Álgebra II (61.08, 81.02) Primer cuatrimestre 2018 Práctica 2. Transformaciones lineales. Nota: con la letra K designamos tanto a R como a C. V y W son siempre K-espacios vectoriales 1. Decida si las siguientes funciones son transformaciones lineales. En caso de serlo, determine una base del núcleo y una de la imagen. (a) f : R 3 R 3, f([x 1 x 2 x 3 ] T ) = [x 1 x 2 + x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 x 3 ] T. (b) f : R 3 R 3, f([x 1 x 2 x 3 ] T ) = [x 1 x 2 + x 3 x 2 x 3 x 1 ] T. (c) f : R n n R, f(x) = det X. (d) f : C n C, f([z 1... z n ] T ) = z i (para 1 i n fijo). (e) f : R 3 3 R, f(x) = trx. Puede generalizar a matrices de n n? (f) f : P 3 P 5, f(p) = ap, siendo a(t) = t t 2. (g) f : R k R n, f(x) = Ax, donde A R n k. (h) f : C (R) C (R), f(ϕ) = ϕ, siendo C (R) el espacio vectorial de funciones infinitamente diferenciables. (i) f : P 3 R, f(p) = p(0). (j) f : C C, f(z) = z. Considere el caso de C tanto como R-espacio vectorial como C-espacio vectorial. (k) f : R n n R, f(x) = X + X T. (l) f : P 2 R 3, f(p ) = [P (0) P (0) P (0) P (0)] T. 2. Sea U un K-espacio vectorial y f : V W, g : V W y h : W U transformaciones lineales. Pruebe que: (a) Las funciones f ± g : V W definidas por (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) son transformaciones lineales. (b) Si λ K, entonces λf definida por (λf)(x) = λf(x) es una transformación lineal. (c) La composición h f : V U es una transformación lineal. 3. Encuentre la expresión de la transformación lineal f, en cada caso: (a) f : R 3 P 2, tal que f([1 0 0] T ) = t 2 3, f([0 1 1] T ) = t 1, f([0 0 1] T ) = t 2
(b) f : P 2 R 2 2, tal que f(t 2 t) = ( ) ( 1 1 0 0, f(t 1) = 0 1 ) 1 0, f(1) = ( 0 0 1 1 ) 4. Decida si existe una transformación lineal que satisface: (a) f : R 3 P 2, f([0 1 1] T ) = t 2 1, f([1 1 1] T ) = t 2 1, f([0 0 1] T ) = t 2 + t (b) f : R 3 P 2, f([0 1 1] T ) = t 2 1, f([1 1 1] T ) = t 2 1, f([1 0 0] T ) = 0 (c) f : R 3 P 2, f([0 1 1] T ) = t 2 1, f([1 1 1] T ) = t 2 1, f([1 0 1] T ) = t 2 + t 5. Demuestre que si f : R n R m es transformación lineal existe A R m n, tal que f(x) = Ax, x R n. 6. Halle bases y dimensión de Nu(f) e Im(f) para las funciones que resultaron transformaciones lineales en el ejercicio 1. 7. Sea f : V W una transformación lineal. Si A V y B W son subconjuntos, definimos respectivamente la imagen de A por f y la preimagen de B por f como Calcule, en cada caso, f(s) y f 1 (U). f(a) = {f(x) x A} f 1 (B) = {x V f(x) B}. (a) f : R 3 R 2, f((x 1, x 2, x 3 ) T ) = (2x 2 x 1, x 3 2x 2 ) T, S = {x R 3 / x 1 + x 3 = 0}, U = gen{(1, 1) T }. (b) f : P 3 R 2, f(p) = (p(0) p(1), p(0) + p( 1)) y S = { p P 3 / U = {x R 2 / x 2 = 0}. } 1 p(t)dt = 0, 1 8. Demuestre que para toda transformación lineal f : V W, se cumple: (a) Si S V es un subespacio de V = f(s) es un subespacio de W (b) Si U W es un subespacio de W = f 1 (U) es un subespacio de V
9. Sea f : V W una transformación lineal. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas, justificando la respuesta. Es decir, en caso de ser verdadera, demuestre la proposición y si es falsa, muestre un contraejemplo. (a) Si {v 1,..., v r } es l.d. entonces {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.d. (b) Si {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.d. entonces {v 1,..., v r } es l.d. (c) Si {v 1,..., v r } es l.i. entonces {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.i. (d) Si {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.i. entonces {v 1,..., v r } es l.i. 10. Sea f : V W una transformación lineal, V de dimensión finita. Demuestre las siguientes afirmaciones: (a) fes un monomorfismo Nu(f) = {O V } (b) Si fes un monomorfismo, entonces dim(v ) dim(w ) (c) Sif es un epimorfismo, entonces dim(v ) dim(w ) (d) Si f es un isomorfismo, entonces dim(v ) = dim(w ) 11. Dada f : R 2 2 P 3, f(( a 11 a 12 a 21 a 22 )) = (a 11 + a 12 )t 3 a 22 t 2 + (a 12 a 21 )t + (a 11 a 22 ), demuestre que f es un isomorfismo y halle f 1. 12. Sea f : V W una transformación lineal y w 0 W. Considere la ecuación f(v) = w 0. (a) Qué condición debe cumplir w 0 para que la ecuación admita solución? (b) Qué condición se debe cumplir para que la ecuación admita solución única? 13. Sea f : R 4 P 3 tal que f([1 1 1 1] T ) = t 3 t 2, f([0 1 1 1] T ) = t 2 t, f([0 0 1 1] T ) = t 2 t, f([0 0 0 1] T ) = t 3 t 2 Halle todas las soluciones de la ecuación f(x) = t 3 t sin buscar la fórmula de f. 14. Sean V, W y U K -espacios vectoriales, T : V W y g : W U transformaciones lineales. Demuestre que: (a) Nu(T ) Nu(g T ) (b) Im(g T ) Im(g) (c) Si g es inyectiva = Nu(T ) = Nu(g T ). La recíproca es falsa, encuentre un contraejemplo. (d) Si T es suryectiva = Im(g T ) = Im(g). La recíproca es falsa, encuentre un contraejemplo. 15. Dada f : R 3 P 2, f([x 1 x 2 x 3 ] T ) = (x 1 x 2 )t 2 + (x 1 + x 2 + x 3 )t + (2x 2 + x 3 ) encuentre [f] BB, siendo B = {[1 1 0] T, [0 1 1] T, [0 1 1] T } y B = {t 2, t + 1, 1}.
16. Sea f : R 3 P 2 lineal tal que para ciertos α, β R, f([1 1 1] T ) = p 0 f([0 1 1] T ) = p 1 f([0 0 1] T ) = p 2 donde p 0 (t) = 2 + αt, p 1 (t) = αt + t 2 y p 2 (t) = 1 + (α 1)t. (a) Halle α R para que f no sea inyectiva. (b) Halle bases de Nu(f) y de Im(f) para los valores hallados de α. (c) Halle f(s), siendo S el subespacio S = {x R 3 / x 1 + x 3 = x 2 + x 3 = 0}, según los valores de α. 17. Sean B = {v 1, v 2, v 3 } una base ordenada de cierto R-espacio vectorial V y C = {w 1, w 2, w 3, w 4 } una base ordenada de otro R-espacio vectorial W. Considere la transformación lineal f : V W que satisface: f(v 1 ) = w 1 + w 2 + w 3 w 4, f(v 2 ) = w 1 w 2 + 2w 3 + 3w 4 y f(v 3 ) = 2w 1 + 3w 3 + 2w 4. (a) Encuentre bases para Nu(f) e Im(f). (b) Halle todos los x V tales que f(x) = 2w 2 w 3 w 4. (c) Muestre que B = {v 1, 2v 2 + v 3, v 2 + v 3 } y C = {w 1, w 2, w 3 + w 4, w 3 w 4 } son bases de V y W, respectivamente. (d) Calcule [f] B C 18. Halle el valor de α R para que esté bien definida una transformación lineal no inyectiva T : P 2 P 2 que verifique T (t + αt 2 ) = 1 + αt + t 2, T (1 + t + t 2 ) = 1 + 2t + t 2, T (1 + αt + t 2 ) = α + 2t. Para el valor de α hallado, determine todos los p P 2 tales que T (p) = t + t 2. [ ] p(1) p( 1) 19. Sea la transformación lineal T 1 : P 3 R 2 2 /T 1 (p) =. p( 1) p(1) Sean B = {1, 1 + t, 2 + t 2, 3 + t 3 } y B = { ( ) ( 1 0 0 0, 0 1 ) ( 0 0, 0 0 ) ( 1 0, 0 0 0 1) } bases de P3 y de R 2 2 respectivamente. (a) Halle [T 1 ] BB (b) Defina una transformación lineal T 2 : R 2 2 P 3 que verifique Im(T 1 ) Nu(T 2 ) e Im(T 2 ) Nu(T 1 ).
20. Sea f : P 2 P 2 la transformación lineal dada por donde p(t) = at 2 + bt + c. f(p)(t) = (a αb)t 2 + (b βc)t + (a b), (a) Encuentre los valores de α, β R para los cuales f es un isomorfismo. (b) Para α = β = 1, encuentre f 1. (c) Para β = 0, hallar bases del Nu(f) y la Im(f) (en función de α). 21. Sean A K n m y B K k n, K = R o C. Demuestre lo siguiente: (a) col(ba) col(b). (b) col(ba) = col(b) si rg(a) = n. (c) Nul(A) Nul(BA). (d) Nul(A) = Nul(BA) si rg(b) = n. (e) rg(ba) min(rg(b), rg(a)). (f) Si rg(a) = n entonces rg(ba) = rg(b). (g) Si rg(b) = n entonces rg(ba) = rg(a). 22. (a) Sea f : R n R k una transformación lineal. Si L R n es una recta, qué tipo de objeto puede ser f(l)? (b) Para f : R 2 R 2 dada por f([x 1 x 2 ] T ) = [x 1 2x 2 2x 1 + x 2 ] T, describa la imagen por f del cuadrado de vértices [ 1 3] T, [3 3] T, [3 1] T, [ 1 1] T. (c) Idem anterior para f([x 1 x 2 ] T ) = [x 1 + 3x 2 3x 1 + 9x 2 ] T. 23. Sea f : R n R k una transformación lineal tal que f(x) = Ax, A R k n. Demuestre que f es inversible si y solo si A lo es. En tal caso, cuál es la inversa de f? 24. Sea f : V V lineal tal que f f = f ( en este caso se dice que f es un proyector). Compruebe que las siguientes transformaciones lineales son proyectores y halle bases de Nu(f) e Im(f) (a) f : R 2 R 2, f([x 1 x 2 ] T ) = [2x 1 + x 2 2x 1 x 2 ] T (b) f : R 3 R 3, f([x 1 x 2 x 3 ] T ) = [ x 2 + x 3 x 1 + x 3 x 1 x 2 + 2x 3 ] T 25. Demuestre que si f : V V es un proyector, siempre se cumple que Nu(f) Im(f) = V y f(v) = v v Im(f) (Se dice que f proyecta sobre la Im(f) en la dirección de Nu(f)).
26. Para los proyectores del ejercicio 24 encuentre bases B y B de R 2 y R 3, respectivamente, tal ( ) 0 0 0 0 0 que [f] B = y [f] 0 1 B = 0 1 0 según corresponda. 0 0 1 27. Sea B = {v 1, v 2, v 3 } base decierto espacio vecotrial V. (a) Muestre que B = {v 1, v 1 + v 2, v 1 + v 3 } es base de V. (b) Si f : V V es la transformación lineal tal que 1 9 1 [f] B = 3 8 4, 2 3 1 calcule una base de Nu(f) y, si existen, todos los v V tales que f(v) = v 1 + v 2 + v 3. 28. Sean f : P 3 P 3, g : P 3 R 2 2 las transformaciones lineales definidas por f(p 0 ) = p 0 p 1 g(p 0 ) = ( ) 1 0 0 2 f(p 1 ) = p 1 p 2 g(p 1 ) = ( 0 1 1 1 ) f(p 2 ) = p 3 p 2 g(p 2 ) = ( 1 4 0 4 ) f(p 3 ) = p 3 + p 2 g(p 3 ) = ( 2 1 3 1 ) donde p 0 (t) = 2, p 1 (t) = 1 t, p 2 (t) = 2 3t + t 2 y p 3 (t) = 1 t + t 3. (a) Calcule el núcleo y la imagen de f f. (b) Halle una transformación lineal h : P 3 R 2 2 tal que h f = g. Es h única? 29. Dadas B = {1, 1+t, 1+t+t 2 } base de P 2, C = {( 1 0 0 1 ) ( 1 0, 0 1 ) ( 0 1, 1 0 base de R 2 2 y g : P 2 R 2 2 lineal, cuya matriz en las bases B y C es [g] BC = Halle k R para que g no sea inyectiva. Para el valor de k hallado, encuentre, si existen, todos los p P 2 tales que g(p) = 30. ) ( 0 1, 1 0 1 3 2 0 1 1 2 1 k 0 2 2 ( 1 5 9 1. ). )}
(a) Sea f : R 3 R 2 la transformación lineal Encuentre bases B de R 3 y C de R 2 tales que f([x 1 x 2 x 3 ] T ) = [x 1 + x 2 2x 2 3x 3 ] T. [f] BC = ( ) 1 0 0. 0 1 0 (b) Para g : R 2 R 3 dada por g([x 1 x 2 ] T ) = [x 1 x 2 0 x 2 x 1 ] T encuentre, de ser posible, bases B de R 2 y C de R 3 tales que 1 0 [h] BC = 0 0. 0 0 (c) En general, suponga que h : R n R k es una transformación lineal tal que dim(im(h)) = r. Entonces existen bases B de R n y C de R k tales que ( ) Ir 0 [h] BC =, 0 0 donde I r (r k) indica la matriz identidad de r r (los ceros que aparecen en la matriz anterior son matrices nulas de tamaños correspondientes). 31. Para la transformación lineal f : R 3 R 3 dada por f([x 1 x 2 x 3 ]) T ) = [x 1 + x 3 x 1 2x 2 x 3 x 2 + x 3 ] T halle los valores de α R para los cuales existen bases B y C tales que α 1 0 [f] BC = 2 1 α. 1 2 1 Para los valores de α hallados, calcule las bases B y C. 32. Sean f : P 1 R 2 2 la transformación lineal dada por ( p( 1) 2p(0) + 2αp f(p) = ) (1) 3p(0) + 3αp (1) p( 1)
y g : R 2 2 R 2 2 un isomorfismo. (a) Halle todos los valores de α R para los cuales g f resulte inyectiva. 33. Sea V = {f : R R/f(x) = acos(x) + bsen(x), a, b R} C (R). Sea T : V V la transformación lineal definida por T (f) = f 2f 3f. (a) Determine la matriz de T en base B = {cos(x), sen(x)}. Es T un isomorfismo? (b) Cuántas soluciones en V tiene la ecuación diferencial f (x) 2f (x) 3f(x) = cos(x)? 34. (a) Sea V = gen{e x, e x } y T : V V definida por T (f) = f. Halle [T ] B para B = {cosh(x), senh(x)}. (b) Sea T : P 2 P 2 dada por T (p(t)) = p(2t 1). Halle [T ] E y [T ] B para E = {1, t, t 2 } y B = {1, t 1, (t 1) 2 }.