Análisis estadístico de la demanda de agua potable de la ciudad de Valencia. Aplicación a la predicción con análisis de series temporales

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1 Análisis estadístico de la demanda de agua potable de la ciudad de Valencia. Aplicación a la predicción con análisis de series temporales César Alejandro Espinoza Rodríguez (1) y Juan Bautista Marco Segura (2) (1) Ingeniero Civil; Estudiante de doctorado en Ingeniería hidráulica y medio ambiente; Universidad Politécnica de Valencia; ceesrod@doctor.upv.es (2) PhD, I.C.C.P.; Catedrático y director del Departamento de Ingeniería Hidráulica y Medio Ambiente (DIHMA); Universidad Politécnica de Valencia; jbmarco@hma.upv.es Resumen La predicción de la demanda de agua potable es necesaria para el diseño, operación y gestión de sistemas urbanos de abastecimiento. En la parte correspondiente al diseño, la predicción se aplica para proyectar y planear nuevos desarrollos o expansiones, como por ejemplo tanques de almacenamiento, estaciones de bombeo y capacidad de conducción de acueductos. En cuanto a la operación y gestión, la predicción cobra especial relevancia en sistemas con déficit en sus suministros o en sistemas con demandas máximas y mínimas de corta duración que someten al sistema a un estrés muchas veces evitable. Un modelo predictivo con fundamento en el análisis de las series de demandas -actualmente son de fácil obtención ya que los sistemas de registro de datos tipo SCADA son cada vez más habituales en organismos operadores modernos- puede representar una potente herramienta para los gestores de sistemas de agua potable y resultar en beneficios como por ejemplo, una operación más eficiente que provoque una reducción de fugas y ahorro de energía, entre otras. A lo largo de este documento, haremos un análisis estadístico de la serie temporal del volumen total de agua potable demandado diariamente a lo largo de 4 años por los usuarios de la ciudad de Valencia, España. Se hará un análisis conjunto con variables climáticas (temperatura máxima, mínima y media) y sociológicas (días festivos y puentes) en busca de una mejor comprensión del comportamiento de la demanda diaria y sus patrones de variación. En este estudio se investiga el desempeño del análisis de series temporales por medio de modelos ARIMA para la predicción de la demanda de agua a corto plazo. Se presta especial atención al calendario de festividades (propio de cada ciudad y comunidad) por representar un aporte de variabilidad puntual o temporal que perturba el patrón de demandas que se reproduce a lo largo del año. 1 Introducción En un mundo en el que la población y las zonas urbanas se encuentran en constante expansión, uno de los primeros efectos en aparecer es el incremento de la demanda de recursos hídricos. En las últimas décadas las sociedades se han vuelto cada vez más conscientes de la importancia de un buen uso del agua. El uso eficiente del agua tiene no solo efectos benéficos en lo que respecta a lo económico, a su vez se refleja en beneficios ambientales y de sostenibilidad. Para poder realizar un adecuado diseño y operación de los sistemas de recursos hídricos y un uso eficiente del agua disponible, se requiere la habilidad de predecir los caudales disponibles y demandados. La modelación y la predicción de la demanda de agua urbana cobran especial relevancia en ciudades donde los recursos hídricos son limitados. De entre la variedad de metodologías que existen para modelar y predecir la demanda de agua urbana, los modelos estocásticos destacan por ser una metodología consolidada y apropiada para el tratamiento de la incertidumbre y la aleatoriedad del proceso.

2 2 Área de Estudio Un problema importante en la gestión de sistemas de suministro y distribución de agua potable, es la predicción de la demanda diaria con el fin de programar en las fuentes de captación los caudales que serán demandados, programar los bombeos necesarios buscando minimizar los costes energéticos y evitar sobrepresiones en la red de distribución. El caso de la ciudad de Valencia no es la excepción. El sistema de abastecimiento suministra agua potable a 807,396 habitantes (Valencia-Ayuntamiento, 2006b 1 ) en su zona urbana y contaba al 2005 con 417,868 abonados, de los cuales 372,580 eran domésticos y 45,288 industriales (Valencia-Ayuntamiento, 2006a 2 ), el área metropolitana que incluye a l horta nord, l horta sud, l horta oest y l horta centro también son abastecidas por este sistema. La ciudad es abastecida desde los sistemas hidrológicos de los ríos Júcar y Turia, los caudales obtenidos desde el río Júcar, derivados en la presa de Tous son tratados en la ETAP Picassent-El Realón. La ETAP La Presa-Manises trata caudales con origen en ambos ríos. En la Tabla 1 se presenta un resumen de las capacidades de tratamiento y almacenamiento de las ETAP mencionadas. Resumen de estaciones de tratamiento de agua potable que abastecen a Valencia. ETAP Capacidad de Capacidad de Capacidad de Tratamiento (m 3 /seg.) Tratamiento (m 3 /día) Almacenamiento (m 3 ) La Presa ,000 90,000 El Realón , ,000 Total , ,000 La ciudad de Valencia ha experimentado un crecimiento de población a lo largo de las últimas décadas, reflejándose en un incremento del 16.99% en los últimos 24 años y que ha provocado un aumento de la demanda de agua para abastecimiento urbano. El clima en Valencia es mediterráneo con temperaturas mínimas en los meses de Enero y Febrero, temperaturas máximas en el mes de agosto y con lluvias principalmente en los meses de octubre y noviembre. 3 Datos Se han analizado 4 años (1461 días) de datos de demanda de agua urbana (m 3 /día) y temperatura del periodo comprendido entre 2001 y Los datos de demanda analizados, corresponden a la cantidad de metros cúbicos aportados cada día a la red de distribución de agua potable que abastece a la totalidad de la población de la ciudad de Valencia desde las dos estaciones de tratamiento mencionadas en el punto 3 de este documento. El volumen de agua distribuida mediante la red de baja presión utilizada principalmente para riego de jardines de la ciudad no fue considerada en este estudio. Los datos de demanda fueron proporcionados por el departamento técnico de Aguas de Valencia, las series de temperaturas fueron obtenidas en el Instituto Nacional de Meteorología (INM) y corresponden a los datos registrados en la estación meteorológica que se localiza en las instalaciones del INM del parque de viveros municipales. Los tres primeros años de datos fueron utilizados para estimar los parámetros de los modelos y un año se ha reservado para su validación. 4 Análisis preliminar El comportamiento de la demanda a lo largo del tiempo es el resultado del uso conjunto de los diferentes consumidores de agua abonados al sistema (domésticos, comerciales, industriales, etc.), cada uno con sus patrones característicos. El objetivo del análisis preliminar es identificar las características generales de la serie temporal en estudio para contar con argumentos con los cuales tomar decisiones respecto al tipo de modelo estadístico que le será ajustado posteriormente. Se realizará un análisis cualitativo y cuantitativo de la serie de demandas, considerando la serie completa así como series individualizadas por año. Se hará un análisis descriptivo de estadística clásica y de métodos gráficos con el fin de identificar características relevantes que nos expliquen rasgos del comportamiento de la serie.

3 4.1 Estadísticos básicos y patrones predominantes de la demanda Tendencia La serie de demandas de la Figura 1 presenta una clara tendencia a la alza en el periodo en estudio. Al ajustar una línea de tendencia lineal observamos que el aumento de la demanda fue de 10,260 m 3 /año, aunque no se descarta que si se contara con una serie más larga, en un futuro la tendencia pudiera ser revertida, por ejemplo mediante programas de recuperación de perdidas por fugas en las redes, racionamiento o por una sensibilización de la población en el uso del agua. En la misma figura se puede observar que existe un patrón estacional similar en todos los años, con valores mínimos en los tercios de cada uno de los años y valores máximos a la mitad del año, cada uno de estos máximos y mínimos con distinta magnitud. El valor medio de la serie oscila en los 300,000 m 3 con valores mínimos en los meses de abril y agosto y máximos a finales de los meses de junio. La Tabla 2 resume los estadísticos básicos de cada año y de la serie completa. Los valores de asimetría nos indican que los valores tienen una distribución cercana a la normal. Figura 1 Serie temporal de demanda de agua de la ciudad de Valencia Tabla 1 Resumen de estadísticos básicos de la serie de demandas Estadístico Datos Media* 307, , , , ,573 Mediana* 309, , , , ,001 Desv. Est.* 24,346 23,983 22,758 22,794 26,409 Varianza 5.9E E E E E+08 Mínimo* 218, , , , ,212 Máximo* 367, , , , ,866 Rango* 149, , , , ,654 Asimetría Curtosis *.Valores en m 3 /día Estacionareidad de la serie de demandas De la Figura 1 es evidente que la serie no es estacionaria respecto a la media. En la Tabla 2 se observa que el valor medio de la demanda urbana en metros cúbicos por día, aumentó desde los 307, hasta los 335, Este incremento de la demanda, en la mayoría de las ocasiones, es explicado como la resultante del crecimiento de la población abastecida de agua para satisfacer sus necesidades. Las series no estacionarias pueden ser detectadas calculando el coeficiente de la función de autocorrelación (ACF) definido por Box y Jenkins (1976) 8.

4 r k = x 1 ( ( x( t ) x( t + k ) ) x( t ) x( t + k ) 1/ n k ( t ) ( t ) 2 2 ( x ) x( t + k ) ( x( t + k )) n k n k 1/ 2 2 Donde x es la variable, t es el tiempo y los sumatorios se realizan desde t=1 hasta t=n-k. La ecuación presentada determina el grado de correlación entre observaciones que están separadas k unidades de tiempo. La Figura 2 representa el correlograma ó (ACF) de la serie analizada. Se observa que existe una dependencia fuerte con los valores anteriores, o lo que es lo mismo, los coeficientes de r k no se reducen rápidamente hacia cero, el comportamiento esperado para una serie estacionaria. Figura 2 Autocorrelograma de la demanda de agua urbana Estacionalidad y periodicidad De la inspección visual de las figuras presentadas y del cuadro de estadísticos básicos podemos observar que la serie de demandas de agua de la ciudad de Valencia, presenta una muy marcada variación estacional influenciada por factores climáticos y sociales como son los periodos vacacionales y el calendario de festividades. Sin embargo, existen también componentes periódicos en la demanda que se repiten a lo largo del tiempo como es el patrón semanal de la demanda. Es esperable por ejemplo, que cada día de la semana a lo largo del tiempo registre valores de demanda diaria similares. La Figura 3 representa los patrones de la demanda semanal para cada uno de los años de la serie. Figura 3 Patrón de demanda semanal Analíticamente las periodicidades dentro de un ciclo anual pueden ser fácilmente identificadas desde los datos de demanda registrados mediante el análisis de Fourier, definido como: N / 2 x( t) = a0 + a 2πmt 2πmt cos + bm sin N m m= 1 N

5 Donde a 0 es la media del conjunto de datos, m es el número de armónicos, N la longitud de la serie, y t=1,2,...,n es el tiempo. Los coeficientes de la serie de Fourier a m y b m se calculan usando la transformada discreta de Fourier, cuando m N/2 se definen como: a m = N 2 2πmt xt cos N m= 1 N b m = N 2 2πmt xt sin N m= 1 N Y cuando m=n/2 a = 1 N m x t N m= 1 t ( 1) La Figura 4 presenta los resultados obtenidos con el análisis y se muestra que el armónico predominante en todas las series corresponde con el patrón semanal, es decir con el de 7 días de duración (0.14 ciclos/día). Para los años 2001 al 2004 este armónico nos produce una varianza explicada de 26, 17, 27 y 29% respectivamente. En la Figura 2 de la sección 5.1.2, el correlograma de la serie, se puede observar que existe un patrón repetitivo cada 7 retardos, lo cual viene a confirmar los resultados obtenidos por el análisis de Fourier. b m = 0 Figura 4 Periodograma de frecuencias de la serie de demandas de agua urbana. 4.2 Variable Exógena Temperatura Es muy frecuente encontrar en las publicaciones científicas relativas a la modelación y predicción de la demanda que la temperatura del aire (entre otras variables climáticas) es utilizada para explicar el comportamiento de la demanda de agua urbana [2,3,4,5,6] ). Es de esperar que en épocas más cálidas la demanda de agua de las ciudades aumente. La Tabla 3 presenta los estadísticos básicos de la temperatura registrada. Tabla 2 Resumen de estadísticos básicos de la serie de temperatura media diaria Estadístico Datos Media* Mediana* Desv. Est.* Varianza Mínimo* Máximo* Rango* *.Valores en ºC

6 Tema C: Agua y Ciudad Figura 5 Evolución conjunta: temperatura media y demanda diaria. Año 2001 y En los gráficos de la Figura 5 se presenta la evolución conjunta de la serie de demandas y la temperatura media para la serie completa y para el año 2001, se aprecia que si bien es cierto que existe una correlación en el comportamiento de las series, ésta no parece ser demasiado fuerte como para considerar que la temperatura guía el proceso de demanda. Los valores máximos de las series no son contemporáneos. Existen periodos en los cuales la relación es inversa (destacados con flecha) y durante los cuales, aparentemente otro fenómeno pasa a gobernar el proceso o cuando menos lo perturba temporalmente. Los coeficientes de correlación de Pearson (r) calculados para la demanda diaria y la temperatura media en el tiempo (t) y (t-1) se presentan en la Tabla 4. Los valores de correlación obtenidos son bajos ( y ) y el proceso se explica de una mejor manera por sus propios valores pasados, ya que se obtiene un coeficiente de correlación más alto (0.6686). Tabla 3 Coeficientes de correlación Temperatura media-demanda diaria Variable Temp. media (t) Temp. media (t-1) Demanda (t-1) r Demanda (t) Determinación del Modelo de series temporales ARIMA 5.1 Formulación básica Los modelos de series temporales ARIMA fueron introducidos por Box y Jenkins (1976)8, y han sido ampliamente utilizados durante las últimas décadas para modelar y predecir el comportamiento de series de demandas con diversas características [3,4,5,6,7]. La notación básica de los modelos Box y Jenkins con términos no estacionales de orden (p,d,q) y términos estacionales de orden (P,D,Q) se suele abreviar como modelo SARIMA(p, d, q)x(p, D,Q)s y puede ser escrito como φ p ( B)Φ P ( B s )(1 B) d (1 B s ) D X t = θ q ( B)ΘQ ( B s ) Z t

7 5.2 Determinación del los órdenes s, d y D En el análisis exploratorio realizado anteriormente hemos encontrado que la serie de demandas no es estacionaria por tener una tendencia creciente. La técnica más habitual para transformar una serie en estacionaria es la diferenciación simple y usualmente no hacen falta más de 2 diferencias para conseguirlo, es decir que d suele tomar valores pequeños, la misma regla se aplica para los valores de D, es decir las diferencias estaciones. La anterior recomendación tiene el objetivo de no perder el sentido físico de la serie que estemos analizando. Mediante el análisis de Fourier y la observación del ACF pudimos comprobar que existe un componente periódico predominante en la serie temporal de 7 días, es decir s=7. Se probaron varias combinaciones de órdenes de diferencia, los mejores ACF y PACF (función de autocorrelación parcial) se presentan en la Figura 6. Ya que el ACF de la serie original nos indica que la serie no es estacionaria y presenta valores máximos cada 7 periodos, se aplicó una diferencia regular de orden 1 y una diferencia estacional de orden 7. Las transformaciones aplicadas resultan en PACF y ACF con una apariencia que puede ser abordada con modelos ARIMA. Figura 6 ACF y PACF de la serie de demandas observada y diferenciada 5.3 Selección de los ordenes p, q, P y Q Una de las propiedades de la metodología de Box y Jenkins, es la de que los órdenes AR y MA regulares y estacionales pueden ser deducidas mediante la observación de los ACF y PACF. En nuestro caso, se observa una leve sobrediferenciación ya que los valores de correlación se han vuelto negativos y presentan el patrón característico que nos indica la necesidad de uno o varios componentes de media móvil (MA) no estacionales un corte rápido del ACR y una disminución lenta del PACF de valores negativos. El número de valores de PACF fuera de los límites críticos (no presentados en las figuras) nos señala que deben ser incluidos hasta dos componentes MA no estacionales. Es evidente también el patrón característico que nos indica la necesidad de

8 incluir un componente de media móvil estacional (SMA) ya que la autocorrelación en el periodo estacional es negativa. En base a lo anterior, el modelo que consideraremos de inicio será un ARIMA (0,1,2)x(0,1,1) Calibración y validación de los modelos Como ya se indicó, la serie de demandas con la que contamos corresponde a 1461 datos de demanda diaria, 4 años comprendidos desde Enero de 2001 a Diciembre de Hemos dividido los datos en dos grupos, los tres primeros años (2001, 2002 y 2003) serán utilizados para calibrar el modelo ARIMA y 1 año (2004) se utilizará para validar el modelo y observar sus resultados. Independientemente de los datos que nos aporta la observación del correlograma, hemos analizado 4 modelos ARIMA distintos que han sido los que mejores resultados han aportado en un análisis preliminar. La diferencia entre ellos reside en la inclusión o no inclusión de un segundo componente de media móvil no estacional y la temperatura como variable exógena. Se ha determinado que la temperatura máxima (Tmax) es la variable exógena que más información nos aporta al modelo 9, por lo que la temperatura media y mínima no serán consideradas en adelante para la selección del modelo. Para evaluar el desempeño de los modelos se han considerado estadísticos que miden la magnitud de los errores como son el RMSE, MAE y MAPE, y los que miden el sesgo, ME y MPE. Ya que todos los estadísticos anteriores ignoran la cantidad de términos incluidos en los modelos, y que siempre podríamos utilizar una cantidad infinita de términos para obtener un mejor desempeño, se utilizó también el criterio de Akaike (1974) 10 AIC y el BIC (Bayesian Information Criterion) de Schwartz que penalizan por cada término adicional. Los resultados obtenidos en la fase de validación se presentan en la Tabla 5. En todos los casos los valores obtenidos fueron levemente más pobres en fase de validación que los obtenidos en calibración. Tabla 4 Comparación del desempeño de los modelos en fase de validación Modelo ARIMA RMSE MAE MAPE ME MPE Logverosim AIC BIC A-(0,1,1)x(0,1,1)7 11, , , , , B-(0,1,1)x(0,1,1)7+Tmax 10, , , , , C-(0,1,2)x(0,1,1)7 11, , , , D-(0,1,2)x(0,1,1)7+Tmax 10, , , , , Modelo seleccionado Los modelos ARIMA ajustados a la serie de demandas diaria de agua urbana han obtenido valores aceptables en su desempeño. La selección de un determinado modelo depende de varios factores, entre ellos el horizonte de predicción así como de la disponibilidad de datos de predicción de la variable exógena. Si suponemos que podemos contar con predicciones precisas de la temperatura, el modelo seleccionado será el D, en el caso de no contar con las predicciones, el modelo indicado sería el C. Los ACF y PACF, periodograma y periodograma acumulativo de los de los residuos en fase de validación del modelo D se presentan en las Figura 7 y 8. La apariencia de los gráficos de ACF y PACF nos indica que el modelo consigue captar la estructura del modelo ya que solamente 4 valores son significativos para el intervalo de confianza del 95%. El periodograma de los residuos muestra que el modelo ha conseguido captar las periodicidades detectadas y el periodograma acumulativo queda contenido dentro de los intervalos de 99 y 95% quedando muy próximo a un ruido blanco. El modelo D obtiene un R 2 de 0.79 y coeficiente de correlación r de 0.89, el modelo C obtiene R 2 de 0.88 y r de 0.77, por lo que los desempeños no son muy diferentes considerando que el modelo C contiene un parámetro menos. Los parámetros estimados para el modelo C son θ 1 =0.409 correspondiente al MA(1), θ 2 =0.167 correspondiente al MA(2) y Θ= correspondiente al SMA(1).

9 Figura 7 ACF y PACF de los residuos del modelo D Figura 8 Periodograma y acumulativo de los residuos del modelo D 5.6 Comportamiento de los modelos En la sección anterior ha quedado demostrado que los modelos del tipo ARIMA con variable exógena y sin ella, consiguen captar adecuadamente el patrón de la demanda diaria. En la Figura 10 se puede observar una comparación entre los valores de predicción y los observados, así como también los valores de los errores absolutos. Los errores a un horizonte de 7 días de predicción son mayores que los de a un solo día, y se magnifican en momentos puntuales. Haciendo un análisis de los errores se encuentra que existe una coincidencia temporal con el calendario de festividades y de actividades de la localidad. Es decir, que los errores más grandes en términos absolutos coinciden con las principales festividades nacionales y locales, siendo aún más grandes cuando su efecto produce una cantidad consecutiva de días no laborables por unirse a días de fin de semana. Este desempeño de los modelos ARIMA se entiende desde la perspectiva de que los modelos son calibrados desde los datos para captar el comportamiento de la serie, posteriormente las predicciones se realizan tomando en cuenta los valores del pasado de la serie, así como los errores de predicción ajustados por un factor. Un cambio repentino del patrón de comportamiento habitual de la serie no puede ser anticipado por el modelo ya que no cuenta con una estructura que le informe de su próxima ocurrencia. Es así que tanto en la fase de calibración como en validación los errores máximos coinciden en fechas como semana santa, fiestas de fallas y San José, el día del trabajo, el día de la comunidad Valenciana, entre otras.

10 Figura 9 Validación del modelo C, año Predicción a 1 y 7 días 6 Conclusiones Se han ajustado modelos estocásticos para la predicción de la demanda de agua urbana en la ciudad de Valencia. La parsimonia de los modelos y la evaluación su desempeño se ha considerado a la hora de seleccionar los que ofrecieron los mejores resultados. Se ha incluido la temperatura máxima diaria como variable exógena que guía el patrón anual de la demanda, a pesar de que las correlaciones con respecto a la demanda diaria no son suficientemente buenas en determinados periodos del año, como ejemplo, durante toda la duración del periodo vacacional del mes de agosto. La inclusión de la temperatura en la estructura del modelo produce mejorías leves en los estadísticos de los residuos a coste de incluir un parámetro más a estimar para el modelo. En lo que respecta a los errores de predicción, las predicciones se ven afectadas fuertemente y producen peores resultados ante la ocurrencia de eventos puntuales que producen una variación brusca del patrón de demandas registrado a lo largo del año, estas variaciones son producidas principalmente por el calendario de festividades locales y nacionales. A su vez, es de esperar que la ignorancia de este tipo de eventos en el conjunto de datos de calibración, introduzca un sesgo en la estimación de los parámetros y por tanto no sean los mejores estimadores posibles para ser utilizados posteriormente en la predicción. La metodología utilizada para ajustar modelos estocásticos del tipo ARIMA, podría ser mejorada para el caso de Valencia mediante la utilización de modelos diferenciados para distintas épocas del año del tipo verano e invierno. Por otra parte, la consideración del calendario de festividades como un conjunto de variables deterministas, donde sus efectos sean previstos y caracterizados durante la fase de calibración y posteriormente anticipados durante la predicción, tentativamente puede ser una alternativa que entregue mejores estimaciones de parámetros de los modelos y a su vez mejores predicciones. 7 Referencias Bibliográficas 1 Valencia-Ayuntamiento (2006b). Recull estadístic. Technical report, Oficina de Estadística, Plaza del Ayuntamiento 1, 2da planta. 2 Valencia-Ayuntamiento (2006a). Anuario estadístico de la ciudad de valencia. Technical report, Oficina de Estadística, Plaza del Ayuntamiento 1, 2da planta. 3 Maidment, D. R. and E. Parzen (1984a, January). Cascade model of monthly municipal water use. Water Resources Research 20, Maidment, D. R., S.-P. Miaou, and M. M. Crawford (1985, April). Transfer functions models of daily urban water use. Water Resources Research 21,

11 5 Sastri, T. and J. B. Valdes (1989, July). Rainfall intervention analysis for online applications. Journal of Water Resources Planning and Management 115, Protopapas, A. L., S. Katchamart, and A. Platanova (2000, July). Weather effects on daily water use in new york city. Journal of Hydrologic Engineering 5, Gato, S., N. Jayasuriya, and P. Roberts (2007a, July). Forecasting residential water demand: Case study. Journal of water resources planning and management 133, Box, G., G. M. Jenkins, and G. Reinsel (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco, California: Holden-Day. Revisión de la versión de Espinoza, C. (2007) Análisis estadístico de las demandas de agua potable de la ciudad de Valencia, Aplicación a la predicción con análisis de series temporales. Trabajo de investigación para obtener el diploma de estudios avanzados (DEA). Universidad Politécnica de Valencia 10 Akaike, H. (1974, December). A new look at statistical model identification. IEEE transaction of automatic control 19,