17-1 Un dado de extrusión se emplea para producir ficaciones en las barras son 0.5035 ± 0.0010 barras de aluminio. El diámetro de las barras pulgadas. Los valores dados son los últimos es una característica de calidad crítica. A con- tres dígitos de las mediciones; esto es, 34.2 se tinuación se muestran los valores X y R para lee como 0.50342. 20 muestras de 5 barras cada una. Las especi- CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD E INGENIERÍA DE CONFIABILIDAD 661 Además, 'oso = Hln 1 = 160 In 1 = 35. 70 horas. R 0.8 El límite de confianza de dos lados de 95% se determinó a partir de la tabla 17-11 como 2(1600)(0 223) 2(1600)(0.223) = [20 9. 74.45]. Il 34.17 9.591 1 17-4.9 Pruebas de demostración y de aceptación No es raro que un comprador pruebe los productos que adquiere para asegurarse de que éstos concuerden con las especificaciones de confiabilidad. Estas pruebas son destructivas y, en el caso de la medición de atributos, el diseño de la prueba sigue lo correspondiente al muestreo de aceptación tratado antes en este capítulo. Un conjunto especial de planes de muestreo que supone una distribución de tiempo de falla exponencial presentado en el manual del Departamento de Defensa de Estados Unidos (DOD H-108), se utiliza ampliamente para estos propósitos. 17-5 RESUMEN En este capítulo se han presentado varios métodos de amplia aplicación para el control de calidad estadístico. Se presentaron los diagramas de control y se trató su utilización como dispositivo de supervivencia del proceso. Los diagramas de control X y R se emplean para datos de medición. Cuando la característica de calidad es un atributo, puede emplearse el diagrama p para la fracción defectuosa, o los diagramas c o u para los defectos. También se trató el empleo de probabilidad como una técnica de modelado en el análisis de confiabilidad. La distribución exponencial se emplea ampliamente como la distribución del tiempo de falla, aunque otros modelos plausibles incluyen las distribuciones normal, lognormal, de Weibull y gamma. Los métodos de análisis de confiabilidad de sistemas se presentaron para el caso de los sistemas en serie, así como de los que tienen redundancia activa o en espera. Además, se habló brevemente de la prueba de duración, y la estimación de la confiabilidad. 17-6 EJERCICIOS
662 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA Muestra y R 1 34.2 3 2 31.6 4 3 31.8 4 4 33.4 5 5 35.0 4 6 32.1 2 7 32.6 7 8 33.8 9 9 34.8 10 10 38.6 4 11 35.4 8 12 34.0 6 13 36.0 4 14 37.2 7 15 35.2 3 16 33.4 10 17 35.0 4 18 34.4 7 19 33.9 8 20 34.0 4 a) Establezca los diagramas X y R, revisando los límites de control de prueba si es necesario, suponiendo que pueden encontrarse causas asignables. b) Calcule el RCP y el RCP,. Interprete estas razones. c) Qué porcentaje de defectos está produciendo el proceso? 17-2 Suponga que un proceso está bajo control y que se emplean límites de control 3-signa en el diagrama X. Deje que la media sea 1.56. Cuál es la probabilidad de que este desplazamiento sea indetectable en 3 muestras consecutivas? Cuál sería esta probabilidad si se emplean límites de control 2-sigma? El tamaño de la muestra es 4. 17-3 Suponga que se utiliza un diagrama X para controlar un proceso distribuido normalmente, que las muestras de tamaño n se toman cada h horas, y que se grafican en el diagrama, el cual tiene k límites sigma. a) Encuentre el número esperado de muestras que se tomarán hasta que se genere una señal de acción falsa. Esto se llama longitud de ejecución promedio (LEP) bajo control. b) Suponga que el proceso cambia a un estado fuera de control. Encuentre el número esperado de muestras que se tomarán hasta que se genere una acción falsa. Esto se llama longitud de ejecución promedio (LEÍ') fuera de control. c) Evalúe la LEP bajo control para k = 3. Cómo cambia si k = 2? Qué piensa usted acerca del empleo de límites de 2-sigma en la práctica? d) Evalúe la LEP fuera de control para un desplazamiento de una sigma, n=5. dado que 17-4 Veinticinco muestras de tamaño 5 se extraen de un proceso a intervalos regulares, y se obtienen los siguientes datos: 25 25 362.75 R = 8.60. a) Calcule los limites de control para los diagramas X y R. b) Suponiendo que el proceso está bajo control y que los límites de especificación son 14.50 ± 0.50, qué conclusiones puede usted extraer acerca de la capacidad del proceso para operar dentro de estos límites? Estime el porcentaje de artículos defectuosos que se producirán. c) Calcule RCP y RCP,. Interprete estas razones. 17-5 Suponga un diagrama X para un proceso bajo control con límites 3-sigma. Se extraen muestras de tamaño 5 cada 15 minutos. Suponga ahora que el proceso se sale de control en 1.56 por 10 minutos después de la hora. Si D es el número esperado de defectos producidos por cuarto de hora en este estado fuera de control, encuentre la pérdida esperada (en términos de unidades defectuosas) que resulta de este procedimiento de control.
CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD E INGENIERÍA DE CONFIABILIDAD 663 17-6 La longitud total del cuerpo de un encendedor de cigarrillos de un automóvil se controla empleando diagramas X y R. La siguiente tabla brinda la longitud para 20 muestras de tamaño 4 (las mediciones se codifican a partir de 5.00 mm: esto es. 15 es 5. 15 ntm). Observación Muestra 1 2 3 4 1 15 10 8 9 2 14 14 10 6 3 9 10 9 11 4 8 6 9 13 5 14 8 9 12 6 9 l0 7 13 7 15 10 12 12 8 14 16 Il 10 9 11 7 16 10 10 11 14 11 12 11 13 8 9 5 12 10 15 8 10 13 8 12 14 9 14 15 12 14 6 15 13 16 9 5 16 14 8 8 12 17 8 10 16 9 18 8 14 10 9 19 13 15 10 8 20 9 7 15 8 a) Haga los diagramas X y R. El proceso está bajo control estadístico? b) Las especificaciones son 5.10 ± 0.05 mm. Qué puede usted decir acerca de la capacidad del proceso? 17-7 Montygomery (2(x)1) presenta 30 observacione,, del espesor de óxido en obleas de silicón india i(iuales. Los datos son Espesor Espesor Oblea de óxido Oblea de óxido 1 45.4 4 44.0 2 48.6 5 50.9 3 49.5 6 55.2 Espesor Espesor Oblea de óxido Oblea de óxido 7 45.5 19 47.1 8 52.8 20 45.7 9 45.3 21 60.6 10 46.3 22 51.0 11 53.9 23 53.0 12 49.8 24 56.0 13 46.9 25 47.2 14 49.8 26 48.0 15 45.1 27 55.9 16 58.4 28 50.0 17 51.0 29 47.9 18 41.2 30 53.4 a) Construya una gráfica de probabilidad normal con los datos. La suposición de normalidad le parece razonable? b) Realice un diagrama de control individual para los espesores de óxido. Interprete el diagrama. 17-8 Se usa una máquina para llenar botellas con una marca particular de aceite vegetal. Se selecciona una sola botella en forma aleatoria cada media hora y se registra el peso de la misma. La experiencia con el proceso indica que su variabilidad es bastante estable, con a= 0.07 onzas. El objetivo del proceso es 32 onzas. Se han registrado 24 muestras en un periodo de 12 horas, con los resultados que se muestran a continuación Núm. de muestra x Núm. de muestra x 1 32.03 13 31.97 2 31.98 14 32.01 3 32.02 15 31.93 4 31.85 16 32.09 5 31.91 17 31.96 6 32.09 18 31.88 7 31.98 19 31.82 8 32.03 20 31.92 9 31.98 21 31.81 10 31.91 22 31.95 11 32.01 23 31.97 12 32.12 24 31.94
664 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA a) Construya una gráfica de probabilidad nornial de los datos. Le parece que la suposición de nornialidad se satisface? b) Realice un diagrama de control individual para los pesos. Interprete los resultados. 17-9 Los siguientes son los números de uniones de soldaduras defectuosas encontradas en nitrestras sucesivas de 500 uniones. Día Núm. de defectos Día Núm. de defectos 1 106 11 42 2 116 12 37 3 164 13 25 4 89 14 88 5 99 15 101 6 40 16 64 7 112 17 51 8 36 18 74 9 69 19 71 10 74 20 43 21 80 Construya un diagrama de control de la fracción defectuosa. El proceso está bajo control? 17-10 Un proceso se controla por medio de un diagrama p empleando muestras de tamaño 100. La línea central del diagrama es 0.05. Cuál es la probabilidad de que el diagrama de control detecte un desplazamiento a 0.08 en la primera muestra posterior al mismo? Cuál es la probabilidad de que el desplazamiento se detecte por lo menos en la tercera muestra posterior al mismo? 17-11 Suponga que un diagrama p con línea central en p con k unidades sigma se emplea para controlar un proceso. Hay una fracción defectuosa crítica p, que debe detectarse con probabilidad de 0.50 en la primera muestra que sigue al desplazamiento a ese estado. Obtenga una fórmula general para el tamaño de muestra que debe emplearse en este diagrama. 17-12 Un proceso distribuido normalmente emplea M 79- de la banda de especificación. El proceso está centrado en la dimensión nominal, y se localiza a la mitad entre los límites de especificación superior e inferior. a) Cuál es la razón de capacidad del proceso RCP? b) Qué nivel de fallas ( fracción defectuosa) se produce? c) Suponga que la media se desplaza a una distancia de exactamente 3 desviaciones estándar por debajo del límite de especificación superior. Cuál es el valor de RCPk? Cómo ha cambiado la RCP? d) Cuáles son las fallas reales que se experimentan después del desplazamiento de la media? 17-13 Considere el proceso en el que las especificaciones respecto de la característica de calidad son 100 ± 15. Sabernos que la desviación estándar de esta característica de calidad es 5. Dónde debemos centrar el proceso para minimizar la fracción de defectos producidos? Suponga ahora que la inedia se desplaza a 105 y que estamos usando un tamaño de muestra de 4 sobre un diagrama X. Cuál es la probabilidad de que tal desplazamiento se detecte en la primera muestra posterior al mismo? Qué tamaño de muestra sería necesario en un diagrama p para obtener un grado de protección similar? 17-14 Suponga que la siguiente fracción defectuosa se ha encontrado en muestras sucesivas de tantaño 100: 0.09 0.03 0.12 0.10 0.05 0.14 0.13 0.13 0.06 0.08 0.10 0.05 0.14 0.14 0.14 0.09 0.07 0.11 0.10 0.06 0.09 0.15 0.09 0.13 0.13 0.08 0.12 0.06 0.11 0.09 El proceso está bajo control respecto de su fracción defectuosa? i
n CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD E INGENIERÍA DE CONFIABILIDAD 665 17-15 Las siguientes cifras representan el número de defectos de soldadura observados en 24 muestras de cinco tarjetas de circuitería: 7, 6, 8, 10. 24,6,5,4.8. 11. 15.8.4. 16. 11. 12,8.6.5.9. 7, 14, 8, 21. Podemos concluir que el proceso está bajo control utilizando un diagrama c' Si no, suponga causas asignables que puedan encontrarse, y revise los límites de control. 17-16 Las siguientes cifras representan el número de defectos por 1000 pies de alambre forrado con plástico: 1, 1, 3. 7, 8, 10. 5. 13, 0. 19. 24. 6. 9, 11, 1 5, 8, 3, 6. 7, 4, 9, 20, I I, 7, 18, 10.6.4.0, 9, 7. 3. 1, 8, 12. Los datos provienen de un proceso controlado? 17-17 Suponga que se sabe que el número de defectos en una unidad es 8. Si el número de defectos en una unidad se desplaza a 16, cuál será la probabilidad de que el desplazamiento se detecte por medio del diagrama c en la primera muestra posterior al mismo? 17-18 Suponga que estamos investigando los defectos por unidad en ciertos cartuchos de disco, y que se conoce que en promedio hay dos defectos por unidad. Si decidimos hacer nuestra inspección por unidad para cinco cartuchos de disco en el diagrama c, y controlar el número total de defectos por unidad de inspección, describa el nuevo diagrama de control. 17-19 Considere los datos del ejercicio 17-15. Haga un diagrama u para este proceso. Compárelo con el diagrama (- del ejercicio 17-15. 17-20 Considere los datos de los espesores de óxido dados en el ejercicio 17-7. Realice un diagrama de control PMEP con A = 0.20 y L = 2.962. Interprete el diagrama. 17-21 Considere los datos de los espesores de óxido dados en el ejercicio 17-7. Construya un diagrama de control SUMACU con k = 0.75 y h = 3.34 si el espesor objetivo es 50. Interprete el diagrama. 17-22 Considere los pesos que se proporcionan en el ejercicio 17-8. Realice un diagrama de control PMEP con 2 = 0.10 y /. = 2.7. Interprete el diagrama. 17-23 Considere los pesos que se proporcionan en el ejercicio 17-8. Realice un diagrama de control SUMACU con k = 0.50 y h = 4.0. Interprete el diagrama. 17-24 Una distribución del tiempo de falla está dada por una distribución uniforme: 1 ^- a ce <_1:5 = 0, en otro caso. a) Determine la función de confiabilidad. b) Demuestre que C(t)dt = ^r tf(t)(1t. c) Determine la función de riesgo. cl) Demuestre que C(t) = e H(n donde H se define como en la ecuación 17-31. 17-25 Tres unidades que operan y fallan en forma independiente forman una configuración en serie, como se muestra en la figura de la parte inferior de esta página. La distribución del tiempo de falla para cada unidad es exponencial con las tasas de falla que se indican. a) Encuentre C(60) para el sistema. b) Cuál es el tiempo medio de falla para este sistema'' 17-26 Cinco unidades idénticas se arreglan en una redundancia activa para formar un subsistema. =3x10-2 =6x10-3 =4x10-2 Figura para el ejercicio 17-25.
666 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA La falla (le las unidades es independiente, y al menos dos de ellas deben sobrevivir 1000 horas para quo el subsistema desempeñe su misión. a) Si las unidades tienen distribuciones de tiempo de falla exponenciales con tasa de falla de 0.002. cuál es la confiabilidad del suhsislem;t, h) Cuál es la confiabilidad si sólo se requiere una unidad? 17-27 Si las unidades descritas en el ejercicio anterior se operan en una redundancia en espera con un interruptor de decisión perfecto y sólo se requiere una unidad para la supervivencia del suhsistema, determine la confiabilidad (le c,,tc últinn1. 17-28 Cien unidades se ponen a prueba y se envejecen hasta que todas fallan. Se obtienen los sieluientes resultados. v se calcula una vida media dei = 160 horas a partir de los datos de la serie. Intervalo de tiempo Número de fallas 17-29 Cincuenta unidades se someten a una prueba de duración por 1000 horas. Ocho unidades fallan durante ese periodo. Estime Cl 1000) para estas unidades. Determine un intervalo de con- 1 1,111/a inferior de 95% en Cl 10001. 17-30 En la sección 17-4.7 se señaló que para funciones de confiabilidad de un paámetro. C(t;9), C(t;9) = C. ( t;9). donde 9 v C son los estimadores de máxima similitud. Pruebe este argunmento en el caso ('(t;9) =e''er 1>0. = 0. en otro caso. Su^t r^ rrri^r: Exprese la función de densidad.f en tcrnrinos de C. 17-31 En una prueba sin reemplazo que termina después de 200 horas de operación, se observó que las fallas ocurren en los siguientes tiempos: 9, 21, 40. 55 y 85 horas. Se supone que las unidades tienen una distribución de tiempo de falla exponencial. y que se probaron inicialmente 100 unidades. 0-100 100-200 200-300 300-400 400-500 Después de 500 horas 50 18 17 8 4 3 ti) Estime el tiempo medio de falla. b) Construya un límite de confianza inferior de 95% respecto del tiempo medio de falla. 17-32 Emplee el planteamiento del ejercicio 17-31. Emplee la prueba de bondad del ajuste de la ji cuadrada para determinar si usted consideraría la distribución exponencial para representar un modelo de tiempo de falla razonable con estos datos. ti) Estime ('(300) y construya un límite de confianza inferior de 954 en C(300). b) Estime el tiempo para el cual la confiabilidad será 0.9, y construya un límite inferior de 95%c en to.9.