Tarea. Formulario: Media: x, x Moda: Mediana: x mod x max x med x x N N N N impar N par Varianza: x, x x, x Desviación estándar: Probabilidad acumulada: P a x b b xn a b a x n x dx variable discreta variable continua Constante de normalización: N D f x dx Ley de distribución de velocidades moleculares en un gas: v m 4 kt B 3 mv kt B v e Rapidez promedio: v 8kT m Rapidez más probable: v mod kt m 4 4 Ley de Stefan-Boltzmann: P A T T ext Ley de radiación de Planck: P V hc 5 hc exp kt
P ckt Fórmula de Rayleigh-Jeans: 4 V Fórmula de Wien: P V C 5 e C kt Ley de desplazamiento de Wien: maxt cte Hipótesis de Planck: Fórmula de Einstein: hc E h E mc Relación longitud de onda-frecuencia: c Integrales y relaciones útiles: dx x n! n n! xdx indeterminado x n! nn n! x dx indeterminado x 0 x n e x dx n! x e dx x e x xe dx 0 x e
Periodo: Frecuencia angular: Parámetros ondulatorios: T Número de onda: Frecuencia espacial: k Espectro electromagnético:
Fecha de entrega: 0 de marzo. Un pediatra atendió a 50 bebés durante un mes. El registro de sus edades es el siguiente: Edad [meses] Número de bebés 9 0 4 9 6 3 4 8 5 Para esta distribución calcula: a. La media b. La moda c. La mediana d. La varianza e. La desviación estándar f. La probabilidad de que tenga que atender a un bebé de 4 meses g. La probabilidad de que tenga que atender a un bebé de meses o mayor pero de 3 meses o menor.. Escoge una de los experimentos sugeridos y analiza su distribución de probabilidad. Para el que escojas tendrás que calcular (indicando las correctas unidades): a. La constante de normalización. b. La media. c. La varianza y la desviación estándar. d. La moda. e. Utiliza un programa matemático para imprimir la gráfica del experimento. i. Etiqueta apropiadamente los ejes, identifica todos los elementos que calculaste y resáltalos en la gráfica. ii. La gráfica es simétrica o asimétrica? Hay alguna relación entre la media y la moda relacionada con esta (a)simetría? f. Investiga otros experimentos que se describan por la distribución indicada. Experimento : Potencia de la luz de una linterna proyectada sobre una pantalla. (distribución de Cauchy): f x ; D, x m
Experimento : Tiempo de espera entre colisiones moleculares en un gas. (distribución de Erlang) f t 4 t exp ns t ; D 0, 4 Experimento 3: Crecimiento bacteriano en un cultivo de laboratorio. (distribución logísitca) f t t 3 h exp 0.5 h t 3 h exp 0.5 h ; D, 3. La distribución normal (campana de Gauss) es utilizada para describir la estadística de un sinnúmero de experimentos. Su densidad de probabilidad está dada por: x exp x x A pesar de su aplicabilidad, tiene la desventaja de carecer de una función primitiva, por lo que es imposible integrarla analíticamente (ver Función error, Integral gaussiana), por lo que para trabajar con ella es necesario recurrir a métodos numéricos y aproximaciones. Tú vas a aprovechar el desarrollo en serie para hacer una estimación. a. Obtén la serie de Maclaurin, hasta el término cuadrático, de una distribución gaussiana con x = 0 y σ =. b. Con el polinomio que obtuviste, calcula la probabilidad acumulada: P( 0. x 0.). c. El valor exacto es 0.07965567455, qué tan buena te parece la aproximación que obtuviste? 4. Calcula la densidad de probabilidad para una muestra de metano (CH 4 ) que, a temperatura estándar (5 ºC), a. Tienen la rapidez promedio del gas. b. Tienen la rapidez más frecuente en el gas. No olvides realizar el análisis dimensional para reportar el resultado en las unidades apropiadas.
5. Cierto material tiene una emisividad (eficiencia de radiación) de 0.7. Si se fabrica un prisma con dimensiones 5 0 0 cm, y se le detecta una potencia radiada de 00 W suspendido en una habitación a 98.5 K, a qué temperatura, en grados Celsius, estaba el prisma al momento de la medición? 6. A partir de la ley de radiación de Planck: a. Deduce la fórmula de Rayleigh-Jeans i. Realiza el cambio de variable x = hc/λkt. ii. Obtén los dos primeros términos (hasta n = ) de la serie de Maclaurin de e x. iii. Expresa el binomio obtenido en términos de las variables originales. iv. Sustitúyelo en el lugar de la exponencial en la Ley de Planck. v. Realiza el álgebra necesaria para reducir la ecuación a su mínima expresión. vi. La teoría de R-J sólo se cumple cuando λ, y la serie de Maclaurin funciona para valores de la variable cercanos a cero. Entonces cómo se justifica haber usado la serie para obtener la fórmula de R-J? (Pista: fíjate en el cambio de variable del principio) b. Deduce la fórmula del modelo de Wien i. Realiza el cambio de variable x = hc/λkt. ii. La aproximación de Wien se cumple para valores de λ pequeños, qué se puede decir de x cuando esto ocurre? iii. Dado lo anterior cómo se compara e x con respecto a? iv. Reescribe la ley de Planck tomando en cuenta la consideración anterior. v. Con base en tu expresión final, determina las constantes C y C de la expresión de Wien incluida en el formulario anexo. c. Calcula el máximo en las distribuciones de Planck y de Wien y comprueba que ambas conducen a la ley de desplazamiento de Wien (una de las ecuaciones no se puede resolver analíticamente, puedes usar Newton-Raphson o un recurso computacional si lo reportas adecuadamente).
7. Utiliza la relación frecuencia-energía de Planck y masa-energía de Einstein para calcular: a. A qué región del espectro electromagnético pertenecen los dos fotones generados durante la aniquilación entre un electrón y un positrón? b. A qué región del espectro electromagnético pertenece el fotón, γ, liberado durante la reacción subnuclear: 0 n p e e Si las masas de las partículas involucradas son: Neutrón: m n =.674976 0-7 kg Protón: m p =.67658 0-7 kg, Electrón: m e = 9.093888 0-3 kg, Antieutrino: despreciable. 8. Utiliza un hoja de cálculo (Excel, Numbers, Lotus) para llenar la siguiente tabla. Reporta las energías en electronvolts, las frecuencias espaciales en cm - y el resto en las unidades más convenientes. Transcribe a mano la fórmula que tuviste que redactar en cada columna: Región del espectro en que cae Energía [ev] Frecuencia Longitud de onda Periodo Número de onda Frecuencia espacial [cm - ] Radiofrecuencia 05.7 MHz.49 cm Infrarrojo 800.835 fs Rayos gamma 7 0 6 Frecuencia angular [rad/s].56 0 6