Veamos los siguientes ejemplos prácticos de aplicación: En el desayuno En el aparador de la joyería De paso por la papelería Los códigos de identificación Nos engaña Hollywood? El rectángulo ureo En el desayuno (adaptado de Adam, 1938) Si queremos hablar de cosas cotidianas, lo mas normal es empezar por el desayuno. Como ejemplo utilizaremos un producto de curioso e interesante origen: LA MIEL DE ABEJA. Un problema técnico resuelto por las abejas Las abejas para almacenar su miel deben construir una serie de panales de celdas individuales que conforme un mosaico que no deje espacios desaprovechados. Para esto tienen varias opciones geométricas: 1. Celdas triangulares 2. Celdas cuadradas 3. Celdas circulares 4. Celdas hexagonales Pero hay una limitante: Para la construcción del panel, deben gastar la menor cantidad de cera posible para lograr la capacidad máxima de cada celda.
Aquí es donde viene el reto para el alumno: Debe comparar entre las cuatro posibilidades geométricas posibles y determinar por qué las abejas usan una figura geométrica en lugar de las demás. Para simplificar el ejercicio, resulta conveniente reducir las celdas a dos dimensiones, sustituyendo el volumen de las celdas (que indica la cantidad de cera que pueden almacenar) por la superficie de la figura. La superficie de la celda (que indica la cantidad de cera necesaria para construirla) por el perímetro de la figura: Formas posibles de panales: S=6.93 cm 2 4 cm S= 9 cm 2 3 cm S= 10.39 cm 2 2 cm S= 11.46 cm 2 Para poder resolver el enigma, es necesario que el la maestro guíe al alumno para que se analice las superficies de cada una de las figuras geométricas, acotándole que cada una de las figuras tiene el mismo perímetro, por ejemplo 12 cm. A simple vista, la opción que posee mayor superficie es el círculo, por lo tanto si se tuviera que construir un panel de una sola celda, esta sería la mejor opción ya que se obtendría la mayor capacidad con el menor gasto de cera. Sin embargo, al pensar en un panel de varias celdas, teniendo en cuenta que es necesario economizar en el espacio total, el panel de celdas circulares dejaría huecos inútiles entre las celdas. Además es imposible formar un mosaico con círculos, ya que no hay paredes comunes a dos celdas que permitan ahorrar material al compartir las paredes. Es deseable animar a los estudiantes a que prueben todas las figuras en el panel:
Mosaico circular Mosaico Triangular Mosaico cuadrado Mosaico hexagonal
Como puede apreciarse, la figura que asegura un menor gasto de cera, una mayor superficie en cada celda y, en general, el aprovechamiento de todos los recursos de material y de espacio es el hexágono. Y esta es precisamente la técnica que emplean las abejas. Este es un ejemplo demostrativo de en la naturaleza con la ayuda de la evolución, se dan los casos mas coincidentes entre la vida, eficiencia y optimización de recursos. Este recurso muestra un ejemplo de optimización geométrica en la naturaleza. En el aparador de una joyería. Si se ha detenido alguna vez delante de una joyería para apreciar la belleza de alguna pieza y asombrarse con su precio, es fácil ver que existe un vocabulario propio de estos establecimientos. Este vocabulario se aplica para ciertos metales y piedras preciosas: Se habla de quilates, centésimas, oro amarillo, oro blanco, etc. Veamos que significan todas esas palabras. Oro Con el oro se emplea el término quilates (K) que, puede tener varias acepciones. En este caso se utiliza para referirse a la pureza del oro utilizado en la pieza de joyería en cuestión. Así por ejemplo, podemos tener 200 gramos de oro de 24 quilates. El oro puro tiene 24 quilates. Si a este oro se le añaden otros metales, se forma una aleación (puente para relacionar las matemáticas con la química). Con esta aleación, se pierde pureza y toma el valor en quilates proporcional al peso del oro que queda. Por ejemplo: Si a 75 gramos de oro se le añaden 25 gramos de otro metal, el resultado será oro de 18 quilates, es decir 75% de oro y 25% de otro metal. También se utilizan las milésimas que indican cuántas partes de oro puro hay en mil partes de la muestra.
Teniendo en mente estas premisas en el escaparate de la joyería podríamos distinguir: Oro de 24 (1000 milésimas) Solo presente en los lingotes con grabados en la superficie para coleccionistas o inversionistas que compran oro en lugar de acciones o en los talleres de las joyerías Oro de 18 K (750 milésimas) Llamado también "de primera ley" es el que se usa en joyería y al que más se encuentra en las joyas que vemos en los aparadores Oro de 14 K (548 milésimas) Llamado también oro "de segunda ley" tambien encontrado en joyas de menor valor comercial Oro de 9 K (375 milésimas) Esta proporción de oro soloo se utiliza de forma habitual en Gran Bretaña Cuando se adquiere una joya, el empleado nos dice su pureza en quilates y su peso, pero no se acostumbra a decir qué metales componen la aleación. Sin embargo, hay ciertas aleaciones de oro que reciben un nombre característico.
Oro amarillo: Oro con plata y cobre Oro verde: Oro con plata Oro blanco: Oro con plata, platino, paladio, nickel y zinc Oro rojo: Oro con cobre Oro rosa: Dos partes de cobre y una de plata Oro azul: 75% oro y 25% de hierro
Este ejemplo puede utilizarse para introducir a los alumnos en los temas relacionados con los porcentajes, ya que es una de las habilidades matemáticas más usadas en la vida diaria, en el comercio, en los medios de comunicación y que no es comprendida con demasiada facilidad es muy fácil constatar la poca soltura con que se suelen manejar, no solo los porcentajes complicados (como el 46% o el 73%) sino algunos muy sencillos como el 20% o el 30%, cuyo cálculo tendría que ser automático para cualquiera que hubiera pasado con un mínimo aprovechamiento matemático en la enseñanza básica. De paso por la papelería Todo estudiante que se precie de serlo habrá utilizado en alguna ocasión hojas de papel para plasmar anotaciones. Hay muchos tipos y tamaños de papel de escritorio : carta, oficio, doble carta, cuartillas, folios. En este caos de medidas se intentó poner un poco de orden mediante la creación de normas que se encuadraron en una normativa genérica llamada DIN para papel. Una de las medidas más utilizadas es la DIN A4, cuyas extrañas dimensiones son 29.7 cm x 21 cm. El formato de referencia de la serie A es el A0, cuya superficie mide 1 m 2. La relación entre las longitudes de los lados vale uno frente a la raíz cuadrada de 2 (1: 2), redondeando a milímetros enteros. En consecuencia, cada formato de una serie resulta de duplicar el lado menor del formato inmediatamente inferior, o de dividir por la mitad el lado mayor del formato inmediatamente superior. De esta forma, la relación entre las superficies de dos formatos consecutivos de una serie siempre vale 2 (la superficie del A0 es el doble de la superficie del A1, el A1 el doble del A2, etcétera). Las alturas y anchuras y, por consiguiente, también las superficies de los formatos de la serie B son la media geométrica de los valores relativos al formato correspondiente y el inmediatamente superior de la serie A. Así, por ejemplo, B0 = 1000 1414 mm 2 = (841 1189) (1189 1682) mm 2, resulta de los formatos A0 (841 1189 mm 2 ) y 2A0 (1189 1682 mm 2 ). Las medidas de la serie C son la media geométrica de los formatos de mismo número de las series A y B. Así, C0 = (841 1000) (1189 1414) mm 2 = 917 1297 mm 2. Los formatos de la serie B son siempre mayores que los de la serie A y los de la serie C se encuentran entre estos.
Imagine un gráfico incorporado a un DIN A3 de longitud de 10 cm; al reducirlo a DIN A4 su medida será de 10 x 0.707. En otras palabras: al reducirlo, la superficie se reduce un 50%, pero el gráfico se reduce en un 30% en sus medidas lineales, no a la mitad como se pudiera pensar!!! Este ejemplo es una muestra clara de la influencia que tienen las matemáticas sobre los ciudadanos. CODIGO DE BARRAS Los códigos de barras constan habitualmente de trece dígitos, representados mediante barras negras y espacios blancos de tal manera que forman un código binario que los sistemas ópticos pueden leer fácilmente. Cada uno se reduce a estos trece dígitos (ABCDEFGHIJKLM) Los dos primeros (A yb) son el código del país de origen del producto. Por ejemplo si el código de barras empieza con 84 quiere decir que el producto procede de España, si empieza por 83, de Francia.
Los cinco siguientes (C,D,E,F,G) Identifican a la empresa productora. Los cinco siguientes (H,I,J,K,L) Indican el código del producto asignado por la empresa El último número (M) es el dígito de control. Para obtener este dígito se suman los dígitos situados en la posición impar (empezando por la izquierda y sin contar el de control) y añadir tres veces la suma de los dígitos situados en las posiciones pares. El dígito control es lo que le falta al resultado de las operaciones anteriores para ser múltiplo de 10. Veamos el siguiente ejemplo: 7 + 5 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3(7 + 1 + 3+1+3+ +5) = 24 + 3(20) = 17 + 60 = 84 90 84 = 6 Digito de control: 6 Este es un excelente ejemplo para que los alumnos practiquen las sumas y ejerciten el pensamiento lógico. Hay códigos de barras por todos lados, pida a suss alumnos que lleven a clase productos con códigos de barra, invítelos a que investiguen los códigos de los países productores. Existen otras formas de codificación:
Algunos de los códigos de barras más populares Entrelazado 2 de 5 (ITF); Código 39; Codabar; Código 128; EAN 13; EAN 8; UPC A; UPC E. Código 93; ISBN ; ISSN, ITF 4; MSI Plesey, EAN 128, Código 25; Pharmacode, PostNet. TARJETAS DE CRÉDITO El reto para el profesor es investigar cómo están conformados estos códigos y pensar creativamente en cómo pueden ser utilizados para establecer puentes entre las matemáticas y la vida cotidiana. Nos engaña Hollywood? Alguna vez, durante su vida habrá escuchado la expresión Eso soloo pasa en las películas es cierto, porque muchas de las situaciones reflejadas en la pantalla no corresponden con la realidad. Las matemáticas y la física pueden ayudarnos a explicar estas maravillas del séptimo arte. Rambo Superman King Kong
Rambo y sus ráfagas de balas El popular personaje de Silvester Stallone posee una ametralladora que funciona (en la película) a ráfagas de 800 disparos por minuto. Sus cargadores son de 100 balas y hace falta cambiar el cañón cada 10,000 disparos. Si tenemos en cuenta que en la película se cambia el cartucho en menos de 3 minutos (nada mas fuera de la realidad) Rambo estaría muerto muy pronto. Continuando con el tema de los disparos, pero en otra categoría en la ficción cinematográfica podemos ver como se disparan misiles desde un avión en estado de reposo. Pero en realidad estas armas no se pueden activar hasta que el avión ha despegado y su tren de aterrizaje ha dejado de tocar el suelo Puede usted decir por qué? Superman. No es posible pasar por alto al mítico filme Superman, cuyo héroe protagonista vela por la humanidad parando balas con la mano, volando, corriendo a grandes velocidades y viendo todo lo que se le antoje con su vista de rayos X. El cine atribuye sus poderes a la diferencia de condiciones ambientales entre Krypton (su planeta de origen) y la Tierra (su planeta de adopción). Las matemáticas y la física pueden demostrarnos que Superman con todo y sus poderes es incapaz de parar un camión de 50,000 kg. Con la mano sin recorrer una distancia retrógrada de por lo menos 25,000 metros. Para obtener esta distancia es necesario aplicar la segunda ley de Newton: Fuerza = masa de Superman x aceleración = 90 Kg x 9.81m/s 2 = 883 néwtones Según la física: Distancia = velocidad2 /(2 x aceleración) = (30 x 30) / (2x 0.081) = 25,000 metros
Pero Oh sobresalen la película, Superman recorre solamente 1 metro. King Kong y las desproporciones Hablemos ahora de King Kong, el orangután de 2,900 kg y 14.5 metros, fabricado a partir de un orangután real de 230 kilos y 1.80 metros. Las matemáticas nos permiten ver, gracias a la geometría euclidiana, que este cambio de escala no es correcto. De acuerdo con Euclides, si dos figuras son proporcionales y a escala, se verifica que si el cociente de sus longitudes es un valor a, entonces, el cociente de sus áreas toma el valor de a 2 y el cociente de sus volúmenes es a 3 ; el factor a se llama factor de proporcionalidad. Si aplicamos esta regla a King Kong, obtenemos el siguiente resultado: Altura de King King en la película / altura del gorila seleccionado = 14.5/1.8, que es aproximadamente igual a 8. Según la geometría de Euclides, el cociente de los volúmenes tendría que ser: 8 3 = 512 Vemos que: Volumen de King Kong/ volumen del gorila escogido = 2,900/230= 12.6 kg Este resultado muestra que nuestro King Kong no está hecho a escala. Si quisiéramos respetar los datos de altura y volumen del gorila escogido, el gorila de la película tendría que pesar nada más y nada menos que 120 toneladas, hecho que imposibilitaría la agilidad del monstruo para escalar el Empire State, o más fácil aun, ni siquiera podría ponerse en pie. Como referencia es importante conocer que el animal bípedo conocido mas grande sobre la tierra, el Tyranosaurus Rex, pesaba como máximo 7 toneladas.
Con todo esto podemos concluir que las matemáticas nos pueden servir para diferenciar la manipulación de la realidad. Las matemáticas tienen un papel relevante en el desarrollo técnico actual y pueden ofrecer contenidos específicos y de interés para los estudiantes basta con mostrarles esa otra cara. El rectángulo áureo Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los griegos lo consideraban de particularr belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados, inconscientementee se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo: las hojas de papel tamaño cartaa miden 11 x 8 pulgadas, por ejemplo; esto nos da la proporción 1.37 que se parecee a la razón aurea. Paraa construirlo a partir de un cuadrado de lado AB basta con determinar el punto medio M de uno de los lados (AB), y trazar con centro en el punto M, una circunferencia que pase por uno de los vértices (C) del lado opuesto. o Rectángulo raíz de 2: Se denomina así al rectángulo en el que la relación entre base y altura es igual a la raíz cuadrada de dos. Si b y h son los lados, b/h=. El interés de este rectángulo radica en que si es dividido en dos mitades por su lado más largo, los dos nuevos rectángulos obtenidos tiene cada uno la mitad de área que el original, pero exactamente sus mismas proporciones. Es por ello que es el formato utilizado para la normalización de folios de papel según la norma DIN, entre otros usos. Construcción partiendo del cuadrado: De forma similar al rectángulo áureo, se traza con centro en el punto A, una circunferencia que pase por el vértice opuesto C.
El número áureo, también denominado número de oro, divina proporcion número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea, divina proporción, representado por la letra griega Φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional: Sección áurea obtenida en una espiral logarítmica. Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como unidad sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.
Rectángulos áureos en el Partenón Rectángulos áureos en la Mona Lisa de Da Vinci.
Razón áurea en la concha del Nautilus Según el propio Leonardo de Pisa, Fibonacci en su Libro de los ábacos, la secuencia puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad). La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal. La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilos) La relación entre los lados de un pentáculo. La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig). La distribución de las hojas en un tallo La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior). La distancia entre las espirales de una piña. La Anatomía de los humanos se basa en una relación Phi exacta, así vemos que: La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi. La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
Es phi la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar Cuando la tráquea se divide en sus bronquios si medimos el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas), la anatomía esta llena de números phi en los órganos No solo eso, esta comprobado que la mayor cantidad de números phi en el cuerpo y el rostro hacen que la mayoría de las personas reconozcan a esos individuos como LINDOS, BELLOS y PROPORCIONADOS. Si medimos los números phi de una población determinada y la comparamos con una población de modelos publicitarios, estos últimos resultan acercarse mas al número phi Como puede verse, las matemáticas están por todas partes. Es labor del profesor utilizar su intuición didáctica para lograr establecer estos puentes que permitan al alumno reconocer la utilidad de las matemáticas en la vida.