Ejercicios Tipo Examen:

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1 Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco Departamento de Energía Área de Ingeniería Energética y Electromagnética 2 Ejercicios Tipo Examen: Transformadores y Máquinas Síncronas ( ) 25 de mayo de El circuito magnético mostrado en la Figura 1 tiene las siguientes dimensiones: A c =A g =9 cm 2, g=0.05 cm, l m = 30 cm y N= 500 vueltas. Considere un valor de permeabilidad relativa µ r = para el material del núcleo. Calcular a) la inductancia L. Si la densidad de flujo magnético en el núcleo es de 0.8 T, b) la energía almacenada W y c) la magnitud del voltaje inducido cuando el flujo varía de forma senoidal a una frecuencia de 50 Hz. i g Observaciones: Figura 1: Circuito magnético del problema 1. Los incisos se deben resolver de manera secuencial. Se recomienda dibujar el circuito equivalente eléctrico. 1

2 La µ r es la misma en todo el núcleo. El flujo magnético φ es el mismo en el entrehierro y el núcleo. El área de sección transversal del entrehierro A g es la misma que la del núcleo A c Para calcular L se necesita obtener la R del circuito magnético. La longitud media del núcleo ya la proporciona el problema. Para calcular la energía almacenada W se necesita conocer la corriente i. Ecuaciones fundamentales: L = λ i = Nφ i = N2 R (1) R c = l m A c µ (2) R g = g A g µ 0 (3) donde: l m = longitud media. φ= flujo magnético. i= corriente eléctrica. N= número de vueltas. W = energía magnética almacenada. A c = área de sección transversal del núcleo. A g = área de sección transversal del entrehierro. R c = reluctancia del núcleo. R g = reluctancia del entrehierro. µ= permabilidad del material. µ r = permeabilidad relativa. µ 0 = permeabilidad del vacío. W = 1 2 Li2 (4) 2

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4 - i N = 1000 vueltas r = 10 m a = 0.05 m Figura 2: Circuito magnético del problema El circuito magnético que se muestra en la Figura 2 consta de una bobina devanada en un anillo. El anillo está hecho de un material magnético cuya permeabilidad µ r =1. El radio del toroide es r=10 m y se mide desde su centro hasta donde se indica. La geometría del toroide es tal que la intensidad de campo magnético H puede considerarse 0 fuera del dispositivo. Bajo esta suposición, H = Ni 2πr. Calcular: a) la longitud media del núcleo l c y el área de la sección transversal del núcleo A c, b) la reluctancia del núcleo R c, c) la inductancia L de la bobina y d) la energía total almacenada W en el toroide si la bobina se carga con una densidad de flujo magnético B=2.0 T. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. La µ es la misma en todo el núcleo. Para calcular L se necesita obtener la R del circuito magnético. La longitud media se puede obtener calculando el perímetro de un círculo de radio r. Para calcular la energía almacenada W se necesita conocer la corriente i. Ecuaciones fundamentales: L = λ i = Nφ i (5) R c = l m A c µ (6) B = µh (7) W = 1 2 Li2 (8) donde: F mm = fuerza magnetomotriz. 3

5 l m = longitud media. i= corriente eléctrica. N= número de vueltas. A c = área de sección transversal del núcleo. R c = reluctancia del núcleo. µ= permabilidad del material. µ r = permeabilidad relativa. µ 0 = permeabilidad del vacío. B= densidad de flujo magnético. H= intensidad de campo magnético. 4

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7 3. El circuito magnético de la Figura 3 consiste en una pila de anillos de altura h = 2 cm. Los anillos tienen un radio interno R i = 3,4 cm, un radio externo R o = 4 cm y un entrehierro g = 0,2 cm. Asuma que el núcleo tiene permeabilidad infinita. Para N = 65 vueltas, calcular a) la longitud media del núcleo l m y el área de la sección transversal del núcleo A c, b) la reluctancia del núcleo R c y la reluctancia del entrehierro R g, c) la inductancia L, d) la corriente I 0 requerida para tener una densidad de flujo magnético en el entrehierro de B g = 1,35 T y e) los eslabonamientos de flujo λ correspondientes. Ro R i g Figura 3: Circuito magnético circular del problema 3. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. Para calcular las áreas y la longitud media, es importante tomar en cuenta la geometría del circuito magnético. Para calcular L e I 0 se necesita obtener la R del circuito magnético. Ecuaciones fundamentales: L = λ i = Nφ i = N2 R (9) R c = l m A c µ (10) R g = g A g µ 0 (11) donde: l m = longitud media. φ= flujo magnético. i= corriente eléctrica. 5

8 N= número de vueltas. A c = área de sección transversal del núcleo. A g = área de sección transversal del entrehierro. R c = reluctancia del núcleo. R g = reluctancia del entrehierro. µ= permabilidad del material. µ r = permeabilidad relativa. µ 0 = permeabilidad del vacío. 6

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10 1.1l l i l N l 2A A 1.1l l A Figura 4: Circuito magnético del problema El circuito magnético que se muestra en la Figura 4 se compone de un núcleo hecho de un material cuya permeabilidad relativa µ r =400 y se considera la misma en todo el núcleo. La sección A=10 cm 2 es la misma en toda la estructura excepto en la columna izquierda, donde vale 20 cm 2. La longitud l es igual a 10 cm. Considere N=100 vueltas, calcular: a) las R correspondientes a cada sección del núcleo, b) el flujo magnético φ c en el brazo central y c) la corriente i que debe aplicarse a la bobina para establecer en la columna derecha del núcleo magnético un flujo de 10 3 Wb. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. Las medidas tienen que estar en m. Se recomienda plantear el circuito equivalente eléctrico. La µ r es la misma en todo el núcleo. Además, µ=µ 0 µ r. Las secciones del núcleo que tengan la misma longitud media y área, tienen la misma R. El φ c en la columna central es igual a la suma de los flujos magnéticos de la columna izquierda φ i y derecha φ d. Para conocer φ i, es necesario conocer la F mm en la columna izquierda. Para calcular la i en la bobina es necesario conocer φ c y la R equivalente de todo el circuito magnético. Ecuaciones fundamentales: F mm = Ni = φr (12) R c = l m Aµ = l m A c µ 0 µ r (13) 7

11 donde: F mm = fuerza magnetomotriz. l m = longitud media. φ= flujo magnético. i= corriente eléctrica. N= número de vueltas. A c = área de sección transversal del núcleo. R c = reluctancia del núcleo. µ= permabilidad del material. µ r = permeabilidad relativa. µ 0 = permeabilidad del vacío. 8

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14 2 cm 8 cm 2 cm N i g 2 cm 6 cm 8 cm 6 cm 2 cm 6 cm Figura 5: Circuito magnético del problema El circuito magnético que se muestra en la Figura 5 se compone de un núcleo cuya curva B-H viene dana por: B = 1,6H 75+H. Calcular: a) las R correspondientes a cada sección del núcleo y b) la corriente i quedebeaplicarse a la bobinapara establecer unadensidad flujomagnético B g =0.8 T en el entrehierro g=0.1 cm. N =100 vueltas. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. Las medidas tienen que estar en m. Se recomienda plantear el circuito equivalente eléctrico. La µ r es la misma en todo el núcleo. El problema proporciona de manera implícita µ r, B=µH=µ r µ 0 H. Las secciones del núcleo que tengan la misma longitud media y área, tienen la misma R. Para calcular la i en la bobina es necesario conocer el flujo magnético en la columna central φ c y la R equivalente de todo el circuito magnético. El φ c en la columna central es igual a la suma de los flujos magnéticos de la columna izquierda φ i y derecha φ d. El flujo en la columna derecha φ d se conoce de manera implícita debido a que el problema proporciona la densidad de flujo magnético B g en esa columna. Para conocer φ i, es necesario conocer la F mm en la columna izquierda. Ecuaciones fundamentales: F mm = Ni = φr (14) 9

15 R c = l m Aµ = l m Aµ 0 µ r (15) R g = g A g µ 0 (16) donde: F mm = fuerza magnetomotriz. l m = longitud media. φ= flujo magnético. i= corriente eléctrica. N= número de vueltas. A c = área de sección transversal del núcleo. A g = área de sección transversal del entrehierro. R c = reluctancia del núcleo. R g = reluctancia del entrehierro. µ= permabilidad del material. µ r = permeabilidad relativa. µ 0 = permeabilidad del vacío. B= densidad de flujo magnético. H= intensidad de campo magnético. B = µh = µ 0 µ r H (17) 10

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18 I0 μ W Profundidad D N1 vueltas N2 vueltas x g g Émbolo μ h >> g + v 2 Figura 6: Circuito magnético El circuito de la Fig. 6 tiene un émbolo hecho de un material magnético que está soportado y puede desplazarse hacia dentro y afuera del núcleo fabricado con el mismo material cuya permeabilidad se considera µ. El núcleo magnético y el émbolo tienen una profundidad D. El movimiento del émbolo es tal que su posición está limitada de 0 x W y cuando está en la posición w, la R es infinita puesto que h >> g. No obstante, cuando el émbolo está en la posición x la única R que existe es la de los dos entrehierros. El núcleo magnético está devanado por dos bobinas (1 y 2). La bobina 1 tiene N 1 vueltas y una corriente constante I 0 (CD). La bobina 2 se encuentra en circuito abierto. Calcular a) la inductancia mutua entre la bobina 1 y 2 como una función de la posición del émbolo y b) hallar la expresión del voltaje inducido en la bobina 2 si el émbolo es movido por una fuente externa tal que su movimiento está dado por: x(t) = W(1+εsinωt) 2 con ε < w/2. Observaciones: SenecesitaencontrarlainductanciamutuaL 12 =L 21.ParasedebehallarlaRdelcircuitomagnético. Cuando el émbolo esta en la posición w, la R es infinita puesto que h g. Cuando el émbolo está en la posición x la única R que existe es la de los dos entrehierros porque el núcleo tiene permeabilidad infinita. Sin embargo, su área de sección transversal es variable. El voltaje en la bobina 2 es inducido por la bobina 1, por lo que la inductancia mutua L 12 = L 21 juega un papel importante. R g = g A g µ 0 (18) L = λ i = Nφ i = N2 R (19) 11

19 L 12 = L 21 = N 1N 2 R donde: I 0 = corriente eléctrica. N= número de vueltas. A g = área de sección transversal del entrehierro. g= dimensión del entrehierro. R g = reluctancia del entrehierro. µ= permabilidad del material. µ r = permeabilidad relativa. µ 0 = permeabilidad del vacío. B= densidad de flujo magnético. H= intensidad de campo magnético. λ= encadenamientos de flujo. L 12 =L 21 = inductancia mutua entre el devanado 1 y 2. (20) 12

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21 Núcleo Magnético g 2 Área A 2 I 1 N 1 Área A 1 g 1 N 2 I 2 Figura 7: Circuito magnético El circuito magnético que se presenta en la Fig. 7 tiene dos devanados (con N 1 y N 2 vueltas) y dos entrehierros de dimensiones g 1 y g 2. Considere que la permeabilidad del núcleo es infinita µ. a) Si I 1 0 e I 2 =0, calcule: la densidad de flujo magnético B g1 y B g2 en cada uno de los entrehierros, y los encadenamientos de flujo de cada devanado λ 1 y λ 2, b) repetir el inciso a) pero ahora I 2 0 e I 1 =0 y c) repetir el inciso a) pero ahora I 1 0 y I 2 0. Observaciones: Es necesario dibujar el circuito equivalente eléctrico. Para todos los incisos, el circuito magnético debe de analizarse como un circuito eléctrico. Para el inciso c), es necesario conocer la inductancia mutua entre devanados. λ = Nφ (21) B = φa (22) L 12 = L 21 = N 1N 2 R donde: N= número de vueltas. A= área de sección transversal. g= dimensión del entrehierro. R= reluctancia. B= densidad de flujo magnético. λ= encadenamientos de flujo. L 12 =L 21 = inductancia mutua entre el devanado 1 y 2. (23) 13

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