EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LINEAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA www.cedicaped.com
FUNCIONES LINEALES APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA 1. Una máquina se compra en 60000 dólares. Los contadores han decidido servirse de un método de depreciación en línea recta, y la máquina se deprecia completamente al cabo de 8 años. Indicando Con V el valor de la máquina en libros y con t su edad, determine la función V = f(t). (suponga que no hay valor de reventa o salvamento). Tiempo (t) Valor (V) 0 60000 8 0 m = y 2 y 1 = 60000 0 = 7500 x 2 x 1 0 8 y 0 = 7500(x 8) y = 7500x + 60000 V = 7500t + 60000 w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 1
2. En el ejercicio anterior suponga que la máquina tendrá un valor de reventa de $ 10000 al cabo de 8 años. Determine la función V = f(t) para esta situación. m = y 2 y 1 60000 10000 = = 6250 x 2 x 1 0 8 y 10000 = 6250(x 8) y 10000 = 6250x + 50000 y = 6250X + 60000 V = 6250t + 60000 Tiempo (t) Valor (V) 0 60000 8 10000 w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 2
3. Una máquina se compra en 400000 dólares. Los contadores han decidido valerse del método de depreciación en línea recta, y la máquina se deprecia totalmente después de 10 años. Determine la función V = f(t). Suponga que no hay valor de reventa. m = y 2 y 1 = 400000 0 = 40000 x 2 x 1 0 10 y 0 = 40000(x 10) y = 40000x + 400000 V = 40000t + 400000 Tiempo (t) Valor (V) 0 400000 10 0 w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 3
4. Una compañía adquiere automóviles para sus ejecutivos. En el presente año el costo de compra es de $ 15000. Las unidades se conservan 3 años, una vez transcurridos los cuales se espera que su valor de reventa sea de $ 3600. SI los contadores aplican la depreciación en línea recta determine la función que describa el valor en libros V en función de la edad del automóvil t. y 3600 = 3800(x 3) y 3600 = 3800x + 11400 y = 3800x + 11400 + 3600 y = 3800x + 15000 Tiempo (t) Valor (V) 0 15000 3 3600 m = y 2 y 1 15000 3600 = = 3800 x 2 x 1 0 3 V = 3800t + 15000 w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 4
5. Un departamento de policía piensa que las tasas de arresto R son una función del número de oficiales vestidos de civil n que son asignados a la vigilancia. La tasa de arrestos se define como el porcentaje de casos en que se han hecho arrestos. Se cree que la relación es lineal y que, con cada oficial más que se asigne a la fuerza policial vestida de civil, aumenta la tasa de arrestos en 0.90%. SI la fuerza actual consta de 20 oficiales y la tasa de arrestos es de 32%, a) Defina la función R = f(n); b) Interprete el significado de la intersección con el eje vertical. m = 0.90 y 32 = 0.90(x 20) y 32 = 0.90x 18 y = 0.90x 18 + 32 y = 0.90x + 14 Número oficiales n Tasa arrestos R 20 32 R = 0.90n + 14 Si n = 0 R = 0.90(0) + 14 = 14 Si no se asignan oficiales vestidos de civil, la tasa de arrestos será igual al 14% w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 5
6. Los índices (tasas) de criminalidad han ido en aumento, por lo cual el número de pistolas en circulación parece estar creciendo. Según una encuesta de 10 años aplicada a los habitantes de un estado, se observa un extraordinario crecimiento lineal en la cantidad de pistolas con el tiempo. En 1990 el número estimado era de 45000; en el año 2000 fue de 58000. Sea n el número de pistolas que poseen los residentes de la ciudad y t (t = 0 para 1990) Tiempo t Pistolas n (miles) 1990 = 0 45 2000 = 10 58 m = y 2 y 1 58 45 = x 2 x 1 10 0 = 1.30 y 45 = 1.30(x 0) y 45 = 1.3x y = 1.30x + 45 n = 1.30t + 45 b. Si el número de pistolas sigue aumentado al mismo ritmo, cuándo será mayor que 75000? Partiendo de: n = 1.30t + 45 1.30t + 45 > 75 t > t > 23.07 años 75 45 1.30 Para el año 2014 (1990+24) se estima que el número de pistolas será mayor que 75000 a. Interprete el significado de la pendiente: Interpretación de la pendiente: m = 1.30 (miles) Cada año, se incrementan 1300 pistolas; siendo este un indicador del incremento de la tasa de criminalidad. w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 6
7. Antes de la huelga de 1981, el béisbol de grandes ligas era uno de los principales deportes en Estados Unidos en cuanto al número espectadores. La asistencia en 1978 fue de 54.88 millones frente a 53 millones en 1977. SI la asistencia ha ido creciendo de modo lineal partir de 1975, a. Determine la función y = f(t), donde y es la asistencia anual y t el tiempo. Medido en años (t = 0 para 1975) b. Estime la asistencia en 1975 c. Suponiendo que la huelga no haya tenido un efecto negativo, cuál será en 1990? Solución: a. Determine la función y = f(t), donde y es la asistencia anual y t el tiempo. Medido en años (t = 0 para 1975) Tiempo t asistencia y (millones) 1978 = 3 54.88 1977=2 53 m = y 2 y 1 54.88 53 = = 1.88 x 2 x 1 3 2 y 53 = 1.88(x 2) y 53 = 1.88x 3.76 y = 1.88x 3.76 + 53 y = 1.88x + 49.24 y = 1.88t + 49.24 b. Estime la asistencia en 1975 (1975 t = 0) y = 1.88(0) + 49.24 y = 49.24 millones c. Suponiendo que la huelga no haya tenido un efecto negativo, cuál será en 1990? (1990 t = 15) y = 1.88(15) + 49.24 y = 77.44 millones w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 7
8. El departamento de salud de un estado estima que el número de los que usan cocaína en él ha ido aumentado en una proporción lineal. El número estimado de consumidores en 1980 fue de 95000 y en 1985 fue de 102500. a. Determine la función n = f(t), donde n representa el número de usuarios y t es el tiempo medido en años (t = 0 para 1980). b. Interprete el significado de la pendiente. c. Si el número de consumidores de cocaína sigue creciendo de acuerdo con esta función, cuándo llegará a 125000? a. Determine la función n = f(t), Tiempo t consumidores y (miles) 1980 = 0 95 1985 = 5 102.5 m = y 2 y 1 102.5 95 = = 1.50 x 2 x 1 5 0 y 95 = 1.50(x 0) y 95 = 1.50x y = 1.50x + 95 n = 1.50t + 95 b. Interprete el significado de la pendiente: Cada año que transcurre el número de consumidores de cocaína se incrementa en 1500 c. Si el número de consumidores de cocaína sigue creciendo de acuerdo con esta función, cuándo llegará a 125000? Tomando la función: n = 1.50t + 95 Para n = 125000, se tiene: t = 125 = 1.50t + 95 125 95 1.5 = 20 años Se estima que para el año 2000, el número de consumidores de cocaína sea de 125.000 w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 8
9. Las encuestas recientes indican que el pago de pensión alimenticia o del mantenimiento de los hijos tiende a disminuir con el tiempo transcurrido después del divorcio. Una encuesta aplica la función: p = f(t) = 92 8.5t Donde p indica el porcentaje de casos en que los pagos se realizan y t es el tiempo medido en años después de la sentencia del divorcio. a. Interprete la intersección con el eje vertical b. Interprete la pendiente c. En qué porcentaje de caso se sigue pagando la pensión alimenticia o el mantenimiento de los hijos después de 5 años? a. intersección con el eje vertical Para t = 0 p = f(0) = 92 8.5(0) = 92% Al momento de la firma del divorcio (t = 0) el porcentaje de pago está en el 92%. b. Interprete la pendiente m = 8.5% Cada año se presenta un decrecimiento del porcentaje de pagos de la pensión alimenticia en un valor igual al 8.5%. c. En qué porcentaje de caso se sigue pagando la pensión alimenticia o el mantenimiento de los hijos después de 5 años? Para t = 5 p = f(5) = 92 8.5(5) = 49.5% Después de cinco años (t = 5) el porcentaje de pago de las pensiones está en el 49.50%. w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 9
10. Según una encuesta aplicada a jugadores de fútbol está aumentando el número de lesiones que ponen fin a la carrera de estos deportistas. En 1988 el número de lesiones fue de 103 y en 1995 fue de 124. SI se supone que las lesiones están aumentado en una tasa lineal, a. Determine la función n = f(t), donde n representa el número de usuarios y t es el tiempo medido en años desde 1978. b. Interprete el significado de la pendiente de esta función c. Cuándo se espera que el número de tales lesiones rebase la marca de 200. a. Determine la función n = f(t), Tiempo t lesionados n 1988 =10 103 1995 =17 124 m = y 2 y 1 124 103 = x 2 x 1 17 10 = 3 y 103 = 3(x 10) y 103 = 3x 30 y = 3x + 103 30 y = 3x + 73 n = 3t + 73 a. significado de la pendiente m = 3 Cada año se espera que el número de lesionados se incremente en 3 unidades. b. Cuándo se espera que el número de tales lesiones rebase la marca de 200. Para n = 200 200 = 3t + 73 t = 200 73 3 = 42.33 años c. Después 42 años, es decir: en el año 2020 se estima que el número de lesionados es igual a 200. w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 10
11. El número de pasajeros de una pequeña aerolínea regional ha ido disminuyendo en la tasa lineal. En 2001 fue de 24500 y en 2006 fue de 21500. Si n es el número de pasajeros que viajan en ella por año y t indica el tiempo medido en años (t = 0 para 2001), a. Determine la función lineal n = f(t). b. Interprete el significado de la pendiente. c. Cuál es el número de pasajeros que se espera tener en el año 2010 d. Se estima que la aerolínea quebrará si el número de pasajeros desciende a menos de 18000. De acuerdo con la función de la parte (a), cuando ocurrirá esto? Tiempo t Pasajeros n (miles) 2001 = 0 24500 2006 = 5 21500 m = y 2 y 1 21.5 24.5 = = 600 x 2 x 1 5 0 y 24500 = 600(x 0) y 24500 = 600x y = 600x + 24500 n = 600t + 24500 Significado de la pendiente. m = 600 Cada año, el número de pasajeros que utiliza la aerolínea disminuye en 600. Número de pasajeros que se espera tener en el año 2012 Para t = 2010 2001 = 9 n = 600(9) + 24500 n = 19100 pasajeros Se estima que la aerolínea quebrará si el número de pasajeros desciende a menos de 18000. n < 18000 600t + 24500 < 18000 600t < 18000 24500 600t < 6500 t > 10.83 años La quiebra de la aerolínea se estima en por lo menos 11 años, es decir a para el año2012. w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 11
12. Los datos publicados por la Oficina de Censos de la Nación en 1986 indicaron la probabilidad de que una soltera se casara. Conforme a esta información, cuando mayor sea la mujer menor probabilidad tiene de casarse. En concreto, dos estadísticas revelaron que las que tenían 45 años de edad y siempre habían sido solteras tenían un 18% de probabilidades de contraer matrimonio y las de 25 años tenían el 78% de probabilidad de casarse. Supóngase que una función lineal adecuada a estos puntos ofrece una buena aproximación de la función p = f(a) donde p denota la probabilidad de matrimonio y a representa la edad de la mujer que nunca se ha casado. a. Determine la función lineal p = f(a) b. Interprete la pendiente y la intersección con el eje vertical c. Parecen razonables los valores obtenidos en la parte b? d. Si el dominio restringido de esta función es 20 a 50, determine f(20), f(40), f(50) V. Independiente V. Dependient y 18 = 3(x 45) edad a Probabilidad casarse y 18 = 3x + 135 45 18 y = 3x + 135 + 18 25 78 y = 3x + 153 m = y 2 y 1 18 78 = x 2 x 1 45 25 = 3 p = 3a + 153 Interpretación de la pendiente m = 3; Cada año que pasa la probabilidad de casarse por primera vez disminuye en el 3%. Interpretación de la ordenada en el origen: b = 153 Al momento de nacer una mujer tiene la probabilidad de casarse del 153%. Parecen razonables los valores obtenidos en la parte b? No, la interpretación de la ordenada al origen es irreal, supera el 100%. Si el dominio restringido de esta función es 20 a 50, determine f(20), f(40), f(50) para a = 20 p = 3(20) + 153 = 93% para a = 40 p = 3(40) + 153 = 33% para a = 50 p = 3(50) + 153 = 3% w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 12