TEMA 5 SÓLIDO RÍGIDO CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS Ten presente la distinción entre velocidad angular ω Z y velocidad ordinaria v X. Si un objeto tiene una velocidad v X el objeto en su totalidad se mueve a lo largo del eje X. Por el contrario, si un cuerpo tiene una velocidad angular ω Z está girando en torno al eje Z, no quiere decir que el cuerpo se mueva a lo largo del eje Z. A veces por la falta de costumbre te resulta difícil determinar el sentido de ω y α. Para la velocidad angular, ω Z es la componente Z de un vector de velocidad angular ω dirigido a lo largo del eje de rotación. Como puedes ver en la figura, la dirección de ω está dada por la regla de la mano derecha. Si la rotación es en torno al eje Z, ω sólo tiene componente Z, la cual es positiva si ω apunta en la dirección +Z y negativa si ω apunta en la dirección Z. Del mismo modo, es muy útil trabajar con la aceleración angular α. Matemáticamente, α es la derivada con respecto al tiempo del vector velocidad angular ω. Si el objeto gira en torno a un eje Z fijo, α sólo tiene componente Z; la cantidad α Z es precisamente esta componente. En este caso, α Z apunta en la misma dirección que ω si la rotación se está acelerando y en la dirección opuesta si se está frenando. La estrategia para resolver problemas de dinámica rotacional es muy similar a la utilizada para problemas en los que interviene la segunda ley de Newton. En primer lugar, deberás identificar los conceptos relevantes. La ecuación ΣM=Iα es muy útil en todos los problemas en los que actúan momentos sobre un cuerpo rígido, es decir, cuando existen fuerzas que al actuar sobre el cuerpo alteran su estado de rotación. A veces el problema requiere un enfoque de energía; sin embargo, cuando la incógnita es una fuerza, un momento, una aceleración, una aceleración angular o un tiempo transcurrido, casi siempre es más eficiente usar la ecuación ΣM=Iα. A continuación hay que realizar un esquema de la situación y elegir un cuerpo o grupo de cuerpos que se analizarán. Dibuja un diagrama de sólido libre para cada cuerpo, aislando el cuerpo e incluyendo todas las fuerzas que actúan sobre él (y sólo ellas), incluido el peso. Marca las cantidades desconocidas con símbolos algebraicos. Una nueva consideración es que se debe mostrar con exactitud la forma del cuerpo, incluyendo todas las dimensiones y ángulos que se necesitarán para los cálculos de los momentos. Resulta muy útil trazar paralelamente al
diagrama de fuerzas un diagrama del mismo sólido donde aparezcan la aceleración del centro de masa del cuerpo y su aceleración angular. Así resulta más sencillo aplicar las ecuaciones ΣF=ma G y ΣM G =I G α. Además, el sentido de las aceleraciones a veces nos indica el sentido de algunas de las fuerzas desconocidas. Escoge los ejes de coordenadas para cada cuerpo e indica un sentido de rotación positivo para cada cuerpo que gire. Si hay una aceleración lineal, lo más sencillo suele ser escoger un eje positivo en su dirección. Si ya se conoce el sentido de α se simplificarán los cálculos si se escoge ése como sentido de rotación positivo. Para cada cuerpo del problema decide si sufre movimiento rotacional, traslacional o ambos. Dependiendo del comportamiento del cuerpo, aplica ΣF=ma, ΣM=Iα o ambas al cuerpo. Escribe ecuaciones de movimiento aparte para cada cuerpo. Podría haber relaciones geométricas entre los movimientos de dos o más cuerpos, como cuando un hilo se desenrolla de una polea girándola o cuando un neumático gira sin resbalar. Exprésalas en forma algebraica, habitualmente como relaciones entre dos aceleraciones lineales o una aceleración lineal y una angular. Verifica que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas. Resuelve las ecuaciones para obtener la o las incógnitas. Evalúa la respuesta. Comprueba que los signos algebraicos de tus resultados son lógicos. Por ejemplo, supón que el problema se refiere a un carrete de hilo. Si se está sacando hilo del carrete las respuestas no deberán decirnos que el carrete gira en el sentido en el que el hilo se enrolla. Siempre que puedas, verifica los resultados para casos especiales o valores extremos y compáralos con los que esperas intuitivamente. Pregúntate: es lógico este resultado? En una polea giratoria, con fricción entre la polea y el hilo para evitar deslizamientos, las dos tensiones no pueden ser iguales. Si lo fueran, la polea no podría tener aceleración angular. Marcar la tensión en ambas partes del hilo como T sería un grave error. Cuídate de este error en cualquier problema que implique una polea que gira. Es importante tener en cuenta que en ruedas la relación v cm =Rω sólo se cumple si hay rodamiento sin deslizamiento. En el caso de problemas de trabajo y energía, su resolución es análoga a los problemas del tema de la partícula con algunas adiciones. Muchos problemas implican una cuerda o cable enrollado en un cuerpo rígido giratorio que funciona como polea. En estos casos recuerda que el punto de la polea que toca la cuerda tiene la misma velocidad lineal que la cuerda, siempre que ésta no resbale sobre la polea. Así, podemos aprovechar las ecuaciones v=rω y a t =rα, que relacionan la velocidad lineal y la aceleración tangencial de un punto de un cuerpo rígido con la velocidad y la aceleración angulares del cuerpo. Escribe las expresiones para las energías cinética y potencial iniciales y finales y para el trabajo no conservativo (si lo hay). La novedad es la energía cinética rotacional, que se expresa en términos del momento de inercia I y la velocidad angular ω del cuerpo respecto del eje dado, en lugar de su masa m y su velocidad v. Sustituye las expresiones en
la ecuación de la energía y despeja las incógnitas. Como siempre, verifica que tu respuesta sea lógica físicamente.
TEMA 5 SÓLIDO RÍGIDO PROBLEMAS 1.- Una placa triangular que pesa 450 N está sostenida por dos cables, tal como se indica en la figura. Cuando la placa pasa por la posición representada, la velocidad angular de los cables es de 4 rad/s en sentido antihorario. Determinar en ese instante: a) la aceleración del centro de masas de la placa; b) la tensión en cada cable. (Sol: a) a=10,78 m/s 2 ; b) T CD =295,39 N; T AB =535,24 N) 2.- El sistema de la figura consta de una polea formada por dos discos coaxiales soldados de masas 550 g y 300 g y radios 8 y 6 cm respectivamente. Dos masas de 600 g y 500 g cuelgan del borde de cada disco. Calcular: a) en qué sentido gira? b) la tensión en cada cuerda; c) la aceleración de cada masa; d) la velocidad de cada cuerpo cuando uno de ellos ( cuál?) haya descendido 3 m partiendo del reposo. Momento de inercia de un disco respecto de su punto medio 1 2 MR. 2 (Sol: a) horario; T 1 =6,064 N; T 2 =4,695 N; c) a 1 =0,3071 m/s 2 ; a 2 =0,4094 m/s 2 ; d) desciende el bloque 2; v 1 =1,176 m/s; v 2 =1,567 m/s) 1 12 m a rad/s 3.- La placa rectangular de 152 x 203 mm y 120 kg de masa cuelga de las articulaciones de pasador A y B. Se retira el pasador B y la placa oscila libremente en torno al pasador A. Hallar: a) la aceleración angular y las reacciones en el pasador A inmediatamente después de retirar el pasador B; b) la velocidad angular de la placa tras haber rotado 90º; c) la velocidad angular máxima que alcanza en su movimiento. Momento de inercia de una placa plana de lados a y b respecto de su centro: 2 2 + b. ( ) (Sol: a) α=46,40 rad/s 2 ; A X =423,16 N; A Y =610,85 N; b) ω 2 =4,83 rad/s; c) ω máx =6,82 4.- Se suelta sin velocidad inicial una esfera de masa m y radio r sobre un plano inclinado. Hallar: a) el valor mínimo del coeficiente de rozamiento compatible con un movimiento de rodadura; b) la velocidad del centro de la esfera tras haber rodado 4 m en estas condiciones; c) la aceleración lineal del centro de masas y la aceleración angular de la esfera si el coeficiente de rozamiento fuera 0,1 y el radio de la esfera 20 cm; d) la velocidad de la esfera si hubiera recorrido 4 m sobre un plano sin rozamiento inclinado 30º. (Sol: a) µ mín =0,165; b) v CM =5,29 m/s; c) a CM =4,05 m/s 2 ; α=10,61 rad/s 2 ; d) v CM =6,26 m/s)
5.- Se unen dos discos de 400 mm de diámetro y uno de 240 mm de diámetro para formar un carrete que tenga una masa de 125 kg y un radio de giro de 125 mm respecto al eje que pasa por el centro de masas del carrete. A éste se le aplica una fuerza de 500 N mediante un cable arrollado sobre el disco de 240 mm, según se indica en la figura. Determinar la aceleración del centro de masa y la aceleración angular del carrete si: a) la superficie horizontal es lisa; b) la superficie horizontal no es lisa µ=0,25. (Sol: a) a CM =4 m/s 2 ; α=30,72 rad/s 2 ; b) a CM =4,602 m/s 2 ; α=23,011 rad/s 2 )