POLIEDROS Definición: Llamamos poliedro a la región del espacio limitada por polígonos planos. Definiciones: Llamamos caras de un poliedro a los polígonos que lo definen. Llamamos aristas a los segmentos de recta comunes a dos caras del poliedro. Llamamos vértices a los puntos comunes de las aristas. Desarrollo de un poliedro: Si en un poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede una sola pieza y la extendemos en el plano, obtenemos un desarrollo del poliedro. 1. Prismas Definición: Llamamos prisma al poliedro limitado por dos polígonos congruentes, situados en planos paralelos, y por tantos paralelogramos como lados tenga uno de aquellos polígonos. Como puedes apreciar los prismas están en todos lados. Por ejemplo, en este edificio. También están en la naturaleza, observa la foto de los prismas basálticos. Definición: Diremos que un prisma es recto si tiene por bases dos polígonos iguales e igualmente dispuestos, y por caras, rectángulos, de los cuales, dos lados opuestos son lados correspondientes de los polígonos de la base. Si las caras fuesen paralelogramos, el prisma se llamaría oblicuo. Algunos prismas rectos: 1
Desarrollo de algunos prismas rectos PRISMA RECTO DE BASE TRIANGULAR PRISMA RECTO DE BASE RECTANGULAR (ORTOEDRO) PRISMA RECTO DE BASE CUADRADA PRISMA RECTO DE BASE PENTAGONAL PRISMA RECTO DE BASE ROMBOIDE PRISMA RECTO DE BASE HEXAGONAL PRISMA RECTO DE BASE HEXAGONAL (NO REGULAR) Áreas y volumen de un prisma 2
2. Paralelepípedo Definición: Llamamos paralelepípedo a un prisma cuyas bases son paralelogramos. Observación: Llamamos dimensión de un paralelepípedo a las tres aristas concurrentes en un vértice Observación: El cubo es un paralelepípedo cuyas tres dimensiones son congruentes. p perímetro de la base, B área de la base, h altura Área lateral: Área total: Volumen: es el producto de las tres dimensiones. 3. Pirámide Definición: Llamamos pirámide al poliedro en que una de las caras es un polígono cualquiera, y las otras son triángulos que tienen por bases respectivas los diferentes lados de la cara poligonal y, como vértice común, un unto exterior a dicha cara. Observación: Una pirámide es regular, cuando es recta y tiene como base un polígono regular. p perímetro de la base, B área de la base Área lateral: Área total: Volumen: 3
Algunas pirámides Podemos ver pirámides en construcciones muy antiguas Poliedros regulares Definición: Llamamos poliedro regular a un poliedro cuyas caras son polígonos regulares1. 1 Poliedro regular Polígono que forma las caras Número de caras tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro Triángulo equilátero Cuadrado Triángulo equilátero Pentágono regular Triangulo equilátero 8 20 Número de 8 20 vértices Numero de aristas 30 30 Puede probarse que solo existe esos cinco poliedros regulares.
Desarrollos de los poliedros regulares Teorema de Euler: En todo poliedro convexo, el número de caras aumentado en el número de vértices de es igual al número de aristas más dos. En símbolos: Definición: Diremos que dos poliedros son equivalentes si tienen igual volumen. Observación: Cuando hablamos de volumen de un poliedro, nos referimos a comparar la región del espacio que ocupa, con la de un cubo, o sea definimos volumen de un cubo como el número que se obtiene de elevar al cubo la medida de su arista, si nos referimos a un cubo de arista 3 u su volumen será entonces o sea. Ahora por una cuestión de comodidad se calcula el volumen de un poliedro en función del volumen de un cubo de arista 1. 5