ÓPTICA GEOMÉTRICA. s v. es decir, proporcional al producto ns. La cantidad L = ns se conoce como camino óptico.

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1 ÓPTICA GEOMÉTICA.- INTODUCCION La lu es una onda electromagnética descrita por los mismos principios teóricos que gobiernan todas las formas de radiación electromagnética. Esta radiación se propaga en forma de dos ondas vectoriales mutuamente acopladas, una onda para el campo eléctrico E otra onda para el campo magnético B, esta propagación de las ondas de lu viene descrita por las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético. Sin embargo, cuando las dimensiones del sistema físico a través del cual se propaga la lu son mucho maores que la longitud de onda, la naturalea ondulatoria de la lu no juega ningún papel el proceso puede describirse simplemente mediante raos que obedecen un conjunto de reglas geométricas. Este modelo de la lu se denomina óptica de raos u óptica geométrica. La experiencia cotidiana puede, en gran medida, describirse por la óptica geométrica: cuando se interpone un obstáculo opaco entre una fuente de lu puntual un pantalla se obtiene una sombra que corresponde a la proección geométrica del contorno del objeto desde la fuente puntual de lu hasta la pantalla, lo que viene a probar la propagación rectilínea de la lu en medios homogéneos. Las lees de la reflexión refracción de la lu son fácilmente accesibles a partir de la observación directa en un espejo plano (reflexión) o de la visión de objetos en el fondo de una piscina (refracción). 2.- POSTULADOS DE LA OPTICA GEOMETICA La óptica geométrica se ocupa sólamente de cuestiones relacionadas con la propagación de la lu, siendo su objetivo determinar las traectorias de la energía radiante a través de distintos medios o disponer éstos de modo que la propagación se ajuste a determinadas traectorias preestablecidas. La óptica geométrica se basa en los conceptos de rao luminoso, utiliado para caracteriar la lu, de índice de refracción que caracteria los medios materiales por los que la lu se propaga, desarrollándose como una geometría sobre un único postulado físico: el Principio de Fermat. 2. Postulados de la Óptica Geométrica.- La lu se propaga en forma de raos. Los raos son emitidos por fuentes luminosas pueden ser observados cuando alcanan un detector óptico. 2.- Un medio óptico se caracteria por una cantidad n, denominada índice de refracción, que es el cociente de la velocidad de la lu en el vacío, c, entre la velocidad de la lu en el medio, v: n = c v (.) () La definición del índice de refracción indica que, salvo para el vacío, el índice de refracción es siempre maor que la unidad, al cumplirese que c v (para el vacío c = v). La Tabla recoge los índices de algunos compuestos a temperatura ambiente presión atmosférica para la lu de longitud de onda de 589 nm. Teniendo en cuenta la ecuación () es posible obtener el tiempo t que tarda la lu en recorrer una distancia s que es: t = s v = n c s (.2) (2) es decir, proporcional al producto ns. La cantidad L = ns se conoce como camino óptico.

2 OPTICA GEOMETICA 2 Tabla.- Indices de refracción para la lu amarilla λ del = 589 Na nm) ( Sustancia n Sustancia n Sólidos Líquidos a 20 C Hielo.309 Alcohol metílico.329 Fluorita.434 Agua.333 Sal de roca.544 Alcohol etílico.36 Cuaro.544 Tetracloruro Circonio.923 de carbono.460 Diamante 2.47 Trementina.472 Glicerina.473 Vidrios (valores típicos) Benceno.50 Crown.52 Disulfuro Flint ligero.58 de carbono.628 Flint medio.62 Flint denso En un medio inhomogéneo el índice de refracción n(r) es una función de la posición determinada por el vector r = r(x,,). El camino óptico L a lo largo de una traectoria luminosa entre dos puntos A B (Figura ) se obtiene mediante: B L = n (r) ds (.3) (3) A ds B A Figura donde ds es el elemento diferencial de longitud a lo largo del camino. Como en cada punto r se cumplirá la ecuación (), entonces: n (r) = c (.4) (4) v (r) siendo posible escribir: A B L = n(r) ds = A B A B A B c ds = c ds = c dt = ct (.5) (5) v(r) v (r) Es decir, el tiempo t que tarda la lu en recorrer la traectoria desde el punto A hasta el B es proporcional al camino óptico, L: t = L c (.6) (6) 4.- Principio de Fermat: el camino óptico a lo largo de una traectoria real de lu es estacionario, es decir, un extremal. Esto implica que: A B δl = δ n(r) ds = 0 (.7) (7) Un extremal puede ser un mínimo, un máximo o un punto de inflexión. Sin embargo, normalmente suele ser un mínimo, en cuo caso los raos de lu se propagan a lo largo de traectorias de tiempo mínimo.

3 OPTICA GEOMETICA Propagación de la lu en un medio homogéneo En un medio homogéneo el índice de refracción es el mismo en todas partes, por tanto, también es constante la velocidad de la lu. El camino de tiempo mínimo que exige el Principio de Fermat es también el camino de mínima distancia pues ahora L = ns. Esto implica que las traectorias de la lu en los medios homogéneos son rectilíneas (Figura 2). Asimismo es imporante señalar que las traectorias de los raos de lu son reversibles. Fuente luminosa Figura eflexión de la lu en un espejo La maor parte de los objetos resultan visibles a causa de la lu que reflejan hacia nuestros ojos. En el tipo de reflexión más común, denominada reflexión difusa, la lu se refleja en todas direcciones. Ocurre este tipo de reflexión siempre que las dimensiones de las rugosidades del cuerpo reflectante sean grandes comparadas con la longitud de onda de la lu de la onda reflejada. En la otra clase de reflexión, denominada reflexión especular o regular, un estrecho ha de lu se refleja en una dirección única. Este fenómeno tiene lugar en superficies lisas cuas irregularidades son pequeñas comparadas con la longitud de onda de la lu. Éste es el caso de la reflexión en un espejo se cumple que el rao incidente la normal al espejo determinan el plano de incidencia. Si el rao incidente forma un ángulo θ con la normal, el rao reflejado también está contenido en el plano de incidencia, al otro lado de la normal formando con ésta un ángulo θ igual al de incidencia: θ = θ (8) es decir, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión (Figura 3). ao reflejado Plano de incidencia Normal al espejo θ' θ ao incidente Figura 3 Espejo

4 OPTICA GEOMETICA efracción de la lu en una superficie Consideremos una superficie que separa dos medios de índices de refracción n n 2. El rao refractado se transmite al segundo medio. Dicho rao refractado está contenido en el plano de incidencia forma un ángulo θ2 con la normal a la superficie (Figura 4). El ángulo refractado θ2 está relacionado con el ángulo incidente θ mediante la Le de Snell: n senθ = n 2 senθ2 (9) Asimismo el rao reflejado cumple la le de la reflexión. ao reflejado θ Superficie de separación ao refractado Normal a la superficie θ Plano de incidencia ao incidente Medio (n ) Medio 2(n 2) Figura Convenio de signos Para las distancias en el eje a lo largo de cualquier rao se toma como sentido positivo el de la lu incidente, que siempre será de iquierda a derecha mientras no se advierta lo contrario. De este modo, en la Figura 5 las distancias frontales 2 desde el vértice S al objeto a la imagen serán positivas si están a la derecha de S negativas si están a la iquierda, pues para ellas se toma como origen el vértice S. El radio de curvatura es positivo si el centro de curvatura de la superficie está a la derecha de S, pues su origen se toma también en S. Los segmentos normales al eje serán positivos hacia arriba negativos hacia abajo. Los ángulos de incidencia refracción de un rao, ε ε2, serán positivos si al llevar el rao, por giro, a coincidir con la normal por el camino angular más corto, se va en el sentido de las agujas del reloj. Los ángulos con el eje, θ θ2, son positivos si al llevar la recta que los forma a coincidir por giro con el eje se va en el sentido contrario a las agujas del reloj. Según lo anterior, en la reflexión θ θ serán siempre de signo contrario, θ = - θ, lo que equivale a una refracción con índices n n tales que n = - n.

5 OPTICA GEOMETICA 5 O ε ε 2 P θ ω S ω2 C P 2 2 n n 2 O 2 2 Figura ESPEJOS 3. Espejos planos Un espejo es una superficie lisa mu reflectante como es el caso de la superficie pulimentada de un metal o un vidrio con sus caras pulidas de modo que sobre una de éstas se ha depositado una capa de metal. Un espejo plano refleja los raos provenientes de un punto P de manera que los raos reflejados parecen provenir de un punto P 2 detrás del espejo denominado imagen. La línea P P 2 es perpendicular al plano del espejo los puntos P P 2 están a la misma distancia de éste (Figura 6). Espejo plano Figura Espejos parabólicos La superficie de un espejo parabólico es un paraboloide de revolución. Estos espejos tienen la propiedad de que todos los raos que inciden paralelos al eje del espejo focalian en un único punto F denominado foco (Figura 7). La distancia SF = f se denomina distancia focal o simplemente focal. Los espejos parabólicos suelen usarse como elementos colectores de lu en los telescopios o para producir haces paralelos de lu a partir de fuentes puntuales. En este último caso la fuente de lu se sitúa en el foco del espejo, por la reversibilidad de las traectorias de lu, los raos, tras reflejarse en el espejo, emergen paralelos al eje.

6 OPTICA GEOMETICA 6 Espejo parabólico.3.3 Espejos elípticos Figura 7 Un espejo elíptico refleja todos los raos emitidos por uno de sus focos, P, los focalian en el otro foco, P 2 (Figura 8). Las distancias recorridas por la lu de P a P 2 a lo largo de cualquier camino son iguales. Espejo elíptico Figura Espejos esféricos Un espejo esférico es más fácil de fabricar que uno parabólico o uno elíptico. Sin embargo los espejos esféricos no tienen las propiedades de focaliación de los espejos parabólicos o los elípticos, es decir, los raos de lu paralelos incidentes sobre un espejo esférico no focalian en un único punto, como se ve en la Figura 9, sino que los raos paralelos que inciden se reflejan en el espejo cortan al eje (denominado eje óptico) en puntos diferentes; su envolvente (línea punteada) se denomina cáustica en ella se observa siempre una fuerte concentración de lu por tanto de calor, de ahí su nombre. Sin embargo, para raos paralelos mu próximos al eje si que se cumple que los raos reflejados focalian en un único punto F sobre el eje óptico del espejo a la distancia /2 desde su centro C. Según el convenio de signos que se está considerando se mide desde el vértice S del espejo, siendo positivo si el centro de curvatura C está a la derecha del vértice S. En la Figura 9 se tiene que < 0. Espejo esférico cáustica C Figura 9

7 OPTICA GEOMETICA aos paraxiales reflejados por un espejo esférico Los raos que inciden con pequeños ángulos θ reciben el nombre de raos paraxiales. En la aproximación paraxial, donde sólo se consideran raos paraxiales, los espejos esféricos tienen las mismas propiedades de focaliación que los espejos parabólicos las mismas propiedades de formación de imágenes que los espejos elípticos. Las distintas ecuaciones que resultan una ve aplicada la aproximación paraxial constituen la óptica paraxial, también llamada óptica de primer orden u óptica gaussiana. Como los ángulos θ son pequeños es posible realiar las siguientes aproximaciones: sen θ θ tg θ θ (.0) (0) Como se ve en la Figura 0, todos los raos paraxiales provenientes de un punto P sobre el eje de un espejo esférico son reflejados focalian en otro punto P 2 también en el eje. En esta figura, según el convenio de signos que se está considerando, se tiene que θ > 0, θ < 0, θ< 0, θ2< 0 θ0< 0. Además = SP < 0, 2 = SP 2 < 0 = SC < 0. Finalmente > 0. θ θ' θ P C θ 0 P 2 F S f 2 Figura 0 De la Figura 0, teniendo en cuenta el convenio de signos, se tiene que: θ = θ0 - θ () θ2 = θ0 + θ (2) de donde, sumando estas dos ecuaciones queda: θ + θ2 = 2θ0 (3) que: En la aproximación paraxial tgθ0 θ0, tgθ θ tgθ2 θ2, de la Figura 0 se tiene θ 0 (.4) (4)

8 OPTICA GEOMETICA 8 Sustituendo la ecuación (4) en la ecuación (3) reordenando queda: = 2 - θ (.5) (5) Como θ θ2 son ángulos pequeños pueden aproximarse a su tangente, es decir: θ 2 (.6) (6) con lo que la ecuación (5) se escribe: de donde: = + = 2 2 (.7) (7) (.8) (8) Por otra parte, si los raos que provienen del infinito ( = ) focaliarán en un punto F a la distancia 2 = /2. Esto significa que en la aproximación paraxial todos los raos que provienen del infinito (paralelos al eje del espejo) focalian en un punto a una distancia f que es la focal del espejo: f = (.9) (9) 2 Teniendo esto en cuenta es posible escribir finalmente la ecuación (8) en la forma: + = 2 f (.20) (20) que es la relación objeto-imagen para un espejo esférico en la aproximación paraxial. Cuando = /2 = f, la distancia imagen es 2 =, siendo ésta la situación inversa al caso anterior. Ahora los raos que parten del punto F, después de reflejarse en el espejo, se propagan hacia la iquierda paralelamente al eje óptico. Este es un caso particular del principio de reversibilidad óptica que establece que si el sentido del rao se invierte, éste seguirá la traectoria de incidencia. El plano perpendicular al eje óptico que contiene al foco F recibe el nombre de plano focal. Si el punto objeto P de coordenadas (, ) no ésta sobre el eje óptico del espejo (Figura ) después de reflejarsen los raos de lu en el espejo, éstos van a parar a un punto P 2 de coordenadas ( 2, 2 ), entonces 2 satisfacen la ecuación (20), mientras que es fácil comprobar que e 2 verifican la relación: 2 = - 2 (.2) (2) pues de la Figura se tiene que > 0, 2 < 0, < 0 2 < 0. Esto significa que los raos que parten de un punto del plano = van a parar, tras la reflexión en el espejo, a un punto

9 OPTICA GEOMETICA 9 del plano = 2, de manera que el espejo actúa como un sistema formador de imágenes con un aumento lateral: m = - 2 (.22) (22) donde el aumento lateral m se define como el cociente entre el tamaño de la imagen 2 entre el tamaño del objeto, m = 2 /. La imagen formada por un espejo plano es una imagen derecha su aumento es positivo. Sin embargo, un aumento negativo indica que la imagen es invertida respecto al objeto. O P C P 2 2 F S O 2 Figura La imagen de un objeto extenso también puede obtenerse mediante una construcción gráfica como se ha hecho en la Figura 2, en la que se han considerado tres raos: () El rao que incide paralelo al eje pasará, después de la reflexión, por el foco F del espejo; (2) un rao que parta del foco F emergerá, después de reflejarse en el espejo, paralelo al eje;, por último, (3) un rao que pase por el centro del espejo C regresará, después de la reflexión, por el mismo camino, pues en ese caso el ángulo de incidencia, por tanto el de reflexión, es nulo. En la Figura 2 puede verse que la imagen se forma mediante raos que pasan realmente por la posición donde ésta se encuentra, este tipo de imagen se denomina imagen real, siendo posible proectarla en una pantalla. Por el contrario, una imagen virtual se forma traando la prolongación hacia atrás de las traectorias de los raos, como ocurría en el espejo plano de la Figura 6, no se puede observar en una pantalla, pues los raos no pasan por la posición de la imagen. O (2) () P (3) C P 2 2 F S O 2 2 Figura 2

10 OPTICA GEOMETICA0 La Figura 3 muestra que si el objeto P O está a una distancia menor que f, los raos que provienen del objeto divergen después de incidir en el espejo, la imagen P 2 O 2 es virtual. (2) O O 2 2 C F P S P 2 () Figura EFACCION EN SUPEFICIES PLANAS La relación entre los ángulos de refracción θ2 e incidencia θ en una superficie plana que separa dos medios de índices de refracción n n 2 está gobernada por la Le de Snell (ecuación (9)). Esta relación se muestra en la Figura 4 para dos casos: efracción externa (n < n 2 ): θ2 < θ efracción interna (n > n 2 ): θ2 > θ n n 2 n n 2 θ θ c θ (a) Figura 4 (b) En ambos casos, cuando los ángulos son pequeños (raos paraxiales), la relación entre θ θ2 es aproximadamente lineal. De la Ecuación (9), teniendo en cuenta que para ángulos pequeños se cumple senθ θ, queda la Le de Snell en la aproximación paraxial: de donde: n θ n 2 θ2 (23)

11 OPTICA GEOMETICA n n θ (.24) (24) 2 4. eflexión total Para el caso de refracción interna (n > n 2 ) el ángulo de refracción es maor que el ángulo de incidencia (θ2 > θ), de modo que conforme el ángulo de incidencia θ aumenta, el ángulo de refracción θ2 se acerca al valor de 90. Cuando esto sucede, es decir, cuando θ2 = 90, el ángulo de incidencia recibe el nombre de ángulo crítico θc = θ2 se cumple la condición n senθc = n 2, por tanto: n θ c = arc sen 2 n (.25) (25) En el caso de refracción interna, cuando el ángulo de incidencia supera al ángulo crítico (θ > θc) la Le de Snell no puede satisfacerse (Figura 5), no ha refracción de la lu el rao incidente es totalmente reflejado como si la superficie de separación de los dos medios fuera un espejo perfecto. Este fenómeno, que recibe el nombre de reflexión total, es la base de muchos dispositivos ópticos tales como el prisma de reflexión total (Figura 6 (a)), el prisma de porro (Figura 6 (b)) las fibras ópticas (Figura 6 (c)). n 2 90 n θ θc θ θ Figura n n n 2 = n 2 = 45 (a) (b) (c) Figura 6

12 OPTICA GEOMETICA2 4.2 Prismas Un prisma de ángulo de refringencia α e índice de refracción n (Figura 7) deflecta o desvía un rao que incide sobre él formando un ángulo θ con la normal a una de las caras, un ángulo δ que recibe el nombre de ángulo de desviación. 60 n =.5 δ α = 45 α 40 α = 30 θ n δ 20 α = 0 n = θ (a) Figura 7 (b) Por convenio el ángulo de refringencia α se toma positivo si al llevar por giro con eje la arista de la primera cara sobre la segunda se va en sentido antihorario. En cuanto al ángulo δ, éste se toma como positivo si al llevar el rao emergente sobre el incidente se va en el sentido antihorario. En la Figura 7 (a) se tiene que θ >0, α > 0 δ > 0. Aplicando la Le de Snell a las dos caras del prisma es fácil comprobar que se cumple: δ = θ - α + arc sen ( n 2 - sen 2 θ sen α - sen θ cos α ) (.26) (26) Esta ecuación se ha representado en la Figura 7 (b) para tres valores del ángulo de refringencia. Cuando el ángulo α es pequeño (prisma delgado) θ también es pequeño, se obtiene para la desviación la ecuación: δ = (n - )α (27) de donde, para incidencias θ próximas a la normal si el prisma es delgado, la desviación angular δ es independiente del ángulo de incidencia θ proporcional al ángulo de refringencia α (Figura 7 (b)). 4.3 Dispersión cromática Una característica importante de una sustancia es que su índice de refracción n depende del color de la lu, es decir, de la longitud de onda λ, de modo que n = n(λ). Por esta raón, cuando se deducen las fórmulas del prisma siempre se supone que la lu incidente es monocromática. Para la lu visible puede determinarse n(λ) experimentalmente con suficiente aproximación mediante la ecuación:

13 OPTICA GEOMETICA3 n(λ) = A + B λ 2 (.28) (28) que es la fórmula de Cauch en la que A B son constantes características de cada sustancia Si la lu incidente sobre un prisma es blanca, entonces éste da lugar a un ángulo de desviación diferente para cada longitud de onda λ, es decir, δ = δ (λ), como se ve en la Figura 8 (a). Este fenómeno recibe el nombre de dispersión cromática. Para lu blanca, una medida cómoda de la desviación la proporciona el ángulo de desviación de la lu amarilla, puesto que este color equidista aproximadamente del rojo del violeta. El ángulo formado por los raos rojo violeta proporciona una medida sencilla de la dispersión. La Figura 8 (b) muestra la variación del índice de refracción con la longitud de onda para varias sustancias utiliadas frecuentemente en Optica..7 θ n = Desviación de la lu amarilla α n An Am Ve A Vi Indice de refracción, n.6.5 Vidrio flintde silicato Vidrio flint de borato Cuaro Vidrio crown de silicato Cuaro fundido Fluorita Lu blanca Longitud de onda, λ (nm) (a) Figura 8 (b) 5.- EFACCION EN SUPEFICIES ESFEICAS 5. Dioptrio esférico A continuación se va a estudiar la refracción de raos por una superficie esférica de radio que separa dos medios de índices de refracción n n 2 que se conoce como dioptrio esférico. Unicamente se van a considerar la refracción de raos paraxiales, de modo que para los ángulos es posible realiar las aproximaciones senθ θ tgθ θ. Un rao que forma un ángulo θ con el eje óptico incide en un punto de altura, medida sobre dicho eje, se refracta cambia de dirección formando ahora un ángulo θ2 con el eje. De la Figura 9 se tiene θ < 0, θ2 > 0, > 0 < 0. Aplicando la Le de Snell teniendo en cuenta que se están considerando raos paraxiales es fácil comprobar que se cumple: = n 2 - n n + n 2 n θ (.29) (29) 2

14 OPTICA GEOMETICA4 ε P S C P 2 ε 2 θ n n 2 2 Figura 9 Todos los raos paraxiales que provienen de un punto objeto P (, ) del plano = van a parar a un punto P 2 ( 2, 2 ) en el plano = 2 (Figura 20) de modo que es fácil comprobar que se satisface la ecuación: Además se cumple que: n - n = n 2 - n (.30) (30) n 2 = 2 n2 (.3) (3) Se dice que los planos = = 2 son un par de planos conjugados a cada punto objeto del plano = le corresponde un punto imagen en el segundo plano = 2 con un aumento lateral m dado por la ecuación: n m = 2 n (.32) (32) 2 De la Figura 20 se tiene que < 0 2 > 0, luego m < 0. Un aumento negativo implica una imagen invertida. O P θ ω S ω2 C P 2 2 n n 2 O 2 2 Figura 20

15 OPTICA GEOMETICA5 5.2 Lentes Un troo de vidrio puede pulirse o esmerilarse convenientemente hasta presentar una superficie suave, frotándolo con una serie de polvos arenosos de tamaño de grano cada ve menor. Así, la naturalea del proceso de pulido hace más fácil el proceso de fabricación de superficies esféricas. Cuando una lámina de vidrio presenta una superficie esférica por uno o ambos lados, se tiene una lente. Una lente esférica está limitada por dos superficies esféricas de radios 2 cuo espesor es d el índice de refracción de la misma es n (Figura 2). Una lente en aire puede analiarse como una combinación de dos superficies esféricas, la primera que separa el aire el vidrio la segundo el vidrio el aire. n Figura 2 Se va a considerar únicamente el caso de lentes delgadas que son aquéllas para las que el espesor d es despreciable frente a cada uno de sus radios de curvatura. En esta situación un rao que incide a una altura sobre la lente (Figura 22), sale prácticamente a una altura 2 =. Teniendo esto en cuenta aplicando dos veces la ecuación (29), una para cada superficie de la lente (primero al sistema aire-vidrio después al sistema vidrio-aire), se obtiene: = θ + f ' (.33) (33) donde f es la focal imagen de la lente viene dada por la ecuación: = (n - ) f' - 2 (.34) (34) Lente delgada θ P S P 2 2 Figura 22

16 OPTICA GEOMETICA6 O Lente delgada P F S F' P 2 2 f f O 2 2 Figura 23 Además, los raos que parten de un punto P (, ) del plano objeto van a parar a otro punto P 2 ( 2, 2 ) del plano imagen (Figura 23), de modo que: = f' (.35) (35) siendo: 2 = 2 (.36) (36) Esto significa que cada punto del plano = va a parar a un punto del plano = 2 con un aumento lateral para ese par de planos conjugados (uno imagen del otro): m = 2 (.37) (37) En la Figura 23 se tiene que f > 0 la lente se dice que es convergente, mientras que si f < 0, la lente es divergente. Es importante tener en cuenta que las ecuaciones de las lentes anteriores sólo son validas para raos paraxiales que las distancias sobre el eje se toman = OP, 2 = OP 2 f = OF, siendo F el foco imagen de la lente. Tanto el foco objeto como el foco imagen están sobre el eje óptico de la lente, que es la línea que pasa por los centros de curvatura de las dos superficies de la lente. La utiliación de raos no paraxiales da lugar a la aparición de aberraciones, como se ve en la Figura 24, en la que se ha representado la aberración esférica en la que los raos no paraxiales que provienen del infinito e inciden paralelos al eje de la lente no focalian en el foco imagen (paraxial) F. De la ecuación (35) se deduce que todos los raos que parten de un punto F sobre el eje situado a una distancia f = - f, tras atravesar la lente, emergen paralelos al eje. F recibe el nombre de foco objeto, mientras que f = SF es la focal objeto de la lente. Todas las lentes tienen un foco objeto F una focal objeto f = OF. Si la lente de índice de refracción n está rodeada por un único medio, entonces se cumple que f = - f. Los planos perpendiculares al eje óptico que contienen a los focos objeto e imagen de una lente se denominan planos focales objeto e imagen, respectivamente.

17 OPTICA GEOMETICA7 cáustica f Figura 24 Como se ve en la Figura 25, para una lente convergente los raos que parten del foco objeto F, salen paralelos al eje después de atravesar la lente, mientras que los raos que inciden sobre la lente paralelos al eje focalian en el foco imagen F. Sin embargo, en una lente divergente los raos que inciden dirigiéndose hacia F salen de la lente como raos paralelos al eje. F F' F' F Lente convergente Figura 25 Lente divergente En la Figura 26 se han representado varios tipos de lentes, tanto convergentes (menisco convergente, plano convexa biconvexa) como divergentes (menisco divergente, plano cóncava bicóncava). (a) Figura 26 (b) 5.3 Traado gráfico de raos en lentes delgadas La posición el tamaño de la imagen de un objeto formada por una lente delgada pueden encontrarse traando una serie de raos a través de la lente. Este método gráfico consiste en determinar el punto de intersección, después de atravesar la lente, de algunos raos que parten de un punto determinado del objeto.

18 OPTICA GEOMETICA8 En la aproximación paraxial todos los raos procedentes de este punto, que atraviesen la lente, se cortarán en el mismo punto. Al utiliar el método gráfico se supone que la desviación de cualquier rao tiene lugar en un plano que pasa por el centro de la lente. Ha tres raos cuas traectorias se dibujan fácilmente que son un rao paralelo al eje, un rao que pasa por el centro de la lente un rao que pasa por (o se dirige hacia) el foco objeto. Las Figuras representan la traectoria de estos raos para una lente convergente. Un rao paralelo al eje se desvía, después de la refracción por la lente, de modo que pasa por el punto focal imagen F de la lente. Un rao central que pasa por el centro de la lente no sufre desviación (la lente es delgada). Por último, un rao focal que pasa por el punto focal objeto F de la lente emerge paralelo al eje. O Lente convergente P S F F' P 2 2 O 2 Figura 27 O 2 F P 2 O 2 P S F' Lente convergente Figura 28 Para una lente divergente (Figuras 29 30), un rao paralelo al eje que atraviesa la lente, emerge de ésta de modo que su prolongación pasa por el foco imagen de la lente, es decir, el rao emerge como si procediese del punto focal imagen F de la lente. Un rao central que pasa por el centro de la lente no sufre desviación (la lente es delgada). También se puede dibujar un rao focal que se dirige hacia el punto focal objeto F de la lente, de modo que, tras atravesar la lente, emerge paralelo al eje.

19 OPTICA GEOMETICA9 O P F' O 2 P 2 2 S F Lente divergente Figura 29 O F' P P 2 2 O 2 S F Lente divergente Figura Puntos planos principales Un conjunto de superficies que separan medios de distintos índices constitue un sistema óptico. Si estas superficies son de revolución respecto a un mismo eje, se llama sistema de revolución. Tal es el caso de los espejos dioptrios esféricos que se han analiado en los apartados anteriores. Los sistemas más usados en óptica son los sistemas centrados, formados por superficies esféricas con los centros alineados, como es el caso de las lentes. La recta de centros recibe el nombre de eje óptico del sistema. Se considera como espacio objeto de un sistema todo el espacio geométrico donde puede haber objetos, tanto reales como virtuales, espacio imagen el espacio geométrico donde pueden existir imágenes reales o virtuales; por tanto, todo espacio es a la ve espacio objeto espacio imagen. En los sistemas ópticos existen una serie pares de puntos de pares de planos que tienen especial importancia, unos de ellos son los focos los planos focales, que se han obtenido para espejos esféricos, dioptrios lentes delgadas (en ona paraxial). Otro par de puntos planos conjugados de importancia son los puntos principales los planos principales. Un par de planos conjugados cuo aumento lateral m es igual a + se denominan planos principales, a la intersección de estos planos con el eje del sistema se les llama puntos principales H H. Para un dioptrio esférico es fácil comprobar, utiliando las ecuaciones (3) (32), que los planos principales coinciden están situados en el vértice de la superficie. En el caso de una lente delgada también es fácil comprobar que los planos principales también coinciden los puntos principales están situados en el punto S (Figura 22).

20 OPTICA GEOMETICA FOMULACION MATICIAL DE LA OPTICA GEOMETICA En la formulación matricial de la óptica geométrica, en la aproximación paraxial, un rao viene determinado por su altura respecto al eje óptico (altura de incidencia), así como por el ángulo θ con el eje (Figura 3). En la aproximación paraxial la altura de incidencia el ángulo con el eje, en los planos de entrada salida de un sistema óptico, están relacionados mediante dos ecuaciones algebraicas lineales, el sistema óptico puede describirse mediante una matri 2 x 2 denominada matri de transferencia. ao θ Eje óptico Figura 3 La ventaja de la utiliación de la óptica matricial estriba en el hecho de que la matri de transferencia de una sucesión de componentes ópticos (o sistemas) es el producto de las matrices de transferencia de los componentes ópticos (o sistema). Consideremos un sistema óptico de revolución (todas las superficies son de revolución respecto a un mismo eje) formado por una sucesión de superficies refractantes reflectantes, todas ellas centradas sobre el mismo eje (el eje óptico del sistema) que tomaremos como el eje (Figura 32). Si el sistema está limitado por dos planos perpendiculares al aje óptico, determinados por las coordenadas 2 denominados plano de entrada plano de salida, respectivamente, entonces el sistema está completamente caracteriado por su efecto sobre un rao incidente en una posición dirección arbitrarias (,θ). Este sistema modifica la altura sobre el eje la dirección de este rao que en el plano de salida son ( 2,θ2). Plano de entrada Plano de salida SISTEMA OPTICO (M) Figura 32 En la aproximación paraxial, cuando los ángulos son lo suficientemente pequeños para que senθ θ tgθ θ, la relación entre (,θ) ( 2,θ2) es lineal puede escribirse:

21 OPTICA GEOMETICA2 2 = A + Bθ θ2 = C + Dθ (38) donde A, B, C D son números reales. Las ecuaciones anteriores pueden agruparse en la forma: 2 A B = (.42) (39) C D θ La matri M cuas componentes son A, B, C D es la matri de transferencia del sistema: M = A C B D (.43) (40) permite determinar ( 2,θ2) si se conocen (,θ). 6. Propagación en el espacio libre En el espacio libre los raos son líneas rectas de modo que un rao que recorre una distancia d viene determinado por las ecuaciones 2 = -θd, θ2 = θ, de manera que la matri de transferencia, conocida como matri de traslación, toma la forma (Figura 33): M = - d 0 (.44) (4) (en la Figura 33 θ < 0, θ2 < 0 d = S S 2 > 0). Figura efracción en una superficie plana En una superficie plana que separa dos medios de índicesde refracción n n 2, los ángulos de incidencia de refracción están relacionados por la Le de Snell (ecuación 9) n senθ = n 2 senθ2, que en la aproximación paraxial se escribe (ecuación 23) n θ = n 2 θ2. Sin embargo, la altura del rao no cambia ( 2 = ). La matri de transferencia será entonces (Figura 34): M = 0 0 n (.45) (42) n 2

22 OPTICA GEOMETICA22 n n 2 Figura efracción en una superficie esférica La relación entre los ángulos θ θ2 para raos paraxiales refractados en una superficie esférica de radio que separa dos medios de índices de refracción n n 2 viene dada por la ecuación (29), mientras que la altura del rao no cambia ( 2 = ). Entonces la matri de transferencia, llamada matri refracción, se escribe (Figura 35): M = 0 n 2 - n n 2 n 2 n (.46) (43) n n 2 Figura eflexión en un espejo esférico De la ecuación (5) que relaciona los ángulos θ θ2 en la aproximación paraxial para un espejo esférico teniendo en cuenta que la altura del rao no cambia ( 2 = ), se obtiene (Figura 36): M = (.47) (44) Figura 36

23 OPTICA GEOMETICA23 Esta ecuación puede obtenerse de la matri refracción (ecuación (43)) suponiendo que una reflexión es equivalente a una refracción con índices n n 2 tales que n 2 = -n. 6.5 eflexión en un espejo plano En un espejo plano la altura del rao no cambia por tanto 2 =. Adoptando el convenio de signos que se viene utiliando se tendrá que θ2 = - θ, de modo que la matri de transferencia será (Figura 37): M = 0 (.48) (45) 0 - θ Figura Transmisión a través de una lente delgada La relación entre θ θ2 en una lente delgada, para el caso de raos paraxiales, viene dada por la ecuación (33), mientras que la altura del rao no cambia 2 = (Figura 38). Por tanto la matri de transferencia será: M = 0 f' (.49) (46) Figura 38 f 6.7 Matri para una sucesión de componentes ópticos Una sucesión de componentes ópticos cuas matrices de transferencia son M, M 2,, M N es equivalente a un único componente óptico cua matri de transferencia M viene dada por la ecuación (Figura 39): M = M N M 2 M (47) Figura 39