Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 1 Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e Industrial (Esp. en Hidrología Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 8: Cálculo diferencial de funciones de varias variables. Curso 2008-09 1 El plano y el espacio Euclídeos. Operaciones 1.1 Introducción R 2 = {(x, y /x, y R} ; R 3 = {(x, y, z /x, y, z R} Es usual representar, por comodidad, a los elementos de estos conjuntos por u, entendiéndose que tienen dos o tres coordenadas según trabajemos en R 2 o R 3 y se les denomina vectores. En estos conjuntos se definen dos operaciones: una interna llamada suma y una externa llamada producto por un escalar. 1.1.1 Suma (x 1, y 1 + (x 2, y 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 y (x 1, y 1, z 1 + (x 2, y 2, z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 (1, 2 + ( 4, 5 = (1 + [ 4], 2 + 5 = ( 3, 7 (1, 2, 3 + (4, 1 2, 2.5 = (1 + 4, 2 + 1 2, 3 + 2.5 = (5, 5 2, 0.5 Esta operación verifica las propiedades usuales de una suma: sean u, v, w vectores de R 2 o R 3. 1. Asociativa: u + ( v + w = ( u + v + w 2. Conmutativa: u + v = v + u 3. Elemento neutro: u + 0 = u, 0 = (0, 0 ó 0 = (0, 0, 0 4. Opuesto: u + ( u = 0, u = ( x, y ó u = ( x, y, z 1.1.2 Producto por un escalar λ(x, y = (λx, λy y λ(x, y, z = (λx, λy, λz donde λ R. Esta operación está relacionada con el paralelismo de vectores, de forma que dos vectores u, v son paralelos si y sólo si existe un número real α tal que u = α v y se escribe u v. Una aplicación geométrica de este último hecho son las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las rectas, tanto en el plano como en el espacio. (a En R 2, la ecuación de la recta que pasa por el punto P 0 (x 0, y 0 y que tiene como vector director a v = (v 1, v 2, se obtiene al tener en cuenta que dado un punto cualquiera P (x, y de la recta debe ocurrir que P 0 P v y este hecho caracteriza a todos los puntos de la recta. Por lo tanto P 0 P = λ v. Recordar que las coordendas del vector que une dos puntos se calculan restando a las coordenadas del punto extremo las del punto origen. Luego: (x x 0, y y 0 = λ (v 1, v 2 (x, y = (x 0, y 0 + λ (v 1, v 2 (Ec. vectorial { x = x0 + λ v 1 (Ec. Paramétricas y = y 0 + λ v 2
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 2 (b Análogamente, en R 3, la ecuación de la recta que pasa por el punto P 0 (x 0, y 0, z 0 y que tiene como vector director a v = (v 1, v 2, v 3, será : (x x 0, y y 0, z z 0 = λ (v 1, v 2, v 3 (x, y, z = (x 0, y 0, z 0 + λ (v 1, v 2, v 3 (Ec. vectorial x = x 0 + λ v 1 y = y 0 + λ v 2 (Ec. Paramétricas z = z 0 + λ v 3 2 3 (1, 3 = (2 3 1, 2 3 [ 3] = (2 3, 2 5 (4, 1, 0 = ( 5 4, 5 [ 1], 5 0 = (4 5, 5, 0 Hallar la recta que pasa por el punto P 0 (1, 1 y tiene como vector director a v = ( 2, 3. (x 1, y 1 = λ ( 2, 3 (x, y = (1, 1 + λ ( 2, 3 (Ec. vectorial { x = 1 2 λ (Ec. Paramétricas y = 1 + 3 λ Hallar la recta que pasa por los puntos P 0 (1, 2, 0 y P 1 (2, 3, 1. En primer lugar hemos de averiguar el vector director de la recta, pero es obvio que debe ser el que une los dos puntos dados, es decir v = P 0 P 1 = (1, 5, 1. A partir de aquí la cosa es sencilla (x 1, y ( 2, z 0 = λ (1, 5, 1 (x, y, z = (1, 2, 0 + λ (1, 5, 1 (Ec. vectorial x = 1 + λ y = 2 + 5 λ (Ec. Paramétricas z = λ Las propiedades más importantes de esta operación son: sean u, v vectores de R 2 o R 3, y λ, µ R. 1. λ( u + v = λ u + λ v 2. (λ + µ u = λ u + µ u 3. λ(µ u = (λµ u 4. 1 u = u 5. 0 u = 0 6. λ 0 = 0 1.1.3 Módulo de un vector Se define el módulo de un vector como u = x 2 + y 2 ( u R 2 ; u = x 2 + y 2 + z 2 ( u R 3 este número mide el tamaño del vector.
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 3 (2, 3 = 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13 ( 1, 1 2, 4 = ( 1 2 + ( 2 1 + 4 2 2 = 1 + 1 4 + 1 + 64 69 4 + 16 = = 2 2 Un vector se dice unitario si su módulo es 1. Se denominan vectores unitarios canónicos a los siguientes: i = (1, 0, j = (0, 1 (en R 2 i = (1, 0, 0, j = (0, 1, 0, k = (0, 0, 1 (en R 3 Todo vector de R 2 o R 3, se expresa como combinación lineal de los correspondientes vectores canónicos 1.2 Producto escalar u = (x, y = x i + y j, u = (x, y, z = x i + y j + z k Dados dos vectores no nulos u y v, se define el producto escalar de estos como el número real: u. v = u. v.cos α siendo α el ángulo que forman dichos vectores. Si uno de los vectores es nulo, el producto escalar es cero. El producto escalar también dará cero cuando los vectores sean perpendiculares, ya que en dicho caso el ángulo formado por estos es de 90 y cos(90 = 0. El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. En términos de coordenadas el producto escalar se expresa como: u. v = x 1.x 2 + y 1.y 2 ( u = (x 1, y 1, v = (x 2, y 2 R 2 u. v = x 1.x 2 + y 1.y 2 + z 1.z 2 ( u = (x 1, y 1, z 1, v = (x 2, y 2, z 2 R 3 Este último hecho nos permite hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado P 0 (x 0, y 0, z 0 y tiene como vector perpendicular, es decir, vector director a v = (v 1, v 2, v 3. Nótese que si P (x, y, z es cualquier punto del plano mencionado, ha de ocurrir que los vectores P 0 P y v sean perpendiculares, y además esta cuestión caracteriza a todos los puntos de ese plano. Por tanto: P 0 P v llegándose a la ecuación general del plano P 0 P v = 0 v 1 (x x 0 + v 2 (y y 0 + v 3 (z z 0 = 0 Ax + By + Cz + D = 0 (A = v 1, B = v 2, C = v 3, D = [v 1 x 0 + v 2 y 0 + v 3 z 0 ] 1.2.1 Propiedades Sean u, v, w vectores en el plano o en el espacio y λ número real. 1. u v = v u 2. u ( v + w = u v + u w 3. λ ( u v = (λ u v = u (λ v
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 4 4. 0 u = 0 Es fácil comprobar que el módulo de un vector puede escribirse como u. u y que un vector unitario verifica que u. u = 1. u = (1, 3, v = (0, 2 u v = 1 0 + 3 ( 2 = 6 u = ( 1, 2, 1 2, v = (4, 1 1, 2 u v = (1 4 + 2 3 3 + 1 2 ( 2 = 4 + 2 3 1 = 13 3 Calcular el ángulo entre los vectores u = ( 4, 0, 2 y v = (2, 0, 1. cos( u, v = u v u v = 10 = 1 u, v = π rad. 20 5 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P 0 (2, 1, 1 y tiene como vector director a v = (9, 6, 12. (x 2, y 1, z 1 (9, 6, 12 = 0 9(x 2 + 6(y 1 + 12(z 1 = 0 9x + 6y + 12z 36 = 0 es decir 3x + 2y + 4x 12 = 0 1.3 Producto vectorial Dados los vectores u, v R 3 que forman un ángulo α, se llama producto vectorial de u y v a un vector que representamos por u v y queda caracterizado del siguiente modo: Módulo: u v = u. v. sen α Dirección: perpendicular al plano determinado por los vectores u y v Sentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de u a v 1.3.1 Propiedades Sean u, v, w vectores en el espacio y λ número real. 1. u v = ( v u 2. u ( v + w = u v + u w 3. λ ( u v = (λ u v = u (λ v 4. u 0 = 0 u = 0 5. u u = 0 El módulo del vector u v es igual al área del paralelogramo que tiene por lados adyacentes a los vectores u y v. En términos de coordenadas, el producto vectorial se expresa como: u = (x 1, y 1, z 1, v = (x 2, y 2, z 2 u v = (y 1 z 2 z 1 y 2, z 1 x 2 x 1 z 2, x 1 y 2 y 1 x 2 Una regla, fácil de recordar, para calcular las coordenadas de u v es el desarrollo del siguiente pseudo-determinante i j k u v = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = (y 1z 2 z 1 y 2 i + (z 1 x 2 x 1 z 2 j + (x 1 y 2 y 1 x 2 k
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 5 u = (1, 4, 1, v = (2, 3, 0 i j k u v = 1 4 1 2 3 0 = 4 1 3 0 i 1 1 2 0 j + 1 4 2 3 k = 3 i + 2 j + 11 k = ( 3, 2, 11 Mostrar que el cuadrilátero con vértices en los puntos siguientes es un paralelogramo y calcular su área. A(5, 2, 0, B(2, 6, 1, C(2, 4, 7, D(5, 0, 6. Los lados del cuadrilátero los constituyen los cuatro vectores AB, AD, CB, y CD. Hallemos dichos vectores AB = ( 3, 4, 1; AD = (0, 2, 6; CB = (0, 2, 6; CD = (3, 4, 1 es fácil apreciar que CD = AB y que CB = AD, luego los lados del cuadrilátero son paralelos dos a dos, es decir, es un paralelogramo. En cuanto al área de éste, bastará con calcular el módulo del vector que se obtiene al multiplicar vectorialmente dos de los vectores adyacentes que constituyen sus lados. AB AD = i j k 3 4 1 0 2 6 = 4 1 2 6 y el módulo de este vector nos dará el área buscada i 3 1 0 6 j + 3 4 0 2 k = 26 i+18 j+6 k = (26, 18, 6 Área = (26 2 + (18 2 + (6 2 = 1036 u.a. Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos P 0 (2, 1, 1, P 1 (0, 4, 1 y P 2 ( 2, 1, 4. Por lo visto hasta ahora, lo pedido sería sencillo si conociésemos un vector perpendicular al plano. Este vector puede obtenerse fácilmente efectuando el producto vectorial de los vectores P 0 P 1 y P 0 P 2. por lo que el plano buscado será 1.4 Producto mixto v = P 0 P 1 P 0 P 2 = (9, 6, 12 9(x 2 + 6(y 1 + 12(z 1 = 0 3x + 2y + 4z 12 = 0 Dados tres vectores u, v, w R 3, se llama producto mixto de estos al producto escalar de u por el vector resultante del producto vectorial de v por w, y se representa por [ u, v, w]. [ u, v, v] = u.( v w Es evidente que el producto mixto de tres vectores es un número real. El valor absoluto de dicho número coincide con el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas adyacentes los vectores u, v y w. En términos de coordenadas, el producto mixto se expresa como: u = (x 1, y 1, z 1, v = (x 2, y 2, z 2, w = (x 3, y 3, z 3 [ u, v, w] = x 1 (y 2 z 3 z 2 y 3 + y 1 (z 2 x 3 x 2 z 3 + z 1 (x 2 y 3 y 2 x 3 y una forma sencilla de calcularlo sería desarrollando el siguiente determinante x 1 y 1 z 1 [ u, v, w] = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 = x 1(y 2 z 3 z 2 y 3 + y 1 (z 2 x 3 x 2 z 3 + z 1 (x 2 y 3 y 2 x 3
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 6 Ejemplo: Calcular el volumen del paralelepípedo que tiene a los vectores u = (3, 5, 1, v = (0, 2, 2 y w = (3, 1, 1 como aristas adyacentes. 3 5 1 Volumen = u ( v w = 0 2 2 = 36 = 36 u.v. 3 1 1 1.5 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas En las secciones anteriores hemos trabajado en R 2 y R 3, describiendo a sus elementos en coordenadas cartesianas. Ahora pretendemos presentar otros sistemas de representación en estos conjuntos. 1.5.1 Polares Como hemos visto hasta ahora, todo punto de R 2 se puede representar mediante un par ordenado (x, y, donde x representa la distancia del punto al eje OY, e y la distancia al eje OX. Este sistema consiste en acceder a cualquier punto a través de un mallado construido con líneas paralelas a los ejes coordenados. Ahora bien, ésta no es la única forma de acceder a los puntos de R 2, también podríamos hacerlo a través de circunferencias centradas en el origen de coordenadas y radio variable. Esto es, dado un punto del plano lo situamos en una circunferencia de radio r igual a la distancia de este punto al origen. Pero como todos los puntos de la mencionada circunferencia distan lo mismo del origen, habrá que buscar un parámetro que los diferencie, y éste no es otro que el ángulo que forma el vector que une el origen de coordenadas con el punto y el semieje positivo de las x. Por tanto, todo punto (x, y del plano puede ser representado por dos nuevos parámetros (r, θ a los que llamaremos coordenadas polares. Las relaciones existentes entre las coordenadas cartesianas y las polares son las siguientes: r = x 2 + y 2 { x = r cos θ y = r sen θ ; arct(y/x x > 0, y 0 θ = θ = π + arctg(y/x x < 0 θ = 2π + arctg(y/x x > 0, y < 0 Dado el punto (1, 1 hallar sus coordenadas polares r = 1 2 + 1 2 = 2; 1 > 0, 1 > 0 θ = arctg(1/1 = arctg(1 = π 4 Luego las coordendas polares son ( 2, π 4. Dado el punto, en coordenadas polares, (2, π calcular sus correspondientes coordenadas cartesianas. 2 x = 2 cos( π 2 = 0, y = 2 sen( π 2 = 2 Por tanto, las coordenadas pedidas son (0, 2
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 7 1.5.2 Cilíndricas Al igual que en R 2, en R 3, las coordenadas cartesianas están basadas en un mallado, que en este caso lo constituyen líneas paralelas a los tres ejes coordenados. Otra manera de acceder a cualquier punto (x, y, z de R 3, consiste en proyectarlo sobre R 2, dando origen al punto (x, y, 0. Las coordenadas cartesianas de R 2, pueden ser cambiadas por las correspondientes coordenadas polares, quedándonos el punto (r, θ, 0 y levantando este punto a la altura inicial z, obtenemos una nueva descripción (r, θ, z que denominamos coordenadas cilíndricas. Las relaciones entre ambos sistemas de coordenadas vienen dadas por r = x 2 + y 2 x = r cos θ y = r sen θ z = z ; arct(y/x x > 0, y 0 θ = θ = π + arctg(y/x x < 0 θ = 2π + arctg(y/x x > 0, y < 0 z = z Dado el punto (1, 3, 2 hallar sus coordenadas cilíndricas. r = 1 2 + ( 3 2 = 4 = 2; 1 > 0, 3 > 0 θ = arctg(1/ 3 = π 6 Luego las coordendas cilíndricas son (2, π 6, 2. Dado el punto, en coordenadas cilíndricas, (4, 5π 6, 3 calcular sus correspondientes coordenadas cartesianas. x = 4 cos( 5π 6 = 2 3, y = 4 sen( 5π 6 = 2, z = 3 Por tanto, las coordenadas pedidas son ( 2 3, 2, 3 1.5.3 Esféricas Otro sistema de parámetros que permiten representar los puntos de R 3, consiste en situar cada punto sobre una esfera centrada en el origen de coordenadas y cuyo radio será, por supuesto, la distancia del punto (x, y, z al (0, 0, 0. Luego, tendremos un primer parámetro r que vendrá dado por r = x 2 + y 2 + z 2. Para distinguir puntos sobre la misma esfera, se usa un sistema análogo al de latitud-longitud empleado para determinar puntos sobre la superficie de la Tierra. Para ello se determinan dos ángulos: θ el formado por la proyección del punto sobre el plano xy y el semieje positivo de las x (equivalente a longitud y cuya variación será 0 θ 2π, y φ el formado por el vector de posición del punto con el eje z positivo (equivalente a latitud, este último ángulo variaría tan sólo entre 0 φ π. Con esto, todo punto será representado por una terna (r, θ, φ que denominamos coordenadas esféricas. Las relaciones entre las coordenadas cartesianas y las esféricas vienen dadas por
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 8 x = r cos θ sen φ y = r sen θ sen φ z = r cos φ ; r = x 2 + y 2 + z 2 arct(y/x x > 0, y 0 θ = θ = π + arctg(y/x x < 0 θ = 2π + arctg(y/x x > 0, y < 0 ( z φ = arccos x2 + y 2 + z 2 Dado el punto (1, 1, 0 hallar sus coordenadas esféricas. r = 1 2 + 1 2 + 0 2 = 2; 1 > 0, 1 > 0 θ = arctg(1/1 = π 4 ; φ = arccos ( 0 2 = π 2 Luego las coordendas esféricas son ( 2, π 4, π 2. Dado el punto, en coordenadas esféricas, (4, π 6, π calcular sus correspondientes coordenadas cartesianas. 4 x = 4 cos( π 6 sen(π 4 = 6, y = 4 sen( π 6 sen(π 4 = 2, z = 4 cos( π 4 = 2 2 Por tanto, las coordenadas pedidas son ( 6, 2, 2 2 1.6 Problemas de la sección 1. Dados los vectores a = (2, 1, b = ( 3, 1 y c = ( 2, 2. Calcular: a + b; a + c; b + c. sol: a + b = ( 1, 2; a + c = (0, 1; b + c = ( 5, 1 2. Hallar los vectores opuestos de los vectores a, b y c del ejercicio anterior. sol: a = ( 2, 1; b = (3, 1; c = (2, 2 3. Con los vectores del ejercicio 1 calcular: 3 a + 2 b; 2 a 3 c; a 2 b + 5 c. sol: 3 a + 2 b = (0, 5; 2 a 3 c = (10, 8; a 2 b + 5 c = ( 2, 11 4. Dados los puntos A(3, 1 y B(5, 4, hallar las coordenadas del vector AB. sol: (2, 3 5. Sea CD = (2, 3 y C(5, 7. Calcular las coordenadas de D. sol: (7, 4 6. En el sistema de referencia R = {0, i, j} se consideran los vectores siguientes: a = (2, 3; b = (0, 1; c = (5, 0; i = (1, 0; j = (0, 1. Hallar: a b; a c; i j. sol: a b = 3; a c = 10; i j = 0 7. Dado el vector a = (3, 1 encontrar un vector que sea perpendicular a a. sol: (1, 3, no es la única. Cualquier múltiplo de este vector también es solución. 8. Hallar el módulo de los siguientes vectores: a = (2, 1; b = (4, 3; c = (1, 2. sol: a = 5; b = 5; c = 5
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 9 9. Comprobar si los vectores siguientes son unitarios. a = (3, 2; 1 b = (1, 0; c = (, 3. 10 10 sol: a no lo es; b y c sí lo son. 10. El producto escalar de dos vectores es igual a 18, el módulo de uno de ellos es igual a 6 y el ángulo que forman es de 60. Hallar el módulo del otro. sol: v = 6. 11. Dados los vectores a = (3, 1 y b = ( 1, 2, calcular: a b y b a. sol: a b = 1; b a = 1 12. Dados los vectores a = (3, 1; b = (2, 4 y c = (5, 3, calcular: a ( b + c y a b + a c. sol: a ( b + c = 20; a b + a c = 20 13. En el sistema de referencia R = {0, i, j k} se consideran los vectores siguientes: a = (2, 3, 1; b = (0, 1, 3; c = (5, 0, 4. Hallar: a b; a c; b c. sol: a b = 0; a c = 6; b c = 12 14. Comprobar si los vectores siguientes son unitarios. a = (3, 2, 0; c = (0, 3 4,. 5 5 sol: Ninguno es unitario. 15. Dados los vectores i = (1, 0, 0, j = (0, 1, 0 y k = (0, 0, 1. Calcular i j; i k; j k; j i; k i y k j. sol: i j = k; i k = j; j k = i; j i = k; k i = j; k j = i 16. Hallar el área del paralelogramo formado sobre los vectores a = (2, 1, 5 y b = (3, 2, 1. sol: 251 u.a. 17. Dado el vector a del ejercicio anterior, calcular a a. sol: (0, 0, 0 18. Hallar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores a = (2, 1, 0; j = (0, 1, 0 y b = (3, 2, 1. sol: 2 u.v. 19. Dados los vectores a = (2, 0, 1 y b = (0, 3, 1 comprobar si son perpendiculares. En caso negativo, cambiar una coordenada del vector b para que lo sean. sol: No son perpendiculares. b = (0, 3, 0, no es la única posibilidad. 20. Con los vectores del ejercicio anterior, comprobar que (5 a b = 5.( a b. 21. Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores a = (2, 1, 5 y b = (3, 4, 0. sol: 5 26 u.a. 22. Dados los vectores a = (2, 1, 0; b = (3, 5, 1 y c = (2, 4, 1, halla el producto mixto [ a, b, c]. sol: 1 23. Calcula el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores: a = (3, 1, 2; b = (0, 5, 0 y c = ( 1, 1, 0 sol: 10 u.v. 24. Dados los vectores u = (1, 1, 0 y v = (a, 1, 1, hallar a para que el ángulo entre u y v sea 60. sol: a = 0 ó a = 2 25. Sabiendo que ABCD es un cuadrado A = (2, 0, 2, B = (1, 1, 0 y C = (0, y, z, hállese razonadamente las coordenadas que faltan de C. sol: C(0, 2, 2 ó C(0, 2 3, 2 3
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 10 26. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P 0 (1, 2, 4 y tiene a v = (2, 4, 4 como vector director. sol: x = 1 + 2 λ; y = 2 + 4 λ; z = 4 4 λ 27. Idem para la recta que pasa por los puntos P ( 2, 1, 0 y Q(1, 3, 5. sol: x = 2 + 3 λ; y = 1 + 2 λ; z = 5 λ 28. Hallar el plano que pasa por el punto P (2, 1, 2 y tiene a i como vector director. sol: x = 2 29. Idem, siendo P (3, 2, 2 y v = (2, 3 1. sol: 2x + 3y z = 10 30. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P (0, 0, 0, Q(1, 2, 3, R( 2, 3, 3. sol: 3x + 9y 7z = 0 31. Dados los puntos P (2, π y Q( 3, π, expresados en coordenadas polares, hallar las correspondientes 6 coordenadas cartesianas. sol: P ( 2, 0 y Q( 3 3 2, 2 32. Hallar las coordenadas polares, correspondientes a las cartesianas, de los puntos P ( 1, 1 y Q(0, 2. sol: P ( 2, 3π 4 y Q(2, π 2 33. Convertir las coordenadas cilíndricas de los siguientes puntos a coordenadas cartesianas: P (5, 0, 2, Q(2, π 3, 2, R(4, 7π 6, 3. sol: P (5, 0, 2, Q(1, 3, 2, R( 2 3, 2, 3 34. Convertir las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos a coordenadas cilíndricas: P (0, 5, 1, Q(1, 3, 4, R(2, 2, 4. sol: P (5, π 2, 1, Q(2, π 3, 4, R(2 2, π 4, 4 35. Convertir las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos a coordenadas esféricas: P (4, 0, 0, Q( 2, 2 3, 4, R( 3, 1, 2 3. sol: P (4, 0, π 2, Q(4 2, 2π 3, π 4, R(4, π 6, π 6 36. Convertir las coordenadas esféricas de los siguientes puntos a coordenadas cartesianas: P (4, π 6, π 4, Q(12, π 4, 0, R(5, π 4, 3π 4. sol: P ( 6, 2, 2 2, Q(0, 0, 12, R( 5 2, 5 2, 5 2 2 2 Funciones vectoriales En esta sección estudiaremos funciones, que dependen de un parámetro, cuyas imagenes son vectores de R 2 o bien R 3 y las llamaremos funciones vectoriales. En general al parámetro lo denotaremos por t, dado que en la mayoría de las aplicaciones éste representa a la variable tiempo. También pondremos de manifiesto que estas funciones están asociadas a curvas, en el plano o en el espacio, representadas por sus ecuaciones paramétricas.
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 11 Definición.- Una función de la forma r(t = f(t i + g(t j = (f(t, g(t R 2 r(t = f(t i + g(t j + h(t k = (f(t, g(t, h(t R 3 es una función vectorial, donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t y con valores en R, es decir, son funciones reales de una variable real. El dominio de la función vectorial es la intersección de los dominios de sus componentes. Ejemplo: El dominio de la función vectorial r(t = (ln t, 1 t, t es el intervalo (0, 1], ya que el dominio de la primera componente, es decir, ln t es (0,, el de la segunda, 1 t, es (, 1] y el de la tercera, t, es todo R. Al intersectar los tres dominios obtenemos el intervalo (0, 1]. Cuando las funciones componentes sean más o menos regulares, el conjunto imagen de r(t representará una curva. { } f(t i + g(t j = (f(t, g(t : t dom r (curva en el plano { f(t i + g(t j + h(t } k = (f(t, g(t, h(t : t dom r (curva en el espacio Averiguar qué curva plana representa la función vectorial r(t = 2 cos t i 3 sen t j = (2 cos t, 3 sen t, t [0, 2π] Intentemos hallar la ecuación cartesiana que representa a esta curva, para ello tomemos x = 2 cos t e y = 3 sen t. Despejando, obtenemos cos t = x 2 y sen t = y 3. cos 2 t + sen 2 t = 1 ( x 2 ( + y 2 x 2 = 1 2 3 2 2 + y2 3 2 = 1 con lo que queda claro que la curva es una elipse de semiejes a = 2 y b = 3. Averiguar qué curva, en el espacio, representa la función vectorial r(t = 4 cos t i + 4 sen t j + t k = (4 cos t, 4 sen t, t, t [0, 4π]. De forma análoga al ejemplo anterior, tomemos x = 4 cos t, y = 4 sen t y z = t. x 2 + y 2 = 16 cos 2 t + 16 sen 2 t = 16 Aunque a primera vista parezca que la curva es una circunferencia de radio 4, no hemos de olvidar que hay una tercera coordenada, la z, que no está ligada a la x y la y. Luego, nuestra curva es una hélice que va rodeando al cilindro de base la circunferencia x 2 + y 2 = 16 Representar la párabola y = x 2 + 1 mediante una función vectorial. Existen muchas formas de elegir el parámetro t para obtener la función vectorial, pero la manera más intuitiva es tomar como t la variable independiente en la ecuación cartesiana, es decir, x = t, por lo que y = t 2 + 1. Entonces, la función buscada será r(t = t i + (t 2 + 1 j = (t, t 2 + 1 Lo visto hasta el momento pone de manifiesto que un estudio de las propiedades de las funciones vectoriales, se puede traducir a un estudio del comportamiento de curvas, lo que motivará los siguientes apartados.
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 12 2.1 Límites y continuidad La mayoría de las técnicas y definiciones utilizadas en el cálculo de funciones reales, se pueden aplicar a funciones vectoriales. Veremos que la cuestión se reduce, en esencia, a la aplicación de éstas a las componentes de la función vectorial. Suma y resta r 1 (t ± r 2 (t = (f 1 (t, g 1 (t ± (f 2 (t, g 2 (t = ([f 1 (t ± f 2 (t], [g 1 (t ± g 2 (t] (en el plano r 1 (t±r 2 (t = (f 1 (t, g 1 (t, h 1 (t±(f 2 (t, g 2 (t, h 2 (t = ([f 1 (t ± f 2 (t], [g 1 (t ± g 2 (t], [h 1 (t ± h 2 (t] (en el espacio Multiplicación por un escalar λ r(t = λ (f(t, g(t = (λ f(t, λ g(t (en el plano λ r(t = λ (f(t, g(t, h(t = (λ f(t, λ g(t, λ h(t (en el espacio Definición.- (a Si r es una función vectorial tal que r(t = f(t i + g(t j = (f(t, g(t, entonces [ ] [ ] ( lim r(t = lim f(t i + lim g(t j = lim f(t, lim g(t t a t a t a t a t a siempre que existan los límites de f y g cuando t a (b Si r es una función vectorial tal que r(t = f(t i + g(t j + h(t k = (f(t, g(t, h(t, entonces [ ] [ ] [ ] ( lim r(t = lim f(t i + lim g(t j + lim h(t k = lim f(t, lim g(t, lim h(t t a t a t a t a t a t a t a siempre que existan los límites de f, g y h cuando t a Definición.- Una función vectorial r es continua en un punto de su dominio, t = a, si el límite de r(t cuando t a existe y lim t a r(t = r(a. Una función vectorial r es continua en un intervalo I, si es continua en todos los puntos del intervalo. Nota: Combinando las dos últimas definiciones, podemos concluir que una función vectorial es continua en t = a si, y sólo si, cada una de sus componentes es continua en t = a. Ejemplo: Analizar la continuidad de la función vectorial r(t = (t, a, a 2 t 2, donde a es constante, en t = 0. ( lim r(t = lim t, lim a, lim t 0 t 0 t 0 t 0 [a2 t 2 ] = (0, a, a 2 y como r(0 = (0, a, a 2, se concluye que r es continua en t = 0. En realidad, cada una de las componentes de r(t son funciones continuas en todo R, por lo que podemos asegurar que la función vectorial r es continua en todo R. 2.2 Derivación e integración En este apartado comprobaremos, al igual que en el anterior, que la derivación o la integración de funciones vectoriales, se reduce en última instancia a la derivación o la integración de sus funciones componentes.
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 13 2.2.1 La derivada Definición.- La derivada de una función vectorial se define como r (t = lim h 0 r(t + h r(t h para todo t para el que existe el límite. derivable en el intervalo I. Si r (t existe para todo t en el intervalo abierto I, entonces r es Nota: Si escribimos, en la definición anterior, r en términos de sus componentes y efectuamos la correpondiente operatoria, comprobaremos que la existencia del límite planteado es equivalente a la existencia de los correspondientes límites, pero sobre las correspondientes componentes. Este hecho queda recogido a continuación. Teorema (a Si r(t = f(t i + g(t j, donde f y g son funciones derivables en t, entonces r (t = f (t i + g (t j (b Si r(t = (f(t, g(t, h(t, donde f, g y h son funciones derivables en t, entonces r (t = (f (t, g (t, h (t Hallar la derivada de cada una de las funciones vectoriales a r(t = (t 2, 4 b r(t = ( 1 t, ln t, e2t derivando componente a componente obtenemos a r (t = (2t, 0 b r (t = ( 1 t 2, 1 t, 2e2t Para la función vectorial dada por r(t = cos t i + sen t j + 2t k, hallar a r (t = ( sen t, cos t, 2. a r (t b r (t c r (t r (t d r (t r (t b r (t = ( cos t, sen t, 0. c r (t r (t = ( sen t, cos t, 2 ( cos t, sen t, 0 = 0. Nótese que el producto escalar es una función real. d r (t r (t == i j k sen t cos t 2 cos t sen t 0 = 2sen t i 2cos t j + k
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 14 Diremos que una curva, representada por la función vectorial r, es suave en un intervalo abierto I, si la función vectorial r es continua en I y r (t 0 para todo valor t en el intervalo. Es decir, las derivadas de las componentes de r deben ser funciones continuas en I y no anularse todas a la vez en ningún punto de I. Ejemplo: Hallar los intervalos en los que la curva, representada por la función vectorial r(t = (5cos t cos 5t i + (5sen t sen 5t j, t [0, 2π], es suave. La derivada de r es r (t = ( 5sen t + 5sen 5t i + (5cos t 5cos 5t j, t [0, 2π], por lo que r es continua en todo [0, 2π]. Luego si la curva deja de ser suave en algún punto, es debido a que se anulan en él las dos componentes de r. r (t = (0, 0 sen t = sen 5t y cos t = cos 5t π obteniéndose t = 0, 2, π, 3π, 2π. Por lo tanto, la curva dada es suave en los intervalos 2 ( 0, π ( π (, 2 2, π, π, 3π ( 3π, 2 2, 2π Propiedades: Sean r y u funciones vectoriales derivables en t, f una función real derivable en t y c un escalar. 1. [c r(t] = c r (t 2. [r(t ± u(t] = r (t ± u (t 3. [f(tr(t] = f(tr (t + f (tr(t 4. [r(t u(t] = r(t u (t + r (t u(t 5. [r(t u(t] = r(t u (t + r (t u(t 6. [r(f(t] = r (f(tf (t 7. Si r(t r(t = c, entonces r(t r (t = 0, es decir r(t r (t 2.3 La integral La siguiente definición es consecuencia lógica de la definición de derivada de una función vectorial. Definición.- (a Si r(t = f(t i + g(t j, donde f y g son funciones continuas en [a, b], entonces la integral indefinida (o antiderivada de r es [ ] [ ] r(t dt = f(t dt i + g(t dt j y su integral definida en el intervalo [a, b] es [ b ] [ b ] b r(t dt = f(t dt i + g(t dt j a a (b Si r(t = f(t i + g(t j + h(t k, donde f, g y h son funciones continuas en [a, b], entonces la integral indefinida (o antiderivada de r es [ ] [ ] [ ] r(t dt = f(t dt i + g(t dt j + h(t dt k y su integral definida en el intervalo [a, b] es [ b ] [ b ] [ b ] b r(t dt = f(t dt i + g(t dt j + h(t dt k a a a a a
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 15 Nota: Es fácil comprobar que r(t dt = R(t + C, siendo R la función vectorial cuyas componentes coinciden con las primitivas de las componentes de r y C un vector constante, pero arbitrario. Además R (t = r(t y b a r(t dt = R(b R(a. 1 Hallar la integral indefinida (t, 1 + t 2 dt (t, Evaluar la integral 1 0 [ ( 1 1 + t 2 dt = 1 0 [ 3 t i + 1 ] 1 + t j + e t k t dt, 1 1 + t 2 dt = ( t2 2 + C 1, arctg t + C 2 = ( t2 2, arctg t + (C 1, C 2 3 t i + 1 ] 1 + t j + e t k dt ( 1 3 dt = t dt 0 ( 1 i+ 0 ( 1 1 ( 1 + t dt + e t dt 3 k = 0 4 i+ln 2 j+ 1 1 k e Otra forma de obtener el ( valor de la integral, consiste en calcular una función primitiva ( de r, que en 3 nuestro caso sería R(t = 4 t 4 3, ln 1 + t, e t 3, y efectuar la opercaión R(1 R(0 =, ln 2, e 1 4 (0, 0, 1. 2.4 Aplicaciones 2.4.1 Velocidad y aceleración Si consideramos la curva asociada a una función vectorial como la trayectoria que sigue una partícula en movimiento, podemos escribir r(t = x(t i + y(t j (en el plano r(t = x(t i + y(t j + z(t k (en el espacio donde el par o terna de funciones componentes nos daría la posición de la partícula en cada instante. Definición.- Si r(t = x(t i + y(t j, con x e y funciones que admiten primera y segunda derivada en cada t del dominio de r, entonces el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez en el instante t se definen como sigue: Velocidad : v(t = r (t = x (t i + y (t j Aceleración : a(t = r (t = x (t i + y (t j Rapidez : v(t = r (t = [x (t] 2 + [y (t] 2 De forma análoga, si r(t = x(t i + y(t j + z(t k, entonces: Velocidad : v(t = r (t = x (t i + y (t j + z (t k Aceleración : a(t = r (t = x (t i + y (t j + z (t k Rapidez : v(t = r (t = [x (t] 2 + [y (t] 2 + [z (t] 2
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 16 Hallar el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de la curva plana C descrita por r(t = 2 sen t 2 i + 2 cos t 2 j El vector velocidad es v(t = r (t = (cos t 2, sen t 2. La rapidez en cualquier instante es v(t = r (t = cos 2 t 2 + sen2 t 2 = 1. Por último, el vector aceleración es a(t = r (t = 1 2 sen t 2 i 1 2 cos t 2 j. Un objeto parte del reposo desde P (1, 2, 0 y se mueve con una aceleración a(t = j + 2 k, donde a(t se mide en metros por segundo al cuadrado. Hallar la posición del objeto después de t = 2 segundos. Del enunciado del problema se infiere que la velocidad inicial es cero, es decir, v(0 = 0, y que r(0 = (1, 2, 0. ( v(t = a(t dt = (0, 1, 2 dt = 0 dt, 1 dt, 2 dt = (C 1, t + C 2, 2t + C 3 Como v(0 = (0, 0, 0 = (C 1, 0 + C 2, 0 + C 3, tenemos que C 1 = C 2 = C 3 = 0. Por tanto la velocidad en cada instante viene dada por v(t = (0, t, 2t. Integrando de nuevo ( r(t = v(t dt = (0, t, 2t dt = 0 dt, t dt, 2t dt = (K 1, t22 + K 2, t 2 + K 3 Tomando t = 0, r(0 = (1, 2, 0 = (K 1, K 2, K 3 ; entonces K 1 = 1, K 2 = 2 y K 3 = 0. Luego el vector posición es r(t = (1, t2 2 + 2, t2, lo que nos lleva a asegurar que la posición del objeto cuando t = 2 es r(2 = (1, 4, 4. 2.4.2 Longitud de arco Teorema (a Si C es una curva suave dada por r(t = x(t i + y(t j, en un intervalo [a, b], entonces la longitud de arco de C en el intervalo es s = b a r (t dt = b a [x (t] 2 + [y (t] 2 dt (b Si C es una curva suave dada por r(t = x(t i + y(t j + z(t k, en un intervalo [a, b], entonces la longitud de arco de C en el intervalo es s = b a r (t dt = b a [x (t] 2 + [y (t] 2 + [z (t] 2 dt Hallar la longitud de arco de la curva dada por r(t = (t, 2 2 3 r (t = (1, 2 t 1 2, t. Por tanto s = 2 0 r (t dt = 2 0 2 1 + 2t + t2 dt = (1 + t dt = 0 t 3 2, 1 2 t2, desde t = 0 hasta t = 2. [ ] 2 t + t2 = 4 u.l. 2 0
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 17 Hallar la longitud de un giro de la hélice dada por r(t = b cos t i + b sen t j + 1 b 2 t k. r (t = b sen t i + b cos t j + 1 b 2 k, luego s = 2π 0 r (t dt = 2.5 Problemas de la sección 2π 0 2π b2 (sen 2 t + cos 2 t + (1 b 2 dt = dt = 2π u.l. 1. Hallar el dominio de las funciones vectoriales a r(t = 5t i 4t j 1 t k b r(t = ( 1 t, t 2 c r(t = ( 4 t 2, t 2, 6t sol : R {0} sol : [0, 2 (2, sol : [ 2, 2] 2. Escribir la ecuación cartesiana de las curvas representadas por las siguientes funciones vectoriales a r(t = 3t i + (t 1 j b r(t = (3 cos t, 4 sen t, t c r(t = (1 t, t sol : y = x 3 1, (recta sol : x2 3 2 + y2 4 2 = 1, (hélice elipsoidal sol : x = 1 y2, (parábola 3. Evaluar los siguientes límites [ a lim t i + t2 4 t 2 t 2 2t j + 1 ] t k b lim(e t, sen t t 0 t, e t c lim t (e t, 1 t, sol : (2, 2, 1 sol : (1, 1, 1 sol : (0, 0, 0 2 4. Indicar el dominio de continuidad de las siguientes funciones 0 t t 2 + 1 a r(t = (e t, t 2, tg t b r(t = (e t, sen t, e t c r(t = t i + t 1 j t sol : ( π 2 + nπ, π + nπ, n Z sol : R {0} sol : [1, 2 5. Calcular la derivada de las siguientes funciones vectoriales ( a r(t = a cos 3 t i + a sen 3 t j + 1 k b r(t = t, 16t, t2 c r(t = 4 t i + t 2 t j + ln t 2 2 k sol : r (t = ( 3a cos 2 t sen t, 3a sen 2 t cos t, 0 sol : r (t = 1 ( t 2 i + 16 j + t k sol : r (t = 2 1, 5 t 2 t t, 2 t 6. Hallar los intervalos en los que las curvas, representadas por las siguientes funciones vectoriales, son suaves. a r(t = t 2 i + t 3 j b r(θ = ((2 cos 3 θ, 3 sen 3 θ c r(t = t i 3t j + tg t k nπ (n + 1π sol : (, 0, (0, sol :, sol : ( π 2 2 2 + nπ, π 2 + nπ 7. Hallar las siguientes integrales indefinidas [ a sec 2 t i + 1 ] 1 + t 2 j dt b (ln t, 1t [, 1 dt c (2t 1 i + 4t 3 j + 3 t k] sol : (tg t, arctg t + C sol : (t ln t t i + ln t j + t k + C ( sol : t 2 t, t 4, 2t 3 2 + C dt 8. Evaluar las siguientes integrales definidas π 2 [ a (a cos t i + (a sen t j + ] 2 ( k dt b t, e t, t e t 3 dt c t i + t 2 j dt 0 0 0 sol : (a, a, π 2 sol : 2 i + (e 2 1 j (e 2 + 1 k sol : 1 ( 10 10 1 3
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 18 3 Funciones de varias variables 3.1 Introducción Hasta el momento hemos estudiado funciones de una sola variable independiente. Sin embargo en la mayoría de los problemas comunes, las funciones que comparecen dependen de dos o más variables independientes. Por ejemplo el volumen de un cilindro circular, V (r, h = πr 2 h, depende de dos variables, el radio de la base r y la altura h. En esta sección estudiaremos este tipo de funciones, para las que usaremos una notación similar a la de las funciones de una sola variable Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y D le corresponde un único número real f(x, y, entonces se dice que f es una función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores f(x, y es el rango o recorrido de f. En la función dada por z = f(x, y, x e y son las variables independientes y z es la variable dependiente. Pueden darse definiciones similares para funciones de tres, cuatro o n variables, donde los dominios consistirían en conjuntos formados por ternas ordenadas (x, y, z, cuaternas ordenadas (x, y, z, t o n-uplas ordenadas (x 1, x 2,..., x n, respectivamente. Hallar el dominio de cada función. a f(x, y = x2 + y 2 9 x b g(x, y, z = x 9 x2 y 2 z 2 a La función está definida para todos los pares (x, y tales que x 0 y x 2 + y 2 9. Por tanto el dominio de f está constituido por los puntos del plano que están sobre la circunferencia x 2 + y 2 = 9 o bien fuera de ésta, exceptuando los puntos del eje OY. b En este caso la función está definida para los puntos del espacio que verifican que x 2 + y 2 + z 2 < 9. Luego el dominio de g lo constituyen los puntos interiores a la esfera de radio 3 y centro el origen de coordenadas. Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que las de una variable. (f ± g(x, y = f(x, y ± g(x, y (Suma o diferencia (fg(x, y = f(x, yg(x, y (λf(x, y = λf(x, y f f(x, y (x, y = g g(x, y (Producto (Producto por un escalar g(x, y 0 (Cociente De forma análoga se pueden combinar funciones de tres o más variables. El dominio de las funciones resultantes es la intersección de los dominios de las funciones que intervienen en la operación. Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma cx n y m, donde c es un número real y m y n son números naturales, se denomina función polinómica de dos variables. Por ejemplo f(x, y = 2x 2 y 3 + x 3 3xy 2 + 2. Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. La misma terminología se emplea para funciones de más variables. La gráfica de una función de dos variables f está constituida por las ternas (x, y, z, tales que z = f(x, y y (x, y pertenecen al dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio, la cual nos da una idea visual del comportamiento de la propia función f. No siempre, en realidad casi nunca, es fácil representar la gráfica de una función de dos variables. Una segunda manera de visualizar una
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 19 función de dos variables es a través de las curvas de nivel, que son aquellas curvas contenidas en el dominio de la función y constituidas por los puntos donde la función toma el mismo valor, es decir {(x, y : f(x, y = c} con c variando en R. Dos ejemplos claros y cotidianos del concepto de curvas de nivel lo constituyen las isobaras (igual presión atmosférica en un mapa climático y las líneas de contorno (igual altura sobre el nivel del mar en un mapa topográfico. Ejemplo: Hallar las curvas de nivel asociadas al paraboloide hiperbólico dado por z = f(x, y = y 2 x 2. Para cada valor de c hemos de determinar la curva f(x, y = c, es decir y 2 x 2 = c. para todo c 0 la ecuación y 2 x 2 = c, representa una hipérbola de asíntotas y = ±x. Si c > 0 el eje transversal es vertical y si c < 0 el eje transversal es horizontal. Por último, para c = 0 la curva de nivel está constituida por las dos asíntotas y = x e y = x. El equivalente al concepto de curva de nivel en una dimensión más, lo constituye el concepto de superficie de nivel. Si f es una función de tres variables y c es una constante, la gráfica de la ecuación f(x, y, z = c es una superficie de nivel. Ejemplo: Describir las superficies de nivel de la función w = f(x, y, z = 4x 2 + y 2 + z 2. Para cada valor de c hemos de determinar la superficie f(x, y, z = c, es decir 4x 2 + y 2 + z 2 = c. Es evidente que nuestra busqueda sólo tiene sentido para valores c 0. 4x 2 + y 2 + z 2 = 0 (c = 0, un solo punto x 2 c 4 + y2 c + z2 c = 1 (c > 0, elipsoide Nota: También podríamos generalizar a funciones de tres variables el concepto de gráfica, pero como quiera que ésta estaría inmersa en R 4, nos es imposible visualizarla. 3.2 Límites y continuidad El estudio del límite de una función de dos variables requiere que generalicemos, a R 2, el concepto que usamos en R de cercanía a un punto, a través de un intervalo de radio δ centrado en el mismo (x 0 δ, x 0 + δ. Para ello hemos de pensar que si hablamos de los puntos que distan de (x 0, y 0 menos de una cantidad δ > 0, tales puntos vendrán caracterizados por la siguiente inecuación (x, y (x 0, y 0 < δ (x x 0 2 + (y y 0 2 < δ (x x 0 2 + (y y 0 2 < δ 2, la cual reperesenta el interior de un círculo o disco centrado en (x 0, y 0 y de radio δ. Se puede definir el δ- entorno de (x 0, y 0 como el disco abierto, es decir, sin la circunferencia exterior, con radio δ > 0 centrado en (x 0, y 0. Definición.- Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en (x 0, y 0, excepto quizás en el propio (x 0, y 0, y sea L un número real. Entonces lim f(x, y = L (x,y (x 0,y 0 si para cada ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que f(x, y L < ɛ, siempre que (x x 0 2 + (y y 0 2 < δ. En lenguaje coloquial, lo que se está exigiendo en la definición es que los puntos próximos a (x 0, y 0 tenga su imagen próxima a L. Dicho así la cosa no difiere en absoluto del concepto de límite para funciones de una variable. Sin embargo hay una sutil pero fundamental diferencia. En una variable el acercamiento a un punto sólo admite dos direcciones, por la derecha o por la izquierda, mientras que en dos variables, al encontrase el dominio de la función contenido en el plano R 2, existen una infinidad de formas de acercarse a un punto: a través
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 20 de rectas o cualquier curva que lo contenga o mediante sucesiones que lo tengan como límite. Evidentenmente, la existencia de un límite está condicionada a que su valor no dependa de la forma en que nos acerquemos al punto. Este hecho hace que el cálculo de límites para funciones de varias variables sea mucho más complicado que para el caso de una. Nosotros nos limitaremos a estudiar algunos casos sencillos, utilizando todas las herramientas aprendidas en el cálculo de límites de funciones de una variable. Calcular lim (x,y (1,2 5x 2 y x 2 + y 2 Usando operatoria de límites, lim (x,y (1,2 5x2 y = 5(1 2 (2 = 10 y lim (x,y (1,2 (x2 + y 2 = (1 2 + (2 2 = 5. Dado que el límite del denominador no se anula, el resultado buscado es Calcular lim (x,y (0,0 5x 2 y x 2 + y 2 lim (x,y (1,2 5x 2 y x 2 + y 2 = 10 5 = 2 Si actuamos como en el ejemplo anterior llegamos a una indeterminación del tipo 0. Una técnica muy usada 0 para vislumbrar por donde pueden ir las cosas son los denominados límites iterados, que representamos por [ ] lim lim f(x, y x x 0 y y 0 y [ ] lim lim f(x, y y y 0 x x 0 Estos límites están relacionados con lim f(x, y = L, de la siguiente forma: si existe el límite, (x,y (x 0,y 0 deben existir los iterados y coincidir los tres. Ahora bien, la mera existencia y coincidencia de los iterados no garantiza la existencia del límite. Sin embargo, la no existencia de alguno o los dos iterados o bien la diferencia de valor entre ellos es garantía suficiente de la no existencia del límite. [ 5x 2 ] [ y 5x 2 ] y En nuestro caso lim lim x 0 y 0 x 2 + y 2 = 0 y lim lim y 0 x 0 x 2 + y 2 = 0. Por tanto todo apunta a que en caso de existir el límite doble, éste debe valer 0. Usemos la definición para demostrarlo. Sea (x, y tal que (x 02 + (y 0 2 = x 2 + y 2 < δ, entonces f(x, y 0 = 5x 2 y x 2 + y 2 = 5 y x 2 x 2 + y 2 < 5 y 5 x 2 + y 2 < 5δ = ɛ Por lo que basta elegir δ = ɛ 5. Mostrar que no existe el siguiente límite lim (x,y (0,0 Calculemos en primer lugar los límites iterados lim x 0 lim y 0 [ [ lim y 0 lim x 0 ( x 2 y 2 x 2 + y 2 2 ( x 2 y 2 2 ] x 2 + y 2 = 1 ( x 2 y 2 2 ] x 2 + y 2 = 1
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 21 Acercándonos al (0, 0 por la recta y = x lim (x,y (0,0, y=x ( x 2 y 2 x 2 + y 2 2 ( 2 0 = lim x 0 2x 2 = 0 Los límites iterados apuntan a que el valor del límite es 1 mientras que el acercamineto por la recta y = x nos lleva al valor 0. Por tanto no puede existir el límite, ya que si lo hiciese no dependería de la forma en que nos acercamos al punto. Definición.- Una función f, de dos variables, es continua en un punto (x 0, y 0 de una región abierta R si f(x 0, y 0 es igual al límite de f(x, y cuando (x, y (x 0, y 0. Es decir lim f(x, y = f(x 0, y 0 (x,y (x 0,y 0 La función f es continua en R si es continua en todo punto de R. ( Las funciones f(x, y = 5x2 y x 2 y 2 2 x 2 y g(x, y = + y2 x 2 + y 2, no son continuas en (0, 0. Sin embargo la primera función presenta una discontinuidad evitable, ya que al existir el correspondiente límite, podemos redefinir la función en el punto y conseguir la continuidad. Teorema Si k es un número real y f y g son funciones continuas en (x 0, y 0, entonces las funciones siguientes son continuas en dicho punto. a kf b f ± g c fg d f g, si g(x 0, y 0 0 Teorema Si h es continua en (x 0, y 0 y g es continua en h(x 0, y 0, entonces la función compuesta (g h(x, y = g(h(x, y es continua en (x 0, y 0. Es decir lim (x,y (x 0,y 0 g(h(x, y = g(h(x 0, y 0 Nótese que h es una función de dos variables, mientra g es una función de una variable. Analizar la continuidad de las siguientes funciones a f(x, y = x 2y x 2 + y 2 b g(x, y = 2 y x 2 a La función es el cociente de dos funciones polinómicas, las cuales son continuas en todo R 2. Luego f es continua salvo en los puntos donde se anula el denominador, es decir en el punto (0, 0. b Nuevamente, tenemos el cociente de dos funciones continuas en todo R 2, con lo que tenemos garantizada la continuidad salvo en los puntos donde y = x 2. Las definiciones de límite y continuidad pueden extenderse a funciones de tres variables, considerendo como entorno de un punto (x 0, y 0, z 0 el interior de la esfera centrada en dicho punto y radio δ > 0, es decir, los puntos de R 3 tales que (x x0 2 + (y y 0 2 + (z z 0 2 < δ (x x 0 2 + (y y 0 2 + (z z 0 2 < δ 2
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 22 Definición.- Una función f, de tres variables, es continua en un punto (x 0, y 0, z 0 de una región abierta R si f(x 0, y 0, z 0 es igual al límite de f(x, y, z cuando (x, y, z (x 0, y 0, z 0. Es decir lim f(x, y, z = f(x 0, y 0, z 0 (x,y,z (x 0,y 0,z 0 La función f es continua en R si es continua en todo punto de R. 1 Ejemplo: La función f(x, y, z = x 2 + y 2 z es el cociente de dos funciones continuas en todo R3, entonces f es continua en todo punto salvo en los que están sobre el paraboloide z = x 2 + y 2. 3.3 Derivadas parciales En el estudio de funciones de una variable se introduce el concepto de derivada como la tasa de variación de la función respecto a la variación de la variable independiente. En el caso de las funciones de varias variables podremos hablar de tasas de variación de la función respecto a la variación de cada una de las variables independientes, lo que nos llevará al concepto de derivadas parciales. Definición.- Si z = f(x, y, las primeras derivadas parciales de f respecto a x e y son las funciones f x y f y, definidas por f(x + x, y f(x, y f x (x, y = lim x 0 x f(x, y + y f(x, y ; f y (x, y = lim y 0 y siempre y cuando exista el correspondiente límite. Esta definición nos indica que si z = f(x, y, para calcular f x hemos de considerar y constante y derivar respecto a x. De manera similar, para calcular f y consideramos x constante y derivamos respecto a y. Es bastante común usar otras notaciones para representar a las derivadas parciales, por ejemplo z x = f x = f x = z x, z y = f y = f y = z. Las derivadas parciales evaluadas en un punto (a, b se denotan por y z x = f x (a, b y z (a,b y = f y (a, b. (a,b Hallar las derivadas parciales f x y f y de la función f(x, y = 3x x 2 y 2 + 2x 3 y. Si consideramos y como constante y derivamos respecto a x obtenemos f x (x, y = 3 2xy 2 + 6x 2 y. Análogamente, si derivamos respecto a y considerando la x como constante, el resultado es f y (x, y = 2x 2 y + 2x 3. Dada f(x, y = xe x2y, hallar f x y f y, y evaluar cada una en el punto (1, ln 2. Como f x (x, y = e x2y + xe x2y (2xy, entonces f x (1, ln 2 = e ln 2 + e ln 2 (2ln 2 = 2 + 4 ln 2. Por otro lado f y (x, y = xe x2y (x 2 = x 3 e x2y, entonces f y (1, ln 2 = e ln 2 = 2. El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si w = f(x, y, z, existen tres derivadas parciales cada una de las cuales se obtienen al derivar respecto a una variable manteniendo las otras dos constantes. w x = f f(x + x, y, z f(x, y, z x(x, y, z = lim x 0 x w y = f f(x, y + y, z f(x, y, z y(x, y, z = lim y 0 y
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 23 w z = f f(x, y, z + z f(x, y, z z(x, y, z = lim z 0 z Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de la función f(x, y, z = z sen(xy 2 + 2z. f x (x, y, z = z cos(xy 2 + 2z(y 2 = zy 2 cos(xy 2 + 2z f y (x, y, z = z cos(xy 2 + 2z(2xy = 2xyz cos(xy 2 + 2z f z (x, y, z = sen(xy 2 + 2z + z cos(xy 2 + 2z(2 = sen(xy 2 + 2z + 2z cos(xy 2 + 2z De forma análoga a lo que sucede con la derivada ordinaria, podemos calcular las segundas, terceras, etc. derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que existan. Por ejemplo, la función z = f(x, y tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden x ( f x = 2 f x 2 = f xx, y ( f y = 2 f y 2 = f yy, y ( f = 2 f x y x = f xy, x ( f = 2 f y x y = f yx Las dos últimas derivadas parciales de segundo orden, es decir f xy y f yx, reciben el nombre de derivadas parciales mixtas (cruzadas. Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f(x, y = 3xy 2 2y + 5x 2 y 2, y determinar el valor de f xy ( 1, 2. Comenzamos hallando las derivadas parciales de primer orden f x (x, y = 3y 2 + 10xy 2 y f y (x, y = 6xy 2 + 10x 2 y Ahora derivamos cada una de estas funciones respecto a las dos variables f xx (x, y = 10y 2, f yy (x, y = 6x + 10x 2, f xy (x, y = 6y + 20xy, f yx (x, y = 6y + 20xy por lo que f xy ( 1, 2 = 12 40 = 28 No es casualidad que en el ejemplo anterior las derivadas parciales mixtas sean iguales. Este hecho se pone de manifiesto en el siguiente teorema Teorema Si f es una función de x e y, tal que f xy y f yx son continuas en un disco abierto R, entonces, para todo (x, y R. f xy (x, y = f yx (x, y Este teorema también es aplicable a las funciones de más de dos variables, siempre y cuando tengan las derivadas parciales de segundo orden continuas. Si las derivadas de tercer orden de f son continuas, el orden de derivación para obtener las derivadas parciales mixtas de tercer orden es irrelevante. Ejemplo: Mostrar que f xz = f zx y f xzz = f zxz = f zzx, para la función f(x, y, z = ye x + x ln z. f x (x, y, z = ye x + ln z ; f z (x, y, z = x z f xz (x, y, z = 1 z, f zx(x, y, z = 1 z, f zz(x, y, z = x z 2 f xzz (x, y, z = 1 z 2, f zxz(x, y, z = 1 z 2, f zzx(x, y, z = 1 z 2
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 24 3.4 Diferenciales Dada una función z = f(x, y, y dados x y y los incrementos de x e y, respectivamente, entonces el incremento en z está dado por z = f(x + x, y + y f(x, y Definición.- Si z = f(x, y y x y y son los incrementos en x e y, entonces las diferenciales de las variables independientes x e y son dx = x y dy = y, y la diferencial total de la variable dependiente z es dz = z z dx + x y dy = f x(x, y dx + f y (x, y dy Esta definición puede extenderse a funciones de más variables. Por ejemplo, si w = f(x, y, z, u, entonces dx = x, dy = y, dz = z, du = u, y la diferencial total de w es dw = w x dx + w y dy + w z dz + w u du Ejemplo: Hallar la diferencial total de las siguientes funciones a z = 2x sen y 3x 2 y 2 b w = x 2 + y 2 + z 2 sol : dz = (2sen y 6xy 2 dx + (2x cos y 6x 2 ydy sol : dw = 2x dx + 2y dy + 2z dz Definición.- Una función f dada por z = f(x, y es diferenciable en (x 0, y 0 si z en el punto puede aproximarse por la diferencial total, es decir, z = f(x 0 + x, y 0 + y f(x 0, y 0 = f x (x 0, y 0 x + f y (x 0, y 0 y + ɛ 1 x + ɛ 2 y, donde ɛ 1 y ɛ 2 tienden a cero cuando ( x, y (0, 0. La función f es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R. Ejemplo: La función z = f(x, y = x 2 + 3y es diferenciable en todo punto del plano, ya que z = f(x + x, y + y f(x, y = (x + x 2 + 3(y + y (x 2 + 3y = 2x x + ( x 2 + 3 y = = 2x( x + 3( y + x( x + 0( y = f x (x, y x + f y (x, y y + ɛ 1 x + ɛ 2 y donde ɛ 1 = x y ɛ 2 = 0 tienden a cero cuando ( x, y (0, 0. Teorema: Si f es una función de x e y, para la que f x y f y son continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R. Teorema: Si z = f(x, y es diferenciable en (x 0, y 0, entonces f es continua en dicho punto. Nota: Debe tenerse en cuenta que el concepto de diferenciable para funciones de varias variables no coincide con el de funciones de una variable, ya que pueden existir las derivadas parciales y sin embargo no ser diferenciable la función. 3xy x Ejemplo: La función f(x, y = 2, (x, y (0, 0 + y2, posee derivadas parciales en (0, 0 y, sin 0, (x, y = (0, 0 embargo, no es diferenciable en dicho punto. f(x + x, y f(x, y 0 0 f x (0, 0 = lim = lim x 0 x x 0 x = 0