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Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 1 Probleas para entrenarse 1 Una partícula α (q 3, 10-19 C) se introduce perpendicularente en un capo cuya inducción agnética es,0 10 3 T con una velocidad de 4,5 10 5 /s. Calcular la fuerza agnética sobre la partícula. q 3, 10-19 C B,0 10 3 T. v 4,5 10 5 /s Coo F q( v x B) la fuerza resultante será perpendicular al plano forado por el vector velocidad ( v ) y el vector inducción agnética ( B ) y su ódulo : F q v B sen90º 3, 10-19 4,5 10 5,0 10 3 sen90º,88 10-10 N. Una carga de 6 µc penetra en un capo agnético de 0,05 T con una velocidad de 4 000 s -1 que fora un ángulo de 30 con el vector inducción agnética. Calcular la fuerza agnética que actúa sobre la carga. q 6 µc 6 10-6 C B 0,05 T. v 4 000 /s Coo F q( v x B) la fuerza resultante será perpendicular al plano forado por el vector velocidad y el vector inducción agnética y su ódulo : F q v B sen30º 6 10-6 4 000 0,05 sen30º 0,0006 N 3 Un electrón (q 1,6 10-19 C, 9,1 10-31 kg) que se ueve con una velocidad de 50 000 k/s describe una circunferencia de 10 c de radio en un capo agnético unifore. Calcular el valor del capo. q 1,6 10-19 C. 9,1 10-31 kg. La fuerza agnética ha de ser igual a la fuerza v 50 000 k/s 5 10 7 /s. centrífuga: 10 c 0,1. 31 7 v v 9,1 10 5 10 q v B q B v B 0,008 q 19 1,6 10 0,1 T perpendicular al plano forado por v y F, es decir al plano de la trayectoria circular. física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 4 Un protón (q 1,6 10-19 C, 1,7 10-31 kg) que se ueve con una velocidad de 10 000 k/s penetra perpendicularente en un capo agnético de 0,1 T. aa) ) Cuál es el tiepo que tardará en recorrer la circunferencia que describe? bb) ) Cuántos giros copletará en un segundo? q 1,6 10-19 C. 1,7 10-31 kg. v 10 000 k/s 1 10 7 /s. B 0,1 T. aa) ) Partios de la igualdad del ejercicio anterior pero sustituyendo la velocidad lineal en función de la angular (ω) y el radio () y ω π/t: v q v B q B v π q B ω q B T T π qb 31 π 1,7 10 11 6,67 10 19 1,6 10 0,1 s bb) ) Ahora se nos pide la frecuencia f 1 T 1 11 6,67 10 10 1,5 10 vueltas o ciclos en un segundo. 5 Un conductor rectilíneo de 40 c de longitud, por el que circula una corriente de 0,15 A, se encuentra en un capo agnético unifore de 30 T. Si el ángulo forado por el conductor y el capo es 45, hallar la fuerza agnética que actúa sobre el conductor. Longitud l 40 c 0,4. Intensidad de la corriente i 0,15 A. Intensidad del capo agnético B 30 T. Ángulo α 45º F i l x B y su ódulo F i l B senα 0,15 0,4 30 sen45º 1,7 N de dirección perpendicular al plano forado por el vector longitud y el vector capo agnético. física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 3 6 Una espira rectangular conductora de 0 c de largo y 10 c de ancho se encuentra, coo se indica en la figura, en un capo agnético unifore de 0,05 T. Hallar el oento del par de fuerzas que actúa sobre la espira cuando circula por ella una corriente de 0,01 A. Largo b 0 c 0,. Ancho a 10 c 0,1. Capo agnético B 0,05 T. Intensidad de la corriente eléctrica i 0,01 A. S a x b 0,1 x 0, 0,0. que es perpendicular a la espira. M i S x B i S B sen90º i S B 0,01 0,0 0,05 0,00001 N 7 Hallar el oento del par de fuerzas sobre una espira circular de 0 c de diáetro situada en un capo agnético de 0, T cuando circula por ella una corriente de 10 A, sabiendo que el plano de la espira fora un ángulo de 45 con la dirección del capo. Diáetro d 0 c 0, ; adio r 0,1 Ángulo α 45º. Capo agnético B 0, T. Intensidad de la corriente eléctrica i 10 A. S π r π (0,1 ) 0,0314. M i S x B i S B senα i S B sen45º 10 0,0314 0, 0,0444 N 8 Un conductor rectilíneo uy largo está recorrido por una corriente eléctrica de 5 A. Hallar la inducción agnética en un punto que dista c del conductor (µ 0 4π 10-7 N/A ). Intensidad de la corriente eléctrica i 5 A. Distancia d c 0,0. física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 4 4π 10 5 5 B 5 10 T πd π 0,0 9 Hallar el capo agnético en el centro de una espira de 15 c de radio por la que circula una corriente eléctrica de 5 A. adio 15 c 0,15 c. Intensidad de la corriente eléctrica i 5 A. B µ 0 i 4π 10 5 0,15 0,0004 T 10 Hallar el valor de la inducción agnética en el interior de un solenoide de 1 000 espiras por etro cuando está recorrido por una intensidad de corriente de 0, A. Núero de espiras n 1 000. Intensidad de la corriente eléctrica i 0, A. B µ 0 i n 4π 10-7 0, 1 000 0,0005 T. 11 Un solenoide de 0 c de longitud genera en su interior un capo agnético de 10-3 T al ser recorrido por una corriente de 5 A. Hallar el núero de vueltas del solenoide. Capo agnético B 10-3 T. Longitud l 0 c 0,. Intensidad de la corriente eléctrica i 5 A. B N N l Bl µ i 0 10 3 4π 10 0, 5 17,3 espiras. física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 5 1 Dos conductores uy largos, rectos y paralelos, están situados en el vacío a una distancia de 10 c y recorridos por corrientes de 10 A y 0 A. Hallar la fuerza por centíetro entre ellos: aa) ) Si las corrientes tienen el iso sentido. bb) ) Si tienen sentidos contrarios. Distancia r 10 c 0,1. i 1 10 A. I 0 A. aa) ) F 4 µ 0 i1 i 4π 10 10 0 N 4 10, es atractiva. l πr π 0,1 bb) ) La isa pero de sentido contrario, es decir repulsiva. Probleas para pensar 13 Un electrón con una energía cinética de 15 ev (electrón-voltio) penetra perpendicularente en un capo agnético de 10-3 T. Deterinar la trayectoria que sigue el electrón en el capo (1 ev 1,6 10-19 J). Energía cinética 15 ev,4 10-18 J. Capo agnético B 10-3 T. Coo el electrón penetra perpendicularente en el capo agnético y la fuerza viene dada por: F q v x B el vector velocidad y el vector capo son perpendiculares y por tanto la fuerza perpendicular a ellos y de ódulo constante e igual a q v B. Una fuerza constante y dirigida hacia el centro produce un oviiento circular unifore, luego la trayectoria es una circunferencia. 14 Un protón penetra en una región en la que coexisten un capo eléctrico cuya intensidad es 3 000 V/ y un capo agnético cuya inducción es 5 10-4 T. Abos capos producen sobre el protón fuerzas iguales y opuestas. Hallar la velocidad del protón. Intensidad del capo eléctrico E 3 000 V/ Intensidad del capo agnético B 5 10-4 T. física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 6 Coo las fuerzas producidas por los capos son iguales y opuestas: E q E q v x B E v B sen90º v B 3000V / 5 10 4 T 3 10 5 7 s 15 En la figura se representa el oviiento de doy partículas de la isa carga y de distinta asa que penetran por el punto A en un capo agnético unifore perpendicular al plano del papel, abas con la isa velocidad. Después de describir edia circunferencia, la priera incide en el punto B y la segunda en el punto C. Hallar la separación final entre las partículas (la distancia BC). Hallaos los radios de las trayectorias circulares igualando las fuerzas centrífugas y agnéticas: 1v v v 1v v 1 ; BC 1 ( 1) qb qb qb qb qb 16 Calcular la energía cinética que debe tener un electrón para atravesar sin ser desviado un aparato selector de velocidades en el que actúa un capo eléctrico de 4 10 5 V/ perpendicular a un capo agnético de 0, T. Para que no sea desviado la fuerza resultante que actúa sobre el e - sea nula la fuerza producida por el capo eléctrico ha de ser opuesta y del iso ódulo de la agnética: Ec 1 ev 1 9,110 10 F E F Mag qe qvb 31 6 kg (1 10 / s) v E B 19 18, 10 J 5 4 10 V / 0,T 6 10 s 17 Una partícula a (q 3, 10-19 C, 6,5 10-7 kg) describe una circunferencia de 80 c de diáetro en el interior de un capo agnético unifore de,5 T. Hallar el período del oviiento, la velocidad y la energía cinética (en ev) de la partícula. física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 7 π π π π π 6,5 10 13π 8 T 10 s. ω v / qb qb 19 3, 10,5 8 v ω π π 16 10 8. T 13π 8 13 s 10 8 1 1 16 8 11 11 1eV 8 Ec v 6,5 10 kg 10 4,9 10 J 4,9 10 J 3,08 10 ev 13 s 19 1,6 10 J 18 Un segento horizontal de conductor de 5 c de longitud y 0 g de asa por el que circula una corriente de 10 A se encuentra en equilibrio en un capo agnético unifore, tabién horizontal, y perpendicular al conductor, coo se indica en la figura. Hallar el valor de la inducción agnética. Para que se antenga en equilibrio, la fuerza agnética hacia arriba debe ser igual al peso hacia abajo: g 0,0kg 9,8 / s F M P F i l x B i l B senα i l B sen90º i l B g B 0,0784 T i l 10A 0,5 19 Disponeos de un conductor de longitud l que enrollaos para forar una espira circular. Deostrar l i que el oento agnético de la espira cuando circula por ella la corriente es. Será igual el oento 4π agnético para espiras de otra fora obtenidas con el iso conductor? Si enrollaos el conductor de longitud l se fora una circunferencia de esa isa longitud cuyo radio será: l longitud l πr r, luego la superficie del círculo de la espira circular forada es: π l l S π r π π 4π i l Coo el oento agnético es i S su ódulo es i S. 4π física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 8 0 Una bobina copuesta por 00 espiras circulares de 10 c de diáetro se encuentra en una región con un capo agnético unifore de T. Hallar el oento del par áxio que actúa sobre la bobina cuando circula por ella una corriente de 4 A. Diáetro d 10 c ; adio r 5 c 0,05 El oento del par de fuerzas que actúa sobre la bobina es : M i S x B i S B i πr B 4A π (0,05) T 0,068 N 1 Dos espiras circulares, coplanares y concéntricas, de radios 1 y, están recorridas por las corrientes i 1 i1 e i. Hallar para qué relación entre las corrientes es nulo el capo agnético en el centro de las espiras. i Para que el capo en el centro sea nulo la corriente en la espiras ha de ser de sentido contrario, los vectores capo agnético serían opuestos (uno hacia arriba y otro hacia dentro del plano) y la relación entre intensidades la obteneos de igualar sus ódulos: 1 i1 1 B 1 B es decir la relación entre las intensidades ( de sentidos 1 i opuestos) ha de ser igual a la relación entre los radios de las espiras. Dos conductores rectilíneos, uy largos y paralelos, distantes entre sí 10 c, están recorridos por corrientes eléctricas de 1,5 A y 3 A. Hallar la inducción agnética producida en un punto equidistante de abos conductores y coplanario con ellos: aa) ) Si abas corrientes tienen el iso sentido. bb) ) Si tienen sentidos contrarios. Distancia 10 c, distancia al punto edio entre abos r 5 c 0,05. i 1 3 A. i 3 A física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 9 µ µ aa) ) 0i 1 0 B B + B 1 B B1 (i i1) πr πr πr 4 6 π 10 (3 1,5) 1,5 10 π 0,05 bb) ) T 1 µ 0 B B + B 1 B + B1 + (i + i1) πr πr πr 4 6 π 10 (3 + 1,5) 4,5 10 π 0,05 T 3 Un solenoide que tiene 10 000 espiras por etro y una resistencia eléctrica de 1 ohios se conecta a una batería de 150 voltios de fuerza electrootriz y 1 ohio de resistencia interna. Calcular el capo agnético inducido en el interior del solenoide. F.e.. 150 V. esistencia interna r 1 Ω. esistencia del solenoide 1 Ω. Núero de espiras/longitud N/l 10 000 espiras/. En prier lugar teneos que hallar la intensidad que recorre el circuito (atraviesa el solenoide): f.e.. Caída de tensión en la resistencia interna de la pila + diferencia de potencial en el circuito externo. ε 150 150 ε ir + i i 11,54 A r + 1+ 1 13 Ahora podeos, ediante la fórula, hallar el capo agnético en el interior del solenoide: µ 0N i N B 10000 4π 10 11,54 0,145 T. l l física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 10 4 Un conductor de 15 c de largo y de 1 g de asa se encuentra en equilibrio situado,8 por encia de un conductor rectilíneo uy largo y paralelo al iso; circulan por abos conductores corrientes iguales y opuestas. Hallar la intensidad de las corrientes en los conductores. l 0,15 0,01 kg d,8 0,008 Para el conductor superior se encuentre en equilibrio su peso debe ser contrarrestado por la fuerza agnética debida al conductor de longitud indefinida: F P µ 0 l i 1 i πd πdg µ l π 0,008 0,01 9,8 { i i} i 104, 8 g coo i 1 0 4π 10 0,15 A. Probleas para profundizar 5 La frecuencia de giro de una partícula cargada en un capo agnético unifore se llaa frecuencia cidotrónica. Deostrar que la frecuencia ciclotrónica de una partícula con carga q, que penetra con velocidad v perpendicularente en un capo unifore B, no depende de la velocidad de la partícula. Coo la partícula penetra perpendicularente en el capo agnético y la fuerza viene dada por: F q v x B al ser el vector velocidad y el vector capo perpendiculares, la fuerza es perpendicular a ellos y de ódulo constante e igual a q v B. Una fuerza constante y dirigida hacia el centro produce un oviiento circular unifore en que la fuerza agnética proporciona la fuerza centrípeta necesaria, por tanto: F centrífuga F v v agnética qvb qb, coo adeás v ω πf, sustituyendo πf qb teneos qb f en donde veos que la frecuencia no depende de la velocidad π (v) con que penetre la partícula en el capo agnético. física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 11 6 Una partícula cargada penetra oblicuaente en un capo agnético. Deterinar el paso de la hélice que describe la partícula en el capo. Una partícula de asa y carga q penetra con velocidad v en un capo agnético unifore, en una dirección que fora un ángulo α con B. Si elegios unos ejes de anera que el OY sea paralelo al capo B, teneos: v vsenα i + v cos α j B B j Coo la fuerza sobre una carga óvil es F q v x B, dicha fuerza sólo actúa sobre la coponente perpendicular de la velocidad, el producto vectorial del capo por la coponente horizontal es nulo ya que su producto vectorial es nulo sen0º sen 180º 0. Coo consecuencia la partícula describe un oviiento circular unifore en un plano perpendicular a B (plano ZX), coo la coponente paralela al capo (vcos α) se antiene constante la trayectoria circular se odifica, transforándose en una helicoidal en la dirección del eje OY. El paso, distancia entre dos raos de la helicoide es el espacio en sentido OY que recorre la partícula en un tiepo igual a su período, luego hallaos su período igualando las fuerzas agnética y centrífuga que no depende de la velocidad ( coo vereos en el ejercicio π π anterior: T, luego e vcos α T v cos α que nos da el paso de hélice en función de qb qb las características de la partícula y el capo. 7 Una partícula de carga q y de asa se acelera desde el reposo ediante una diferencia de potencial V. Después se introduce en una región con un capo agnético unifore B de dirección perpendicular a la velocidad de la partícula de odo que ésta describa una trayectoria circular de radio. Deostrar que la q V relación carga/asa de la partícula es. B Hallaos la velocidad al final del período de aceleración ediante la tensión V: Trabajo eléctrico variación de la energía cinética de la partícula Vq v 1 T E C V q v Vq v Al penetrar perpendicularente, con esa velocidad v, en el capo agnético: física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 1 F centrífuga F agnética teneos: v v qvb qb, sustituyendo la velocidad por su expresión, Vq Vq qb Vq qb Vq q B q q V qb V B Q.E.D. B 8 Dos conductores perpendiculares están recorridos por corrientes de 10 A. Hallar la inducción agnética en el punto P de la figura. Intensidad eléctrica por el conductor horizontal i H 10 A Intensidad de la corriente eléctrica que circula por el conductor vertical i V i 10 A. Distancia del conductor horizontal al punto P r H 4 c 0,04. Distancia del conductor vertical al punto P r V c 0,0. En el punto P, el capo agnético debido a los conductores tienen la isa dirección y sentido, luego su resultante es la sua de los ódulos y la dirección y sentido el de abos: µ 7 0i 1 1 4π 10 10 1 1 5 BH + B V BH + B V + + 15 10 rh rv + rh r T. π π π V π 0,04 0,0 9 Un electrón que se ueve con una velocidad de 10 7 /s se encuentra a c de un conductor recto uy largo por el que circula una corriente eléctrica de 10 A de intensidad. Hallar la fuerza que actúa sobre el electrón: aa) ) Si su velocidad es paralela al conductor. bb) ) Si es perpendicular al iso y al plano que contiene a abos. v 10 7 /s. Distancia d c 0,0. Intensidad de la corriente i 10 A. Carga del electrón q 1,6 10-19 C. física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 13 Priero hallaos el valor del capo agnético en el punto en que se halla el electrón: B µ i 0 4π 10 10 4 10 T πd π 0,0 aa) ) Si la velocidad es paralela al conductor, el capo agnético es perpendicular al vector velocidad y la fuerza perpendicular a abos: 19 7 4 F q v x B F q v B sen90º 1,6 10 C 10 10 T s 16 1,6 10 N bb) ) En este caso la velocidad y el capo son paralelos y por tanto el producto vectorial es nula y nula es tabién la fuerza, F 0 N. 30 Un alabre conductor, por el que circula una corriente i, se dobla forando una circunferencia coo se indica en la figura sin que haya contacto eléctrico en el punto P. Hallar el capo agnético en el centro 0 de la circunferencia. En el centro O actúan dos capos agnéticos, el producido por la espira cuyo vector capo se dirige perpendicularente hacia dentro del papel ya que la corriente circula en sentido antihorario y el producido por el conductor rectilíneo cuyo vector, tabién perpendicular, se dirige hacia fuera del papel, luego abos vectores tienen la isa dirección pero sentido opuesto, la resultante será perpendicular al papel y de sentido el del ayor. Módulo del vector capo agnético debido a la espira: Be Módulo del vector capo agnético debido al conductor lineal: luego el ódulo del capo resultante es: Bc π 1 π 1 B Be Bc 1 T π π π física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 14 31 Tres alabres conductores uy largos y paralelos pasan por tres de los vértices de un cuadrado de lado l tal coo se indica en la figura. Hallar el valor del capo agnético en el cuarto vértice si las intensidades i de las corrientes que circulan por los tres conductores son iguales y del iso sentido. Supuestos los conductores perpendiculares al cuadrado, los vectores capo agnético en el cuarto vértice se dirigen en la dirección del lado hacia arriba, coo se uestra en la figura, luego la resultante será la sua de sus ódulos B1 + B + B3 πd1 + πd + πd3 1 1 1 + + l l π l 4 + π l 3 Dos espiras circulares de 5 c de diáetro tienen sus centros coincidentes pero se encuentran en planos perpendiculares. Están recorridas por corrientes eléctricas de 4 A y 5 A de intensidad. Hallar el vector inducción agnética en el centro de las espiras. Los capos en el centro de las espiras son perpendiculares coo se uestra en la figura. Hallaos los ódulos respectivos: B V V µ 0 4 B A A µ 0 5 4 5 41 µ µ µ µ 41 4 π 10 + T A 0,05 0 0 0 0 5 B B v B + ( 4 + 5 ) 8,05 10 Y el ángulo forado por la resultante es: µ 0 4 Bv 4 α arctg arctg arctg 38º 39' 35" con origen en B v. B A µ 0 5 5 física º Bto. s

Tea 11 Capos agnéticos y corrientes eléctricas! 15 33 Deducir ediante la ley de Apére el capo agnético producido por un conductor rectilíneo uy largo por el que circula una corriente i en un punto P situado a una distancia r. (Sugerencia: considerar coo línea cerrada una circunferencia con centro en el conductor y que pase por el punto P.) Coo toaos coo línea cerrada una circunferencia de radio r ( distancia del conductor a l punto P), su longitud L πr, luego, aplicando el teorea de Apére, teneos: B l µ 0 i, coo la longitud es L y a través de la circunferencia pasa una intensidad i, tendreos B L B πr µ 0 i B πr física º Bto. s