UNIDAD III MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ISC. Claudia García Pérez 1
PRESENTACIÓN La representación gráfica de los datos permite realizar una descripción visual de manera general de los datos obtenidos pero no para el tratamiento matemático para llevar a cabo un análisis estadístico. Por esta razón los especialistas o expertos en estadística utilizan las medidas de tendencia central a partir de los datos muestrales para hacer una imagen mental de los datos y las inferencias acerca de las características de la población. Existen diversas medidas descriptivas numéricas que permiten realizar un análisis y descripción de un conjunto de datos que fue obtenido y organizado previamente. Una de dichas medidas es la medida de tendencia central, en donde los datos se condensan en un solo valor central alrededor del cual todos los datos muestra les distribuyen. Existen diferentes tipos de medidas de tendencia central las cuales son: media aritmética, mediana, moda, entre otras. A continuación se verá más a detalle cada una de ellas en datos agrupados y con datos no agrupados, así como los percentiles, cuartiles y deciles. 2
DESARROLLO DEFINICIÓN DE MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL Según (Chao, 1997), los datos obtenidos pueden condensarse en un solo valor central alrededor del cual todos los datos muestrales se distribuyen. Según (Spiegel, 1991), es un valor típico o representativo de un conjunto de datos que suele situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud. TIPOS DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Los tipos más comunes son: Media aritmética o media Mediana Moda Media geométrica Media armónica MEDIA ARITMETICA Es una medida de localización central. Datos no agrupados Es la suma de los valores de todas las observaciones divididas entre el número de observaciones realizadas. Su fórmula es: 3
Fórmula 1. Media aritmética. Datos No Agrupados Donde: = sumatoria del valor x 1, x 2, x 3,, x i n = número de observaciones Datos agrupados Los datos obtenidos normalmente se organizan en distribución de frecuencias. Es el producto de cada valor diferente por el número de veces que ha ocurrido y sumando después los productos así obtenidos. Su fórmula es: Fórmula 2. Media aritmética. Datos Agrupados Donde: = sumatoria del valor x 1, x 2, x 3,, x j. (x se emplea para designar a los distintos valores). FR(x ) j = número de veces que cada x ha ocurrido o frecuencia de x n = número de observaciones 4
Tanto el subíndice j como i, indica un número de conteo para identificar cada valor distinto o punto medio de clase y m designa al número total de distintos valores o clases. Cuando se utilizan datos agrupados para calcular la media, los puntos medios de las diferentes clases se consideran como los distintos valores denotados mediante x. Propiedades de la media 1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números respecto de su media aritmética es cero. Ejemplo: las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 respecto de su media aritmética 7.6 son 8 7.6, 3 7.6, 5 7.6, 12 7.6 y 10 7.6, o sea 0.4, -4.6, -2.6, 4.4 y 2.4, con suma algebraica 0.4-4.6 2.6 + 4.4 +2.4 = 0. 2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números x j respecto de un cierto número a es mínima si y sólo si a = X. 3. Si f 1 números tienen media m 1, f 2 números tiene media m 2,, f k números tienen media m k, entonces la media de todos los números es Fórmula 3. Propiedades de la media. Propiedad 3 es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias. 4. Si A es una media aritmética supuesta o conjeturada (que puede ser cualquier número) y si d j = x j A son las desviaciones de x j respecto de A, tenemos: 5
Fórmula 4.Propiedades de la media. Propiedad 4 Fórmula 5. Propiedades de la media. Propiedad 4 MEDIANA Es el valor que queda en la parte central de un grupo de observaciones arregladas en orden de magnitud. Datos no agrupados Es el valor intermedio cuando los valores de los datos se ordenan en forma ascendente. La definición queda así: Ordene los datos en orden ascendente (de menor a mayor) a) Para un número impar de observaciones, la mediana es el valor intermedio. b) Para un número par de observaciones, la mediana es el promedio de los dos valores intermedios. Datos agrupados Cuando los datos se han organizado en una distribución de frecuencias, la mediana (MD) es el conjunto de n observaciones que se determina mediante la fórmula: 6
Fórmula 6. Mediana. Datos Agrupados Donde: = frecuencia acumulada antes del límite inferior de la clase mediana. (La clase mediana es la clase que contiene a la mediana) = frecuencia de la clase mediana = límite inferior de la clase mediana = ancho del intervalo de la clase n = número de datos (frecuencia total) MODA Valor o clase que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de observaciones. La moda puede no existir o no ser única en caso de que exista. Una distribución con moda única se dice unimodal. Si los datos tienen exactamente dos modas, se dice que son datos bimodales; si tienen más de dos modas, son multimodales. Datos no agrupados Valor que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de datos. 7
Datos agrupados La moda puede deducirse de una distribución de frecuencias o de un histograma a partir de la siguiente fórmula: Fórmula 7. Moda. Datos Agrupados Donde: = límite inferior de la clase modal (clase que contiene a la moda) = exceso de la frecuencia modal sobre la de la clase inferior inmediata = exceso de la frecuencia modal sobre la clase superior inmediata = ancho del intervalo de clase modal RELACIÓN EMPÍRICA ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA Para curvas de frecuencia unimodales que sean poco asimétricas se tiene la siguiente relación empírica: Media Moda = 3(media mediana) Fórmula 8. Relación empírica entre media, mediana y moda 8
Las siguientes figuras indican las posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas de frecuencia asimétricas a derecha e izquierda, respectivamente. Para curvas simétricas, los tres valores coinciden. MEDIA GEOMETRICA Es la raíz n-ésima del producto de un conjunto de n números positivos x 1, x 2, x 3,, x n. Fórmula 9. Media Geométrica 9
MEDIA ARMONICA Es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de un conjunto de números x 1, x 2, x 3,, x n. Fórmula 10. Media Armónica CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES Si un conjunto de datos está ordenado por magnitud, el valor central (o la media de los dos centrales) que divide al conjunto en dos mitades, es la mediana. Aquellos valores que dividen al conjunto en cuatro partes iguales denotados como Q 1, Q 2, Q 3 se llaman primer, segundo y tercer cuartiles, respectivamente. El Q 2 coincide con la mediana. Los valores que dividen a los datos en 10 partes iguales se llaman deciles y se denotan como D 1, D 2,, D 9. Los valores que dividen a los datos en 100 partes iguales se llaman percentiles y se denotan por P 1, P 2,, P 99. El 5º decil y el 50º percentil coinciden con la mediana. Los 25º y 75º percentiles coinciden con el primer y tercer cuartiles. 10
Para calcular el p-ésimo percentil se aplica el siguiente método: Paso 1 Ordene los datos de manera ascendente Paso 2 Calcule un índice i Donde: 100 p = es el percentil de interés n = es la cantidad de observaciones Paso 3 a) Si i no es entero, se redondea. El valor entero inmediato mayor que i indica la posición del p-ésimo percentil. b) Si i sí es entero, el p-ésimo percentil es el promedio de los valores de los datos ubicados en los lugares i e i+1 11
RESUMEN Una medida de tendencia central es el valor típico o representativo de un conjunto de datos que suele situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud. Este valor puede obtenerse para datos agrupados (distribuciones de frecuencias) o no agrupados (que están ordenados de acuerdo a su magnitud). Las diferentes medidas de tendencia central que se utilizan son: media aritmética o media, mediana, moda, media geométrica, media armónica, y unas medidas afines a la mediana son los percentiles, cuartiles y deciles. 12
REFERENCIAS Chao, L. L. (1997). Introducción a la Estadística. D. F, México: Compañia Editorial Continental, 1985 Spiegel, M. R. (1991). Estadistica (2da ed.). D. F, México: McGraw Hill. Stevenson, W. J. (1981). Estadística para administración y economía. D. F, México: Harla. 13