INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA OBJETIVOS: Estudio del fenómeno de autoinducción y de inducción mutua a partir del cálculo de las siguientes magnitudes: 1. El coeficiente de autoinducción, L, de una bobina larga; 2. El coeficiente de inducción mutua M 21 entre una bobina larga y una bobina corta; 3. El coeficiente de inducción mutua M 12 entre una bobina larga y una bobina corta. FUNDAMENTO TEÓRICO: Si hacemos circular por una bobina una corriente alterna: I 1 (t) = I 1max cos(ωt), de amplitud I 1max y frecuencia angular ω = 2πf, en su interior se creará un campo magnético: B = µ 0 n 1 I 1 (t), donde µ 0 = 4π10 7 H/m es la permeabilidad magnética del vacío y n 1 es el número de espiras por unidad de longitud de la bobina. El flujo magnético que atraviesa la bobina de N 1 espiras será igual a Φ 1 = N 1 B 1 S 1 = µ 0 n 2 1S 1 l 1 I 1 (t) = LI 1 (t) donde l 1 es la longitud de la bobina (N 1 = n 1 l 1 ), y L = µ 0 n 2 1S 1 l 1, (1) es el coeficiente de autoinducción de la bobina. Esta cantidad relaciona el flujo del campo magnético que atraviesa la bobina con la intensidad que circula por la misma. Nótese que L sólo depende de la geometría de la bobina. De acuerdo con la ley de Faraday, la fuerza electromotriz ɛ 1 inducida en los extremos de la bobina debido a las variaciones de su flujo magnético será igual a ɛ 1 = dφ 1 dt = L di 1(t) dt = LωI 1max sen(ωt) = ɛ 1max sen(ωt). Por tanto, la fem inducida es alterna y tiene la misma frecuencia que la intensidad que circula por la bobina. Téngase en cuenta que con el polímetro mediremos el valor eficaz de la intensidad y que con el osciloscopio podremos obtener el valor máximo de la fuerza electromotriz. Sabiendo que los valores eficaces y máximos para una señal de alterna están relacionados de la siguiente forma se obtiene I 1ef = I 1max / 2, (2) ɛ 1max = 2ωLI 1ef. (3) En la segunda parte de la práctica estudiaremos el fenómeno de inducción mutua. Para ello se introduce una bobina corta (bobina 2) en el interior de la bobina larga (bobina 1). Si hacemos circular la corriente alterna I 1 (t) por la bobina larga 1, parte del flujo creado en su interior atravesará la bobina corta 2. De esta forma, el flujo que atraviesa la bobina 2 será igual a Φ 21 = N 2 B 1 S 2 = N 2 µ 0 n 1 S 2 I 1 (t) = M 21 I 1 (t), 1
donde N 2 y S 2 representan el número de espiras y el área de la sección transversal de la bobina 2, respectivamente. Además, M 21 = µ 0 N 2 n 1 S 2 (4) es el coeficiente de inducción mutua entre las dos bobinas, relacionando el flujo que atraviesa la bobina 2 con la corriente que circula por la bobina 1. De acuerdo con la ley de Faraday, en la bobina 2 se inducirá una fem igual a ɛ 2 = dφ 21 dt = M 21 di 1 (t) dt = M 21 ωi 1max sen(ωt) = ɛ 2max sen(ωt). A partir de esta última expresión podemos expresar los valores de la fem inducida, ɛ 2max, que se medirán con el osciloscopio, con los valores eficaces de la corriente, I 1ef = I 1max / 2, que se medirán con el polímetro, de forma ɛ 2max = 2M 21 ωi 1ef. (5) Si ahora conectamos la bobina corta 2 al generador de corriente alterna de modo que por ella circule una corriente I 2 (t) = I 2max cos(ωt), la bobina larga 1 será atravesada por un flujo igual a Φ 12 (t) = M 12 I 2 (t). Utilizando la ley de Faraday obtenemos la siguiente expresión ɛ 1max = 2M 12 ωi 2ef, (6) donde ɛ 1max y I 2ef son los valores máximo y eficaz de la fem inducida en la bobina larga 1 y de la corriente que circula por la bobina 2, respectivamente. Además, M 21 representa el coeficiente de inducción mutua. Aunque no podamos calcular su expresión analítica del mismo modo sencillo con que calculamos M 12, se conoce que M 12 = M 21. Los coeficientes de autoinducción y de inducción mutua con los que trabajamos en esta práctica relacionan flujos magnéticos con intensidades de corrientes, por tanto, sus unidades de medida son iguales a Webber/Amperio (Wb/A), unidad denominada Henrio (H). MATERIAL: (véase figura 1) Generador de señales alternas, 2 polímetros, osciloscopio y cables de conexión. Bobina larga de longitud igual a l 1 = 750 mm, diámetro d 1 = 78 mm y n 1 = 485 espiras/m. Bobina corta de diámetro d 2 = 40 mm y N 2 = 100 espiras. 2 Figura 1: Práctica de inducción electromagnética.
MÉTODO OPERATIVO: 1. Cálculo del coeficiente de autoinducción L de la bobina larga. a) Monte el circuito de la Figura 2. Figura 2: Fenómeno de autoinducción. b) Fije la frecuencia f = 5 khz en el generador de señales alterna y anote la incertidumbre expandida asociada a esta frecuencia. Podrá obtener un valor más preciso si mide la frecuencia que genera el generador con el polímetro. Mídalo para comprobar la precisión del generador. c) Seleccione en el amperímetro la posición de corriente alterna (AC o ) y la escala de 200 ma. Se recomienda utilizar el polímetro gris, ya que los polímetros amarillos introducen un valor residual (aunque constante) que se añade al valor real. d) Enchufe a la red el generador de señales y encienda dicho instrumento, el polímetro y el osciloscopio. e) Gire lentamente el botón que regula la amplitud del generador hasta que el amperímetro indique 5 ma aproximadamente. Modifique las escalas del osciloscopio para que la señal completa se vea lo más grande posible. Si la señal que se observa en el osciloscópio es del tipo mostrado en el panel de la izquierda de la Figura 3 (en la página siguiente), accione el botón de Offset del generador de señales hasta que la señal aparezca en pantalla como en el panel de la derecha de la Figura 3. Si es necesario corrija la amplitud para que en el amperímetro siga marcando 5 ma aproximadamente. 3
Figura 3: Corrección de la tensión offset. f ) Observe el valor eficaz de la intensidad I 1ef que indica el amperímetro y mida la fuerza electromotriz máxima ɛ 1max en el osciloscopio (recuérdese que ɛ 1max es la mitad de la tensión de pico a pico). Anótelos en la Tabla 1. g) Incremente la intensidad que circula por la bobina en 5 ma aproximadamente respecto de la anterior, y anote de nuevo los valores de tensión e intensidad de la corriente en la Tabla 1. Repita este proceso hasta que la intensidad sea aproximadamente igual a 30 ma. Complete la Tabla 1. 4
2. Cálculo del coeficiente de inducción mutua M 21 entre una bobina larga y una bobina corta. a) Monte el circuito de la Figura 4 y mantenga la frecuencia f = 5 khz en el generador de señales. Figura 4: Fenómeno de inducción mutua. Fem inducida en la bobina corta debido a la corriente que circula por la bobina larga. b) Seleccione en el amperímetro la posición de corriente alterna (AC o ) y la escala de 200 ma. (De nuevo, es preferible hacerla con el polímetro gris). c) Gire el botón que regula la amplitud del generador hasta el máximo. Corrija, si es necesario, la tensión offset de la forma descrita en la sección anterior. Seleccione también en el osciloscopio la escala adecuada, para observar la señal completa lo más grande posible. Observe los valores que indican el osciloscopio y el amperímetro y anótelos en la Tabla 2. d) Disminuya la intensidad que circula por la bobina en 10 ma aproximadamente respecto de la anterior y anote de nuevo los valores de tensión e intensidad de la corriente en la Tabla 2. Repita este proceso hasta completar la Tabla 2. 5
3. Cálculo del coeficiente de inducción mutua M 12 entre una bobina larga y una bobina corta. a) Monte el circuito de la Figura 5 y seleccione la frecuencia f = 10 khz en el generador de señales. Mida la frecuencia real generada con el polímetro. Figura 5: Fenómeno de inducción mutua. Fem inducida creada en la bobina larga como consecuencia de la corriente que circula por la bobina corta. b) Seleccione en el amperímetro la posición de corriente alterna (AC o ) y la escala de 200 ma. c) Gire el botón que regula la amplitud del generador hasta el máximo. Corrija el offset si es necesario. Observe los valores que indican el osciloscopio y el amperímetro, y anótelos en la Tabla 3. Si la señal en el osciloscopio no es lo suficientemente nítida y en consecuencia no se puede medir bien la tensión máxima ɛ 1max, sustituya el osciloscopio por un polímetro. Elija entonces la escala adecuada en el polímetro: (AC o ) y la escala de medidas en 200 mv (o la más pequeña que marque el polímetro si no tiene esta escala). Nótese que entonces lo que medirá será la tensión efectiva ɛ 1ef, que está relacionada con la máxima por medio de ɛ 1ef = ɛ 1max / 2. d) Disminuya la intensidad que circula por la bobina en 10 ma aproximadamente respecto de la anterior y anote de nuevo los valores de tensión e intensidad de la corriente en la Tabla 3. Repita este proceso hasta completar la Tabla 3. 6
APELLIDOS Y NOMBRE ESPECIALIDAD GRUPO Inducción electromagnética Resultados y cuestiones Tabla 1 I 1ef ( ) ɛ 1max ( ) 1. Cálculo teórico del coeficiente de autoinducción L de la bobina larga. 1.1 Utilizando la expresión (1) calcule el valor teórico del coeficiente de autoinducción L. 2. Cálculo experimental del coeficiente de autoinducción L de la bobina larga. 2.1 A partir de los valores de la Tabla 1, represente gráficamente ɛ 1max (ordenada, eje y) frente a I 1ef (abscisa, eje x). 2.2 Obtenga, por el método de los mínimos cuadrados, el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen de la recta que mejor se ajusta a los puntos representados en la gráfica anterior. 2.3 Trace, sobre el gráfico, la recta de regresión obtenida. 2.4 A partir del valor de la pendiente de la recta de regresión, obtenga el valor experimental del coeficiente de autoinducción L de la bobina. 3. Compare los valores teórico y experimental del coeficiente de autoinducción L. 7
Tabla 2 Tabla 3 I 1ef ( ) ɛ 2max ( ) I 2ef ( ) ɛ 1max ( ) ɛ 1ef ( ) 4. Cálculo teórico del coeficiente de inducción mutua M 21 entre una bobina larga y una bobina corta. 4.1 Utilizando la expresión (4) calcule el valor teórico del coeficiente de inducción mutua M 21. 5. Cálculo experimental de M 21. 5.1 A partir de los valores de la Tabla 2, represente gráficamente ɛ 2max frente a I 1ef. 5.2 Obtenga, por el método de los mínimos cuadrados, el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen de la recta que mejor se ajusta a los puntos representados en la gráfica anterior. 5.3 Trace, sobre el gráfico, la recta de regresión obtenida. 5.4 A partir del valor de la pendiente de la recta de regresión, obtenga el valor experimental del coeficiente de inducción mutua M 21 entre las dos bobinas. 6. Compare los valores teórico y experimental del coeficiente de inducción mutua M 21. 7. Cálculo experimental del coeficiente de inducción mutua M 12 entre una bobina larga y una bobina corta. 7.1 A partir de los valores de la Tabla 3, represente gráficamente ɛ 1max frente a I 2ef. 7.2 Obtenga, por el método de los mínimos cuadrados, el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen de la recta que mejor se ajusta a los puntos representados en la gráfica anterior. 7.3 Trace, sobre el gráfico, la recta de regresión obtenida. 7.4 A partir del valor de la pendiente de la recta de regresión, obtenga el valor experimental del coeficiente de inducción mutua M 12 entre las dos bobinas. 8. Compare los valores experimentales de los coeficientes de inducción mutua M 12 y M 21. 8