1. Ajuste de los Modelos 1

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc. Ajuste de los Modelos. Ajuste de los Modelos.. Introducción 2.2. Obtención Experimental del Modelo 2.2.. Modelado en Lazo Abierto 3.3. Otros Métodos 2.4. Obtención Estadística de los Parámetros del Modelo 3.4.. Método de Identificación por Mínimos Cuadrados 4.4.2. Forma Recursiva: 20.4.3. Inclusión del Factor de Olvido. 24.4.4. Características Estadísticas de la Estimación 26.5. Referencias 42

.. Introducción Métodos usuales: - basado en las leyes físicas - experimental - estadístico.2. Obtención Experimental del Modelo Muchos sistemas en la práctica pueden describirse aproximadamente con un modelo muy simple, de primer o segundo orden. A menudo estos modelos simples son suficientes para realizar un primer diseño de control. Estos modelos simples pueden obtenerse mediante ensayos experimentales sobre el sistema. La idea es proponer la estructura apropiada, por ejemplo un primer orden con retardo ( ) G s s Ke = τ s +, [.] y luego inferir los valores de los parámetros K, y τ de la respuesta del sistema a lazo abierto del sistema. Es común emplear la respuesta al escalón u otra señal simple de excitación. escalón rampa senoide - aleatoria 03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 2

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 3 Puede aplicarse en lazo abierto o cerrado (automático o manual) Es más conveniente en lazo abierto para evitar la complicación de la realimentación Muchas veces no se puede. Plantas inestables o críticas..2.. Modelado en Lazo Abierto Sistema de Primer Orden u f u 0 y f y 0 ˆ yf y K = u u f 0 0 0, 63 ˆ τ = 63 0 [.2]

( ) Gˆ s Kˆ = ˆ τ s +, [.3] Sistema de Primer Orden con Retardo u f u 0 y f y 0 0 δ 63 y ˆ f y K = u u ( ) Gˆ s f = 0 0, ˆ ˆ s Ke d ˆ τ s ˆ τ = 63 δ, = [.4] ˆd δ +, [.5] 0 03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 4

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 5 Sistema Oscilante de Segundo Orden u f ω u 0 A An y f y 0 y ˆ f y K = u u f 0 0 ( ) = 2 2 Gˆ s, d r A n n = A, ˆ ξ = π ln d r + d r 2 4 ln Kˆ ˆ s + 2ˆ ˆ ξ s+, [.7] n n 2, ˆ n ˆ2 ξ ω =, 2π ˆ ω n = [.6] ˆ n

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 6 Sistema de Segundo Orden Sobreamortiguado u f u 0 y f y 0 y 0 73 73 0 y valor de la salida en el tiempo = 0 + 2,6 calcular: y ˆ f y0 y y0 K =, y fr = u u y y f 0 ˆ τ ˆ τ ˆ τ total 73 0 = + 2 =, f,3 ˆ τ 0 ˆ ττˆ = r total, 2 total [.8] ˆ τ = ˆ τ ˆ τ [.9]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 7 ( ) Gˆ s = Kˆ + +, [.0] ( ˆ τ s )( ˆ τ s ) 2 Relación entre constantes de tiempo 0.4 0.38 0.36 0.34 0.32 Yfr 0.3 0.28 0.26 0.24 0.22 0.2 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 au r si 0,26 > y fr > 0,39, la respuesta es de un sistema subamortiguado o de mayor orden.

Step Response 0.9 0.8 0.7 0.6 Amplitude 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 0 2 3 4 5 6 7 ime (sec) τ = τ = 0,0 0,2 0,5 total 03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 8

Step Response 0.9 0.8 y73 0.7 Amplitude 0.6 0.5 t73 0.4 y' 0.3 0.2 0. t' 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 2 ime (sec) 03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 9

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 0 Efecto del factor de amortiguamiento - ξ < 0 inestable - ξ < subamortiguado - ξ = amortiguamiento crítico - ξ > sobreamortiguado g=tf(,[.3^2 2*.3*xi ]) 2.8.6.4.2 0.8 0.6 0.4 0.2..25.5.7.5 2 0 0 2 3 4 5 6

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc Plantas con Integradores u f y f u 0 y 0 0 f Kˆ = ( ) Gˆ s - y f y ( uf u0)( f 0) Kˆ s 0 [.] =, [.2]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 2.3. Otros Métodos Modelado Físico Identificación estadística Existen técnicas más avanzadas de estimación de modelo mediante ensayos experimentales, conocidas como técnicas de identificación de sistemas. Para un tratamiento actualizado de identificación de sistemas ver por ejemplo - Lennart Ljung, System Identification, 2nd edn. Prentice Hall, 999. y el toolbox de identificación de MALAB.

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 3.4. Obtención Estadística de los Parámetros del Modelo ajuste automático de parámetros = Identificación de Sistemas Excitación Planta Salida de la Planta + Error de Estimación - Modelo Salida del Modelo

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 4.4.. Método de Identificación por Mínimos Cuadrados.4.2. Ejemplo Supongamos la siguiente planta real: y = ay + + bu + ε ε perturbación o incertidumbre. modelo: yˆ = ay ˆ + bu ˆ + + ε Para cada instante habrá un error o diferencia entre ambas salidas: e = y yˆ [-3] + + +

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 5 tomando todas las muestra, e ˆ + y ˆ + ay bu y+ y u aˆ E ˆ + = = = = ˆ Y + Φ θ b [-4] e y ˆ ˆ y ay0 bu 0 y0 u0 con y + y Y + = ˆ u ˆ a, θ = bˆ, Φ = [-5] y y0 u 0

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 6 Se puede minimizar el error respecto a ˆ θ. J = E E [-6] J = 2Φ Y 2Φ Φ ˆ = 0 [-7] θ ˆ θ θ el valor de ˆ θ que hace mínimo J es: * ˆ = ΦΦ ΦY θ [-8]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 7.4.3. Forma General Se considera, a los efectos del análisis, la siguiente planta real: y n m = ai y-i + biu i ε xθ ε i= i= 0 [-9] + + + = + ε perturbación o incertidumbre. modelo: yˆ n m ˆ ˆ + = aˆ i y-i+ + bi u-i= xθ i= i= 0 [-20] donde a aˆ y an aˆ n y -n+ θ = ˆ θ = x= b0 bˆ 0 u bm bˆ u N= n+ m+ m N= n+ m+ -m N= n+ m+ Para cada instante habrá un error o diferencia entre ambas salidas: e = y yˆ [-22] + + + [-2]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 8 tomando todas las muestra, ˆ e E = - Y e θ φ + + + = [-23] con y = Y y + +, 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n m a a b b θ =, 0 0 -m -n 0 -m -n y y x u u = = y y x u u φ + [-24]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 9 Se puede minimizar el error respecto a ˆ θ. J = E E [-25] J ˆ ˆ= 2φ Y - 2 φ = 0 θ θ φθ [-26] el valor de ˆ θ que hace mínimo J es: * ˆ Y θ = φφ φ [-27]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 20.4.4. Forma Recursiva: Analicemos una forma más cómoda de expresar la ecuación [-27]. Primero definamos la matriz P como sigue: x -N -N - φ φ = P = [ x-n x0] = xi xi = P-+ x x [-28] i=0 x 0 Del mismo modo el vector b será: y -N -N b= φ Y = [ x-n x0] = xi yi= b-+ x y [-29] i=0 y 0 Entonces [-27] se expresará ˆ θ = P b [-30] La inversa de la matriz P en un instante puede expresarse en función de su valor anterior más otra matriz - - P = P -+ x x [-3] Si la premultiplicamos por P

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 2 - - = P - x x [-32] PP I =P +P y luego, posmultiplicando por P resulta: P-= P+ P x x P - [-33] o lo que es lo mismo P-- P= P x x P - [-34] Posmultipliquemos [-33] por x P- x= P x+ P x x P-x= P x + x P- x [-35] y agrupemos. - - + - = P x x P x P x [-36] Ahora, reemplazando [-36] en [-34] P - x x - -- P P P= + - x o su equivalente P P - x x - = P P P-- + - x P x x [-37] [-38] Haremos lo mismo con el vector θ. Por la ecuación [-36] tenemos

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 22 ˆ θ ˆ θ x x - = P P P-- [ b-+ x y ] + [-39] x P- x - ˆ x x - = P P θ - - [ b-+ x y] + P- x y [-40] + - x P por [-36] sabemos que: P- x P x = + x P- x x [-4] reemplazando en la anterior ˆ θ = ˆ θ - - P x x P-b-- P x x P-x y+ P-x y [-42] ˆ θ = ˆ ˆ θ - - P x xθ + - P- - P x x P- x y [-43] de [-34] resulta P = P- - P x x P - [-44] quedando ˆ θ = ˆ ˆ θ - - - P x x θ - y [-45]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 23 en resumen el algoritmo está formado por las dos ecuaciones siguientes: [ y y ] ˆ θ ˆ ˆ θ - - P x - = P x x P P= P-- + x P- x - - [-46] Otra forma equivalente que se suele utilizar en la bibliografía es Px K = + xpx P+ = P KxP ˆ θ = ˆ K ˆ θ + - y xθ - [-47]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 24.4.5. Inclusión del Factor de Olvido. En el algoritmo anterior pesamos de igual manera las medidas muy viejas y las nuevas. J = e Q e [-48] donde 0 0 0 α 0 Q = [-49] -N 0 0 α La matriz Q pondera las muestras dándole más o menos importancia a la historia con respecto al último valor según el parámetro α el cual se llama factor de olvido. Igual que antes derivamos J para obtener el mínimo. ˆ θ J ˆ = 2φ QY 2φ Qφθ = 0 [-50] θ resultando * ˆ Q Q Y θ = φ φ φ [-5]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 25 Algoritmo recursivo con factor de olvido: [ y y ] ˆ θ = ˆ ˆ θ - - P x - P xxp P = P α α + xp x o lo que es lo mismo Px K = α + xpx P+ = ( P KxP) α ˆ θ = ˆ K ˆ θ + - y xθ - [-52] [-53]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 26.4.6. Características Estadísticas de la Estimación y y0 y y-n+ u u-m y-n+ y -n φφ = u u0 y0 y -n u0 u-m u-m u-m autocovarianza o covarianza cruzada 2 2 2 + + 0 i = y( 0) [-55] i= 0 φ φ [,] = y y = y r [-54]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 27 La matriz total se llama matriz de covarianza del algoritmo y será: r y(o) r y(n - ) ruy(n - m - ) ruy(n - ) ruy(n - ) ruy(n - m - ) φφ = [-56] ruy (n - m - ) ruy(n - ) ru(0) ru(m) ruy(n - ) ruy(n - m - ) ru(m) ru(0) media de ˆ θ. ˆ - lim E θ lim ˆ E φφ φ Y E θ = = - = lim E φφ φ [ φθ + e] [-57] - = lim E[ θ ] + lim E φφ φe ˆ - E θ = lim E[ θ] + lim E φφ φe [-58] Por lo tanto la media de la estimación coincidirá con el valor real de θ si el error e es - incorrelado con φ φ φ. En cualquier otro caso existirá un sesgo en la estimación.

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 28 ambién debemos notar que para que exista solución la matrizφ φ debe ser invertible o sea det φ φ 0 [-59] Observando la ecuación 0 podemos inferir que esto se puede lograr si el sistema está persistentemente excitado.

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 29 Ejemplo.. Sistema de Primer Orden. Sea un sistema de primer orden cuya ecuación en diferencias es: y = a y + b u [-60] - - con a = 0,5 y b = y u 0 0 b = 2 b( a) 3 2 b( a a ) 4 b( a a 2 a 3 ) + =,5 + + =,75 + + + =,875

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 30 El vector φ será, para tres muestras,, 75 φ =,5 φ = [-6], 75,5 el vector de medidas de la salida,,875 Y =, 75 [-62],5 la matriz de covarianza y P:, 6,325 4,25-3.4286-4.857 φ φ = 4.25 3 φ φ = -4.857 7.243 7,4063 φ Y = 5,25 [-64] Estimación de los dos parámetros del sistema: ˆ - 0,5 θ = φ φ φ Y = [-65] [-63]

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 3 Ejemplo.2. Medición de una Resistencia Se mide ensión y Corriente sobre una resistencia u = u + e m u i = i + e m i la medición de la resistencia es r m u (.66) = m [.67] im por mínimos cuadrados J = E E = ( U ri ) ( U ri ) (.68) J = 2 I ( U ri) = 0 r mc IU (.69) r = I I (.70)

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 32 Cálculo de r n=000; vi=; vu=; i=+vi*(rand(n,)-.5); u=+vu*(rand(n,)-.5); r=zeros(n,); for =:n r()=u(:)'*i(:)/(i(:)'*i(:)); end plot(r);grid axis([0 n -.5.5]) cov(i);

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 33.5 0.5 0-0.5 0 200 400 600 800 000 plot(u./i);grid; axis([0 n -.5.5])

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 34.5 0.5 0-0.5 0 200 400 600 800 000 [mean(r) mean(u./i) cov(r) cov(u./i)] ans = 0.90.066 0.002 0.2293

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 35 Sesgo Im U m ( Ir + ei) ( Ur + eu) Er ( mc ) =E =E Im Im ( Ir + ei) ( Ir + ei) I U r = r r =E 2 ( I r + e i) ( I r + e i) σ + i Ir Ir Método de mínimos cuadrados es ˆ Y (.7) θ = φφ φ (.72) { } + E ( ˆ θ) =E φ φ φ ( φθ e) (.73) el error está en la salida. No hay error en la entrada

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 36 Variables instrumentales rvi=zeros(n,); L=2; ivi=i; ivi(:length(i)-l)=i(l+:length(i)); for =:n rvi()=u(:)'*ivi(:)/(i(:)'*ivi(:)); end.5.4.3.2. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0 200 400 600 800 000

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 37 Ejemplo.3. Generador Diesel Se mide velocidad del Motor/generador Primer Ensayo: Código y=w(:20:length(w))'-w(); u=ones(size(y)); u()=0; model = pem([y u],[0 0 0 2 3]) yh = idsim(u,model); figure(2); plot([y yh])

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 38 La gráfica muestra la diferencia entre salida real y estimada 300 250 200 50 00 50 0-50 0 50 00 50 200 250

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 39 Los datos del modelo son: >> Discrete-time IDPOLY model: y(t) = [B(q)/F(q)]u(t) + e(t) B(q) = 0.737 q^-3 F(q) = -.97 q^- + 0.9204 q^-2 Estimated using PEM Loss function 227.695 and FPE 233.46 Sampling interval: Su fórmula es y o 3 0,737q =,97q + 0,9204q 2 y =,97 y 0,9204y + 0,737u + 3 + 2 + u

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 40 Segundo Ensayo 40 20 0-20 -40-60 -80-00 -20-40 -60 0 20 40 60 80 00 20 40 60 80

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 4 Modelo: >> Discrete-time IDPOLY model: y(t) = [B(q)/F(q)]u(t) + e(t) B(q) = -0.6807 q^-20 F(q) = -.839 q^- + 0.846 q^-2 Estimated using PEM Loss function 226.097 and FPE 234.683 Sampling interval:

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 42.5. Referencias i. Ljung, Lennart : System Identification: heory for the User, 2nd Edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J.,999. p 33 ii. Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall 984. p 52 iii. Äström, K., Wittenmar: Adaptive Control, Prentice Hall 989. p 69 iv. Landau, Ioan Doré. System Identification and Control Design Prentice Hall 990 v. Isermann, R.: Digital Control Systems, Springer Verlag 98. p 380 vi. Stephanopoulos, G: Chemical Process Control. Prentice-Hall 984. Caps. 0 y 3