Diseño de experimentos Quimiometría Por qué diseñar experimentos? Exploración: cuáles factores son importantes para realizar exitosamente un proceso Optimización: cómo mejorar un proceso Ahorro de tiempo: predicción Modelado cuantitativo: obtención del modelo matemático de un sistema
Quimiometría Diseño de experimentos Mejor estrategia da la mayor cantidad de información o la información deseada con un costo mínimo (no necesariamente el menor número de experimentos)
Quimiometría Ejemplo: Estudiar el rendimiento de una reacción como función de: la concentración el ph Estrategia?
Quimiometría Estrategia (un factor a la vez): se comienza eligiendo una concentración dada variar el ph
Quimiometría Si se comienza eligiendo una concentración 2 mm y variando el ph: Óptimo: ph 3,4
Quimiometría Si se varía la concentración a ph 3,4: Óptimo: concentración 1,4 mm Variación del rendimiento versus concentración a ph 3,4
Quimiometría Óptimo rendimiento a: ph: 4,4 concentración: 1,0 mm Rendimiento de una reacción como función de la concentración y el ph
Quimiometría Óptimo empleando DOE: ph 4,4 y concentración 1,0 mm Óptimo hallado variando un factor a la vez: ph 3,4 y 1,4 mm Problema? La influencia del ph y la concentración sobre el rendimiento no son independientes interacción
Quimiometría Diseño de experimentos Consiste en planear y realizar un conjunto de pruebas con el objetivo de generar datos que, al ser analizados estadísticamente proporcionen evidencias objetivas que permitan responder a los interrogantes planteados por el experimentador sobre determinada situación Trata con fenómenos que son observables y repetibles
Quimiometría Diseño de experimentos Breve historia 1920-1930 R. A. Fisher: propone los tres principios básicos del diseño de experimentos (agricultura) 1950s G. Box y K. Wilson: desarrollan la metodología de superficie de respuesta (industria química) 1980s G. Taguchi: diseños robustos (insensibles a osciliaciones en las variables ambientales) de alto impacto en la industria
Quimiometría Diseño de experimentos Trata con fenómenos que son observables y repetibles Principios básicos del diseño: Aleatorización Repetición Bloqueo
Quimiometría Diseño de experimentos: Principios básicos Aleatorización: consiste en hacer las corridas experimentales en orden aleatorio (al azar). previene la existencia de sesgo (dependencia de los errores) evita la dependencia entre las observaciones aumenta la probabilidad de que las pequeñas diferencias provocadas por factores no controlados se repartan de manera homogénea valida muchos de los procedimientos estadísticos más comunes
Quimiometría Diseño de experimentos: Principios básicos Repetición: consiste en realizar más de una vez un tratamiento o combinación de factores (cuando corresponda de acuerdo con la aleatorización). permite medir el error experimental permite que los efectos de las variables incontroladas se compensen
Quimiometría Diseño de experimentos: Principios básicos Bloqueo: es dividir las unidades experimentales en grupos (bloques) de modo que las observaciones realizadas en cada bloque se realicen bajo condiciones experimentales lo más parecidas posibles permite convertir la variabilidad sistemática no planificada en variabilidad sistemática planificada
Diseño de experimentos: Etapas Quimiometría reconocer y/o delimitar el problema seleccionar la(s) variable(s) de respuesta elegir los factores, niveles y rangos planeamiento previo a los experimentos elegir el diseño experimental
Quimiometría Diseño de experimentos: Etapas realizar los experimentos analizar estadísticamente los datos (ANOVA) interpretación conclusiones y recomendaciones
Quimiometría Diseño de experimentos: Un ejemplo Objetivo: obtener el peso de 3 objetos A, B y C w 1, w 2, w 3? Medios: balanza con dos platillos, costo 100 $/lectura
Diseño de experimentos: Un ejemplo Método: 1 experimento 1 pesada 1 lectura 1 resultado experimental o respuesta y i Quimiometría Error experimental y i = w + e i Varianza: medida de la dispersión de y i alrededor de w i calidad var(y i ) = s 2 menor s 2 mejor precisión y i
Diseño de experimentos: Un ejemplo Quimiometría Estrategia 1 1 pesada: ningún objeto en la balanza 2 pesada: A 3 pesada: B en el mismo platillo 4 pesada: C costo 400 $ Mejor estrategia?
Estrategia 1 Quimiometría Exp. N A B C resultado 1 0 0 0 y 1 2 1 0 0 y 2 3 0 1 0 y 3 4 0 0 1 y 4 matriz experimental
Estrategia 1 Quimiometría Información obtenida: estimación de los pesos ( ŵ) y 1 = ŵ 0 y 2 = ŵ 0 + ŵ 1 ŵ 1 = y 2 - y 1 y 3 = ŵ 0 + ŵ 2 ŵ 2 = y 3 - y 1 y 4 = ŵ 0 + ŵ 3 ŵ 3 = y 4 y 1 Calidad de la información obtenida: error, precisión var (ŵ 1 ) = var (y 2 y 1 ) = var (y 2 ) + var( y 1 ) = s 2 + s 2 = 2s 2
Estrategia 2 Quimiometría Exp. N A B C resultado 1 0 0 0 y 1 2 1 1 0 y 2 3 1 0 1 y 3 4 0 1 1 y 4 y 1 = ŵ 0 y 2 = ŵ 0 + ŵ 1 + ŵ 2 ŵ 1 = (y 2 + y 3 - y 1 - y 4 )/2 y 3 = ŵ 0 + ŵ 1 + ŵ 3 ŵ 2 = (y 2 + y 4 - y 1 - y 3 )/2 y 4 = ŵ 0 + ŵ 2 + ŵ 3 ŵ 3 = (y 3 + y 4 - y 1 - y 2 )/2 var (ŵ 1 ) = ¼ (4s 2 ) = s 2
Estrategia 3 Quimiometría usar los dos platillos D(+1); I(-1) Exp. N A B C resultado 1 +1 +1 +1 y 1 2-1 +1 +1 y 2 3 +1-1 +1 y 3 4 +1 +1-1 y 4 I D
Estrategia 3 Quimiometría usar los dos platillos D(+1); I(-1) y 1 = ŵ 0 + ŵ 1 + ŵ 2 + ŵ 3 y 2 = ŵ 0 - ŵ 1 + ŵ 2 + ŵ 3 ŵ 1 = (y 1 - y 2 )/2 y 3 = ŵ 0 + ŵ 1 - ŵ 2 + ŵ 3 ŵ 2 = ( y 1 - y 3 )/2 y 4 = ŵ 0 + ŵ 1 + ŵ 2 - ŵ 3 ŵ 3 = (y 1 - y 4 )/2 var (ŵ 1 ) = ¼ (2s 2 ) = s 2 /2
Estrategia 4 Quimiometría Exp. N A B C resultado 1-1 -1-1 y 1 2-1 +1 +1 y 2 D (+1); I (-1) 3 +1-1 +1 y 3 4 +1 +1-1 y 4
Estrategia 4 Quimiometría y 1 = ŵ 0 - ŵ 1 - ŵ 2 - ŵ 3 y 2 = ŵ 0 - ŵ 1 + ŵ 2 + ŵ 3 ŵ 1 = (-y 1 y 2 + y + y )/4 3 4 y 3 = ŵ 0 + ŵ 1 - ŵ 2 + ŵ 3 ŵ 2 = ( -y 1 + y 2 - y + y )/4 3 4 y 4 = ŵ 0 + ŵ 1 + ŵ 2 - ŵ 3 ŵ 3 = (-y 1 + y 2 + y - y )/4 3 4 var (ŵ 1 ) = 1/16 (4s 2 ) = s 2 /4 con 4 experimentos 400 $ mejor estrategia? para las matrices experimentales var (b) = s2 N
Diseño de experimentos: clasificación Objetivo del experimento? Diseños para: Quimiometría comparar dos o más tratamientos: diseño completamente al azar, cuadros latinos. estudiar el efecto de varios factores sobre la(s) respuesta (s): diseños factoriales.
Diseño de experimentos: clasificación Objetivo del experimento? Diseños para: Quimiometría optimizar un proceso: diseños factoriales, diseño central compuesto, diseño de Box-Behnken, diseño simplex optimizar una mezcla: diseño simplex reticular, simplex con centroide, axial...
Quimiometría Diseño de experimentos: Modelos lineales y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 +... + b j x j +... b N-1 x N-1 Factoriales completas (2 k ) Factoriales fraccionarias (2 k-p ), Diseños de Plackett-Burman Diseños de Taguchi
Quimiometría Diseño de experimentos: Modelos cuadráticos y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 +... + b k x k + b 12 x 1 x 2 +... + b (k-1) k x k-1 x k Factoriales (3 k y 3 k-p ) Centrales compuestas (Box y Wilson) Box y Behnken Doelhert
Quimiometría Diseño de experimentos: Mezclas serie de factores cuyo total es una suma constante Simplex reticular Simplex con centroides Diseño con restricciones Diseño axial
Diseños factoriales Quimiometría factores, U j : variables naturales cuyos valores se pueden controlar (cualitativos o cuantitativos) variables codificadas (reducidas y centradas) efecto, b j : cambio en la respuesta ocasionado por un cambio en el nivel del factor nivel: categoría de un factor
Diseños factoriales Quimiometría Estudio cuantitativo de factores: efectos principales (b j ) interacciones (b ji ) si cada variable puede tener un valor mayor o uno menor: diseño factorial de dos niveles número de experimentos (N) para k factores N = 2 k 2 niveles
Quimiometría Diseños factoriales N = 2 k k efectos principales (2 k - k - 1) interacciones
Diseños factoriales Quimiometría si k = 2 matriz 2 2 4 experimentos X 1 X 1 X 2 X 2
Diseños factoriales Quimiometría k factores interacciones de orden q interacciones de q vo orden entre (q+1) factores
Diseños factoriales Quimiometría si k = 7 matriz 2 7 128 experimentos q = 1 interacciones de primer orden: 2 7(7-1) C = = 21 7 2 q = 2 interacciones de segundo orden...
Diseños factoriales Quimiometría las interacciones entre 3 factores son escasas las interacciones entre 4 son despreciables es posible disminuir N sin disminuir k
si k = 3 matriz 2 3 8 experimentos Quimiometría matriz experimental promedio de las medidas matriz del modelo
DISEÑO 2 3 Quimiometría
Quimiometría Un ejemplo: Diseños factoriales completos Objetivo: estudiar la síntesis de un compuesto orgánico Factores que podrían afectar el rendimiento son: ph intensidad de la lámpara (W/m 2 ) fuerza iónica (M) [catalizador] (µm) si se establecen dos posibles niveles por factor: 2 4 = 16 combinaciones
Quimiometría Un ejemplo: Diseños factoriales completos Combinaciones - : menor nivel + : mayor nivel Variable Nombre - + A ph 4 6 B Intensidad (W/m 2 ) 1000 2000 C Fuerza iónica (M) 0,25 0,75 D [catalizador] (mm) 0,1 1,0
Quimiometría DISEÑO FACTORIAL COMPLETO CON MINITAB
Quimiometría ph luz FI [cat] ph luz FI [cat] %rendimiento respuesta variables codificadas
Quimiometría Evaluación de los datos cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento? Estimated Effects and Coefficients for % (coded units)
Estimated Effects and Coefficients for % (coded units) Term Effect Coef Constant 50.250 A 2.750 1.375 B 19.500 9.750 C 1.500 0.750 D -14.500-7.250 A*B 2.250 1.125 A*C -0.250-0.125 A*D -2.750-1.375 B*C 1.500 0.750 B*D 5.500 2.750 C*D 3.000 1.500 A*B*C 1.250 0.625 A*B*D -1.250-0.625 A*C*D 0.750 0.375 B*C*D -3.000-1.500 A*B*C*D -0.750-0.375
Quimiometría Gráfico de probabilidad normal de los efectos s c o r e A ph B Intensidad (W/m 2 ) C Fuerza iónica (M) D [catalizador] (mm) efecto
Quimiometría Pareto Chart of the Effects (response is %, Alpha =.05) Term B D BD CD BCD AD A AB BC C ABC ABD ABCD ACD AC 5.78 0 5 10 Effect 15 20 Lenth's PSE = 2.25
Efectos principales Quimiometría % ph luz fuerza iónica [catalizador]
Interacciones Quimiometría -1 1-1 1 A 60 45 A -1 1 60 45 B 30 B -1 1 30 C 60 45 C -1 1 60 45 D 30 D -1 1 30-1 1-1 1
Quimiometría Evaluación de los datos Ventajas: cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento? se puede proponer un modelo del tipo y = b 0 + b1x1 + b2x2 + b12x1 x2
Quimiometría Evaluación de los datos Dificultades: el diseño no tiene réplicas no se ha estimado el error experimental: por lo cual no se puede dar una respuesta definitiva sobre si los factores son o no significativos.
Evaluación de los datos Quimiometría Dificultades: cada variable se probó sólo con dos niveles problema de curvatura (se necesitarían términos de segundo orden en el modelo: x j 2 ) probar 3 niveles: 3 k en este ejemplo: k=4 81 experimentos! se puede reducir con otros diseños: superficie de respuesta
Diseño factorial con réplicas Quimiometría Objetivo: estudiar el efecto de tres factores (A, B, C) sobre el funcionamiento de un plasma empleado para grabados. con dos niveles Factor -1 +1 A (distancia, cm) 0,8 1,20 B (flujo gas, cm 3 /min) 125 200 C (potencia, W) 275 325
Quimiometría Diseño factorial con réplicas 2 3 = 8 combinaciones con dos réplicas: 16 experimentos respuesta: velocidad de grabado para nitruro de silicio (Å/m)
Diseño factorial con réplicas Quimiometría respuesta: velocidad de grabado (I y II) A B C I II - - - 550 604 + - - 669 650 - + - 633 601 + + - 642 635 - - + 1037 1052 + - + 749 868 - + + 1075 1063 + + + 729 860
Diseño factorial con réplicas Quimiometría 16 experimentos en orden estándar hacer en orden aleatorio!! Orden A B C velocidad 1-1 -1-1 550 2 1-1 -1 669 3-1 1-1 633 4 1 1-1 642 5-1 -1 1 1037 6 1-1 1 749 7-1 1 1 1075 8 1 1 1 729 9-1 -1-1 604 10 1-1 -1 650 11-1 1-1 601 12 1 1-1 635 13-1 -1 1 1052 14 1-1 1 868 15-1 1 1 1063 16 1 1 1 860
Quimiometría Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB el efecto C (potencia) domina el proceso el efecto A (distancia entre los electrodos) y la interacción AC también son estadísticamente significativos (valores de P pequeños P < 0,05)
Análisis del diseño factorial con réplicas Estimated Effects and Coefficients for v (coded units) Quimiometría Term Effect Coef SE Coef T P Constant 776,06 11,87 65,41 0,000 A -101,62-50,81 11,87-4,28 0,003 B 7,37 3,69 11,87 0,31 0,764 C 306,13 153,06 11,87 12,90 0,000 A*B -24,88-12,44 11,87-1,05 0,325 A*C -153,63-76,81 11,87-6,47 0,000 B*C -2,12-1,06 11,87-0,09 0,931 A*B*C 5,62 2,81 11,87 0,24 0,819 el error estándar de todos los coeficientes del modelo es igual porque el diseño es ortogonal
Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB: gráfico de Pareto los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos Pareto Chart of the Standardized Effects (response is v, Alpha =,05) Quimiometría 2,31 C AC F actor A B C Name A B C A Term AB B ABC BC 0 2 4 6 8 Standardized Effect 10 12 14
Análisis del diseño factorial con réplicas Quimiometría empleando MINITAB: gráfico de probabilidad normal (Daniel) los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is v, Alpha =,05) 99 95 Effect Ty pe No t Significant Significant 90 80 70 C F actor A B C Name A B C Percent 60 50 40 30 20 A 10 5 A C 1-5 0 5 Standardized Effect 10 15
Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB: gráficos factoriales Quimiometría
Quimiometría Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB: gráficos factoriales Interaction Plot (data means) for v -1 1-1 1 1000 A -1 1 A 800 600 1000 B -1 1 B 800 600 C
Quimiometría Análisis del diseño factorial con réplicas gráficos de superficie de respuesta: se pueden sugerir las mejores condiciones analizando las curvas de nivel
Análisis del diseño factorial con réplicas conviene trabajar a una velocidad de 900 Å/m Quimiometría
Quimiometría Análisis del diseño factorial con réplicas modelo para predecir la velocidad de grabado ŷ = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 12 x 1 x 2 + b 13 x 1 x 3 + b 23 x 2 x 3 + b 123 x 1 x 2 x 3 velocidad = 776,6-50,81x 1 + 153,06x 3-76,81 x 1 x 3
Análisis del diseño factorial con réplicas análisis de regresión (para el modelo completo): S = 47,4612 desviación estándar R-Sq = 96,61% Quimiometría el modelo explica un 96,61 % de la variabilidad observada (problema: R 2 aumenta al aumentar el número de factores, aunque no sean significativos)
Análisis del diseño factorial con réplicas análisis de regresión (para el modelo completo): S = 47,4612 desviación estándar R-Sq(adj) = 93,64% R 2 (ajustado para el tamaño del modelo): suele disminuir si se agregan factores no significativos Quimiometría se puede volver a calcular con el modelo reducido
Análisis del diseño factorial con réplicas al menos un efecto principal y una interacción entre dos factores son estadísticamente significativos Analysis of Variance for v (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS Main Effects 3 416378 416378 138793 2-Way Interactions 3 96896 96896 32299 3-Way Interactions 1 127 127 127 Residual Error 8 18020 18020 2253 Pure Error 8 18021 18021 2253 Total 15 531421 Source F P Main Effects 61,62 0,000 2-Way Interactions 14,34 0,001 3-Way Interactions 0,06 0,819 Residual Error Pure Error Total