MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE APUNTES DE FÍSICA II Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 4 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE El movimiento armónico simple, o también llamado M.A.S., se trata de una clase de movimiento de vaivén, que sería algo así como acelera-decelera-para-volver-acelerardecelerar-para-volver... y así sucesivamente. Un movimiento armónico simple es el que describe una partícula sometida a una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento. Se genera entonces un movimiento periódico, es decir que se repite cada cierto intervalo de tiempo. No todos los movimientos periódicos son armónicos. Para que lo sean, la fuerza restauradora debe ser proporcional al desplazamiento. Desde un punto de vista cinemático, se define un objeto con M.A.S. cuando su desplazamiento desde un punto de equilibrio, se describe en el tiempo con funciones tipo seno o coseno de la forma: La constante A que aparece en la expresión anterior se denomina amplitud del movimiento, y es el máximo desplazamiento de la masa con respecto a su posición de equilibrio x = 0. Sus unidades en el SI son los metros (m). El argumento es la fase y se mide en radianes, es la constante angular de fase y viene determinada por las condiciones iníciales del problema. El tiempo que tarda la masa en efectuar una oscilación completa se denomina periodo (T), y está relacionado con la frecuencia angular mediante la expresión:
El número de oscilaciones que se realiza en un segundo se llama frecuencia f y se calcula como la inversa del periodo: Se mide en s -1 o Herzios (Hz). La velocidad y la aceleración de una partícula que describe un movimiento armónico simple se obtiene derivando la ecuación de la posición en función del tiempo. La velocidad es la derivada de la ecuación del M.A.S. con respecta al tiempo, es decir: La aceleración es la segunda derivada de la ecuación del M.A.S. con respecta al tiempo, es decir: Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial. Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc. Conociendo la posición inicial x 0 y la velocidad inicial v 0 en el instante t=0,
se determinan la amplitud A y la fase inicial EL OSCILADOR ARMÓNICO El estudio de este sistema físico, llamado oscilador armónico, supone el punto de partida para comprender un gran número de fenómenos que se dan en la naturaleza. Analicemos algunos de estos casos. Sistema Masa resorte: Uno de los ejemplos más comunes de un cuerpo dotado de M.A.S es el de un cuerpo de masa m unido al extremo de un resorte, que está sujeto a un punto fijo al otro extremo. El resorte está suspendido de un punto fijo S y que al soltarse desde un extremo C (donde estaba comprimido), comienza a oscilar entre los extremos C y B pasando por la posición de equilibrio 0. Por lo que si se desprecia el roce, la masa suspendida del resorte realizará un movimiento oscilatorio alrededor de la posición de equilibrio 0. Partamos este análisis con la ecuación de los movimientos armónico: Sabiendo que la constante de recuperación del resorte hace que la fuerza se oponga al movimiento, llevando la masa a su punto de equilibrio y determina el valor de la amplitud, tenemos que: tenemos: De aquí se deduce que:
El péndulo simple. Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición θ (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar. El movimiento es periódico. La componente es la fuerza restaurada que tiende a regresar a su posición de equilibrio no es lineal, luego el movimiento no es armónico simple. Pero el movimiento de un péndulo simple se le puede considerar como un movimiento armónico simple cuando el ángulo de separación respecto de la posición de equilibrio es pequeño, ya que bajo esa situación el. En este caso la fuerza queda expresada de la siguiente manera: expresión es k. recordando que la fuerza recuperadora es entonces la Lo que permite expresar que para el movimiento del Péndulo Simple la frecuencia angular y el período son:
CONSERVACIONES DE ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste. Como la fuerza F es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial E p. La expresión de la energía potencial es Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial E p =0 cuando el móvil está en el origen, x=0, por lo que c=0. La energía total E, es la suma de la energía cinética E k y de la energía potencial E p que es constante. Curva de energía potencial La función representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es Ep=0. Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero E k 0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E E p. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A.
APLICACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Una forma bastante sencilla de obtener las leyes cinemáticas del M.A.S. se basa en relacionarlo con el movimiento circular y uniforme (MCU), cuyas condiciones iníciales son: En la figura se observa un objeto que realiza un MCU de radio A y rapidez angular, empleando un tiempo T en dar una vuelta completa. Como el movimiento es uniforme: Para simplificar suponemos que en el instante inicial. Obsérvese que mientras el objeto da una vuelta completa, su proyección sobre un diámetro hace una vibración de amplitud A. Tomamos como eje X la dirección de ese diámetro, situando el origen en el centro de la circunferencia. La posición del punto luminoso viene dada por "x" y su valor oscila periódicamente entre +A y A. De la figura se deduce directamente que la posición del M.A.S. es: Por tanto, teniendo en cuenta la ecuación del movimiento circular y uniforme ( ), obtenemos las ecuaciones para el M.A.S.: La constante se denomina frecuencia angular y se relaciona con el periodo T y la frecuencia f mediante la relación: En resumen, las magnitudes cinemáticas (posición, velocidad y aceleración) evolucionan con el tiempo de forma periódica. En cada intervalo de tiempo T el móvil se encuentra en idéntico estado de movimiento (mismos valores de la elongación "x", la rapidez "v" y la aceleración "a", que T segundos antes)
COMBINACIONES DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES Consideremos la superposición ó interferencia de 2 M.A.S. bajo la siguiente hipótesis: la resultante de dos ó más oscilaciones armónicas es simplemente la suma de las oscilaciones aisladas. Los casos que analizaremos son los siguientes: Superposición de dos M.A.S. de igual dirección y frecuencia. Supongamos 2 M.A.S. superpuestos de igual frecuencia y diferente fase que producen el desplazamiento de la partícula a lo largo de la misma línea: y El desplazamiento resultante de la partícula está dado por la suma: Tal como se representa en la figura, que nos permite considerarlo como M.A.S. y que analizaremos bajo el concepto de la suma de los vectores rotantes que permiten aplicar las siguientes relaciones: Analicemos algunos casos especiales. 1. Si decimos que los 2 movimientos están en fase dado que la diferencia de fase es. Sus vectores rotantes son paralelos y la ecuación lo que da como resultado: Interfiriendo constructivamente ya que sus amplitudes se suman como se observa en la figura.
2. Si entonces la diferencia de fase y se dice que los 2 M.A.S. están en oposición, sus vectores rotantes son antiparalelos y como queda representado en la figura: 3. Si entonces y se dice que los 2 M.A.S. están en cuadratura tal como se representa en la figura, de donde: Superposición de dos MAS de igual dirección y diferente frecuencia. Consideremos dos oscilaciones descritas por: y Donde por simplificar se ha considerado que las fases iníciales son cero. El ángulo entre los vectores rotantes OP 1 y OP 2 de la figura, como no es constante, lo que nos permite señalar que el vector suma resultante OP no tiene una longitud constante. Esto implica que el movimiento suma no es armónico simple.
La amplitud del movimiento suma viene dada por la ecuación: Esta figura nos muestra los valores entre los que oscila la amplitud: Con lo que tenemos una amplitud modulada. Un caso particular ocurre cuando las 2 amplitudes son iguales obteniéndose una amplitud total: Y la siguiente ecuación de movimiento: La figura anterior representa el movimiento y la línea punteada representa la modulación de la amplitud. Superposición de dos M.A.S. en direcciones perpendiculares. Consideremos ahora el caso de una partícula que se mueve en un plano de tal modo que sus coordenadas x e y oscilan con M.A.S. de igual frecuencia donde es la diferencia de fase entre las oscilaciones. y Analicemos algunos casos especiales representados en la figura:
1. Si los dos movimientos están en fase con es decir: Que es la ecuación de una recta, PQ en la figura, y el movimiento resultante es M.A.S. con amplitud. Si los dos movimientos son opuestos, es decir, entonces: Que es la ecuación de una recta RS. 2. Cuando se dice que los movimientos a lo largo de los ejes X e Y están en cuadratura y: Que es la ecuación de una elipse recorrida en el sentido de las agujas del reloj. Para la elipse es recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj. Por tanto, cuando la diferencia de fase es la interferencia de 2 M.A.S. de igual frecuencia y direcciones perpendiculares da lugar a una polarización elíptica. Cuando A=B la elipse se transforma en un círculo y tenemos una polarización circular. 3. Para un valor arbitrario de la diferencia de fase la trayectoria es aún una elipse pero sus ejes están rotados respecto al eje de coordenadas tal y como se muestra en la figura siguiente para ciertas diferencias de fase. Otra situación interesante es la interferencia de 2 M.A.S. perpendiculares de frecuencias diferentes. y
La trayectoria depende de la relación y de la diferencia de fase denominándose estas curvas figuras de Lissajous. La figura siguiente muestra estas trayectorias para diferentes relaciones y diferencias de fase. MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de fricción son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es disipado fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento está amortiguado, salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor que cierto valor crítico, el sistema no oscila, ya que no que regresa a la posición de equilibrio.
La rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud del amortiguamiento, pudiéndose dar dos casos distintos: el sobreamortiguamiento y el movimiento críticamente amortiguado. Cuando el amortiguamiento no supera este valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante al movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye exponencialmente con el tiempo. Para ilustrar este tipo de movimiento consideremos una masa m unida al extremo de un muelle elástico de constante k, y a un amortiguador cuya fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de la masa m en cada instante. Dejado libremente en movimiento, un muelle ó un péndulo dejan finalmente de oscilar dado que la energía del mismo se disipa por fuerzas de rozamiento proporcionales a la velocidad, que suelen representarse por la expresión empírica: Donde b es la constante de amortiguamiento. Dado que Fr se opone al movimiento, signo opuesto a la velocidad del objeto, realiza un trabajo negativo y es la causa de que la energía disminuya. Introduciendo este término en la 2º ley de Newton, obtenemos la ecuación diferencial de movimiento de un sistema amortiguado: Cuya solución da la ecuación de movimiento del oscilador armónico amortiguado: Con las constantes A y que dependen de las condiciones iníciales y es el coeficiente de amortiguamiento, con: donde es la frecuencia natural
La ecuación corresponde a una oscilación de frecuencia con una amplitud que decrece exponencialmente con el tiempo tal y como se muestra en la figura. Si la constante de amortiguamiento b crece gradualmente, la frecuencia angular disminuye hasta hacerse cero en el valor crítico : Diciéndose que el sistema está amortiguado críticamente y vuelve a su posición de equilibrio en el tiempo más corto, como se aprecia en la figura. Si el sistema no oscila y el sistema está sobreamortiguado. Dado que vimos que la energía del oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud llegamos a que la energía del oscilador amortiguado disminuye exponencialmente con el tiempo según la ecuación: Donde es la energía inicial del oscilador. Generalmente un oscilador amortiguado se describe por su factor de calidad Q definido como: Que introducido en la amplitud de oscilación dependiente del tiempo. De tal modo que Q nos da el número de ciclos de oscilación durante los cuales la amplitud de oscilación disminuye un factor. Ó dicho de otra forma, el factor de calidad Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por ciclo.