Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables 1 Funciones de varias variables Definición 1.1 Llamaremos función real de varias variables atodafunciónf : R n R. Y llamaremos función vectorial de n variables atodafunciónf : R n R m. (En ambos casos f es una función de n variables.) Ejemplo 1.2 i) f : R 2 R dada por f(x, y) =x 2 y + e cos y log x 3. ii) f : R 3 R dada por f(x, y, z) =cos(x y 2) + z 5 1tan(e x+y ). iii) f : R n R dada por f(x 1,x 2,..., x n )=e x 2 1 +x2 2 +...+x2 n iv) f : R 3 R 2 dada por f(x, y, z) =(x y + z 20,ztan[e zy ]). v) f : R 4 R 5 dada por f(x, y, z, t) =(x y, xcos z, t 2 + e y, 0, 3 xyzt). Observación 1.3 Las funciones que aparecen en los apartados i), ii) y iii) son reales y las de iv) y v) son vectoriales. Definición 1.4 Sea f : R n R m (una función vectorial). Llamaremos funciones coordenadas de f a las funciones f 1,f 2,..., f m : R n R que verifican que f(x 1,x 2,..., x n )=(f 1 (x 1,x 2,..., x n ),f 2 (x 1,x 2,...,x n ),..., f m (x 1,x 2,..., x n )). En esta situación pondremos f =(f 1,..., f m ). Observación 1.5 Para el ejemplo iv) anterior se tiene que f : R 3 R 2 tiene por funciones coordenadas f 1,f 2 : R 3 R, dadas por f 1 (x, y, z) =x y + z 20 y f 2 (x, y, z) =z tan[e xy ]. Para el ejemplo v) anterior se tiene que f : R 4 R 5 tiene por funciones coordenadas f 1,f 2,f 3,f 4,f 5 : R 4 R, dadas por f 1 (x, y, z, t) =x y, f 2 (x, y, z, t) =x cos z, f 3 (x, y, z, t) =t 2 + e y, f 4 (x, y, z, t) =0y f 5 (x, y, z, t) =3 xyzt. Igual que en el caso de funciones reales de una variable real (f : R R) se entiende por dominio de una función de varias variables al conjunto de puntos de R n en el cual tienen sentido todas las expresiones que definen a la función. Si f =(f 1,f 2,..., f m ) es una función vectorial se tiene además que Domf = Domf 1... Domf m. Observación 1.6 En el ejemplo i) anterior el dominio está formado por todos los puntos (x, y) que cumplen que x>0. En el ejemplo ii) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R 3 que verifican z 5 1 0 y cos(e x+y ) 6= 0, simultáneamente. En el ejemplo iii) el dominio 1.
es todo R n, así como en el ejemplo v). Finalmente en el ejemplo iv) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R 3 que verifican cos(e zy 1 ) 6= 0. Paralafunciónf(x, y) =cos( x 2 + y ) 2 el dominio es todo R 2 salvo el punto (0, 0) (observar que es el único punto que hace nula la suma de cuadrados x 2 + y 2 ). Para la función g(x, y) = x2 + y 2 el dominio es {(x, y) R 2 tales que xy xy 6= 0}, endefinitiva todo R 2 salvo los ejes coordenados x =0e y =0.Yeldominiodelafunción f(x, y) =( x2, log(x y), x y 2 1) es Domf = {(x, y) R n : y 6= 0,x y>0,x 2 1 0}. La gráfica de una función f : R n R m eselsiguienteconjuntodepuntosder n+m {(x 1,x 2,...,x n,f(x 1,x 2,..., x n )) R n+m :(x 1,x 2,..., x n ) Domf}. Casos donde puede visualizarse la gráfica: Una función real de variable real f : R R. Enestecasolagráfica es una curva en R 2,que estáformadaportodoslospuntosdelaforma(x, f(x)), dondex recorre el dominio de f. Ésta es la situación que hemos analizado en el Tema 6 de la asignatura. Una función real de dos variables f : R 2 R. Enestecasolagráfica es una superficie, que estáformadaportodoslospuntosdelaforma(x, y, f(x, y)), donde(x, y) recorre el dominio de f. Ésta será la situación que analizaremos por excelencia. Una función vectorial de una variable f : R R n, cuando n =2, 3. En este caso tenemos la gráfica de una curva parametrizada en R 2 ó R 3. Ésta es una situación especial que se visualiza de otro modo que no vamos a ver aquí. Ejemplo 1.7 A continuación vemos en primer lugar la gráfica de la superficie z = x 2 + y 2,yen segundo lugar la de la superficie z = x 2 y 2. Debido a la complejidad existente en general a la hora de abordar el problema de la representación gráfica de una superficie se hace necesario otro recurso que facilite en buena medida esta labor. Así podemos utilizar las curvas de nivel, que son las proyecciones sobre el plano OXY de los puntos de la superficie que están a cierta altura constante (para cada altura k al hacer la proyección sobre el plano OXY de la superficie obtenemos la curva de nivel {(x, y) :f(x, y) =k). 2
Ejemplo 1.8 Consideremos la esfera de ecuación x 2 + y 2 + z 2 =1. Las curvas de nivel nos dan circunferencias (basta con sustituir z por una constante k en la ecuación de la esfera). 2 Límite de funciones de varias variables La idea intuitiva de límite es similar a la del caso de funciones reales de una variable real, con las generalizaciones correspondientes. Consideremos una función real de varias variables f : X R n R y x 0 =(a 1,a 2,..., a n ) un punto de acumulación de X (recordemos que esto se da cuando toda bola centrada en x 0 contiene infinitos puntos de X; en adelante cuando estudiemos el límite en un punto siempre supondremos que estamos con un punto de acumulación). Diremos que L R es el límite de f cuando x =(x 1,x 2,..., x n ) tiende hacia x 0 atravésde X (también se dice límite restringido a X), y lo denotaremos por oabreviadamentepor opor f(x 1,x 2,..., x n )=L (x 1,x 2,...,x n ) (a 1,a 2,...,a n ),x X f(x) =L, x x 0,x X x x 0 x X f(x) =L, cuando para todo ε > 0 existe un > 0 de modo que si x B(x 0, δ),x X, x 6= x 0, entonces f(x) L < ε. De modo similar se define el límite de una función vectorial de varias variables f : R n R m, sólo que L no es un número real sino un vector L =(L 1,..., L m ) R m, y entonces lo que debe ser menor que ε es la distancia entre f(x) y L (equivalentemente esto último puede ponerse diciendo que f(x) B(L, ε)). Es conveniente especificar claramente el conjunto X en el que se toman los puntos a través de los cuales pretendemos aproximarnos hacia x 0, pues la cosa puede variar si lo cambiamos. El caso más 3
habitual es que pretendamos aproximarnos al punto x 0 a través del conjunto más amplio posible, el dominio de la función, para el que pondremos f(x) =L y al que nos referiremos simplemente x x0 diciendo que L es el límite de f cuando x tiende hacia x 0. En principio la idea inicial que tenemos de límite consiste, como ocurría para las funciones reales de una variable, es sustituir en el punto: Ejemplo 2.1 x 2 +y 2 2 = 1 = 1. (x,y) (0,1) 1+x cos y 1 Veamos cómo puede cambiar la cosa si nos acercamos a través de diversos conjuntos: Ejemplo 2.2 Dada la función f(x, y) = 9x2 y 2 definida para todo punto excepto para el origen (0, 0), vamos a determinar el valor del límite de la función cuando nos acercamos al origen, a través de los siguientes conjuntos: 9x 1. La recta y = x, 2 y 2,y=x 9x 2. La recta y =3x, 2 y 2,y=3x 3. La parábola x = y 2,,x=y 2 9x = 2 x 2 x 2 +x 2 9x2 y2 9x = 2 9x 2 x 2 +9x 2 9y = 4 y 2 y 4 +y 2 8x = 2 =4; 2x 2 0 = 10x 2 = 0=0. = 9y 2 1 y 2 +1 = 1. También es posible que los límites de funciones de varias variables sean infinitos, generalizando la definición dada para funciones reales de una variable. Por ejemplo una función f : R n R posee límite + en x 0 cuando para todo M existe un δ > 0 de modo que si x B(x 0, δ), x 6= x 0, entonces f(x) >M (extendiendo la situación al caso en que el límite valga o ). En general, para una función f : R n R m pondremos que f(x) = cuando para todo M>0 existe un δ > 0 de x x0 modo que si x B(x 0, δ) x 6= x 0, entonces el módulo norma del vector f(x) es mayor que M. Ejemplo 2.3 Ejemplo 2.4 x+1 = 1 =. y 0 (x,y) (2,0) 1+x (x 2) 2 +y 2 = 3 0 =+. 2.1 Operaciones con límites Para determinar la existencia del límite de una función vectorial basta estudiar el límite de sus funciones coordenadas. De este modo nos centraremos en estudiar límites de funciones reales. Esto se debe al siguiente resultado: Proposición 2.5 Para una función f =(f 1,...,f m ):R n R m yunpuntox 0, se tiene que existe f(x) yvalel =(L 1,L 2,..., L m ) si y sólo si existen los límites de las funciones coordenadas x x 0 x x 0 f 1 (x),..., x x0 f m (x) yvalenl 1,..., L m, respectivamente. 4
Ejemplo 2.6 Para f : R 3 R 2 dada por f(x, y, z) =(x y + z 20,ztan[ π 4 ezy ]), setieneque = ( (x,y,z) (1,0, 1) (x,y,z) (1,0, 1) f(x, y, z) = (x y + z 20,ztan[π (x,y,z) (1,0, 1) 4 ezy ]) = [x y + z 20], z tan[π (x,y,z) (1,0, 1) 4 ezy ]) = ( 20, tan π )=( 20, 1). 4 Y al igual que ocurría para el caso de funciones reales de una variable real las se tratan las operaciones usuales para las funciones de varias variables, siempre que tengan sentido. Así: Proposición 2.7 Sean f : R n R m y g : R n R m funciones para las que existe el límite y es finito cuando la variable tiende a un punto x 0 yseanα y β números reales. Entonces x x 0 (αf(x)+βg(x)) = α x x0 f(x)+β x x0 g(x). Además en el caso en que m =1(es decir, cuando las funciones no son vectoriales sino reales) se tiene: Proposición 2.8 Sean f : R n R y g : R n R funciones para las que existe el límite y es finito cuando la variable tiende a un punto x 0. Entonces [f(x) g(x)] = f(x) g(x) y x x0 x x0 x x0 f(x) f(x) x x 0 g(x) = x x0 (esto último tiene sentido si g(x) 6= 0). g(x) x x 0 x x 0 Además, estos resultados también son válidos para algunas situaciones de las distintas de las anteriores, como algunas en las que interviene algún infinito(de modo análogo a como ocurría para funciones de una variable): Ejemplo 2.9 e y x 2 = e =0. (x,y) (0,1) Nosplanteamosahoralarelaciónexistenteentreloslímitesatravésdediferentesconjuntos. Se tiene que: Proposición 2.10 Dada una función f : X R n R m ydadox 0 un punto de acumulación de X, si f(x) existe y vale L entonces para todo conjunto x x 0,x X X0 X tal que x 0 sea punto de acumulación de X 0 se tiene que existe f(x) yvalel. x x 0,x X0 En el caso particular de que pretendamos realizar el límite (a través del dominio) obtenemos que si existe f(x) yvalel entonces para todo conjunto X 0 Domf tal que x 0 es un punto de x x0 acumulación de X 0 se tiene que existe f(x) yvalel. Este resultado nos da un criterio x x 0,x X 0 que proporciona nuevas situaciones en las que podemos afirmar que el límite no existe: cuando el límite a través de un subconjunto no existe obiencuando el límite a través de dos subconjuntos existe pero tiene valor distinto: 5
Corolario 2.11 Consideremos una función f : X R n R m y x 0 un punto de acumulación de X. 1. Si para algún conjunto X 0 X tal que x 0 sea punto de acumulación de X 0 se tiene que no existe f(x), entoncesnoexiste f(x). x x 0,x X0 x x 0,x X 2. Si para ciertos conjuntos X 0,X 00 X tales que x 0 sea punto de acumulación de ambos se tiene que existen f(x). x x 0,x X Ejemplo 2.12 El límite y =0,esdecir x x 0,x X 0 f(x) =L 0 y x x 0,x X 00 (y3 +1)cos 1,y=0 (y3 +1)cos 1 = cos 1 x 2 f(x) =L 00 y L 0 6= L 00, entonces no existe no existe porque el límite a través del conjunto no existe. Ejemplo 2.13 La función g(x, y) = x y definida en todo punto posible no tiene límite en el punto x+y (0, 0) pues a través del conjunto X = {(x, x) :x R} su límite existe y vale 0 y a través del conjunto X 0 = {(x, 2x) :x R} X su límite existe y vale 1. (Después veremos que estos dos límites 3 estarán englobados en los denominados límites direccionales.) A partir únicamente de la definición no resulta fácil en general estudiar el límite. Por ello se hacen necesarias algunas herramientas que nos aporten información acerca del límite. Vamos precisamente enlossiguientesapartadosatrataralgunasdeellas. 2.2 Límites direccionales A la hora de estudiar el límite de una función de dos variables mediante límites a través de algunos conjuntos es típico considerar conjuntos del tipo rectas, parábolas y en general curvas de la forma y = g(x) ó x = h(y). Una situación especial es el caso de los límites a través de rectas que contienen al punto, denominados también límites direccionales. Estas rectas, como ya sabemos, son las de la forma y b = m(x a), junto con la recta vertical x = a. Notemos que la existencia de los límites direccionales no garantiza la existencia del límite, ni siquiera cuando todos ellos coinciden. Lo más que se puede decir es lo siguiente: Corolario 2.14 Si no existe algún límite direccional o al menos dos de ellos son distintos entonces no existe el límite. Nota: Como ya vimos en el Corolario 2.11 se puede generalizar el resultado anterior y deducir que si el límite a través de al menos dos conjuntos da un valor distinto (pueden ser dos direccionales, dos no direccionales o uno direccional y otro no direccional) entonces el límite no existe. Ejemplo 2.15 Calcular los límites direccionales de la función x2 y 2,y=mx x 2 y 2 x 2 +2y 2 = x 2 m 2 x 2 x 2 +2m 2 x 2 x 2 +2y 2 1 m = 2 = 1 m2 y 1+2m 2 1+2m 2,x=0 en el punto (0, 0). Éstos son x 2 y 2 x 2 +2y 2 y = 2 = 1. 2y 2 2 Como consecuencia vemos que el límite no existe puesto que hay límites direccionales que difieren (basta observar que hay límites direccionales distintos; por ejemplo el último límite, que vale 1 2,y alguno de los otros, por ejemplo para m =0,cuyovalores1). 6
Ejemplo 2.16 Calcular los límites direccionales de la función x 1 en el punto (1, 1). Éstos son (x,y) (1, 1),y+1=m(x 1) x 1 = x 1 = 1 = 1 y x 1 = 0 = 0=0. y+1 x 1 m(x 1) x 1 m m (x,y) (1, 1),x=1 y+1 y 1 y+1 y 1 Como consecuencia vemos que el límite no existe puesto que hay límites direccionales que difieren (incluso hay uno que da, param =0). Ejercicio 2.17 Comprobar que no existe el siguiente límite y+1 f(x, y), donde f(x, y) = xy2, x 2 +y 4 definida para (x, y) 6= (0, 0), viendo que los límites direccionales a pesar de ser todos iguales resultan distintos del límite a través del conjunto x = y 2. 2.3 Cambio a coordenadas polares en R 2 Supongamos que tenemos una función f : R 2 R para la que planteamos el límite en un punto (a, b). Para hacer el límite f(x, y) podemos probar haciendo el cambio de variable (x,y) (a,b) x = a + ρ cos θ y = b + ρsenθ El caso más sencillo y el que más habitualmente vamos a utilizar es cuando a =0,b =0,esdecir, cuando estamos con el punto (0, 0), en el que queda así la cosa Concretamente se tiene la siguiente relación: x = ρ cos θ y = ρsenθ Proposición 2.18 Supongamos que f(a + ρ cos θ,b+ ρsenθ) =L y no depende de θ [0, 2π[. Si existe una función real de una variable real F cumpliendo que F (ρ) =0ydemodoque f(a + ρ cos θ,b+ ρsenθ) L F (ρ) para todo ρ ytodoθ [0, 2π[, entonces f(x, y) =L. Ejemplo 2.19 Para la función f(x, y) = x3 +x 2 2y 3 +y 2 (x,y) (a,b) en el punto (0, 0), se tiene que como cos 3 θ 2ρ 3 sen 3 θ + ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sen 2 θ f(ρ cos θ, ρsenθ) = [ρ3 ]= ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sen 2 θ = [ ρ2 (ρ cos 3 θ 2ρsen 3 θ +cos 2 θ + sen 2 θ) ]= ρ 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = [ ρ2 (ρ cos 3 θ 2ρsen 3 θ +1) ]=[ρ cos 3 θ 2ρsen 3 θ +1)]=1 ρ 2 1 para cualquier θ, nuestro candidato a límite es L =1por lo que buscaremos una función F cumpliendo lo requerido. Como se tiene que f(a + ρ cos θ,b+ ρsenθ) 1 = ρ(cos 3 θ 2sen 3 θ) ρ cos 3 θ + 2ρsen 3 θ ρ +2ρ =3ρ, tomaremos F (ρ) =3ρ y se tiene que F (ρ) = 3ρ =0yenefectoexiste 7 f(x, y) =1.
Ejemplo 2.20 Para la función g(x, y) = 2x2 +3y 2 2y 3 en el punto (0, 0), se tiene que como cos 2 θ +3ρ 2 sen 2 θ 2ρ 3 sen 3 θ g(ρ cos θ, ρsenθ) = [2ρ2 ] = [ ρ2 (2 cos 2 θ +3sen 2 θ 2ρsen 3 θ) ]= ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sen 2 θ ρ 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = [2 cos 2 θ +3sen 2 θ 2ρsen 3 θ)] = 2 cos 2 θ +3sen 2 θ, depende de θ, entonces no existe el límite g(x, y). Ejemplo 2.21 Comprobemos la existencia del límite (x,y) (0,1) x 3 x 2 +(y 1) 2 (y hallemos su valor) calculando el límite en coordenadas polares. En primer lugar vemos que el siguiente límite no depende de θ, luego es nuestro candidato: L = (ρ cos θ) 3 (ρ cos θ) 2 +(1+ρsenθ 1) 2 = = ρ 3 cos 3 θ ρ 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = ρ cos3 θ =0. ρ 3 cos 3 θ ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sen 2 θ = Ycomo (ρ cos θ) 3 (ρ cos θ) 2 +(1+ρsenθ 1) L 2 = (ρ cos θ) 3 (ρ cos θ) 2 +(ρsenθ) 0 2 = ρ cos 3 θ ρ 0, en efecto se tiene que (x,y) (0,1) x 3 x 2 +(y 1) 2 =0. Nota: Observemos que hemos tomado F (ρ) =ρ. Ejemplo 2.22 Para la función h(x, y) = xy2 x 2 +y 4 se tiene que como h(ρ cos θ, ρsenθ) = ρ cos θsen 2 θ cos 2 θ + ρ 2 sen 4 θ = 0 cos θsen2 θ cos 2 θ =0 para cualquier θ, nuestro candidato a límite es de nuevo L = 0. Pero ahora la búsqueda de F no resulta fructífera en este caso. De hecho como se propuso en el Ejercicio 2.17 se tiene que @ h(x, y). Ejercicio 2.23 Comprobarlaexistenciadellímite en coordenadas polares. Solución: 2. (2 (x,y) ( 1,2) (x+1)3 ) calculando el límite (x+1) 2 +(y 2) 4 2.4 Límites iterados Sea f : R 2 R una función real de dos variables y (a, b) R 2.Llamaremoslímites iterados de f en el punto (a, b) a los siguientes límites ( f(x, y)) = L 1 y ( f(x, y)) = L 2. Observemos x a y b y b x a lo que hacemos, por ejemplo con el segundo límite iterado: En primer lugar fijamos la variable y (con valores próximos pero distintos a b) yhacemosquelavariablex se aproxime al punto a. Si este 8
límite existe para todo valor de y posible (pero considerando y constante) entonces a la expresión dependiente de y resultante tenemos ahora que hacerle el límite cuando y tiende hacia b. Los límites iterados no tienen por qué existir. De hecho hay ejemplos en los que no existe ninguno oexistesólounodelosdos. Inclusoaunqueexistanambosnotienenporquécoincidir. Ademásla existencia de éstos no está determinada completamente por la existencia del límite f(x, y) =L ni viceversa. A este respecto lo que sí podemos decir es lo siguiente: (x,y) (a,b) Proposición 2.24 Supongamos que existe f(x, y) = L yesfinito. Entonces si existe (x,y) (a,b) alguno de los iterados L 1 ó L 2 con valor finito coincide con el límite L. Lo que estamos diciendo es que si existen (con valor finito) L y L 1 entonces L = L 1 ; si existen (con valor finito) L y L 2 entonces L = L 2 ; y si existen (con valor finito) L, L 1 y L 2 entonces L = L 1 = L 2. Esto nos proporciona el siguiente criterio que nos da una situación en la que el límite f(x, y) no existe: (x,y) (a,b) Corolario 2.25 Si los límites iterados existen con valor finito y no coinciden entonces no puede existir el límite. Si existe alguno de los límites iterados con valor finito y no coincide con el límite a través de algún subconjunto, entonces tampoco existe el límite. Ejemplo 2.26 En los siguientes apartados todo se hace en el origen (0, 0): 1. Sea f(x, y) = x+y. x y Entonces los límites iterados valen L 1 = ( f(x, y)) = ( y L 2 = ( f(x, y)) = ( )= x y f(x, y). 2. Sea f(x, y) =x cos 1 y. x+y Entonces para los límites iterados se cumple que (puesto que no existe x cos 1 y )y y y = x+y L 1 = ( f(x, y)) = ( x cos 1 y )=@ x y )= x = x 1=1 1= 1. Entonces no puede existir L 2 = ( f(x, y)) = ( x cos 1 y ) = 0=0 (puesto que x cos 1 =0, porque estamos realizando el límite del producto de una cantidad y que tiende a cero, x, y otra que está acotada. Ahora bien, el límite f(x, y) sí existe y vale 0, ya que es el producto de una función que tiende a cero por otra que está acotada. 9
Ejemplo 2.27 1. Entonces L 1 = ( f(x, y)) = ( x 2y +4)=x +4=4 y L 2 = ( f(x, y)) = ( x 2y +4)= 2y +4=4. Ahora bien f(x, y) no existe pues el límite a través del conjunto x =0(y también el límite a través del conjunto y =0)vale1 6= 4. Ejercicio 2.28 Comprobar que la función f(x, y) =(x + y)sen 1sen 1 x y los iterados no existen. posee límite en el origen pero 3 Continuidad de funciones de varias variables La definición de continuidad es enteramente análoga al caso de funciones de una variable real. Diremos que una función f es continua en un punto x 0 cuando x 0 Domf, existe el límite de f en x 0 (y es finito), y el valor de dicho límite y el de f(x 0 ) coinciden. El estudio de la continuidad de una función en un punto se reduce fundamentalmente al estudio de la existencia y, en su caso, el valor del límite de la función en el punto. Además, al igual que pasaba con los límites, el estudio de la continuidad de una función vectorial se reduce al de sus funciones coordenadas pues: Proposición 3.1 Una función vectorial es continua si y sólo si son continuas sus funciones coordenadas. Además, las funciones usuales (constantes, polinomios, exponenciales, trigonométricas, logaritmos, etc.) son funciones continuas en todo punto de su dominio. También al igual que pasaba con las funciones de una variable real, las operaciones usuales que se hacen con funciones continuas dan como resultado una función continua: sumas, restas, multiplicación por escalares, composición de funciones, productos, cocientes con denominador no nulo, y otras operaciones usuales. Así por ejemplo serán funciones continuas, en todo punto de su dominio, las siguientes: Ejemplo 3.2 1. f 1 (x, y) = 3xy+x6 e x y +5 (x 2 +1) x (continua en {(x, y) :y 6= 0}). 2. f 2 (x, y) =( sen(x y) log(x + y 2 ),e tan(x+1) ) (continua en {(x, y) :x + y 2 > 0, cos(x +1)6= 0}. Observación 3.3 En ocasiones ocurre que por problemas de dominio no podemos plantear el límite a través de R 2, sólo podemos plantearlo a través del dominio. Así ocurre por ejemplo con la función f(x, y) = x y cuando planteamos la existencia del límite en el punto (0, 0): éste sólo puede plantearse a través del dominio, que es el conjunto {(x, y) :x y}. En este caso el resultado del límite es 0. Entonces podemos interpretar que la función, que está definida en (0, 0) tomando el valor 0, es continua en dicho punto, por supuesto, continua a través del dominio. Admitiremos pues dentro de la definición de continuidad tal generalidad (continuidad a través de un conjunto), especialmente en el caso en que el límite lo realicemos a través del dominio. 10
A continuación, y para finalizar el tema, damos la versión en varias variables del Teorema de Weirstrass que generaliza el caso de una variable: Teorema 3.4 Si f : X R n R m es una función continua en X Domf y X es compacto entonces f(x) es también compacto. Corolario 3.5 Si f : X R n R es una función continua en X Domf y X es compacto entonces existen x 0,y 0 X tales que max{f(x) :x X} = f(x 0 ) y min{f(x) :x X} = f(y 0 ). 4 Resumen de los recursos más utilizados para estudiar el límite de una función real de dos variables 1. Recursos directos Para resolver diversos límites podemos utilizar métodos o fórmulas que se basan en propiedades ya conocidas. Éste es el caso de las equivalencias vistas para funciones de una variable. O también de otro tipo de propiedades, como por ejemplo de la que dice que el producto de una cantidad que tiende a cero por otra acotada tiende a cero. 2. Límites a través de conjuntos. Límites direccionales Si existe el límite (a través del dominio) entonces existen el límite a través de cualquier conjunto, incluidos los límites direccionales. Por ello si no existe el límite a través de algún conjunto (por ejemplo si no existe algún límite direccional) entonces no puede existir el límite (a través del dominio). También se obtiene la misma conclusión (es decir, no existe el límite, a través del dominio) si al menos a través de dos conjuntos existe el límite con distinto valor (sean éstos límites direccionales o no). Aunque todos los límites direccionales sean iguales, o aunque los límites a través de diversos conjuntos coincidan (y coincidan con los direccionales) no podemos deducir de ello la existencia del límite (a través del dominio). 3. Límites en coordenadas polares Si realizamos el cambio a coordenadas polares, y el límite en estas nuevas coordenadas existe y es independiente del valor del ángulo (además de los detalles concernientes a la existencia de cierta función F ), entonces tendremos que existe el límite inicial. Como ya sabemos los detalles sobre la mencionada función F se refieren a que la diferencia entre la función inicial expresada en coordenadas polares y el posible límite debe estar acotada por una cantidad independiente del ángulo que tienda a cero. En el caso de que el límite en coordenadas polares dependa del ángulo o no exista podremos decir que el límite inicial no existe. 4. Límites iterados La existencia o no de alguno de los límites iterados no implica la existencia o no del límite, ni viceversa. Lo único que podemos afirmar es que si existe el límite y alguno de éstos (ambos con 11
valor finito) entonces coinciden. Una situación en la que podemos concluir algo es el caso en que existen los dos límites iterados (con valor finito) y son distintos. En este caso el límite no puede existir. También se obtiene la misma conclusión si existe alguno de los límites iterados (con valor finito) y el límite a través de algún conjunto (como algún direccional) y tienen valores distintos. 5 Apéndice 5.1 Límites mediante equivalencias Este primer recurso se basa en el mismo argumento que vimos para las funciones de una variable (y para las sucesiones): se pueden reemplazar en el límite funciones por otras equivalentes, siempre que éstas aparezcan multiplicando o dividiendo a toda la expresión. De hecho en la mayoría de las ocasiones haremos uso de las equivalencias que ya conocíamos para funciones de una variable. Además, igual que en aquel caso también podremos obtener equivalencias cuando estudiemos el polinomio de Taylor para funciones de varias variables. Ejemplo 5.1 Supongamos que pretendemos estudiar el límite sen(x 2 + y 2 ) log(2 x). x 2 + y 2 Entonces aplicando la equivalencia conocida sent ' t cuando t tiende a 0 se tiene que sen(x 2 + y 2 ) ' x 2 + y 2 si esta expresión tiende a 0, lo cual ocurre cuando (x, y) tiende a (0, 0). Por tanto el límite anterior (x vale 2 +y 2 ) log(2 x) = log(2 x) =log2. sen(x Ejemplo 5.2 2 ) sen( 1 x )= 2 sen( 1 ) = xsen( 1 )=0(ya que (x,y) (0, 2) x y+2 (x,y) (0, 2) x y+2 (x,y) (0, 2) y+2 es producto de una función que tiende a 0 y otra acotada). 12