Capitulo 5 Soluciones analíticas para problemas de flujo
Se escriben ecuaciones gobernantes para describir sistemas de flujo subterráneo porque las soluciones a esas ecuaciones dicen como se comportan los sistemas de aguas subterráneas. Es decir, si se resuelve la ecuación n de flujo de agua subterránea, para la carga hidráulica, podemos predecir el comportamiento del sistema en cualquier punto del espacio, y para cualquier tiempo t. La derivada de h y las subsecuentes substituciones en la ley de Darcy nos permiten calcular la razón n de flujo en combinación n con la porosidad, la velocidad del campo de flujo. Esto nos puede decir cuanta agua se puede extraer de algún n suministro de agua. También n nos dice como se moverán n los contaminantes en este sistema hidráulico.
Se aplica a fin de calcular Simple parametros. Ecuación gobernante (ecuación diferencial) Metodos númericos Compleja (elemento finito, diferencias finitas)
Cuando se escriben ecuaciones gobernantes para sistemas de flujo subterráneo, el resultado a menudo es una ecuación n diferencial parcial que tiene como variables independientes, una, dos o tres coordenadas espaciales y el tiempo.
Para alguna de estas ecuaciones el dominio en que se aplica debe ser definido, las condiciones de frontera y las condiciones iniciales deben ser especificadas. Debido a que la ecuación n de flujo subterráneo envuelve segundas derivadas en el espacio, los requerimientos para las condiciones de frontera debe ser especificada y una ecuación n de frontera debe ser proporcionada en cada punto a lo largo de toda la frontera.
Para problemas transitorios, una condición inicial debe ser especificada para todos los puntos dentro del dominio. Los problemas estacionarios no envuelven cambios en el tiempo y por tanto no requieren condiciones iniciales.
solo pueden ser derivadas para sistemas Regla general para obtener con fronteras que se alineen con los ejes coordenados y para ecuaciones que tengan coeficientes constantes. una solución analítica estas condiciones hay que tomarlas en cuenta cuando se planea obtener una solución n analítica
Problemas de flujo unidimensional Sección n 5.1
Flujo unidimensional La consideración n de problemas unidimensionales tiene implicaciones importantes.
Flujo unidimensional También n se introducen las asunciones de Dupuit.
Flujo unidimensional También n se introducen ideas respecto a la recarga del nivel hidráulico y fugas a través s de acuitardos, así como también una introducción n del flujo radial hacia pozos de bombeo.
Experimento de Darcy
Experimento de Darcy Considérese la ecuación n de flujo simple, estado estacionario, flujo unidimensional en un medio poroso homogéneo de longitud finita con condiciones de carga especificada en cada extremo del dominio. La ecuación diferencial gobernante se deriva de la ecuación n siguiente ( ) ( ( )) K hzt (,) Ss h zt, 0 zz + = z z t
Experimento de Darcy la cual para un medio homogéneo sin flujo lateral se reduce a: 2 h K = 0, 0 < x < l 2 x h (0, t ) = h ( t ), h ( l, t ) = h ( t ). R L
En esta ecuación h L y h R son valores de la carga hidráulica en las fronteras izquierda y derecha respectivamente. Si estos valores no cambian en el tiempo, entonces la solución n h solo es función n de x,, por tanto, la parcial en la ecuación n será una derivada total. La ecuación n es entonces una ecuación n diferencial ordinaria. En otra forma h seria una ecuación n diferencial parcial en h y t.
En cualquier caso la solución n es una línea l recta en el espacio los dos valores de frontera. ( h ( t) h ( t)) hxt (, ) = h( t) + R L x L l
Experimento de Darcy Nótese que esta ecuación n con condiciones de frontera invariantes en el tiempo corresponden al experimento de Darcy donde el flujo unidimensional en una columna de dimensión finita fue dada para valores de carga hidráulica fija en las fronteras inferior y superior. En efecto, el conocimiento de esta solución n analítica nos permite implementar experimentos destinados a la estimación n de parámetros. En este caso el desarrollo de la prueba en la columna nos permite el calculo de la conductividad.
Experimento de Darcy Dada la solución n apara la carga, se deriva y se inserta en la ecuación n de Darcy donde basados en la razón n de flujo, la conductividad puede ser determinada de la ecuación n de Darcy puesta en forma distinta. K Q Ql = = h Ah ( h) A R L x
Experimento de Darcy Dado que la solución n para el estado estacionario asociado a al experimento de Darcy resulta útil, es deseable saber como se llega a este estado. Considérese una columna de suelo en la cual no haya flujo inicialmente( implica n es constante en el espacio). Entonces en algún n momento se le imponen condiciones de frontera las cuales inducen un flujo a través s de la columna. Si deseamos escribir la respuesta transitoria de este sistema a las condiciones de frontera impuestas, es necesario resolver la versión n transitoria de la ecuación n de flujo.
Experimento de Darcy Asumiendo homogeneidad espacial de los parámetros, una columna unidimensional sin flujo en las fronteras en los lados, una condición n de frontera e carga en dos extremos de la columna, el sistema de ecuaciones gobernantes toman la forma 2 h h S s K = 0, 0 < x < l, t > 0 2 t x h (0, t ) = h ( t ), h ( l, t ) = h ( t ), h ( x, 0 ) = h ( x ) R L in i
Experimento de Darcy Considere un flujo transitorio ocasionado por un cambio instantáneo neo de la carga en una de las fronteras, lo cual sirve para perturbar el estado estacionario inicial de la columna. Si la condición n inicial esta dada por h=0, podemos cambiar una de las condiciones de frontera en el tiempo t=0 para inducir el flujo. h(0, t) = h = cte. ( h > 0), h( L, t) = h = 0 L h( x,0) = h = 0 L ini R n = 1 2 2 + 2 h 2 L nπ x Ssl h( x, t) = Seno( )[1 e ] π n l kn π t
Experimento de Darcy La figura 5.1 muestra la carga hidráulica como función n de su localización n espacial para tres tiempos distintos. usando los parámetros h L =1.0, h R =in=0, l=1 y K/S s =0.1
Experimento de Darcy El primer tiempo corresponde a un tiempo inicial, donde la presión n ha comenzado a dirigirse hacia el dominio pero permanece lejos de la frontera derecha. El segundo tiempo al cual nos referiremos como tiempo intermedio, muestra la influencia de ambas condiciones de frontera s en la solución, pero la solución n aun esta cambiando con el tiempo. el tercer tiempo al cual llamaremos tiempo final, en el cual estaremos llegando a estado estacionario. Para este problema, el estado estacionario es una línea l recta en el espacio conectando los dos valores de frontera.
Experimento de Darcy Para la solución n en el tiempo final, se tiene una situación n de estado estacionario que reduce a la ecuación n gobernante a una simple ecuación n diferencial ordinaria Para la solución n para en el tiempo inicial, también n podríamos usar una simplificación n que envuelve la observación n que la condición n de frontera en el lado derecho no tiene injerencia alguna en la solución. para tales casos a menudo se trata al dominio como si la frontera derecha estuviera infinitamente lejos, de donde se dice que el dominio es semi-infinito, infinito, lo que significa que solo se tiene una frontera bien definida, y la segunda esta muy lejos y no influye en la solución. En este caso la solución n analítica resulta ser mas fácil. f
Experimento de Darcy En el caso de la aproximación n semi-infinita infinita al dominio, la ecuación n gobernante toma la forma: 2 h h S s K = 0, 0 < x < +, t > 0 2 t x h(0, t) = h, lim h( x, t) = h, x + L h lim = 0, x + x h( x,0) = h ini ini
Experimento de Darcy Nuevamente se puede derivar una solución analítica para este caso. Para el caso especifico que se esta considerando, se encuentra que la solución n para la propagación n de la carga en un dominio semi-infinito infinito esta dada por: x hxt (, ) h = ( h h ) erf( ) ini L ini 4( K/ S ) t s
Experimento de Darcy donde erfc es la función n complementaria de error, se define por : 2 + 2 erfc( x) = e z dz π x
Experimento de Darcy
Flujo regional unidimensional Como segundo ejemplo considere el flujo en el nivel freatico un acuífero, sujeto a recarga por encima. Consideraremos una sección n vertical transversal bidimensional y aplíquese un promedio vertical. Para obtener una ecuación n gobernante unidimensional.
Flujo regional unidimensional En la figura se muestra un esquema del sistema, el cual muestra una sección n transversal vertical con variables independientes x y z. las fronteras se ubican en x=0 y en x= l, por simplicidad asumimos que el acuífero esta debido de una formación impermeable (en z=0).
Flujo regional unidimensional La frontera superior corresponde a al nivel freático, cuya ubicación n necesita ser determinada como parte de la solución. La condición n de frontera apropiada para el nivel freático se mostró en la sección n 4.4 debido a la complejidad de esa condición de frontera, buscaremos simplificaciones que permitan obtener una solución analítica.
Flujo regional unidimensional Considérese que la razón n de infiltración n es conocida y supóngase constante tanto en espacio como en tiempo, que corresponde a la razón n n de infiltración n promedio ( basado en la precipitación n anual promedio). Dado que este sistema exhibe flujo multidimensional, usaremos promedio vertical para reemplazar la ecuación gobernante bidimensional con una ecuación unidimensional que ubique el nivel hidráulico dada la introducción n apropiada de la producción n especifica, modificación n de la transmisividad que incluya el grosor saturado, y la inclusión n de la recarga como termino ( fuente) en la ecuación n gobernante
Flujo regional unidimensional bajo la suposición n de flujo horizontal y estado estacionario la ecuación n gobernante toma la forma d d h d d h T = Kh = N, 0 < x < l, dx dx dx dx h(0, t) = h, h(,) l t = h L R.
Flujo regional unidimensional en esta ecuación n la barra encima significa cantidad verticalmente promediada, la razón n de recarga esta dada por N, y las condiciones de frontera izquierda y derecha se toman como valores de carga fijos que son constantes en el tiempo. Nótese N que la transmisividad es una función n de la carga hidráulica. Dado que el grosor del acuífero depende de la localización del nivel hidráulico, y esa localización n depende de la carga hidráulica
Flujo regional unidimensional Esta dependencia de la transmitividad sobre la variable dependiente (carga) hace que la ecuación n sea no-lineal. Muchas ecuaciones no-lineales no tienen solución analítica, pero en este caso la solución n pede ser obtenida, para hacerlo, observe que el lado izquierdo de la ecuación n anterior se puede re-escribir escribir (quitando las barras y considerando K constante) como 2 2 d dh K d h K h = dx dx 2 dx 2.
Flujo regional unidimensional por lo tanto, la ecuación n gobernante nos dice que el cuadrado de la carga hidráulica tiene una segunda derivada constante en el espacio, proporcional a la razón n de infiltración n N por tanto la solución n para h(x) es un polinomio cuadrático en x. La forma de la solución n es fácilmente determinada y es: N x h x x l x h h h K l 2 ( ) = ( ) + ( 2 2 ) + 2 R L L
Flujo regional unidimensional como ejemplo considérese el caso de una isla extensa y esta limitada a la derecha y a la izquierda por las condiciones, donde B es la distancia entre el fondo del acuífero y el nivel del mar. Entonces la solución n para h(x) toma la forma: N hx ( ) = xl ( x) + B K 2
Flujo regional unidimensional se puede ver que sin recarga no hay nada que incite al flujo y la solución n es simplemente h(x)=b. Con recarga la solución n se puede re- escribir como: N h 2 ( x) B 2 = [ h( x) B][ h( x) + B] = x( l x) K
Flujo regional unidimensional De esta solución n se obtienen dos observaciones: la primera; la solución n es simétrica respecto del punto medio del dominio (x= l/2), que es donde se encuentra el nivel máximo m del nivel freático. Esto es porque las dos condiciones de frontera tienen el mismo valor. Entonces el agua se infiltra y se une al sistema de flujo, y fluye hacia fuera horizontalmente, de la mitad del dominio hacia las fronteras izquierda y derecha. La segunda observación, es que cuando el incremento en la carga h sobre B es pequeño o respecto del grosor de B, la no linealidad del problema no es significativa y la transmisividad puede ser razonablemente aproximada por. esto puede ser afirmado representando la carga como
Flujo regional unidimensional Entonces cuando, la carga h no difiere mucho del grosor de B. en ese caso términos t con e2, se pueden despreciar porque son muy pequeños. la sustitución n de h en la solución n da [ ][ ] [ ][ ] hx ( ) B hx ( ) + B = ε B 2B+ εb = 2εB + ε B 2εB 2 2 2 2 N = 2 B( ε B) = 2 B[ h( x) B] = x( l x) K
Flujo regional unidimensional La cual resuelta para h(x) da N hx ( ) = B+ xl ( x) 2KB
Flujo regional unidimensional
Flujo en coordenadas radiales Como ejemplo final de soluciones analíticas en una dimensión, n, considérese el caso de flujo radial a un pozo en un acuífero confinado uniforme.
Flujo en coordenadas radiales El dominio del medio poroso comienza en el radio del pozo denotado como r w, y se extiende hacia el radio exterior denotado por r ext. Se asume simetría a radial, entonces no hay variación n en la carga hidráulica con la variación angular, el promedio vertical es aplicado. El grosor del acuífero esta denotado por B
Flujo en coordenadas radiales En base a la ecuación T hrt hrt S hrt q rt Q r r r t 2 1 * (,) + (,) ((,)) + (,) 0 2 i + =
Flujo en coordenadas radiales La ecuación n gobernante de flujo escrita en coordenadas radiales y bajo condiciones estacionarias toma la forma: h T r = r < r< r r r 0, w ext
Flujo en coordenadas radiales Para resolver esta ecuación n deben especificarse las condiciones de frontera interior y exterior. Para el caso de condiciones de carga fijas hr ( ) w = h w, hr ( ) ext = h ext.
Flujo en coordenadas radiales la solución n es un logaritmo con la siguiente forma: hr () = h + ( h h) w ext w r ln( ) rw rext ln( ) r w
Flujo en coordenadas radiales Si se da la razón n de flujo en el pozo, la condicione de frontera en el interior es una condición n de flujo, la cual puede ser re-escrita escrita como h KB(2 πr) = Q r r= r w w
Flujo en coordenadas radiales Con lo cual la solución n toma la forma: Q r hr () = h w ln ext 2πT r ext
Flujo en coordenadas radiales En el caso de dos condiciones de carga fijas la razón n esta dada por 2 π T h ext ln r ext r w h w
Flujo en coordenadas radiales En el caso de una razón n de flujo dada en el pozo, la razón n total de flujo hacia el mismo para algún n radio r esta dada por Q w.
Flujo en coordenadas radiales Esto es consistente con la ecuación n gobernante, la cual establece que el flujo total en la dirección radial no varia con un cambio en la coordenada radial; r h 2π rt = 0 r
Flujo en coordenadas radiales Esto es consistente con un simple razonamiento físico, f sico, en el sentido de que en algún n lugar en donde no haya fuentes o sumideros dentro de algún n dominio, los flujos entrantes y salientes se atribuyen a las fronteras. Por tanto, dentro del dominio, en estado estacionario, la razón de flujo total debe ser constante para algún n radio r.
Flujo en coordenadas radiales Que forma tendría a una fuente o sumidero en este caso radial y cuales serian las implicaciones. Una posibilidad seria tener recarga como en el caso anterior. Pero en el caso de un acuífero confinado, a menudo se tiene fluido fluyendo hacia o desde un acuífero vía a goteo hacia o desde un acuífero adyacente a través s de un acuitardo que separa a los dos acuíferos. Debido a la ley tangente se considera que el flujo en un acuitardo esencialmente vertical y en un acuífero horizontal.
Flujo en coordenadas radiales Si se considera que las fugas de agua a través s de un acuitardo como debidas a un decremento en la carga en el acuífero causado por bombeo de un pozo en ese acuífero, entonces bajo la suposición n de carga constante en el acuífero encima del acuitardo y flujo estacionario tanto en el acuitardo como en el acuífero, se podría a escribir la ecuación n para el flujo en el acuitardo como 2 h K = 0, B< z< B+ B, 2 z hb ( ) = hr ( ), hb ( + B ) = hencima
Flujo en coordenadas radiales donde la carga hidráulica en el acuitardo se denota con, la conductividad hidráulica en el acuitardo se denota con y el grosor del acuitardo con. Nótese N que la dependencia radial viene de la condición n de frontera del fondo, la cual sirve para acoplar el flujo en el acuitardo con la carga del fondo del acuífero (h(r)). No hay derivadas de con respecto a r en la ecuación n dado que se considera flujo vertical en el acuitardo.
Flujo en coordenadas radiales La solución n de esta ecuación n es simple y esta dada por: hrz (,) = hr () + ( h hr ()) cima z B B
Flujo en coordenadas radiales La derivada de esta ecuación n da el flujo volumétrico a través s del acuitardo K q = ( h h ( r )) z B cima
Flujo en coordenadas radiales dado que la cantidad de agua que sale de la base del acuitardo es la misma que la cantidad de agua que entra por parte superior del acuífero esta dada por la ecuación n anterior
Flujo en coordenadas radiales Esto debe aparecer en la ecuación n gobernante para el acuífero, de forma tal que la ecuación gobernante para el acuífero se transforma en: h K T r ( h h ) = 0, r < r< r r r B cima w sal
Flujo en coordenadas radiales Dado que esta ecuación n es mas complicada que las que se han resuelto hasta el momento, las soluciones analíticas pueden ser obtenidas para h(r) por medio de series, específicamente Bessel.
Flujo en coordenadas radiales Una observación n interesante es que términos t para fuentes internas ( goteo), significa que la importancia de las fronteras externas decrecen, hasta el limite de un dominio semi-infinito, infinito, toda el agua que suministra al pozo viene de goteo. Por tanto soluciones significativas pueden ser derivadas en dominios semi-infinitos infinitos cuando un termino de goteo esta presente, esto no es cierto en ausencia de tales fuentes debido a que todo el suministro debe venir de la frontera, y para dominios semi infinitos esto conduce a cargas que no están n limitadas, y por tanto no tiene significado practico
Flujo en coordenadas radiales En el caso semi-infinito, infinito, la ecuación gobernante y las condiciones de frontera apropiadas pueden ser escritas como
Flujo en coordenadas radiales d dh K d dh ( hcim h) r + ( h ) 0,, cim h = r + = r 2 w < r< dr dr KBB dr dr λ dh KB(2 πr) = Q dr r= r w w lim hr ( ) r = h sal dh lim ( r ) = 0 r dr
Flujo en coordenadas radiales En esta ecuación n la longitud de escala, se ha introducido. Esta es una longitud de escala característica llamada factor de goteo. La ecuación n gobernante es una ecuación n diferencial ordinaria de segundo grado cuya solución n general es una combinación n lineal de funciones de bessel I0 y K0 de la forma, estas funciones de bessel, nótese n que la solución n es la razón r/λ,
Flujo en coordenadas radiales Para el caso de un dominio semi-infinito infinito la solución n se simplifica a h sal h() r = Q w K ( r/ λ) 2 T ( r / ) K ( r / ) w 0 π λ λ 1 w
Flujo en coordenadas radiales Donde k1 es una función n de bessel de segundo tipo de orden 1, típicamente t se tiene que rx/λ
Flujo en coordenadas radiales En este caso el comportamiento de la función n de bessel k1 en el limite de un argumento pequeño es tal que rw K 1 ( r / λ ) 1 para r / λ << 1 λ w w
Flujo en coordenadas radiales Por tanto la solución n se simplifica a la siguiente forma: Q h h() r = w K (/ r λ) sal 2π T 0
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