Dinámica del movimiento rotacional

Dinámica del movimiento rotacional

Torca, momento angular, momento cinético o momento de torsión: La habilidad de una fuerza para rotar o girar un cuerpo alrededor de un eje. τ = r F r= es la posición del eje hasta el punto de aplicación de la fuerza F= es la fuerza aplicada τ= torca Solamente la componente de la fuerza perpendicular al radio causa el torque. = r (Fsenq) De manera equivalente, solamente la distancia perpendicular entre la línea de fuerza y el eje de rotación, conocido como brazo de momento o brazo de palanca r, pueden usarse para calcular el torque. = r F = (rsenq)f Eje Punto de aplicación de la fuerza

Momento de torsión Es una magnitud vectorial Se mide en N m La dirección del momento de torsión es: Perpendicular al plano formado por los vectores r y F, + en sentido antihorario, - en sentido horario. Apunta hacia afuera de la página x Apunta hacia adentro de la página

Línea de acción de la fuerza Línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza F 2 F 1 Línea de F 3 acción

Brazo de momento Brazo de momento de una fuerza es la distancia perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de rotación F 1 r F 2 r r F 3

Fuente: Resnick, 9th ed.

Procedimiento para el cálculo de la torca de una fuerza Paso 1. Identifique eje de rotación, fuerza y distancia desde el eje de rotación al punto de aplicación de la fuerza. Haga un dibujo. Paso 2. Trace la línea de acción de la fuerza. Paso 3. Dibuje y asigna un nombre al brazo de momento. Pasto 4. Calcule el brazo de momento. Paso 5. Calcule el momento de torsión mediante: Momento de torsión = fuerza x brazo de momento

Ejemplo 1: Una fuerza de 80 N actúa en el extremo de una llave de 12 cm como se muestra. Encuentre el momento de torsión. Extienda línea de acción, dibuje, calcule r. r = 12 cm sen 60 0 = 10.4 cm = (80 N)(0.104 m) = 8.31 N m Fuente: Paul Tippens, 2007

Alternativo: Una fuerza de 80 N actúa en el extremo de una llave de 12 cm como se muestra. Encuentre el momento de torsión. positivo 12 cm Descomponga la fuerza de 80-N en componentes como se muestra. Note de la figura: r x = 0 y r y = 12 cm = (69.3 N)(0.12 m) = 8.31 N m como antes Fuente: Paul Tippens, 2007

Procedimiento para el cálculo de la torca neta por varias fuerzas Paso 1. Construya un dibujo y nombre el eje, la fuerza y la posición del punto de aplicación de la fuerza respecto al eje. Paso 2. Dibuje las líneas de acción para cada fuerza Paso 3. Calcule los brazos de momento. Paso 4. Calcule los momentos de torsión debidos a cada fuerza individual. Recuerde los signos. Paso 5. Calcule el momento neto sumando algebraicamente los momentos de las fuerzas individuales.

Ejemplo 2: Encuentre el momento de torsión resultante en torno al eje A para el arreglo que se muestra abajo: Encuentre debido a cada fuerza. Considere primero la fuerza de 20 N: 30 N r 30 0 6 m 2 m 40 N negativo A 30 0 4 m 20 N r = (4 m) sen 30 0 = 2.00 m = Fr = (20 N)(2 m) = 40 N m, mr Fuente: Paul Tippens, 2007 El momento de torsión en torno a A es en sentido de las manecillas del reloj y negativo. 20 = -40 N m

Ejemplo 2 (cont.): A continuación encuentre el momento de torsión debido a la fuerza de 30 N en torno al mismo eje A. Encuentre debido a cada fuerza. Considere a continuación la fuerza de 30 N. 30 N 30 0 6 m 2 m 40 N r negativo A 30 0 4 m 20 N r = (8 m) sen 30 0 = 4.00 m = Fr = (30 N)(4 m) = 120 N m, mr Fuente: Paul Tippens, 2007 El momento de torsión en torno a A es en sentido de las manecillas del reloj y negativo. 30 = -120 N m

Ejemplo 2 (cont.): Finalmente, considere el momento de torsión debido a la fuerza de 40-N. Encuentre debido a cada fuerza. Considere a continuación la fuerza de 40 N: r = (2 m) sen 90 0 = 2.00 m = Fr = (40 N)(2 m) = 80 N m, cmr Fuente: Paul Tippens, 2007 30 N 30 0 6 m 2 m 40 N positivo r A 30 0 4 m El momento de torsión en torno a A es CMR (contrario a las manecillas del reloj) y positivo. 40 = +80 N m 20 N

Ejemplo 2 (conclusión): Encuentre el momento de torsión resultante en torno al eje A para el arreglo que se muestra abajo: El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales. 30 N 30 0 6 m 2 m 40 N A 30 0 4 m 20 N R = 20 + 30 + 40 = -40 N m -120 N m + 80 N m R = - 80 N m Sentido de las manecillas del reloj (MR)

Propiedades La torca es vectorial: tiene magnitud y dirección Factores que influyen en la magnitud de la torca Magnitud de la fuerza aplicada A mayor fuerza mayor torca Dirección de la fuerza aplicada Para un ángulo es de 90º, la torca es máxima Para un ángulo de 0º la torca es nula Ubicación de la fuerza aplicada (punto de aplicación de la fuerza) Mientras más lejos es la distancia desde el eje mayor es la torca.

El torque neto alrededor de un punto O es la suma de todos los torques alrededor de O: F d F d 1 2 1 1 2 2

Problema: Calcule el torque neto en una varilla de 0.6-m alrededor el eje en la izquierda. Actúan tres fuerzas en la varilla según el diagrama. 4 N 30 5 N 0.3 m 6 N

Torca & Aceleración Angular Consideremos un objeto puntual con masa m que rota en un circulo. La fuerza tangencialf t es Ft ma t El torca debido a la fuerza tangencial es F t F t r I mr r ma t mr 2 I El torque que actúa en la partícula es proporcional a la aceleración angular Analogo a la Segunda Ley de Newton del movimiento con rotación

Que pasa en un cuerpo rígido? La fuerza df t es df t dmat dmr El torque debido a la fuerza tangencial F t es d df t r r 2 dm El torque total es r 2 dm I

Ejemplo : Una barra uniforme de longitud L y masa M se ata a uno de los terminales de un pivote sin fricción y que gira libremente en el plano vertical. La barra es liberada desde el reposo en posición horizontal. Cuáles son la aceleración angular inicial de la barra y le aceleración lineal inicial de terminal derecho?

La única fuerza que genera torque es la fuerza gravitacional Mg Fd Ya que el momento de inercia de la varrilla cuando rota alrededor de un terminal I L 0 r 2 F dm Obtenemos L 2 L 0 x Mg 2 dx L 2 MgL 2I I M L Usando la relación entre la aceleración angular y aceleración tangencial a t 3 x 3 MgL 2 2ML 3 L 0 L 2 ML 3 3g 2L 3g 2 La punta de la barra cae rápidamente que un objeto en caida libre.

Trabajo y potencia en el movimiento rotacional potencia

Momento angular La cantidad de movimiento angular L se define como: L r p r mv El primer termino es cero porque el angulo es cero La rapidez de cambio del momento angular de una particula es igual a la torca de la fuerza neta que actua sobre ella.

Momento angular La cantidad de movimiento angular total de un cuerpo rígido que gira sobre el eje z con velocidad angular ω I L I m r L L m r r r m L i i i i i i i i i ) ( ) ( 2 2 L = r p = r m v

Principio de conservacion de la cantidad de movimiento angular Si el momento de torsion externo que actua sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento angular total es constante (se conserva). Consideremos un sistema compuesto de dos cuerpos A y B que interactuan entre si pero sin ningun agente externo actuando. Si A ejerce una fuerza sobre B y aplicando la tercera Ley de Newton: Entonces, la cantidad de movimiento angular es constante. L inicial = L final

Giroscopios: precesión

Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil Traslación y rotación combinadas Cuerpo rígido con traslación y rotación: Dinámica: 1 1 K Mv I 2 2 F 2 2 cm cm ext I Ma z cm z cm

Fuente: Resnick 9th ed.