Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas (P1).

Transcripción

1 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas (P1). Angel Mª Sánchez Pérez Laboratorio de Metrología y Metrotecnia LMM-ETSII-UPM

2 Parte 1: Conceptos básicos Parte 1 Diap. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

3 MEDIDA DE UNA MAGNITUD Medir es comparar: Mensurando Referencia de la misma clase (unidad) Clases de medida: Diferencial o por comparación Absoluta o directa Sistema de medición: Mensurando Instrumento o sistema de medida Operador Magnitudes de influencia Parte 1 Diap. 3 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

4 MAGNITUDES DE INFLUENCIA Y CONDICIONES DE REFERENCIA Magnitud de influencia: magnitud que no es el mensurando pero que tiene un efecto sobre el resultado de la medición. (VIM.7) Densidad de un cuerpo empuje Resistencia eléctrica de un conductor T λ láser en el aire P, T, H del aire Aceleración de un oscilador frecuencia Considerar las que resultan significativas en el orden de precisión con el que se mide el mensurando. Parte 1 Diap. 4 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

5 Ejemplos: Longitud varilla acero 1 m en (0 ± 5) C: el mensurando experimenta variaciones en ± 0,05 mm. Apreciación en resultado (1 mm) el efecto de la temperatura es despreciable. Apreciación en resultado (0,01 mm) se debe tener en cuenta la temperatura. Masa acero de 1 kg se mide por comparación con otra patrón de 1kg en el aire. Diferentes densidades suponen empujes distintos. Apreciación en resultado (1 g) Difer. de densidades 10%, difer. de empujes despreciable. Apreciación en resultado (1 mg) Difer. de densidades 10%, no pueden ignorarse empujes. Parte 1 Diap. 5 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

6 Para que el resultado de una medición sea representativo, es necesario establecer: Condiciones de referencia, lo que supone Especificar valores de magnitudes influencia. Trabajar con instrumentos adecuados. Mensurando suficientemente bien definido. Utilizar un modo operativo apropiado. Parte 1 Diap. 6 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

7 Ejemplos: No tendría sentido la medida: Si no se especificasen los valores de las magnitudes de influencia significativas. Por ejemplo, Se conviene que el valor resultante de la medida de un bloque patrón longitudinal debe referirse a 0 ºC pues aquél valor no sería metrológicamente aceptable si no se indicase una temperatura de referencia. Si no se pudiese asegurar que la medida es trazable, lo que obliga a utilizar instrumentos calibrados. Por ejemplo, si el valor de una resistencia eléctrica se expresa en kω, debe poder asegurarse que el múltiplo empleado es lo suficientemente próximo a mil veces el ohmio que define el SI. Parte 1 Diap. 7 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

8 Ejemplos: Si se pretendiese medir el mensurando más allá de su grado o nivel de definición, es decir, con una apreciación tal que la magnitud a medir no resulte uniforme. Por ejemplo, la medida de la temperatura de un recinto puede estar bien definida en el orden del kelvin pero no en el de las centésimas de kelvin, por lo que hay que convenir a qué se denomina temperatura de un mensurando en cada caso. Si no se prescribieran los modos y procedimientos que el operador debe tener presentes al manipular el mensurando y el instrumento para obtener las medidas. Por ejemplo, si el operador efectúa la calibración de un instrumento, debe existir un procedimiento de calibración que, entre otras cosas, defina adecuadamente los puntos de calibración, los patrones a emplear y el número de reiteraciones de las medidas en cada punto de calibración. Parte 1 Diap. 8 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

9 NATURALEZA ALEATORIA DE LAS MEDIDAS: DISPERSIÓN Magnitudes de influencia bajo control Sus valores están dentro de un intervalo alrededor del de referencia, por ejemplo la temperatura en (0±) C, pero dichos valores no son constantes ni en el espacio ni en el tiempo, por lo que se produce dispersión de las medidas si la división de escala (E) es suficientemente pequeña, al afectar la variabilidad de las magnitudes de influencia al sistema instrumento-mensurando-operador. Parte 1 Diap. 9 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

10 Otras causas de variabilidad (aunque las magnitudes de influencia fuesen perfectamente estables). Instrumento Mensurando Operador Medida naturaleza aleatoria Origen estadístico explicada variabilidad no Parte 1 Diap. 10 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

11 La división de escala del instrumento (E) puede enmascarar la variabilidad. Ej.: E=0,001 mm E=0,01mm 78,854 78,85 78,85 78,85 78,853 78,85 El resultado de medida es una variable aleatoria que se caracteriza por: Parámetro de centrado Parámetro de dispersión Parte 1 Diap. 11 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

12 CORRECCIÓN DE LAS MEDIDAS Magnitudes de influencia fuera de control exigen aplicar correcciones a los valores indicados o brutos. Correcciones Incrementan complejidad, no siempre se conoce la relación funcional entre el resultado y las magnitudes de influencia. Ej.: caso de la barra λ 0 = λ θ [1 + α (0 - θ )] Conocer α Medir y decidir θ de la barra Parte 1 Diap. 1 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

13 Corregir supone efectuar o utilizar medidas adicionales Parte 1 Diap. 13 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

14 Ej.: Longitud de la barra Suponiendo que la longitud obtenida a θ C no incorpora la corrección de calibración, el resultado final es λ 0 = λ 0 + C c = λ θ [1 + α (0 - θ)]+ C c Se obtiene una relación funcional λ 0 = f (λ θ, α, θ, C c ) que responde a las hipótesis en el modelo adoptado, pero... Parte 1 Diap. 14 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

15 RESULTADO DE CUALQUIER MEDICIÓN Se relaciona funcionalmente con los resultados de otras medidas y = f ( x, x,..., x 1 N ) La función f puede no ser expresable analíticamente o no conocerse completamente. Parte 1 Diap. 15 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

16 CASO MÁS SIMPLE Medidas directas Instrumento con corrección global de calibración C c Trabajando con unas condiciones de referencia análogas a las de calibración y = x + c c y es el resultado de la medida x es el resultado bruto de la medida c c es un estimador de C c Parte 1 Diap. 16 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

17 SIGNIFICADO FÍSICO DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDA No es posible obtener valores exactos como resultado de las medidas Toda medida debe ser corregida al menos con la CORRECCIÓN DE CALIBRACIÓN Parte 1 Diap. 17 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

18 BUCLE DE MEDIDA MEDIDA (imperfecta) CORRECCIONES MEDIDAS La expresión de un resultado concreto exige romper este bucle, por lo que siempre queda sin corregir alguna corrección. Parte 1 Diap. 18 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

19 CORRECCIONES APLICADAS CORRECCIONES CORRECCIÓN RESIDUAL INCERTIDUMBRE La incertidumbre de la medida es una cota superior del valor de la corrección residual. Parte 1 Diap. 19 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

20 VALOR VERDADERO DE LA MAGNITUD MEDIDA Valor hacia el que converge el resultado de una medida Es el que mejor caracteriza un mensurando No tiene existencia física real (indeterminación natural) Su determinación requeriría MENSURANDO PERFECTO SISTEMA de MEDIDA PEFECTO o introducción de TODAS las CORRECCIONES Parte 1 Diap. 0 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

21 VALOR CONVENCIONALMENTE VERDADERO O VALOR RESULTANTE DE LA MEDIDA Es el valor que se obtiene cuando se decide interrumpir la aplicación de sucesivas correcciones Es el mejor valor que puede obtenerse con los medios disponibles Parte 1 Diap. 1 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

22 INCERTIDUMBRE DE MEDIDA La incertidumbre de medida, U, es el valor de la semiamplitud de un intervalo alrededor del valor resultante de la medida (valor convencionalmente verdadero), y. Dicho intervalo representa una estimación adecuada de una zona de valores entre los cuales es casi seguro que se encuentre el valor verdadero del mensurando. Resultado de la medida: y ± U Parte 1 Diap. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

23 La incertidumbre de medida es un parámetro, asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que razonablemente podrían ser atribuidos al mensurando. (VIM 3.9) Qué parámetro? DEFINICIÓN VIM Los planteamientos anteriores son congruentes con la definición de incertidumbre del VIM. Cómo se cuantifica? Cómo se propaga? Parte 1 Diap. 3 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

24 INCERTIDUMBRE Y CALIDAD DE LAS MEDIDAS La incertidumbre cualifica las medidas: (17,015 ± 0,015) mm (17,015 ± 0,05) mm (17,015 ± 0,040) mm Medidas de mayor calidad Cuál es la calidad necesaria? Parte 1 Diap. 4 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

25 INCERTIDUMBRE Y CALIDAD DE LAS MEDIDAS El valor de la incertidumbre es el primer índice de la calidad de una medida, que es tanto mayor cuanto menor es aquella. METROLOGÍA INDUSTRIAL Las medidas no son un fin sino un medio para conseguir otros fines. La aceptación de las medidas se decide a partir de la tolerancia previamente establecida. Parte 1 Diap. 5 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

26 POR QUÉ HAY QUE CONOCER LA INCERTIDUMBRE DE LAS MEDIDAS? Porque lo impone UNE-EN ISO/IEC ! Porque se mide para verificar que se cumplen especificaciones que suelen concretarse en el establecimiento de zonas de valores admisibles acotados por valores límite (tolerancias), y los valores obtenidos en las medidas no son exactos. Parte 1 Diap. 6 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

27 TOLERANCIA FABRICACIÓN ARTESANAL División del trabajo FABRICACIÓN INDUSTRIAL Intercambiabilidad Normalización Tolerancia de una magnitud es el intervalo de valores en el que debe encontrarse dicha magnitud para que se acepte como válida. Parte 1 Diap. 7 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

28 TOLERANCIA e INCERTIDUMBRE Para verificar si una magnitud está dentro de tolerancia hay que medir, siendo preciso considerar la incertidumbre. T U U U U U U U U y y y y Situaciones claras Situación dudosa Parte 1 Diap. 8 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

29 TOLERANCIA e INCERTIDUMBRE T (tolerancia de especificación) MALAS MALAS U U DUDOSAS BUENAS U U DUDOSAS (tolerancia de verificación) Parte 1 Diap. 9 T-U Para proceder así el intervalo de incertidumbre debe ser varias veces menor que la tolerancia : T 3 10 U Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM y

30 La incertidumbre estimada para el valor resultante de la medida debe satisfacer la relación anterior u otra equivalente, lo que constituye el criterio de calidad exigible a las medidas industriales. No es ajeno a los laboratorios de calibración pues, en ocasiones pueden tener que comprobar especificaciones de patrones e instrumentos de medida, es decir, comprobar si determinadas medidas se encuentran dentro o fuera de tolerancia. Parte 1 Diap. 30 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

31 ESPECIFICACIÓN POR TOLERANCIAS Se utiliza en: Diseño de productos Variables de procesos Condiciones ambientales Recepción de materiales Ensayos... Decidir si un valor está o no en tolerancia Medir con la calidad necesaria Parte 1 Diap. 31 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

32 RECOMENDACIONES DEL CIPM Primera 1981 Segunda 1986 Componentes de incertidumbre en dos categorías TIPO A Se estiman con procedimientos estadísticos sobre los valores obtenidos al reiterar medidas de un mensurando TIPO B Se aprecian por otros métodos Parte 1 Diap. 3 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

33 Ambos tipos de componentes deben cuantificarse mediante: varianzas o cantidades equivalentes, debiendo caracterizarse las situaciones de dependencia - en su caso - por las correspondientes covarianzas. La incertidumbre así determinada, puede multiplicarse por un factor superior a la unidad, al objeto de obtener una incer-tidumbre total mayor, pero a condición de indicar siempre el valor de dicho factor. Parte 1 Diap. 33 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

34 Propuesta inicial CIPM Desechar que todas las distribuciones de resultados de medida responden a ley normal. Trabajar con desviaciones típicas o varianzas. No identificar la incertidumbre con un intervalo de confianza sino con la desviación típica resultante (u). U = ku k = factor de incertidumbre, posteriormente, factor de COBERTURA, RECUBRIMIENTO O INCLUSIÓN (habitualmente entre y 3). Parte 1 Diap. 34 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

35 Situación actual El intervalo de semiamplitud U incluye una gran proporción p de la distribución de valores que razonablemente podrían ser atribuidos al mensurando, siendo p la probabilidad de cobertura o nivel de confianza. Precisamente, la relación aconsejada para los límites de la relación T/U hay que entenderla planteada sobre una incertidumbre expandida en el sentido de EA, es decir, con nivel de confianza del 95%. Parte 1 Diap. 35 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

36 EA-4/0 Resume conceptos fundamentales de la Guía ISO (GUM). Establece que los laboratorios de calibración acreditados (ENAC en España) deben emitir sus certificados con Intervalo de incertidumbre expandida con probabilidad de cobertura o nivel de confianza del 95% (aproximadamente k = para distribuciones normales). Parte 1 Diap. 36 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

37 ESTIMACIONES Y ESTIMADORES: RESULTADO DE LA MEDIDA Condiciones de repetibilidad, supone efectuar las medidas: con el mismo método de medida, por el mismo observador, con el mismo instrumento, en el mismo lugar, con las mismas condiciones de utilización, y con pequeños intervalos de tiempo entre las medidas sucesivas. Las indicaciones no son exactamente las mismas, incluso después de corregidas. Parte 1 Diap. 37 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

38 Conjunto de las medidas corregidas, es una muestra poblacional de una distribución estadística cuya función de densidad f(x) es en general desconocida Si se introducen todas las correcciones significativas, los valores de la muestra se situarán en las proximidades del valor verdadero del mensurando: Media o esperanza matemática (μ) de X (parámetro de centrado) Desviación típica (σ) de X (parámetro de dispersión) Parte 1 Diap. 38 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

39 Frecuencias f(x) Indicaciones σ σ X μ Parte 1 Diap. 39 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

40 Media o esperanza matemática f(x) < X > μ = Xf ( X ) dx + Varianza V ( X ) σ = ( X μ) f ( X ) dx + σ σ X μ Parte 1 Diap. 40 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

41 Al desconocerse f(x) no resulta posible determinarlos por este camino. La estadística nos proporciona unos valores aproximados (estimadores) de dichos parámetros que pueden obtenerse a partir de cualquier muestra concreta de extensión (n) suficiente. Parte 1 Diap. 41 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

42 ESTIMADORES Frecuencias Estimadores más usados en metrología: Media aritmética ˆμ m = x = 1 n n i= 1 x i s m s Indicaciones Varianza muestral σˆ V = s 1 = n 1 n i= 1 ( x i x) Parte 1 Diap. 4 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

43 Puede expresarse el resultado de la medida mediante m ± s? La media aritmética, m, es el mejor valor corregido y por ello, en todas las áreas de la metrología, se acepta que el valor resultante de las medidas (valor convencionalmente verdadero) es la media aritmética de las indicaciones corregidas. La cuantificación de la incertidumbre del resultado mediante el parámetro de dispersión indicado (la desviación típica muestral s), es inapropiada por diferentes razones. Parte 1 Diap. 43 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

44 Por qué s no es la incertidumbre? s es un estimador de la dispersión de la población de medidas El resultado no es una de esas medidas (es la media aritmética) El estimador media aritmética es otra variable estadística ( X ), distinta de la que representa la población considerada ( X ) pero relacionada con ella. Es sencillo deducir que la media de ( X ) coincide con la de X y que entre las varianzas de ambas variables existe la siguiente relación: σ X X σ = n Parte 1 Diap. 44 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

45 Si se trabaja con los estimadores se utiliza: s X = s n Se le llama normalmente componente de repetibilidad. Debe componerse con las restantes para obtener la incertidumbre típica resultante. Parte 1 Diap. 45 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

46 TRAZABILIDAD Trazabilidad de un conjunto de medidas es la característica que garantiza que todas ellas poseen una referencia común, por ejemplo, la realización de la unidad del SI en la que se expresa el resultado de cada medida. El Vocabulario Internacional de Metrología (VIM) recoge la siguiente definición: Trazabilidad es la propiedad del resultado de una medida o de un patrón que le permite relacionarlo con referencias determinadas, generalmente patrones nacionales o internacionales, a través de una cadena ininterrumpida de comparaciones todas ellas con incertidumbres determinadas (VIM 6.10) En la definición anterior interviene la incertidumbre. Las comparaciones de la cadena de trazabilidad constituyen calibraciones. Parte 1 Diap. 46 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

47 Es conveniente que los intervalos de incertidumbre indicados se correspondan con valores de incertidumbre expandida que confieran una seguridad similar a la caracterización de los correspondientes mensurandos La mejor forma de asegurar la trazabilidad de un sistema de medida: Medir con él un patron con trazabilidad (calibración) Corregir si se trabaja lejos de las condiciones de referencia Parte 1 Diap. 47 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

48 CALIBRACIÓN Calibración es el conjunto de operaciones que establecen, en unas condiciones determinadas, la relación que existe entre los valores de una magnitud indicados por un instrumento o sistema de medida, o los valores representados por una medida materializada o por un material de referencia, y los correspondientes valores de la magnitud realizados por patrones. (VIM 6.11) Parte 1 Diap. 48 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

49 Finalidad de la calibración Poner de manifiesto las discrepancias existentes entre el instrumento o patrón que se calibra (calibrando) y un elemento de referencia con características metrológicas suficientemente estables y conocidas. La información resultante de la calibración debe combinarse con otras para estimar la incertidumbre asignada a las medidas realizadas con el elemento calibrado. Parte 1 Diap. 49 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

50 ESQUEMA DE LA CALIBRACIÓN Patrón o instrumento de calibración Patrón o instrumento a calibrar Procedim. de calibración Resultado de la calibración El resultado es el valor de una magnitud y su incertidumbre. Parte 1 Diap. 50 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

51 CERTIFICADO DE CALIBRACIÓN El resultado de una calibración se recoge en un documento que suele denominarse certificado de calibración. El certificado puede ser: De un patrón: Valor e incertidumbre resultante. De un instrumento: Corrección y su incertidumbre en los puntos de calibración. Cualquier corrección considerada, incluso si su valor fuese nulo, introduce una componente de incerti-- dumbre ya que se trataría de un cero inexacto. A veces, incertidumbre del instrumento o incertidumbre de uso pero no es recomendable y debería definirse. También puede incluirse conformidad o no a una especificación metrológica. Parte 1 Diap. 51 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

52 CADENAS DE TRAZABILIDAD Elemento Proc. Calibr. Resultado Elemento Proc. Calibr. Resultado Elemento Proc. Calibr. Resultado Parte 1 Diap. 5 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

53 OBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓN La calibración: Establece la trazabilidad de los elementos de medida. Permite asignar incertidumbre final a los resultados de medida. A medida que se desciende por las cadenas de trazabilidad, alejándose del patrón primario, la incertidumbre de las correspondientes medidas va aumentando. Si los sucesivos intervalos de incertidumbre recubren los anteriores, todas las medidas resultan equivalentes. Parte 1 Diap. 53 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

54 OBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓN El calibrando ha de trabajar durante la calibración en la misma forma en que lo hace habitualmente. La incertidumbre de una medida depende del instrumento de medida, por lo que con dos instrumentos diferentes pueden asignarse diferentes incertidumbres a un mismo mensurando. La incertidumbre de una medida también depende del mensurando, por lo que al medir dos mensurandos diferentes con un mismo instrumento puede obtenerse igual valor para ambos pero distinta incertidumbre. La incertidumbre se predica de la medida de una magnitud por lo que no debería emplearse la expresión incertidumbre del instrumento o, si se utiliza no recomendable-, explicar lo que significa. Parte 1 Diap. 54 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

55 OBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓN Es importante limitar la longitud de las cadenas de trazabilidad y arrancar en su origen con la menor incertidumbre posible. Se realizan comparaciones que refuerzan horizontalmente la trazabilidad diseminada verticalmente mediante calibraciones. Las comparaciones son obligatorias para los laboratorios de calibración acreditados. Parte 1 Diap. 55 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

56 MAGNITUDES DE ENTRADA Y SALIDA: FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Clases de medidas Directas Indirectas Directas Instrumento medida Indirectas magnitudes de entrada relación funcional magnitud de salida Parte 1 Diap. 56 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

57 Ejemplos de MEDIDAS DIRECTAS Velocidad con un velocímetro. Superficie de un rectángulo con una cámara y un sistema de digitalización que de el resultado en unidades de superficie. Resistencia eléctrica con un polímetro. Parte 1 Diap. 57 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

58 Ejemplos de MEDIDAS INDIRECTAS Velocidad media midiendo distancia y tiempo V = Superficie midiendo longitud de los lados L t A = L 1 L Resistencia midiendo V e I R = V I Parte 1 Diap. 58 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

59 Función de transferencia o función modelo Cualquier medida puede expresarse mediante una relación funcional si se explicitan las correcciones aplicadas, pues siempre ha de existir al menos la corrección de calibración Y : mensurando a determinar X 1, X,..., Y = (magnitud o variable de salida) X n : f ( X, X,..., X 1 n mensurandos que permiten obtenerlo (magnitudes o variables de entrada) f : función de transferencia o función modelo. ) Parte 1 Diap. 59 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

60 MEDIDAS DIRECTAS Y X 1 Lecturas Y = f L ( X, X 1,..., X n ) 1 Magnitudes de influencia consideradas en el modelo de correcciones (corr. calibración y otras). L ˆ y = x + c + c x + x + E C x 1 Corr. calibrac. 3 x 1 Corr. redondeo Lectura Parte 1 Diap. 60 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

61 MEDIDAS INDIRECTAS Y Φ( X 1, X,..., X m ) Magnitudes que intervienen en Φ (ley física o geométrica). Y = f ( X 1, X,..., X m, X m+ 1,..., X n ) Magnitudes de influencia consideradas en el modelo de correcciones (corr. calibración y otras). Parte 1 Diap. 61 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

62 MEDIDAS INDIRECTAS I A V V R Lectura voltímetro Corr. redondeo volt. Corr. calibrac. volt. R = V I Rˆ y = Vˆ + c Iˆ + c EV EI + c + c CV CI = x x x x x x Corr. calibrac. amp. Corr. redondeo amp. 5 6 Lectura amperímetro Parte 1 Diap. 6 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

63 Función de transferencia o función modelo Caracteriza el procedimiento de medida y la forma de evaluar el resultado, es decir, el modelo de medición decidido. Representa el sistema: Mensurando Instrumento Operador-entorno Parte 1 Diap. 63 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

64 Ejemplo: Modelo unidimensional de dilatación para correcciones térmicas l 0 = l θ [1+α (0-θ)] Admisible para cuerpos esbeltos como barras y varillas. Inadecuado para la distancia entre los ejes de dos taladros del bloque de un motor. En general, la función modelo, f Suele responder a una expresión analítica. Puede no ser explícita. Puede no ser expresable analíticamente (algoritmo). Parte 1 Diap. 64 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

65 Algunas variables de la función modelo se estiman con valores de entrada que no influyen sobre el valor de salida o valor resultante (y). Por ejemplo, una corrección de valor nulo en una función modelo aditiva. Sin embargo, la incertidumbre de aquellas varia-bles siempre son positivas y pueden ser significativas por lo que deben mantenerse dichas variables en la función modelo. La función modelo se emplea para determinar el resultado (valor e incertidumbre). Parte 1 Diap. 65 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

66 A veces hay más de una variable de salida y por tanto varias funciones de transferencia (se suelen englobar en la matriz de transferencia). En cualquier caso: Objetivo que se persigue con un sistema de medida: determinar razonablemente la función f, para obtener el valor que mejor caracteriza al mensurando y la incertidumbre de dicho valor. Para ello es necesario disponer de informaciones similares para cada una de las magnitudes de entrada, ya sea midiéndolas, utilizando los resultados de las medidas de otros o estimándolas adecuadamente. Parte 1 Diap. 66 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

67 Resumen de la Parte 1 Medida de una magnitud Magnitudes de influencia Correcciones Incertidumbre de medida Tolerancia Recomendaciones CIPM Resultado de la medida Trazabilidad y calibración Funciones modelo Medidas directas Medidas indirectas Aclaraciones Parte 1 Diap. 67 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

68 Fin de la parte 1 (sesión 1) Parte 1 Diap. 68 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

69 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas (P). Angel Mª Sánchez Pérez Laboratorio de Metrología y Metrotecnia LMM-ETSII-UPM

70 Parte : Incertidumbre típica Parte Diap. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

71 El valor resultante de una medida (y) siempre depende de los valores de otras magnitudes (x 1, x,, x N ) lo que se escribe mediante la relación funcional: y = MODELO DE MEDIDA f ( x, x,... x 1 N que es la función modelo o función de transferencia. Si se mide la longitud de una pieza, su valor depende de la indicación del instrumento, de la corrección a introducir si la pieza no estuviese 0 C, de las correcciones a aplicar al instrumento, etc. Cuando se determina la densidad de un cuerpo a partir de medidas previas de su masa y de su volumen, hay que considerar, al menos, dos variables. ) Parte Diap. 3 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

72 Como los valores (x 1, x,..., x N ) no pueden determinarse exactamente, el valor resultante de la medida (y) tampoco es exacto y entran en juego las incertidumbres. Las incertidumbres de las variables de entrada (x 1, x,..., x N ) y la función modelo permiten determinar la incertidumbre del valor resultante (y) según veremos. Parte Diap. 4 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

73 CUANTIFICACIÓN de la INCERTIDUMBRE TÍPICA de las VARIABLES de ENTRADA Incertidumbre típica: Se denomina incertidumbre típica de una cierta variable a la desviación típica asociada a la misma, es decir, la incertidumbre típica es la incertidumbre correspondiente a una desviación típica. Parte Diap. 5 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

74 La evaluación de la incertidumbre típica de las magnitudes de entrada se efectúa mediante Evaluación tipo A Evaluación tipo B Parte Diap. 6 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

75 Evaluación tipo A Conjunto de n medidas independientes del mensurando (X i ) obtenidas en condiciones de repetibilidad. La varianza se estima mediante la varianza muestral de la media: s ( x i ) = donde el valor estimado para X i es s ( x n i ) x = = 1 n ( n 1) 1 n i x ij n j= 1 que es un estimador insesgado de la media de X i, pudiéndose emplear también la letra minúscula, x i, para designar el valor de dicho estimador. n j= 1 ( x ij x i ) Parte Diap. 7 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

76 Cuando la desviación típica se determina de la forma indicada, el número de grados de libertad, υ = n 1 (en general υ = n r) es una información importante para estimar la fiabilidad de la evaluación de dicha desviación típica y debe tenerse en cuenta que siempre debería ser n 10 No se recomienda usar las expresiones anteriores si n < 5. Parte Diap. 8 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

77 Evaluación tipo B La evaluación tipo B de la incertidumbre típica asociada a una estimación (x i ) de una variable de entrada (X i ) no se realiza mediante análisis estadístico de medidas de repetibilidad obtenidas en el proceso de la propia medición. Parte Diap. 9 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

78 En las evaluaciones tipo B las informaciones pueden proceder de muy diversas fuentes: Datos de certificados de calibración Valores adoptados de manuales técnicos o tablas de reconocida solvencia Datos de medidas previas Especificaciones fiables de fabricantes Conocimiento y experiencia con los mensurandos y los sistemas de medida implicados Valores recomendados asociados a la utilización de buenas prácticas de laboratorio Hipótesis sobre la clase de función de densidad de la variable X i Parte Diap. 10 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

79 Ejemplos de evaluación tipo B Si el mensurando X i está bien definido, se encuentra en condiciones de control estadístico, conociéndose una buena estimación de su varianza poblacional s p, la varianza de la medida, x i, es: u ( x ) = s ( x ) = i sp n donde n es cualquier valor, incluso la unidad. i Parte Diap. 11 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

80 Ejemplo concreto del anterior: Contribución de repetibilidad en la medida de BPL (L 0,1 m), con banco de E 0,01 μm. Antes de calibrar se comprueba repetibilidad de los palpadores con un solo BPL y diez contactos tras uno de ajuste. Los diez valores se comparan con un histórico y se aceptan o rechazan según un criterio. Se estima s p con todos los datos (n>500). Parte Diap. 1 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

81 Ejemplo de evaluación tipo B Cuando se conoce un único valor de la variable de entrada, por ejemplo si: sólo se mide un vez (medida destructiva) el resultado se toma de documentación técnica (coef. dilatación) el resultado es facilitado por terceras personas (certificado de calibración) Valor del mensurando, el valor único. Incertidumbre típica, la facilitada por la fuente (documentación o certificado) o, en su defecto, calculada en base a la experiencia. Parte Diap. 13 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

82 Ejemplos de evaluación tipo B Un (BPL) de calidad 00 lleva grabado el valor del coeficiente de dilatación lineal α = 11, K -1 pero no indica su incertidumbre que resulta necesaria. El evaluador considera que la información es suficientemente fiable para adoptar como incertidumbre típica la mitad del valor de la última cifra significativa grabada, es decir u(α)=0, K -1. Parte Diap. 14 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

83 Determinación tipo B cuando se supone una distribución de probabilidad para la variable de entrada Si el mensurando responde a una distribución de probabilidad, la estimación del mismo es la media de dicha distribución y su desviación típica es la incertidumbre típica asociada. Distribuciones: Normal Triangular Uniforme Algún tipo de beta. Parte Diap. 15 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

84 Determinación tipo B cuando sólo se pueden estimar límites, inferior y superior para los valores de la variable de entrada Si sólo se conocen los límites Superior a + Inferior a Por ejemplo, tolerancia de una magnitud de influencia Redondeo de las indicaciones de un instrumento digital, etc. puede asumirse una distribución uniforme o rectangular 1 1 x i = ( a+ + a ) u ( xi ) = ( a+ a ) 1 Parte Diap. 16 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

85 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM Parte Diap. 17 a + a a + a f(x) x 3 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( = = = + = = = = > < + a a x a a dx x f x x V a a a a a a xdx a a dx x xf x a a μ μ σ μ Detalle del cálculo para distribución uniforme Detalle del cálculo para distribución uniforme

86 Si se trata de un intervalo de tolerancia de amplitud ΔT centrado sobre el valor T 0, es decir T 0 ±ΔT, el resultado es x i = T o 1 ( T 3 u xi ) = Δ ( ) La contribución del redondeo de las lecturas a E o a E/, se trata de esta forma (ΔT=E/ o ΔT=E/4) Ejemplo: Voltímetro digital con E = 0,1 V Cualquier indicación corresponde a un intervalo ± 0,05 V, por lo que la incertidumbre típica por redondeo resulta igual a 0,05 3 V Si E es grande (poca resolución del instrumento) s 0, y tiene importancia la contribución de redondeo Parte Diap. 18 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

87 Incertidumbre de la temperatura de una cámara No se puede medir. Está entre 0 C y 1 C. El sistema de control determina que sea más probable encontrar la temperatura cerca de los límites que en la zona central. Se adopta una variación senoidal de la temperatura sobre el centro del intervalo de temperatura, función del tiempo: Θ temperatura de la cámara. Θ o temperatura correspondiente al centro del intervalo (0,5 º C). θ A amplitud del intervalo (0,5 ºC). Parte Diap. 19 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

88 Incertidumbre de la temperatura de una cámara Θ ( ω ϕ) = Θ +θ sen t + o A Haciendo θ = Θ - Θ o se tiene: ( ω ϕ ) θ = θ sen A t + La función de densidad de θ puede obtenerse determinando la probabilidad de que la temperatura se sitúe en el entorno de un cierto punto a partir de su ley de variación temporal: f ( θ ) dθ = dt T = ωdt π = ω dθ = πθ& πθ A dθ cos ( ωt + ϕ ) Parte Diap. 0 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

89 Incertidumbre de la temperatura de una cámara La función de densidad resultante es: f ( θ ) = π θ 1 A θ f(θ) ˆ=0 θ con media: Θ = Θ o y desviación típica: Por consiguiente σ = Valor estimado: 0,5 C Incertidumbre: 0,5 C θ A θ Parte Diap. 1 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

90 INCERTIDUMBRE TÍPICA RESULTANTE: LEY de PROPAGACIÓN Se conocen los estimadores de las variables de entrada y sus incertidumbres típicas y se trata de obtener el valor y la incertidumbre de la variable de salida (resultado), conociendo la función modelo: Y = f ( X ) 1, X,..., X N Utilizando minúsculas para los estimadores, y admitiendo la linealización de la función en el entorno del punto de trabajo, se obtiene: Y f y promediando: ˆμ =< X ˆ >= i i N ( x ) 1, x,..., xn +.( X i xi ) i= 1 x i f X i x i (1) Parte Diap. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

91 A partir de (1), se obtiene el valor resultante de la medida: ˆ μ = < Y > = y = f ( x1, Λ, xi Λ, x y recordando las definiciones de varianza y covarianza se obtiene la ley de propagación de varianzas-covarianzas que permite estimar la varianza de Y, en la forma N ( X X ) V( X ) cov( X, X ) = X X = = cov( X, Y) = cov( Y, X) = XY X Y ) u y = u ( y ) = Vˆ ( Y ) N N i = 1 j = 1 f X i donde u(x i, x j ) estima la covarianza entre los valores resultantes de las variables de entrada X i y X j x i. f X j x j. u ( x i, x j ) () Parte Diap. 3 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

92 Notas: La media es un operador lineal pues, siendo a una constante: X + Y = X ax = a X + Y La varianza no es un operador lineal pues V ( X + Y ) = ( X + Y ) = V( X ) + V( Y ) V(aX ) = a X X + Y X + Y + cov( X, Y ) ax ax = a V( X ) Parte Diap. 4 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

93 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM Parte Diap. 5 Si todas las variables de entrada son incorreladas, la expresión () se reduce a la ley de propagación de varianzas: siendo c i los coeficientes de sensibilidad: Designando la ley de propagación de varianzas resulta: = = = = N i i i N i i x i x u c x u X f y u i 1 1 ) ( ) ( ) ( X i x i i i X f c = = ) ( ) ( i i i x c u y u = = = N i u i y y u 1 ) ( ) ( LEY de PROPAGACIÓN de VARIANZAS LEY de PROPAGACIÓN de VARIANZAS

94 La hipótesis de linealidad es admisible en la mayor parte de los casos. Si la estimación u(y) es anormalmente baja (punto de trabajo próximo a un extremo relativo de la función f ) hay que introducir términos de orden superior en el desarrollo de Taylor interviniendo los estimadores de los coeficientes de asimetría y de curtosis. Parte Diap. 6 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

95 Ejemplos: Medida indirecta del área de una placa rectangular A = bh b Conociendo b ± u(b), h ± u(h), y si ambos valores son independientes, lo que podría ser inadmisible si se hubieran obtenido con el mismo instrumento, se tiene: h Parte Diap. 7 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

96 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM Parte Diap. 8 b h f c h b f c bh A h b = = = = = = = ) ( ) ( ) ( ) ( h u b A u b u h A u h b ) ( ) ( ) ( h u b b u h A u + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( h w b w h h u b b u A A u + = + = ) ( ) ( ) ( h w b w A w + = A veces se emplea la incertidumbre relativa w(x)=u(x)/x Ejemplos:

97 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM Parte Diap. 9 ) ( ) ( 1 i N i i x w p y w = = La expresión obtenida es un caso particular de funciones de transferencia definidas por un monomio de forma general: el resultado es: = = N i p i N i X c X X X f 1 1 ),...,, ( y x p x x cp c i i N i p i i i i i = = =1 1 ) ( ) ( ) ( i i i i i i x w p y x x u p y y u = = Ejemplos:

98 La varianza de la diferencia de dos variables independientes es la suma de las varianzas. En este caso el modelo es Y=X 1 -X y pasando a los estimadores y=x 1 -x c 1 c = 1 1 = u y ) = u ( ) u y ) = u ( ) 1( x1 u ( y) = u ( x1) + u ( x) ( x Ejemplos: El mismo resultado que para la suma. Es un caso particular de función modelo combinación lineal de las variables de entrada Parte Diap. 30 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

99 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM Parte Diap. 31 Es decir siendo indiferente el signo de las constantes p i pues en la expresión final todas ellas intervienen al cuadrado. = = = N 1 i i i i i p c x p y = = N 1 ) ( ) ( i i i i x u p y u = = = = N 1 N 1 ) ( ) ( ) ( i i i i i y u x u p y u Ejemplos:

100 Contribución por redondeo de indicaciones Ejemplo: 10 medidas con micrómetro de exteriores E = 0,01 mm analógico 6,13 6,13 6,13 6,13 6,13 6,13 6,13 6,13 6,13 6,13 Se desea determinar la contribución de incertidumbre típica asociada a la repetibilidad No puede deducirse que la contribución de repetibilidad sea nula pues las indicaciones sólo aseguran que el valor medido se encuentra en 6,13 mm ± 0,005 mm. Parte Diap. 3 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

101 Modelo aplicable: X = lecturas redondeadas C E = corrección de escala Desconocida Se admite que se encuentra con toda seguridad en el intervalo ±E/ Se considera que responde a una función de densidad uniforme de media nula definida en ±E/ En consecuencia c E = 0, resultando: En el ejemplo Y = X + C E y = x + c = E x ( E ) E u ( y) = u ( x) + u ( ce ) = 0+ = 3 1 0,01 u( y) = E = 0,003 mm 1 1 Ejemplo: Parte Diap. 33 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

102 El resultado de este modelo también suele aplicarse, por seguridad, a cualquier instrumento que presenta las indicaciones redondeadas (presentación numérica o digital) y aunque las medidas no resulten tan repetitivas. En las medidas con un cierto nivel de dispersión la contribución del redondeo suele ser despreciable. Parte Diap. 34 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

103 Resumen de la Parte Modelo de medida Evaluaciones tipo A y B Ejemplos de contribuciones individuales Incertidumbre típica combinada: ley de propagación de varianzas: ejemplos Incertidumbres relativas: ejemplos Aclaraciones Parte Diap. 35 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

104 Fin de la parte (sesión 1) Parte Diap. 36 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

105 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas (P3). Angel Mª Sánchez Pérez Laboratorio de Metrología y Metrotecnia LMM-ETSII-UPM

106 Parte 3: Incertidumbre expandida Parte 3 Diap. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

107 RESUMEN ENAC En las diapositivas siguientes se recoge un resumen de los criterios ENAC (Entidad Nacional de Acreditación) para el cálculo de las incertidumbres de medida tal y como se exige que lo hagan los laboratorios que acredita. Estos criterios se incluyen en el documento EA-4/0 (*), elaborado de acuerdo con la GUM (ISO y otros) pero aplicando algunas simplifi-caciones. (*) Gratuito a través de internet, por ejemplo desde la página de ENAC. Parte 3 Diap. 3 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM