45 CAPÍTULO 8 OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE Equation Section (Next) Ejercicio (8.) En un sistea asa-resorte, una partícula de asa = ( g) oscila con oviiento arónico siple (M.A.S.) de aplitud.3( ) y frecuencia 5( Hz ), cuya constante de fase inicial vale φ = 7. Considere que la posición de la partícula en función del tiepo viene dada por: x= Asin( ωt+ φ ). a) Hallar los valores áxios de la velocidad x y la aceleración x. b) Hallar la velocidad y aceleración en x = y en x = ± A. =. 6 d) Describa el oviiento en cada uno de los casos del punto c); es decir, diga dónde se encuentra la partícula, para dónde se ueve, y si acelera o retarda. c) Calcule la posición, velocidad y aceleración en t = ( s) y en t ( s) e) Calcule la energía total E T del sistea. f) Calcular la energía cinética y la energía potencial en cada uno de los casos del punto c). A g) Calcular las energías cinética y potencial para los casos en que x = y x = A. 3 h) Encuentre todos los tiepos t en los cuales la energía cinética E c del sistea toa el valor 3 Ec = ET. 5 Nota: Una partícula de asa realiza un oviiento arónico siple (M.A.S.) cuando su posición en función del tiepo viene dada por una relación del tipo: xt () = Asin( ωt+ φ) () xt () = Acos( ωt+ φ ) Existen dos constantes: A es la aplitud áxia del oviiento y φ es la constante de fase inicial. El oviiento arónico siple es acotado en el intervalo x [ AA, ] y ω es la frecuencia angular de oscilación. El oviiento M.A.S. es periódico de periodo π T = () s () ω
46 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica La frecuencia de oscilación ν = se ide en T ( Hertz) = ( Hz) = s y viene dada por la relación rad ω = πν Solución: El arguento de la función arónica seno o coseno, se denoina fase φ() t ( ωt φ ) (3) = + de la oscilación y se ide en radianes. La fase de la función arónica seno o coseno, debe ser un núero real, por lo tanto, debeos transforar la constante de fase inicial φ = 7 a radianes: 7 φ = π 8 φ =.5π φ =.474 ( rad ) ( rad ) ( rad ) Usando los datos del problea, la frecuencia angular, viene dada por ω = πν = π5( Hz) ω = 3 π( Hz) (4) (5) Por lo tanto, el oscilador arónico viene dado por la siguiente relación: xt () = Asin( ωt+ φ ) (6) xt () =.3( )sin(3π t+.5 π ) (7) a) Hallar los valores áxios de la velocidad x y la aceleración x. La velocidad y la aceleración en el M.A.S. vienen dados derivando la relación general (6) respecto del tiepo. Velocidad: dx() t vt () = xt () = = Aω cos( ωt+ φ ) (8) dt En ódulo, el valor áxio de la velocidad v viene dado por: Nuéricaente v = Aω (9) Aceleración: v rad =.3( ) 3 π = 8.3 () dv() t = = = ω ( ω + φ ) () dt at () xt () A sin t
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 47 En ódulo, el valor áxio de la aceleración a viene dado por: Nuéricaente at () = xt () = ω xt () () a = Aω (3) a rad =.3( ) 9 π 664.8 = s b) Hallar la velocidad y aceleración en x = y en x = ± A. (4) A partir de los resultados generales obtenidos en las relaciones (8) y (), se puede obtener la velocidad y la aceleración en cualquier punto. x =, entonces se puede obtener el valor de la fase φ() t ( ωt φ ) x Asin( ωt φ ) sin( ωt φ ) Si De esta relación se obtienen los valores peritidos de la fase: = + para ese caso, esto es, = = + + = (5) ( t ) φ( t) = ω + φ =, π,... (6) Usando estos valores de la fase en la relación (8), se obtiene la velocidad vt () = xt () = Aω cos() = Aω vt () = xt () = Aω cos( π) = Aω Usando estos valores de la fase en la relación (), se obtiene la aceleración at () = xt () = Aω sin( ) = at () = xt () = Aω sin π = Estos resultados iplican que al pasar por el punto de equilibrio x =, la velocidad del oscilador arónico siple siepre es la velocidad áxia ( ) derecha o hacia la izquierda y la aceleración es siepre cero a =. Si x =± A, la fase φ () t viene dada por: (7) (8) v= v, independienteente si se ueve hacia la ( ω φ ) ( ω φ ) x=± A= Asin t+ sin t+ =± (9) En este caso, los valores peritidos de la fase son: π 3π φ() t = ( ωt+ φ ) =,,... () Con estos valores de la fase, la velocidad y la aceleración en los extreos x vienen dadas por: = ± A del oviiento,
48 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica π vt () = xt () = Aω cos( ) = () 3π vt () = xt () = Aω cos( ) = () π at () = xt () = Aω sin = Aω (3) 3π at () = xt () = Aω sin = Aω Es decir, al pasar por los puntos extreos del oviiento x (4) arónico siple siepre es cero v = y la aceleración es la áxia a= a. c) Calcule la posición, velocidad y aceleración en t = ( s) y en t ( s) = ± A, la velocidad del oscilador =. 6 Para obtener los resultados pedidos, basta reeplazar los valores de los paráetros en las relaciones (8) y (). Para t = ( s), se tiene rad xt ( = ) =.3( ) sin 3π ( s) +.5π rad rad vt ( = ) = xt ( = ) =.3( ) 3π cos 3π ( s) +.5π rad rad at ( = ) = xt ( = ) =.3( ) 9π sin 3π ( s) +.5π Nuéricaente, xt ( = ) =.36( ) vt ( = ) = xt ( = ) = 5.9 rad at ( = ) = xt ( = ) = 9.8 Para t ( s) =, se tiene 6 rad xt ( = ) =.3( ) sin 3 π ( s) +.5π 6 6 (5) (6) (7) rad rad vt ( ) xt ( ).3( ) 3 cos 3 ( ).5 6 6 π s s π s 6 π = = = = + (8)
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 49 rad rad at ( ) xt ( ).3( ) 9 sin 3 ( ).5 6 6 π s s π s 6 π = = = = + (9) Nuéricaente, xt ( = ) =.673( ) 6 vt ( = ) = xt ( = ) =.84 (3) 6 6 at ( = ) = xt ( = ) = 374.4 6 6 s d) Describa el oviiento en cada uno de los casos del punto c); es decir, diga dónde se encuentra la partícula, para dónde se ueve, y si acelera o retarda. Para t = ( s), la partícula se encuentra a la derecha del punto de equilibrio x = ( ) ya que su posición x( t = ) =.36( ) es positiva, y está viajando hacia el extreo derecho porque su velocidad instantánea es positiva. La partícula va retardando para llegar a detenerse en x =.3( ), ya que la velocidad y la aceleración tienen distinto signo. Para t = () s, la partícula se encuentra a la derecha del punto de equilibrio x = ( ) ya que su 6 posición x( t = ) =.673( ) es positiva, y está viajando hacia el origen, dado que su velocidad 6 instantánea es negativa. La partícula va acelerando ya que la velocidad y la aceleración tienen el iso signo. e) Calcule la energía total E T del sistea. La energía total esto es, E T viene dada por la sua de la energía cinética E c, ás la energía potencial E p, ET = Ec + Ep (3) donde la energía cinética viene dada por la relación: Ec = v = x () t (3) y la energía potencial viene dada por la relación: Ep = x () t (33)
5 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica Pero, para un sistea genérico tipo asa resorte, la asa y la constante de resorte están relacionadas con la frecuencia angular ω, a través de la siguiente expresión: ω = (34) Reeplazando la expresión de la posición dada por (), y la expresión de la velocidad dada por (8), la energía cinética y potencial, vienen dadas por: = ω cos ( ω + φ ) (35) Ec A t Ep = A sin ( ωt+ φ ) (36) Pero, según (34), = ω, luego (36) queda: Usando (35) y (37), la energía total = ω sin ( ω + φ ) (37) Ep A t E T, dada por (3), se puede expresar coo ET = Ec + Ep = ω A cos ( ωt+ φ) + ω A sin ( ωt+ φ) (38) Siplificando, obteneos una expresión general, ET = ω A = A (39) Nuéricaente, rad.( ) 9 ET = g π.3 ( ) E = 399.7( J) T f) Calcular la energía cinética y la energía potencial en cada uno de los casos del punto c). Para t = ( s). Usando los datos obtenidos en (6) y las expresiones para las energías cinética y potencial, se tiene Ec x t Ec g (4) = ( ) = =.( ) ( 5.9 ) ( ) s (4) = 37.3( J ) (4) Ec rad ( ) E p = x ( t).( g) 9.36 ( ) = (43) = 8.4( J ) (44) E p
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 5 La energía total vale, E = E + E = 37.3( J) + 8.4( J) = 399.7( J) (45) T c p resultado idéntico al obtenido en (4). Para t = () s. 6 Usando los datos obtenidos en (3) y las expresiones para las energías cinética y potencial, se tiene = ( ) = =.( ) (.836 ) ( ) s (46) = 8.4( J ) (47) Ec x t Ec g Ec rad ( ) E p = x ( t).( g) 9.673 ( ) = (48) = 37.3( J ) (49) E p La energía total vale, E = E + E = 8.4( J) + 37.3( J) = 399.7( J) (5) T c p resultado idéntico al obtenido en (4). A g) Calcular las energías cinética y potencial para los casos en que x = y x = A. 3 Usando los valores de la posición dónde se quiere calcular las energías, se pueden obtener los distintos valores de fase φ() t ( ωt φ ) A Caso x = : A Reeplazando x = en la relación (), se tiene, = + en los cuales se cuple la condición dada. A = xt () = A sin( ωt+ φ ) (5) Siplificando, se obtiene la siguiente relación: sin( ωt + φ ) = (5) φ() t = ωt+ φ que cuplen con esta relación, pero los dos Existen infinitos valores de la fase ( ) prieros valores son suficientes para dar cuenta de todos los coportaientos diferentes, es decir, 7π π φ() t = ( ωt+ φ ) =,,... (53) 6 6
5 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica Usando las expresiones para la posición y la velocidad dadas por () y (8), y los valores de las fases obtenidos en (53), se tiene: 7π x,a =.3() sin( ) =.5() 6 π x,b =.3()sin( ) =.5() 6 rad 7π x,a =.3() 3π cos( ) = 4.48 6 rad π x,b =.3() 3π cos( ) = 4.48 6 La energía cinética en los dos valores distintos de la fase, vale lo iso, porque la velocidad x () t interviene al cuadrado, luego Ec = x = g ( ± ) = J (54) (55).5 ( ) 4.5 99.8( ) (56) La energía potencial en los dos valores distintos de la fase, vale lo iso, porque la posición x() t interviene al cuadrado, luego E x x p = = ω (57) rad E p =.5 ( g) ( 3 π ) (.5) ( ) = 99.93( J ) Nótese que siepre se cuple que la energía total E T es una constante: tal coo se obtuvo en (4). A Caso x = : 3 (58) E = E + E = 99.8( J) + 99.93( J) = 399.7( J) (59) T c p A Reeplazando x = en la relación (), se tiene, 3 A = xt () = A sin( ωt+ φ ) (6) 3 Siplificando, se obtiene la siguiente relación: sin( ωt + φ ) = (6) 3 Es decir, la fase viene dada por:
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 53 φ( t) = ( ωt+ φ ) = arcsin 3 De la expresión (6) obteneos el valor del coseno: (6) 5 cos( ωt + φ ) = =± 3 3 Igual que antes, coo sólo interesan los valores de la posición y la velocidad al cuadrado, no necesitaos usar los distintos valores de la fase φ() t ( ωt φ ) = +. Usando las expresiones para la posición y la velocidad dadas por () y (8), y los valores del seno y el coseno (6) y (63), se tiene: x =.3() sin( φ (t)) =.3() =.() (64) 3 rad x =.3() 3π cos( φ(t)) (65) (63) La energía cinética vale rad 5 x =.3() 3π =.7 3 (66) La energía potencial vale.5 ( ).7.66( ) (67) Ec = x = g ( ± ) = J E x x p = = ω (68) rad Ep =.5 ( g) ( 3π ) (.) = 77.65( J ) (69) Nótese que siepre se cuple que la energía total E T es una constante: E = E + E =.66( J) + 77.65( J) = 399.7( J) (7) T c p h) Encuentre todos los tiepos t en los cuales la energía cinética E c del sistea toa el valor 3 Ec = ET. 5 De acuerdo a relación (39), la energía total del oscilador viene dada por ET = ω A = A (7)
54 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica Reeplazando esta expresión y la expresión de la energía cinética dada por (35), en la condición E c 3 = ET, se tiene 5 3 = 5 x () t A (7) 3 cos ( ) ω A ωt+ φ = A (73) 5 Pero sabeos que luego = ω, luego, esta expresión queda: 3 ω φ (74) 5 cos ( t + ) = =.6 3 cos( ωt + φ ) =± =±.6 (75) 5 Usando la función arco coseno, se obtiene el valor de las fases para los dos signos posibles: φ = ( ωt + φ ) =.68479 (76) φ = ( ωt + φ ) =.456873 (77) Pero dado que se necesita calcular los tiepos t en que se cuple una cierta condición sobre la energía cinética, y dado que la energía cinética depende del coseno al cuadrado, entonces, el periodo de la función cos ( ωt + φ ) es π, donde =,,,..., luego, la condición sobre las fases de la relación (76) y (77), viene dada por: φ = ( ωt+ φ ) =.68479 + π (78) φ = ( ωt+ φ ) =.456873 + π (79) Despejando los tiepos de cada ecuación, se tiene:.68479 φ ω, = + t t.456873 φ ω, = + Usando los valores conocidos de = ( rad ) π ω π ω rad φ.474 y ω= 3π, se obtiene finalente, (8) (8) t, =.65 + (8) 3
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 55 t, =.68 + (83) 3 Equation Section (Next) Ejercicio (8.) En un oscilador arónico siple, deterine la aplitud A del oviiento y la constante de fase inicial φ, a partir de los valores iniciales de la posición x() = x y de la velocidad x () = v. Considere que x= Acos( ωt+ φ ). Nota: Se denoina condiciones iniciales a los valores de la posición x() t y de la velocidad x () t evaluados en t = ( s) A partir de las condiciones iniciales se debe obtener. A y φ. Solución: La posición x() t y la velocidad x () t de este oscilador arónico vienen dados por xt () = Acos( ωt+ φ ) () xt () = Aω sin( ωt+ φ ) () Aplicando las condiciones iniciales dadas en el problea: x() = x y x () = v, escribios x() = x = Acos( φ ) (3) x () = v = Aωsin( φ ) (4) Dividiendo la relación (4) por la relación (3), se obtiene la tangente de la constante de fase: tan φ = v ω x (5) Luego, la constante de fase φ se expresa en función de las condiciones iniciales usando la función arco tangente: v φ = arctan ωx Usando de nuevo las relaciones (3) y (4), en la fora: (6) Acos( φ ) = x (7) v Asin( φ ) ω Elevando al cuadrado cada uno de los térinos y suando, se obtiene la aplitud A del oscilador arónico en función de las condiciones iniciales. = (8) v A= x + (9) ω
56 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica Equation Section (Next) Ejercicio (8.3) Un oviiento arónico siple de periodo T.5( s) áxia a xax 7 c = =. En t ( s) = tiene una aceleración =.9 se idió la posición de la partícula y se obtuvo x( t ) =.47( c) y se observó que su velocidad era negativa, es decir, v= x <. Escriba la ecuación del oviiento arónico siple, es decir, obtenga ω, A y φ. Considere que x= Asin( ωt+ φ ). Nota: A partir de los datos iniciales se deben deterinar los datos que faltan para definir copletaente al oscilador arónico. Solución: Si conoceos el periodo T.5( s) =, entonces conoceos la frecuencia a través de la relación π ω =. Nuéricaente, se obtiene, T π rad ω = = 4π.5( s) () Por otra parte, usando el valor de la aceleración áxia a x ax 7 c = = s, y usando la aceleración áxia dada por la relación (3), = Aω, se tiene a c a = Aω = 7 () Expresión de la cual obteneos la aplitud del oviiento arónico siple, usando el valor conocido de la frecuencia angular dado por () Adeás sabeos que en t ( s) 7 7 A = ( c) ( c ).76538 ( c) ω = = (3) ( 4π ) =.9 se idió la posición de la partícula y se obtuvo x( t ) =.47( c) y se observó que su velocidad era negativa, es decir, v= x <. Usando x= Asin( ωt+ φ ), esta condición se escribe: xt ( =.9( s)) =.47( c) = Asin( ω.9( s) + φ ) (4) Reeplazando los valores conocidos de A y ω, teneos, rad.47( c) =.76538( c) sin(4π.9( s) + φ) (5)
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 57 Siplificando Usando la función arco seno, se tiene sin(.3876 + φ ) =.436585 (6) ( φ +.3876) = arcsin (.436585) (7) ( φ +.3876) =.45799 (8) Pero dado que sin( π ) = sin, podeos obtener otro valor de φ Usando (8) y (), obteneos φ y φ : ( φ +.3876) = π arcsin (.436585) (9) ( φ +.3876) =.689793 () φ =.45799.3876 =.9358 () φ =.689793.3876 =.383 () El valor correcto de la constante de fase es aquel que logra que la velocidad en t ( s) =.9 sea negativa, es decir, que se cupla que v= x <. Sabeos que x= Asin( ωt+ φ ), luego la velocidad viene dada por v= x = Aω cos( ωt+ φ ) (3) Necesitaos saber cuál de los valores (8) o () es el que hace que el coseno sea negativo. Dichos valores fueron obtenidos para el tiepo t ( s) =.9. Reeplaceos dichos valores en (3). Para φ : Para φ : cos(.45799) =.899663 (4) cos(.689793) =.899663 (5) En consecuencia, el coseno se hace negativo para φ =.383, pues en ese caso la velocidad v dada por (3) se hace negativa en t ( s) =.9. Por lo tanto, la ecuación del oviiento arónico siple para este problea específico viene dada por: Equation Section (Next) ( ) xt ( ) =.76538 c sin(4π t+.383) (6)
58 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica Ejercicio (8.4) Una partícula suspendida de un resorte vertical realiza un oviiento vibratorio arónico con una aplitud A= ( c) y una frecuencia ν =.5( Hz). El tiepo se epieza a contar en el instante en que la partícula está a 5( c ) de su posición de equilibrio y bajando. Considere que y= Asin( ωt+ φ ). a) Obtenga su ecuación de oviiento b) En qué instantes la partícula alcanza la áxia elongación negativa? c) En qué instantes la partícula pasa por la posición inicial? Nota: A partir de los datos dados en el enunciado y de la condición inicial, se deben calcular los datos faltantes para escribir la ecuación de oviiento. Solución: Dado que ω = πν, conoceos la frecuencia angular, nuéricaente, se tiene rad ω = π.5( Hz) = π. Entonces, y= Asin( ωt+ φ ), queda: yt ( ) = ( c)sin( πt+ φ ) () a) Obtenga su ecuación de oviiento Para obtener la ecuación de oviiento debeos obtener la constante de fase inicial φ. Sabeos que en t = ( s) la partícula está a ( ) y () 5( c) =+. Reeplazando en la relación (), se tiene, 5 c de su posición de equilibrio y bajando, es decir, ( c) c π ( s) φ 5 = ( )sin( + ) () sin( φ ) =.5 (3) Usando la función arco seno, los prieros valores posibles de la fase inicial son: π φ = (4) 6 5π φ = (5) 6 El correcto φ es aquel que produce una velocidad negativa en ese instante, v= y <, es decir, se debe cuplir que ( ) v= y = c π cos( π ( s) + φ) < (6) v= y = π cos( φ ) < (7)
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 59 Dado que sabeos que el coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante, nos daos cuenta de 5π inediato que el correcto φ es φ =. Luego, la ecuación de oviiento viene dada por 6 5π yt ( ) = ( c)sin( πt+ ) (8) 6 b) En qué instantes la partícula alcanza la áxia elongación negativa? La áxia elongación negativa se produce en y ( c) =. Reeplazando este valor en la ecuación de oviiento (8), teneos: 5π ( c) = ( c)sin( πt + ) 6 (9) Obteneos 5π sin( π t + ) = 6 () Usando la función arco seno, se tiene 5π 3π ( πt+ ) = + π, 6 =,,... () Despejando, obteneos los tiepos en que la partícula pasa por el punto ás bajo de su oviiento: 3 5 t = +, 6 =,,... () t = +, 3 =,,... (3) c) En qué instantes la partícula pasa por la posición inicial? La posición inicial es y() 5( c) =+. Reeplazando en la ecuación de oviiento (8), se tiene 5π 5( c) = ( c)sin( πt + ) 6 (4) Siplificando 5π sin( π t + ) = 6 (5) Usando el arco seno, obteneos 5π π ( πt+ ) = + π, 6 6 =,,... (6) y
6 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica 5π 5π ( πt+ ) = + nπ, n=,,... (7) 6 6 Estos resultados corresponden a los casos en que la partícula pasa por el punto inicial tanto de subida coo de bajada, es decir, cuando su velocidad es positiva y negativa, respectivaente. Finalente, se tiene, Equation Section (Next) ts = +, =,,... 3 t = n, n=,,... b Ejercicio (8.5) Un oscilador arónico siple viene descrito por la ecuación x= Asin( ωt+ φ ). a) A partir de x y x, eliine la fase φ() t ( ωt φ ) (8) = + y obtenga una relación analítica entre la posición x y la velocidad x. Deuestre que la curva resultante es una elipse y grafique la relación obtenida en un sistea de ejes ortogonales ( x, x ), llaado espacio de fases. b) Deuestre que esta curva trayectoria en el espacio de fases ( x, x ) corresponde a los puntos donde la energía total ET = x + x es constante de valor ET = A. Nota: La ecuación de la elipse con ejes coincidentes con los ejes coordenados x e y, viene dada por la relación: x y + + () a b donde a y b son los sei-ejes ayores y enores, respectivaente. Solución: a) A partir de x y x, eliine la fase φ() t ( ωt φ ) = + y obtenga una relación analítica entre la posición x y la velocidad x. Deuestre que la curva resultante es una elipse y grafique la relación obtenida en un sistea de ejes ortogonales ( x, x ), llaado espacio de fases. La posición viene dada por y la velocidad viene dada por x= Asin( ωt+ φ ) () x sin( ωt + φ ) = (3) A x = Aω cos( ωt+ φ ) (4)
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 6 x cos( ωt + φ ) = (5) Aω Elevando al cuadrado los térinos dados por (3) y (5) y suándolos, se tiene x A x A ω + = De acuerdo a la nota inicial, se ve que esta relación representa a una elipse en el plano forado por los ejes x y x, tal coo lo uestra la Fig. (8.5.). (6) Figura (8.5.) b) Deuestre que esta curva trayectoria en el espacio de fases ( x, x ) corresponde a los puntos donde la energía total ET = x + x es constante de valor ET = A. La ecuación de la energía se escribe: A = x + x (7) Dividiendo por ET = A, se tiene x A Pero ω =. Reeplazando en (8), teneos x A + = x x + = (9) A A ω En consecuencia, la elipse es la curva que representa a la conservación de la energía ecánica total. Equation Section (Next) Ejercicio (8.6) Hallar las ecuaciones del oviiento arónico siple (MAS) para cada uno de los sisteas físicos que se uestran a continuación. En cada caso obtenga la frecuencia angular ω en (8)
6 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica función de los paráetros físicos del sistea. En los casos en que corresponda, indique claraente cuáles son sus aproxiaciones para lograr el oviiento lineal o arónico. a) Péndulo siple de asa y largo l. l Figura (8.6.) Nota: Hay que hacer análisis de fuerzas sobre el péndulo para deterinar la ecuación de oviiento. Solución: La Fig. (8.6.) uestra las fuerzas que actúan sobre la partícula en un punto cualquiera de su trayectoria circunferencial: su peso g y la tensión en la cuerda T. T g Figura (8.6.) Utiliceos un sistea de ejes, tal que el eje Y coincida con la dirección de la tensión, y que el eje X sea tangente a la trayectoria circunferencial (y tabién perpendicular a Y ). La segunda ley de Newton aplicada a la coponente tangencial de las fuerzas, se escribe: a = g sin () t El desplazaiento tangencial ds sobre el arco de la circunferencia de radio l viene dado por ds = ld ()
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 63 Por lo tanto la aceleración tangencial viene dada por aceleración queda: t l dt a t ds =. Usando la relación (), la dt d a = (3) Reeplazando en la relación (), obteneos, d l = g sin (4) dt Siplificando, se tiene la ecuación diferencial del péndulo: d g + sin = (5) dt l Esta ecuación diferencial es no lineal, y no corresponde a un oscilador arónico siple. Para lograr que esta ecuación se coporte coo oscilador arónico siple, debeos hacer la suposición de ( t) es uy pequeño, de odo de que sea válida la aproxiación: sin (6) donde () t se expresa en radianes ( rad ). Esta aproxiación nuéricaente es válida para valores de ( t).47( rad) (donde 6 =.47( rad) ). Si iponeos dicha aproxiación en la ecuación diferencial del péndulo dada por la ecuación (5), la ecuación diferencial se siplifica y se transfora en la ecuación diferencial del oscilador arónico siple d + ω= (7) dt donde heos escrito la frecuencia angular ω de oscilación del péndulo siple, coo g ω = (8) l b) Péndulo físico de oento de inercia I y centro de asas (c..) a una distancia l del origen de torques o eje de giro O (ver Fig. (8.6.3 )) Nota: En este caso, lo iportante para producir el oviiento de rotación en torno a un eje fijo (el punto O ) no son las fuerzas F j. La ecuación dináica viene dada por: fuerza F y b es el brazo de acción de la fuerza. F j por sí solas, sino que los torques τ j producidos por las fuerzas τ = Iα, donde τ = Fb es el ódulo del torque de la
64 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica d La aceleración angular α viene dada por α = dt O l c.. Figura (8.6.3) Solución: La Fig. (8.6.4) uestra la fuerza peso g que actúa sobre el centro de asas (c..) del péndulo físico. El torque producido por el peso es el causante del oviiento de rotación en torno al eje fijo O. En dicha figura tabién se uestra el brazo b g de la fuerza peso. El brazo se define coo la distancia perpendicular bajada desde la línea de acción de la fuerza (el peso g en este caso), hasta el origen de torques O, luego, b = lsin (9) g El torque del peso lo consideraos negativo porque tiende a hacer girar al cuerpo rígido siepre hacia el estado de equilibrio: τ g = g b = g l sin () g b g O l b g c.. Figura (8.6.4) Ahora aplicaos la relación análoga a la segunda ley de Newton obtenida en dináica rotacional: τ = Iα, donde τ representa el torque resultante debido a la sua de todos los torques individuales producidos por cada una de las fuerzas externas que actúan sobre el péndulo físico, y α es la
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 65 d aceleración angular α =. Para este caso específico existe una única fuerza que produce torque, dt luego, se tiene, d τ = = α = () gl sin I I dt Reordenando, teneos, d gl + sin = () dt I Esta es la ecuación diferencial que describe las oscilaciones del péndulo físico. Tal coo vios en el caso del péndulo siple, esta ecuación diferencial es no lineal, por lo tanto, el péndulo físico general no realiza oscilaciones arónicas siples. Para obtener oscilaciones arónicas siples debeos hacer una aproxiación sobre los posibles valores peritidos para el ángulo () t. La aproxiación es la isa que vios antes y corresponde al caso en que sin ( rad ). Esta aproxiación se antiene válida para ( t).47( rad). Aplicando esta aproxiación a la relación (), obteneos la ecuación diferencial del oscilador arónico siple: d dt gl I + = Si definios la frecuencia angular ω para este caso en la fora (3) gl ω = (4) I La ecuación del péndulo físico en la aproxiación arónica siple queda: d + ω= (5) dt c) Circuito en serie de inductancia L y capacitancia C (circuito LC ). + L I C + Figura (8.6.5)
66 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica Nota: La ecuación dináica se obtiene a partir de las leyes de Kirchhoff, suando las diferencias de potencial en el circuito cerrado. A través de la inductancia L, la diferencia de potencial viene di dq dada por V = L, donde I = es la corriente eléctrica y q es la carga eléctrica. A través del dt dt q condensador C, la diferencia de potencial viene dada por V =. C Solución: Aplicando la ley de Kirchhoff sobre la sua de las diferencias de potencial a través de un circuito cerrado, se tiene di q L = (6) dt C di d q Pero, =, reeplazando en (6), nos queda dt dt dq + q = (7) dt LC Si definios la frecuencia angular ω de oscilación de la carga en el condensador en la fora ω = (8) LC La ecuación de la oscilación arónica siple que expresa el valor de la carga en función del tiepo viene dada por dq ω q dt + = (9) d) Sistea forado por una asa atada a dos cuerdas de largo l que ejercen una tensión constante T sobre la asa. Suponga que el roce es despreciable, que la asa de la cuerda es despreciable y que la gravedad es nula. Estudie el oviiento arónico a lo largo del eje Y para valores uy pequeños de la coordenada y. l l T l y T l Figura (8.6.6)
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 67 Nota: A partir de un diagraa de cuerpo libre para la asa, se obtiene la ecuación de oviiento. Solución: La Fig. (8.6.7) es un diagraa de cuerpo libre y uestra que las tensiones T en la cuerda a cada lado de la asa, son las únicas fuerzas que intervienen en el oviiento oscilatorio vertical. T y l T l Figura (8.6.7) Dado que no hay gravedad, sólo existe la fuerza debida a las tensiones, por lo tanto, la segunda ley de Newton a lo largo del eje Y, queda, y = T sin () Si trabajaos en la aproxiación de ángulos pequeños, entonces se cuple sin tan. Según la Fig. (8.6.7), se tiene que y tan = () l Reeplazando este resultado en la relación (), obteneos T y+ y = () l En este caso, la frecuencia angular ω viene dada por T ω = (3) l Finalente, la ecuación diferencial del oviiento en la aproxiación de ángulos pequeños o aproxiación arónica, viene dada por y+ ω y = (4) Esta ecuación, y todas las ecuaciones diferenciales de oviiento que heos encontrado en este ejercicio presentan la isa fora genérica y corresponden al oviiento de un oscilador arónico siple. La solución de la ecuación diferencial viene dada por cualquiera de las siguientes relaciones generales, donde heos usado la variable x() t en fora genérica.
68 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica xt () = Asin( ωt+ φ ) xt () = Acos( ωt+ φ ) x( t) = Asin( ωt) + Bcos( ωt) iωt xt () = Ae + Be iωt (5) Nótese que en cada caso se tienen dos contantes indeterinadas: A y φ, o A y B, las cuales toarán valores específicos, según las condiciones iniciales que se ipongan sobre el oscilador arónico. Equation Section (Next) Ejercicio (8.7) Calcular la frecuencia angular de oscilación de un cuerpo de asa, cuando es colgado de dos resortes de constantes y, respectivaente. Considere los siguientes casos, tal coo se uestra en la Fig. (8.7.): a) conexión en serie. b) conexión en paralelo. c) asa entre resortes. d) Obtenga los resultados anteriores cuando los dos resortes tienen la isa constante. a) b) Figura (8.7.) c) Solución: a) conexión en serie. Nota: En este caso podeos suponer que entre los resortes en serie existe una asa M (ver Fig. (8.7.)). De ese odo se trataría de un problea con dos asas conectadas a los resortes. Después escribios las ecuaciones de oviiento de cada asa y finalente haceos cero la asa M.
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 69 En este caso, y tal coo se indica en la Nota, vaos a considerar un bloque de asa M inserto entre los dos resortes. Apliqueos la segunda ley de Newton para cada bloque. Bloque de asa M : Al desplazar este bloque hacia abajo en y, el resorte de constante elástica se estira y ejerce una fuerza hacia arriba dada por F = y, porque se opone al desplazaiento y. A su vez, el resorte de constante se estira y ejerce una fuerza hacia debajo de valor F ( y y ) dirección del desplazaiento y. = que va en la M y y Figura (8.7.) La segunda ley de Newton para el bloque de asa M, queda: Bloque de asa : ( ) M y = y + y y () Al desplazar este bloque hacia abajo en y, el resorte de constante ejerce una fuerza hacia arriba = que se opone al desplazaiento y. La segunda ley de Newton para este de valor F ( y y ) bloque queda: ( ) y = y y () En resuen, las ecuaciones de oviiento que heos obtenido son: ( ) ( ) M y = y + y y (3) y = y y (4) Si ahora eliinaos el bloque de asa M haciendo M =, la relación (3), queda: ( ) y = y y (5) Despejando, obteneos el desplazaiento y en función de y :
7 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica y = y + Reeplazando este resultado en la relación (4), teneos, (6) y = y (7) + La ecuación diferencial que resulta es y + y = (8) ( + ) Por lo tanto, la frecuencia angular del oviiento arónico siple resultante, viene dada por b) conexión en paralelo. ω = La Fig. (8.7.3) uestra la conexión en paralelo. ( + ) (9) y Figura (8.7.3) Cuando el bloque de asa se desplaza y hacia abajo, aparece una fuerza restauradora elástica hacia arriba dada por la sua de las fuerzas elásticas ejercidas por cada resorte, esto es, Aplicando la segunda ley de Newton, se tiene F = y y () R ( ) y = + y () + y+ y = () Por lo tanto, la frecuencia angular viene dada por: ω + = (3)
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 7 c) asa entre resortes. La Fig. (8.7.4) uestra la situación en estudio. x Figura (8.7.4) Cuando la asa se desplaza hacia la derecha en x, aparecen dos fuerzas elásticas actuando sobre ella. El resorte de constante produce una fuerza hacia la izquierda dada por F = x y el resorte de constante produce tabién una fuerza hacia la izquierda dada por F = x. Con estas fuerzas, la segunda ley de Newton queda: x = x x (4) + x+ x= (5) Por lo tanto, la frecuencia angular del oviiento arónico, viene dada por ω + = (6) d) Obtenga los resultados anteriores cuando los dos resortes tienen la isa constante. Si = =, los resultados anteriores quedan: Caso a) conexión en serie: Caso b) conexión en paralelo: Caso c) asa entre resortes: ω = (7) ω = (8) ω = (9) Equation Section (Next) Ejercicio (8.8) Sobre un plano inclinado de roce despreciable, se coloca un bloque de asa conectado a un resorte de constante y largo natural l.
7 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica a) Hallar el estiraiento x ás allá de su largo natural l, cuando el sistea queda en equilibrio sobre el plano inclinado b) A partir de la posición de equilibrio, se desplaza el bloque hacia abajo y se suelta. Hallar la ecuación del oviiento arónico siple y la frecuencia ω. Figura (8.8.) Solución: a) Hallar el estiraiento x ás allá de su largo natural l, cuando el sistea queda en equilibrio sobre el plano inclinado. Nota: Cuando el bloque se deja caer lentaente, el resorte se estira una distancia x, hasta que queda en equilibrio (y en reposo) debido a que se iguala la coponente de la fuerza peso g sin con la fuerza restauradora elástica del resorte x. La Fig. (8.8.) uestra claraente dicha situación. Nótese que en este ejercicio, el roce se considera despreciable. x l x g Aplicando la condición de equilibrio F =, a lo largo del eje X que coincide con el plano j Figura (8.8.) inclinado, se tiene, g sin x = () De esta relación obteneos el estiraiento x del resorte:
Capítulo 8 Oscilador Arónico Siple 73 g sin x = () b) A partir de la posición de equilibrio, se desplaza el bloque hacia abajo y se suelta. Hallar la ecuación del oviiento arónico siple y la frecuencia ω. La Fig. (8.8.3) uestra la situación dináica, correspondiente al caso en que el bloque de asa oscila en torno a la posición de equilibrio ubicada en ( l x ) +. ( + x) x l x x g Figura (8.8.3) La posición x() t del bloque en función del tiepo, se obtiene después de aplicar la segunda ley de Newton al bloque de asa, soetido a la coponente de la fuerza peso elástica ( x x) +. Nótese que la coponente de la fuerza peso ( ) g sin y a la fuerza x = x + x + g sin (3) g sin, no depende de la posición del bloque x() t ientras oscila, y claraente corresponde a una fuerza externa constante. Para eliinar el estiraiento x de la relación dináica (3), reeplaceos el valor obtenido en la relación () en la relación (3), obteneos g sin x = + x + g sin (4) Siplificando, se obtiene la ecuación del oscilador arónico siple: x+ x= (5) donde la frecuencia angular viene dada por ω = (6)
74 Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica