora son inexactas, se deberá considerar, en forma paralela a la metodología de aproxin~ación usada, la cota de error máxima que cada método permite al aplicarse. Puesto que los procedimientos de aproximación o algoritmos se conforman con una sucesión de cálculos, será necesario establecer 1 Dichos casos no se presentan en este escrito, debido a que está en la fase de estudio y selección.
técnicas de identificación de entradas que generen "círculos viciosos", para dar criterios de salida "normal" a los algoritmos. Si bien la representacion de sistemas diiiáinicos continuos se hace con ecuaciones diferenciales y la de sistemas diiiámicos discretos con ecuaciones en diferencias, las formas computacionales algorítmicas que se aplican son idénticas, dado el paralelismo existenle en la teoría y solución de ambos tipos de ecuaciones. La solución de sistemas lineales se puede realizar a través de métodos directos, que proporcionan una respuesta en un número predeterminado de pasos y sujeta solamente a errores de redondeo; o bien por métodos iterativos, en los cuales habrá que considerar también algunas cuestiones sobre valores iniciales y convergencia en In solución. Las rutinas que se tienen hasta el iiiomento, son apenas las básicas para el desarrollo de otros elementos de análisis más sofisticados. Estas son las siguientes : DET Calcula el determinante de un matriz. Forma de llamado: var = DET(A,n) Usa el Alelodo de eli~~ziiiacióri de Gauss para transformar la matriz en una forma triangular superior. CHREQA Determina el polinomio característico det(s1 - A) para la matriz A. Forma de llamado:
Sofn~arepara manejo... CALL CHREQA(A,n,) Usa el Método del nzenarpnncipal. CHREQ Determina el polinomio característico det(s1 - A), mediante llamada a CHREQA, y la matriz resolvente (SI - A)-' de la matriz A. Forma de llamado: CALL CHREQ(A,n,n,imp) Usa el AIgon11710 de Leverrier para calcular la matriz resolvente -(S) = (SI - A) en la forma con D(s) el poliiiomio característico y R la matriz de coeficientes generada mediante la Transformada de Laplace. PR(.)OT Encuentra las raíces de un polinomio con coeficientes reales. Forina de llamado: CALL PR(:)OT(ii,(I, EI(;ENR, ET(JENI,ordcoef)
Usa el Método tnodificado de Bairstow. Observación: la matriz resolvente es impresa por la misma rutina que la calcula, conforme este cálculo se da. SIMEQ Resuelve un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas de la forma A X = m = XDOT ó invierte una matriz. Forma de llamado: CALL SIMEQ(A,P,n,AINV, X,sing) Usa el Método de eliminación de Gauss con pivote0 de coluinnas. VECA Calcula vectores característicos. Forma de llamado: CALL VECA(EICJENR, E ' Q,,, QI ) Utiliza el Método de Fadeva-Levewier. STMST Calcula la matriz de transición de estados -(t) = exp(at) para la matriz A.
Software para mane]o... Forma de llamado: CALL STMST(ii,(n, A, m, Fl(;ENI, imp ) ) Se basa en el Teoren~a de expansión de Sylvester. Observación: la matriz de transición es inipresa por la misma rutina que la calcula, conforme este cálculo se da. Existen además algunas rutinas auxiliares coino son: MATLEE Que permite introducir orden y elementos de la matriz, opcionalniente, desde archivo o monitor. ASGSAL Que asigna la salida hacia monitor, archivo 6 impresora de acuerdo a lo indicado por el usuario. MATPRN Uue se encarga de la presentación dc la matriz a trabajar.
Producción Económica La relación de las rutinas de cálculo presentadas con los tipos de análisis que, a futuro, serán computarizados es: Como muestra de las consideraciones que se hacen para la conformación de un Método de Análisis Numérico en computadora, se presenta, por el momento, el Mktodo de Bairstow (usado en la rutina PROOT para el cálculo de valores característicos).
Software para i~za~tejo... Método de Bairstow Este método deteriiiina los factores cuadráticos de una expresión polinómica p(x) para encontrar todas las raíces (reales o complejas) de la ecuación p(x) = O, mediante la aplicación de la fórmula cuadrática a cada iino de estos factores. Para conformar este método se considera necesario encontrar primero un conjunto de constantes bo, bl,..., bn tales que relacionen a un polinomio p(x) = aoxn + alxn-' +... + an, de grado n 2 y a un polinomio cuadrático ( x2 - ux - v ) en la identidad: donde Dada esta expresión, se puede probar que ( 2 - ux - v) es un factor cuadrático de p(x) si bn.l = bn = 0. Al igualar las dos expresiones de p(x) y comparar los coeficientes de iguales potencias de x, se encuentra que con b.1 = b-2 = 0. Luego, los coeficientes bi son funciones de las variables u y v, así, el problema de determinar un factor cuadrático del polinomio p(x) es equivalente al de determinar una u y una v tales que
Producciórí Eco~iómica para resolver este siste1na.de ecuaciones simultáneas se aplica el método de Newton. El procedimiento finalmente obtenido se conoce como Método de Bairstow: Dado el polinomio p(x) = aoxn + alx-' +... + a, y un factor cuadrático tentativo arbitrario ( 2-uox-vo), se determina una sucesión de factores cuadráticos { 2-ukx-vk ) como sigue: Para cada k = 0,1,... se determina la sucesión {bi(k))' partiendo de b.2 = b.1 = O, con y la sucesión {ci(k)), partiendo de c-2 = c-1 = O, coi> Se calculan entonces para encontrar r.. + 1 = iik + k y vk + I = vk + k como valores más aproximados a la solucióii u y v.
Software para niatzejo... Cuando {bi(k)) llegue al valor O, la coilvergeilcia se Iia alcan/;iclo. Las raíces se obtienen ahora mediante la fórmula coilsiderando como valores de u y v los últimos nlcaiiz;ido\ por uk y Vk. En la Figura 2, se muestran algunos de los resultados obtcriidos en una sesión de trabajo con MATBAS, programa que aglutina las rutinas presentadas para configurar los Elcmciltor Básicos de Análisis de Sistemas de Control por Retroalimentación. FIGURA 2 Entrada por monitor o archivo (MJA)' M Título de idcntilicación del problen~a : Primer e~jemplo Orden de la matriz : 3 elemento 1,l: O elemento 1,2: 1 elemento 1,3: O elcinento 2,l: O elemento 2,2: O elemento 2,3: 1 elemeilto 3,l: -2 clemenlo 3,2: -3 elemento 3,3: -3 Salida a rnonitor, archivo o impresora (MINE')? M
Producción Econónzica PROGRAMA BASICO DE SISTEMAS DINAMlCOS IDENTIFICACION DEL PROBLEMA: Primer ejemplo. DE UN < ENTER > PARA CONTINUAR. IDENTIFICACION DEL PROBLEMA: Primer ejeinplo. e) entrada de datos d) determinante i) inversa S) solución de sistema de ecs. p) polinomio característico m)atriz resolvente r) raíces características v) vectores característicos t) transición (matriz de ) f) fin de programa OPCION : i
Software para rnanejo... > Requiere la matriz y el orden de la inisrna < > i YA HA DADO ENTRADA A LOS DATOS? (slii) : s LA MATRIZ INVERSA de A es : DE UN < ENTER > PARA CONTINUAR > Requiere matriz original y orden de la misma < > YA HA DADO ENTRADA A LOS DATOS? (s/n) : s El POLINOMIO CARACTERISTICO en potencias ascendentes de S es : DE UN < ENTER> PARA CONTINUAR > Requiere polinomio característico < > con los coeficientes del mismo < > dados en orden ascendente < > YA HA CALCULADO EL POLINOMIO CARACTERISTICO? (s/n) : s
Producción Económica LOS VALORES PROPIOS de la matriz A son : Parte Real Parte Imaginaria DE UN < ENTER > PARA CONTINUAR > Requiere matriz original, orden de la misma QQQ > y valores propios < > YA HA CALCULADO LOS VALORES PROPIOS? (s/n) : s ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE TRANSlCION La matriz coeficiente de EXP(-5.0000000000E-O1)T * La matriz coeficiente de EXP(-5.0000000000E-01)T *
La matriz coeficiente de EXP (-2.0000000000E + O0)T DE UN < ENTER > PARA CONTINUAR IDENTIFICACION DEL PROBLEMA: Primer ejemplo e) entrada de datos d) determinante i) inversa S) solución de sistema de ecs. p) polinomio característico m)atriz resolvente r) raíces características v) vectores característicos
Producc~óiz Económica t) transición (matriz de ) f) fin de programa