DISEÑO DE SISTEMAS DE PISO, PARA FUERZAS SÍSMICAS EN SU PLANO, EN EDIFICIOS PREFABRICADOS DE CONCRETO REFORZADO RESUMEN ABSTRACT INTRODUCCIÓN

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1 DISEÑO DE SISTEMAS DE PISO, PARA FUERZAS SÍSMICAS EN SU PLANO, EN EDIFICIOS PREFABRICADOS DE CONCRETO REFORZADO Giulio Antonio León Flores 1 y Mario E. Rodríguez Rodríguez 2 RESUMEN El presente trabajo hace una revisión de los criterios de diseño sísmico de sistemas de piso prefabricados encontrados en varios reglamentos de diseño, y mediante el estudio del comportamiento sísmico de estas estructuras, se propone un procedimiento general de diseño frente a las acciones sísmicas. El procedimiento permite la transformación de las fuerzas sísmicas actuantes en acciones internas en el diafragma y el suministro del refuerzo requerido. De la aplicación del procedimiento propuesto a la revisión del sistema de piso de una estructura prefabricada típica en México, se concluye que las prácticas de diseño actuales no son conservadoras. ABSTRACT This paper shows important recommendations for the seismic design of pre-cast flooring systems, taken from design codes. Using studies upon their behavior, a general design procedure for these systems against earthquakes is proposed. This procedure allows for the transformation of seismic forces into diaphragm internal forces and supplies the required reinforcement. This procedure was used for the review of the flooring system of a typical pre-cast building in México. As a result, we conclude that Mexican design practice is not conservative. INTRODUCCIÓN La construcción de edificios prefabricados en zonas sísmicas ha tenido un gran desarrollo en los últimos años, debido a una amplia investigación de sus comportamientos sísmicos y a lecciones aprendidas de sismos pasados, lo cual ha permitido la mejora de los procedimientos de diseño sísmico de estas estructuras. Un parte esencial para el buen comportamiento sísmico de los edificios prefabricados son sus sistemas de piso. Éstos generalmente consisten en unidades de losa prefabricadas, como losas alveolares, sistema de vigueta y bovedilla, vigas T y dobles T, y en un firme de concreto colado sobre éstos elementos (un esquema de los diferentes sistemas de piso prefabricados se muestra en la figura 1). Los sistemas de piso prefabricados tienen que cumplir la función de diafragma; es decir, al igual que los pisos de edificios monolíticos, tienen que proporcionar continuidad entre todos los elementos del piso y distribuir las fuerzas sísmicas horizontales, a los elementos laterales resistentes de fuerza sísmica. Una práctica común para conseguir este objetivo, y que ha dado buenos resultados, es el empleo del firme de concreto colado sobre las unidades de losa prefabricadas, el cual lleva un refuerzo distribuido. En este sentido, muchos reglamentos de diseño recomiendan el empleo de este firme para lograr la mencionada acción de diafragma, como es el caso del reglamento del Distrito Federal (NTCDC-2004) y del reglamento de Nueva Zelanda (NZS 3101, 1995). 1 2 Jefe de investigación, Presforzados Mexicanos de Tizayuca S.A. de C.V., González de Cossío 124 P.H., Col. Del Valle, México, D.F. Teléfono: (55) Ext. 111; Fax: (55) Ext. 112; gleonf@iingen.unam.mx Profesor e Investigador, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado Postal , Ciudad Universitaria, México, D.F. Teléfono: (55) Ext.1481; Fax: (55) ; mrod@servidor.unam.mx 1

2 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 A pesar de la importancia que tienen los sistemas de piso para lograr un buen comportamiento sísmico global del edificio, muchos reglamentos de diseño no cuentan con un procedimiento específico para el diseño de estos elementos; este es el caso del RCDF Por este motivo es que en esta investigación se realiza una revisión de los criterios involucrados en el diseño sísmico de sistemas de piso prefabricados, teniendo en cuenta varios reglamentos de diseño, y mediante el estudio del comportamiento sísmico de estas estructuras, se propone un procedimiento general el diseño sísmico. Llave de corte a. Sistema de piso con losa alveolar y firme de concreto colado en sitio b. Sistema de piso con vigueta y bovedilla c. Sistema de piso con vigas dobles T y firme de concreto Figura 1 Tipos de sistemas de piso típico en edificios prefabricados 2

3 CRITERIOS DE DISEÑO SÍSMICO DE SISTEMAS DE PISO PREFABRICADOS FUERZAS SÍSMICAS DE DISEÑO Usualmente, la magnitud de la fuerza de inercia en cada piso es estimada usando alguna técnica de diseño por capacidad, como lo establece el reglamento de Nueva Zelanda (NZS 3101, 1995) o una distribución de fuerzas basada en las cargas laterales equivalentes, como lo especifican el reglamento de Los Estados Unidos (ICBO, 1997) y el RCDF En el RCDF-2004, las fuerzas sísmicas en las losas de piso se obtienen a partir de un modelo simplista que permite obtener las aceleraciones absolutas de piso, ante acciones sísmicas, como la suma de la aceleración máxima del terreno, a o y las aceleraciones relativas de piso c' i, que resultan de dividir la carga lateral equivalente a la fuerza sísmica del nivel i, F i, entre el peso de dicho nivel, tal como se muestra en las ecuaciones 1, 2 y 3 (NTCDS-2004, sección 8.4.) Fi ' hi = ci = cw n (1) wi wh Donde: W : peso total del edificio. w i : peso del nivel i h i : altura del piso en consideración, respecto a la base n : número de niveles del edificio c : coeficiente sísmico de diseño Calculando c i para cada nivel, con la ecuación 1, se obtienen las aceleraciones de piso de diseño: i= 1 i i a = a + c ' pisoi o i Multiplicando la aceleración de piso por el peso del mismo, se obtienen las fuerzas de piso de diseño: Fpiso = apisoi wi (2) (3) El cálculo de las fuerzas de piso de diseño se presenta esquemáticamente en la figura 2. w i F i a o w i F piso Figura 2 Fuerzas sísmicas de piso según el RCDF-2004 Para el cálculo de las aceleraciones relativas de piso, c i (ecuación 1) el Reglamento del Distrito Federal no especifica si el coeficiente sísmico de diseño, c, está afectado por el factor de comportamiento sísmico Q, o por algún otro factor. En el caso más desfavorable, la máxima fuerza sísmica que puede soportar un edificio es su fuerza lateral resistente, o cortante basal resistente V y, y no su fuerza sísmica de diseño (coeficiente 3

4 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 sísmico de diseño multiplicado por el peso total del edificio). El cortante basal resistente puede obtenerse de un análisis estático incremental (pushover), como se ilustra en la figura 3. La curva del cortante basal vs. el desplazamiento de la azotea (figura 3.c), usualmente se aproxima con una curva bilineal, de la cual se obtiene el cortante basal resistente, V y. Al dividir este valor por el peso total del edificio, obtenemos el coeficiente sísmico resistente del edificio, c y, el cual es mayor que el de diseño, debido a la sobrerresistencia de las estructuras. Por este motivo es que se sugiere emplear el coeficiente cy, en la ecuación 1, y de esta forma obtener las aceleraciones de piso de diseño. D a P i V B a. Aplicación de las fuerzas laterales en los pisos del edificio b. El edificio se va deformando hasta alcanzar su mecanismo de colapso (Mec. columna fuerte-viga débil) V B V y SR V diseño c. Curva pushover: cortante en la base vs. desplazamiento del último nivel Figura 3 Análisis pushover y cálculo de la resistencia lateral de un edificio Por otro lado, varios investigadores sugieren el empleo de un análisis tiempo historia no lineal del edificio en estudio, con el registro sísmico representativo de la zona donde está ubicado, para obtener las aceleraciones máximas en cada piso, y con ellas las fuerzas de piso. Dicha recomendación se basa en las evidencias que existen de que las fuerzas de piso de diseño indicadas en los reglamentos, en ciertos casos pueden subestimar a las fuerzas en los diafragmas inducidas en sismos severos (Rodríguez y otros, 2002). D a 4

5 FLUJO DE FUERZAS INTERNAS EN LOS DIAFRAGMAS Otro aspecto importante en el diseño sísmico de los diafragmas es la transformación de las fuerzas de piso en fuerzas internas en el diafragma (flujo de fuerzas). Para este fin, existen dos métodos indicados en los reglamentos. El primero de éstos es la analogía de la Viga Horizontal o Viga Diafragma, la cual es típicamente usada para el diseño de pisos regulares (Gates, 1981), y para diafragmas con configuraciones complejas, el método del puntal y pirante es el recomendado. Método de la Viga Horizontal En este método, las fuerzas sísmicas de diseño son aplicadas en cada nivel como una carga distribuida en el plano del diafragma, a lo largo de su longitud (ver figura 4). Los elementos verticales del sistema lateral sirven como los apoyos de la viga, y pueden ser modelados mediante resortes con rigidez equivalente. Con estas consideraciones se calculan los momentos y fuerzas cortantes en el plano de la viga, con los cuales se obtiene el refuerzo requerido en el diafragma. w piso = F piso / L Figura 4 Analogía de la viga horizontal para el análisis sísmico de un diafragma El RCDF-2004 hace uso de este método, y dice que Los diafragmas se dimensionarán con los criterios para vigas comunes o vigas diafragmas, según su relación claro a peralte. (NTCDC-2004, sección 6.6.4). Método del Puntal y Tirante (MPT) Este método consiste en representar todos los esfuerzos de una estructura de concreto, mediante una armadura compuesta por elementos en compresión, llamados puntales, y elementos en tensión, llamados tirantes, los cuales se unen en nudos. Éstos son los llamados modelos de puntal y tirante. Un ejemplo de un modelo de puntal y tirante para un diafragma rígido, se muestra en la figura 5. En este método, las fuerzas sísmicas son representadas mediante fuerzas concentradas cuyos puntos de aplicación se dejan a la elección del ingeniero, y definirán la geometría de los modelos de puntal y tirante. Para resolver la armadura así formada, primero se encuentran las reacciones externas, correspondientes a las columnas y/o muros, mediante un análisis global del sistema. Luego, se hallan las fuerzas en cada uno de los puntales y tirantes, mediante el equilibrio en los nudos, y se calcula el refuerzo requerido para soportar dichas fuerzas. Se hace notar que las deformaciones de la estructura de concreto, son tomadas en cuenta restringiendo los ángulos de los puntales y tirantes a valores mayores a los 22 (Schlaich, 1987). Para poder lograr un buen diseño, es necesario elegir el modelo de puntal y tirante más adecuado, de entre muchos otros que igualmente resuelven la estructura en estudio. Para tal fin, es de mucha ayuda darse cuenta de que las cargas buscan las trayectorias donde se desarrollen las menores fuerzas y deformaciones. Este criterio puede ser formulado mediante el principio del trabajo interno mínimo. Según este principio, el modelo de puntal y tirante óptimo debe ser el que presente el menor trabajo interno: 5

6 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 Figura 5 Modelo de puntal y tirante para el análisis sísmico de un diafragma Fl ε = mìnimo i i mi Donde: ε mi : deformación unitaria promedio del puntal o tirante i. F i : fuerza en el puntal o tirante i l i : longitud del puntal o tirante i (4) Por otro lado, varios investigadores proponen construir los modelos de puntal y tirante siguiendo las trayectorias de los esfuerzos principales de un análisis elástico por elementos finitos de la estructura en estudio (Schlaich, 1987). Si bien para ciertos casos de estructuras y de cargas, la geometría de los modelos de puntal y tirante puede variar de la distribución de los esfuerzos elásticos; en general, esta distribución es de gran ayuda para la elaboración de los modelos de puntal y tirante difíciles de realizar. Detalles de cómo aplicar el método del puntal y tirante para el diseño de elementos de concreto en general, se pueden encontrar en los apéndices A del Reglamento de Nueva Zelanda (NZS 3101, 1995) y del ACI (ACI- 318, 2005). A diferencia de los reglamentos anteriores, el RCDF-2004 no comenta nada al respecto. REQUISITOS SÍSMICOS ADICIONALES Como se mencionó anteriormente, el empleo de un firme de concreto colado sobre los elementos de piso prefabricados, resulta adecuado para cumplir con la función de diafragma (Guidelines, 1999). En este sentido, y a falta de más ensayes experimentales, muchos reglamentos de diseño recomiendan que el firme de concreto deba de ser diseñado para que cumpla por si solo la mencionada función de diafragma. Rigidez requerida en el diafragma La rigidez de un diafragma compuesto por elementos prefabricados, viene proporcionada básicamente por el espesor del firme de concreto. En este sentido, el reglamento del Distrito Federal recomienda un espesor de 60mm, si el claro mayor de los tableros es de 6m o más.y en ningún caso será menor que 30mm. Sin embargo, no se especifica si estos espesores son necesarios para lograr un diafragma rígido. En contraposición, el reglamento de Los Estados Unidos (ACI 318, 2005) especifica un espesor mínimo de 50mm cuando se verifica una acción compuesta del firme de concreto y las unidades de losa prefabricadas, y de 70mm cuando no existe dicha acción. Además, en el reglamento Uniform Building Code (UBC, 1997), se encuentra una guía para determinar cuándo un diafragma es rígido o flexible. En este reglamento, un diafragma es considerado flexible cuando la máxima deformación lateral del diafragma es más de dos veces la distorsión lateral del piso correspondiente (ver figura 6). La deformación lateral del diafragma puede obtenerse de distintas maneras. Por ejemplo, se podría realizar un modelado del diafragma mediante 6

7 elementos finitos, y a través de un análisis elástico obtener los desplazamientos causados por las fuerzas sísmicas. Una forma mucho más simplificada de obtenerlos, es mediante el empleo de la analogía de la viga horizontal, en cuyo caso el diafragma es modelado mediante una gran viga ancha, cuyas deflexiones representarán las deformaciones en el diafragma. Deformación del diafragma Nivel r Distorsión de piso Nivel (r-1) Figura 6 Deformaciones en un diafragma de piso El Reglamento de Nueva Zelanda también habla de un espesor mínimo del firme de concreto para lograr la mencionada función de diafragma y recomienda un espesor de 65mm (NZS 3101, 1995). Dicho espesor es recomendado además para garantizar el adecuado traslape de la malla electrosoldada y/o de cualquier otro refuerzo adicional embebido en el firme de concreto (Guidelines, 1999). Refuerzo requerido en el firme de concreto Es el necesario para soportar las fuerzas sísmicas que se producen en el plano del diafragma. Generalmente, este refuerzo consiste en una malla de acero electrosoldada, que si bien resulta adecuada para el control del agrietamiento, no trabaja muy bien frente a demandas sísmicas que involucran deformaciones inelásticas, debido a que no posee suficiente ductilidad. Sin embargo, es posible mejorar su comportamiento, usando separaciones mínimas de 25cm entre los alambres que la conforman (ACI 318, 2005) El refuerzo distribuido mínimo que se recomienda en los reglamentos, es el requerido para el control del agrietamiento. Adicionalmente, el Reglamento del Distrito Federal establece un refuerzo distribuido mínimo por fuerza cortante en el firme de concreto, correspondiente a una cuantía de Además del refuerzo distribuido, los reglamentos recomiendan colocar refuerzo concentrado en las zonas de conexión del diafragma con el sistema lateral resistente de fuerza sísmica, y en los apoyos extremos de los elementos de piso prefabricados (Guidelines, 1999), tal como se muestra en la figura 7. En dicha figura, el bastón de refuerzo que atraviesa la junta entre la unidad prefabricada y la viga de apoyo, es colocado con la finalidad de absorber los esfuerzos producidos por la incompatibilidad de deformaciones entre el sistema de piso y el sistema lateral resistente. Apoyo mínimo de las unidades de piso prefabricadas Al igual que los sistemas de piso monolíticos, los sistemas de piso prefabricados deben de mantener su capacidad para soportar las cargas de gravedad mientras resisten las acciones sísmicas laterales. Un componente esencial de este requerimiento es la longitud de apoyo de las unidades de piso prefabricadas, la cual es proporcionada por la viga de soporte que generalmente se ubica en la dirección transversal a la del sismo de diseño (ver figura 7). La longitud del apoyo debe de tomar en cuenta los desplazamientos impuestos en el diafragma por el sistema lateral resistente del edificio, como consecuencia de las acciones sísmicas, y las tolerancias usadas en la construcción. La consideración de estos dos factores debe de hacerse de forma aditiva. Una mala elección de alguno de estos factores puede llevar a la pérdida del apoyo para las unidades prefabricadas durante un evento sísmico severo. 7

8 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 Figura 7 Requisitos de apoyo y refuerzo en los extremos de las unidades prefabricadas Recomendaciones para el apoyo mínimo de las unidades de piso prefabricadas se encuentran en los reglamentos de Nueva Zelanda (NZS 3101, 1995) y en el de Los Estados Unidos (ACI 318, 2005), los cuales especifican una longitud mínima de apoyo de 1/180 de la longitud libre y no menos que 50mm para losas macizas o alveolares, y de 75mm para vigas T o viguetas. En contraposición, el RCDF-2004 no tiene ninguna recomendación al respecto. COMPORTAMIENTO SÍSMICO DE LOS SISTEMAS DE PISO PREFABRICADOS HIPÓTESIS CONSIDERADAS En el presente trabajo se estudian los sistemas de piso consistentes en unidades de losa prefabricadas y un firme de concreto colado sobre éstas, reforzado con malla de acero electrosoldada. Se acepta que estos sistemas cumplen con la función de diafragma; es decir, unen a todos los elementos del piso y transmiten las fuerzas sísmicas en su plano a los elementos verticales. Adicionalmente, se requerirá que el sistema de piso haga la función de diafragma rígido, en virtud de lo cual se admite que los grados de libertad de traslación y rotación en el plano, de todos los nudos del piso, están relacionados entre sí, como si formaran parte de un cuerpo rígido. Por otro lado, la contribución de las unidades de piso prefabricadas para resistir las fuerzas horizontales en el diafragma será ignorada, debido a que estas unidades no contienen refuerzo secundario y a que se requieren más investigaciones al respecto. Más bien, las unidades prefabricadas restringen el pandeo del firme de concreto, permitiendo que la totalidad de la fuerza del diafragma sea resistida por éste. De esta manera, el firme de concreto se comporta como un elemento del tipo membrana sometido únicamente a fuerzas en su plano. En la literatura existen varios modelos para el análisis de estos elementos, como por ejemplo el elemento tipo placa con comportamiento de membrana, muy usado en análisis por elementos finitos. Por último, se supone que el firme de concreto se encuentra agrietado, como resultado de las numerosas juntas de construcción que existen entre las unidades de piso prefabricadas. Debido a esto es que se desprecia la contribución del concreto para resistir fuerzas de tensión y se supone que estas fuerzas son resistidas exclusivamente por el refuerzo del firme (malla electrosoldada). INTERACCIÓN DEL DIAFRAGMA CON LOS MARCOS RESISTENTES A FUERZA SÍSMICA Durante fuertes demandas sísmicas, aparecen rótulas plásticas en las vigas de los marcos resistentes a momentos, las cuales producen la fluencia de su acero de refuerzo. Como resultado, se produce una elongación o expansión en las vigas, que puede causar la separación de las columnas del marco en estudio con la consecuente deformación del diafragma (ver figura 8). 8

9 a. Deformación de marco lateral en un evento sísmico severo l k l / h θ d-d θ b. Elongación en vigas por articulaciones plásticas en sus extremos Figura 8 Deformaciones del sistema lateral resistente de fuerza sísmica (Guidelines, 1999) En la figura 8.b se muestra el detalle de las rótulas plásticas de la viga en doble curvatura del marco de la figura 8.a. De ensayos experimentales se observa que las deformaciones unitarias del acero de refuerzo en compresión son pequeñas, y por razones prácticas pueden ser despreciadas (Megget y otros, 1989). Con base en esta suposición, el aumento en la longitud producido por cada rótula plástica en una viga, puede ser calculado con la siguiente ecuación: ' θ ( d d ) expansion = (5) 2 Donde (d-d ) es la distancia entre los centros del acero inferior y superior de la viga, y θ es la rotación de la rótula plástica, la cual puede ser estimada con la siguiente expresión: θ = hk (6) Donde d es el desplazamiento relativo de entrepiso, h es la altura de entrepiso y k es la relación de la distancia entre las rótulas plásticas en la viga y la distancia a ejes de columnas (figura 8.b). 9

10 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 En ausencia de una fuerza de restricción, la viga continúa elongándose como resultado de la aplicación de deformaciones inelásticas cíclicas. En este sentido, diversos ensayes experimentales han mostrado que la elongación en una viga bajo estas condiciones puede alcanzar valores hasta del doble del obtenido con la ecuación 5, por lo que se multiplicará esta ecuación por dicho factor. Con base en estas deducciones, la elongación total en la longitud de una estructura que no está restringida lateralmente, y que forma rótulas plásticas inversas (vigas en doble curvatura) durante un sismo fuerte, puede ser estimada con la siguiente expresión (Guidelines, 1999). 2 exp ansion = n ( d d') k h (7) Donde n es el número de crujías. La elongación de las vigas produce también expansión en el sistema de piso, tal como se muestra esquemáticamente en la figura 9. En esta figura se muestra la transferencia de fuerzas que existe entre las vigas del marco lateral resistente y el diafragma, en un evento sísmico severo. La expansión del sistema de piso puede formar grietas anchas en la losa, principalmente en la zona de apoyo de las unidades prefabricadas, lo cual puede causar la fractura de la malla electrosoldada de refuerzo. En sistemas duales, la restricción de los desplazamientos de las vigas, por la presencia de muros, impondrá fuerzas elevadas en estas zonas. a. Planta del diafragma y marco perimetral b. Esfuerzos cortantes en la interfase entre las vigas y el diafragma Figura 9 Interacción entre la elongación de las vigas y el diafragma (Guidelines, 1999) 10

11 PROPUESTA DE UN PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO SÍSMICO DE SISTEMAS DE PISO PREFABRICADOS En esta sección se detalla un procedimiento que se propone para el diseño sísmico de sistemas de piso prefabricados, el cual permite la determinación del flujo de fuerzas sísmicas en el plano del diafragma (fuerzas internas), y el cálculo del refuerzo sísmico requerido. Este procedimiento es aplicado para la revisión del sistema de piso de un espécimen prefabricado a escala 1:4, cuyo prototipo es un edificio prefabricado de estacionamientos, en donde el sistema de piso fue diseñado de acuerdo con la práctica mexicana, como se verá más adelante. El espécimen prefabricado fue ensayado en mesa vibradora en otra investigación en México, para un registro sísmico de suelo duro, teniendo como finalidad evaluar su comportamiento sísmico. a. Planta del edificio prototipo b. Elevación del marco del Eje 1 (corte X-X) del edificio prototipo Figura 10 Características generales del edificio prototipo en estudio 11

12 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 DESCRIPCIÓN DEL EDIFICIO EN ESTUDIO Características generales del edificio prototipo El prototipo corresponde a un edificio de estacionamientos de concreto prefabricado de tres niveles (ver figura 10), ubicado en Acapulco. El sistema estructural del edificio consiste en pórticos de concreto colocados en las dos direcciones principales del edificio. El sistema de piso está formado por unidades de losa alveolar prefabricadas y un firme de concreto colado en sitio de 80mm de espesor (figura 10.b). El edificio fue diseñado siguiendo las recomendaciones de las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo del Estado de Guerrero (NTCDS Guerrero, 1988), y las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Concreto del Distrito Federal (NTCDC, 2004), la cual permite diseñar las estructuras prefabricadas con los mismos criterios empleados para estructuras coladas en sitio. Las propiedades de diseño de los materiales se muestran en la tabla 1. Tabla 1 Propiedades de diseño de los materiales del edificio Concreto (tipo 1) Acero longitudinal Acero transversal f c = 35 MPa fy = 490 MPa fy h = 420 MPa Se tomaron en cuenta las cargas vivas correspondientes a estacionamientos, para los tres niveles: CVmax = 2.5 kn/m 2 CVinst = 1.0 kn/m 2 (para sismo) (más una carga concentrada de 15 kn en el lugar más desfavorable del elemento estructural de que se trate) Análisis y diseño sísmico del edificio prototipo Mediante un análisis modal se hallaron los períodos de los diferentes modos de vibrar del edificio, los cuales se muestran en la tabla 2. Los pesos sísmicos considerados en cada nivel se muestran a continuación: Niveles 1 y 2: Peso sísmico = 7.9 kn/m 2 Nivel 3: Peso sísmico = 7.3 kn/m 2 Tabla 2 Periodos y frecuencias de los modos de vibrar del edificio Modo T (s) f (Hz) Se realizó un análisis sísmico estático, para lo cual se utilizó el espectro de resistencia correspondiente a la Zona I-D (suelo duro) para estructuras comunes del Estado de Guerrero (NTC Guerrero, 1988) el cual se muestra en la figura 11. Considerando un factor de comportamiento sísmico, Q de 3, se obtuvo el coeficiente sísmico de diseño, c d = 0.17, y las fuerzas laterales correspondientes, mostradas en la tabla 3. Tabla 3 Fuerzas y desplazamientos laterales de diseño del edificio Nivel H i (mm) F i (kn) Desp. Distor. relativo (mm) relativa

13 Q = c d 0.3 Q = Q = 3 T 1 = 0.52 s T (s) Figura 11 Espectro de diseño de Acapulco, Zona I-D Las fuerzas laterales fueron usadas en un análisis matricial elástico, mediante el cual se obtuvieron los desplazamientos laterales de cada nivel (ver tabla3) y los elementos mecánicos en las vigas y columnas del edificio, con los cuales se calculó el acero de refuerzo requerido. En la figura 12 se muestra el detallado de las secciones de vigas y columnas del edificio, correspondiente a este diseño. Figura 12 Detallado de las secciones de vigas y columnas del edificio prototipo Diseño sísmico del sistema de piso del edificio prototipo Como se mencionó anteriormente, el reglamento del Distrito Federal especifica, para fuerzas sísmicas en el plano, que Los diafragmas se dimensionarán con los criterios para vigas comunes o vigas diafragma, según su relación claro a peralte (NTCDC-2004, sección 6.6). Así mismo, recomienda un refuerzo mínimo en el firme de concreto por fuerza cortante de, ρ = Sin embargo, en la práctica mexicana estos requerimientos generalmente no son tomados en cuenta, y la losa de piso es diseñada solamente por carga vertical, más no así por las fuerzas sísmicas horizontales generadas en su plano. Asimismo, el firme de concreto es usualmente reforzado con malla de acero electrosoldada para cumplir tan solo con el requisito de refuerzo mínimo por cambios volumétricos, especificado mediante la siguiente ecuación (NTCDF-2004, sección 5.7) 13

14 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 a s1 = 660 x1 f ( x ) y 1 (8) Donde: a s1 : x 1 : fy: área transversal del refuerzo colocado en la dirección que se considera, por unidad de ancho de la pieza, en mm2/mm. dimensión mínima del elemento medido perpendicular al refuerzo (espesor) en mm. Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo, en MPa fy = 420 MPa fy = 500 MPa ρ x (mm) Figura 13 Cuantía de refuerzo mínima por cambios volumétricos (NTCDC-2004) 6x6 6/6 Figura 14 Sistema de piso del edificio prototipo en estudio Dividiendo la ecuación 8 por el espesor del firme de concreto, x 1, obtenemos la cuantía de acero mínima por cambios volumétricos, ρ, la cual es graficada en la figura 13 para diferentes espesores del firme, x, y para dos valores típicos del esfuerzo de fluencia del acero. Vemos que para espesores del firme típicos entre 40 y 60mm., la cuantía mínima requerida oscila entre y Sin embargo, estos valores están por debajo de los recomendados en otros reglamentos como el ACI-318, que especifica cuantías del orden de Por otro lado, diversos investigadores recomiendan valores aún mayores. A pesar de ello, en la práctica mexicana se sigue calculando el refuerzo del firme de concreto con la ecuación 8. Para el edificio en estudio, con un espesor del firme de 80mm, dicha ecuación da un valor de Para cumplir con este requisito se eligió la malla 6x6-6/6, con área de acero As = mm 2 /m y cuantía: 14

15 2 ρ = 122.5mm mm x 80mm = > La sección de losa así diseñada se muestra en la figura Figura 15 Espécimen prefabricado ensayado en la Mesa Vibradora de la UNAM. Figura 16 Armados de las vigas y columnas del espécimen prefabricado 15

16 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 Modelo a escala del edificio prototipo Las dimensiones del espécimen prefabricado, a escala del edificio prototipo, se obtuvieron de la aplicación de las leyes de similitud enunciadas en la tabla 4, con S L (factor de escala) = 4. El espécimen prefabricado se muestra en la figura 15, y su armado en la figura 16. Detalles de la aplicación de las leyes de similitud, así como de las propiedades de los materiales de construcción y procedimientos constructivos, se encuentran en León, De acuerdo con las leyes de similitud, el espesor del firme de concreto resultó ser de 80mm / 4 (factor de escala) = 20mm., y la malla de refuerzo corresponde a la Multimalla Galvanizada de separación 100mm x 100mm, Cal.12.5, cuya área de acero y cuantía son las siguientes: As = 34.1 mm 2 /m 2 ρ = 34.1mm mm x 20mm = Vemos que la cuantía es similar a la usada en el prototipo, de Tabla 4 Leyes de similitud entre el prototipo (p) y modelo (m) Propiedad Ley de Similitud Longitud L m = L p / S L Area A m = A p / (S L ) 2 Esfuerzos, cargas por unidad de área σ m = σ p Densidad del material ρ m = ρ p Masa m m = m p / (S L ) 2 Pesos, cargas W m = W p / (S L ) 2 Momentos M m = M p / (S L ) 3 Tiempo, periodos T m = T p / (S L ) Rigideces Aceleraciones K m = K m / S L a m = a p APLICACIÓN DEL PROCEDIMIENTO PROPUESTO Fuerzas de piso de diseño (NTCDC, 2004) Las fuerzas sísmicas de diseño en los pisos del espécimen prefabricado, fueron halladas con las ecuaciones 1, 2 y 3, y con la recomendación de usar el coeficiente sísmico resistente, en lugar del de diseño. Para tal fin, se realizó un análisis pushover, usando una distribución rectangular de cargas en la altura del edificio (fuerzas iguales en cada nivel). Detalles de este análisis se pueden encontrar en León, Como resultado del análisis, en la figura 17 se muestra la curva pushover o de resistencia del edificio. En esta figura, las abscisas contienen la distorsión global del edificio, la cual se define como el desplazamiento del último nivel dividido por la altura total del edificio, mientras que las ordenadas contienen el coeficiente sísmico, definido como el cortante en la base dividido por el peso total del edificio. En la misma figura también se muestra la aproximación bilineal a la curva, de donde se obtiene el coeficiente sísmico resistente, c y =

17 c y 0.6 c W tot = 11.5 t H tot = 225 cm Distorsión global Figura 17 Curva pushover (coeficiente sísmico resistente vs. distorsión global) Como el coeficiente sísmico de diseño fue de c d = 0.17, la sobrerresistencia del edificio resultó ser SR = c y /c d = 4. Es decir, la resistencia que el edificio impondría en un evento sísmico severo, puede ser hasta cuatro veces la de diseño. Por consiguiente, las aceleraciones relativas de piso dadas por la ecuación 1, se verían incrementadas por el mismo factor. Verificamos que la recomendación de usar el coeficiente sísmico resistente es adecuada. En la tabla 5 se muestra el cálculo de las aceleraciones y fuerzas de piso de diseño del edificio, utilizando c y = 0.69 y a 0 = 0.5, correspondiente a la aceleración para T = 0, del espectro de diseño de Acapulco (figura 11) Tabla 5 Aceleraciones y fuerzas de piso de diseño, según el RCDF-2004 Nivel h i (mm) w i (kn) c' i (ec. 1) a piso (g) (ec. 2) F piso (kn) (ec. 3) Total Fuerzas de piso de un análisis tiempo historia no lineal Se realizó un análisis tiempo historia no lineal para el espécimen prefabricado, con la finalidad de estudiar su comportamiento durante su ensaye dinámico en la mesa vibradora de la UNAM. El registro sísmico elegido fue el correspondiente al de Llolleo, Chile (1985), el cual es un sismo de suelo duro que representa muy bien las características de sitio de Acapulco (León, 2006). El acelerograma original tiene un intervalo de tiempo de 0.02 seg. y una duración total de 60 seg. De acuerdo con las leyes de similitud enunciadas en la tabla 4, para utilizar este acelerograma en el edificio modelo, fue necesario dividir su intervalo de tiempo por la raíz cuadrada de su factor de escala. De esta manera, el acelerograma resultante tiene un intervalo de tiempo de 0.01 s. y una duración total de 30 s. (figura 18), siendo las amplitudes de las aceleraciones las mismas. Para este análisis, las vigas y columnas del edificio fueron modeladas mediante elementos barra tipo frame, cuyo comportamiento inelástico se concentró en las zonas de articulaciones plásticas ubicadas en los extremos del elemento. El modelo de histéresis utilizado para dichas articulaciones fue el modelo bi-linear modificado de Takeda [Carr, 1998]. Asimismo, las losas de piso se consideraron diafragmas infinitamente rígidos. Con estas hipótesis se hallaron las aceleraciones y fuerzas de piso del edificio, mostradas en la tabla 6. 17

18 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, a (g) t (s) Figura 18 Acelerograma del sismo de Llolleo (Chile 1985) para el modelo Tabla 6 Aceleraciones y fuerzas de piso del análisis tiempo historia Nivel h i (mm) w i (kn) a max (g) F piso (kn) Resumen de las Respuestas Máximas del Edificio en Estudio En la tabla 3 se mostraron los valores máximos de los desplazamientos y las distorsiones de piso de diseño para el edificio prototipo, calculados según las NTCDS-2004 y con el espectro de diseño del lugar. Estos valores pueden ser extrapolados al edificio modelo mediante la aplicación de las leyes de similitud de la tabla 4. De esta manera, los desplazamientos resultan divididos por el factor de escala de 4, mientras que las distorsiones se mantienen igual. Por otro lado, en la tabla 5, se mostraron las aceleraciones de piso de diseño del espécimen prefabricado, según las NTCDS-2004 y con la recomendación dada en este trabajo. En la figura 19 se comparan estas respuestas junto con las obtenidas del análisis tiempo historia no lineal y del ensaye dinámico del edificio, en los cuales se utilizó el sismo de Llolleo, Chile, como registro de entrada. De la figura 19.a, vemos que el cálculo de las aceleraciones de piso dada por las NTCDS-2004, usando el coeficiente sísmico resistente del edificio, resulta bastante buena, para este caso. En contraposición, los desplazamientos de diseño mostrados en la figura 19.b, son mucho menores que los obtenidos con el análisis no lineal o con el ensaye dinámico del espécimen. Lo mismo podemos decir de las distorsiones de entrepiso (ver figura 19.c). En efecto, el cálculo de los desplazamientos de un edificio implica muchas variables difíciles de estimar, por lo que se sugiere tomar valores conservadores a la hora de calcularrlos. Revisión de la rigidez del diafragma La rigidez del diafragma se revisará con el criterio del UBC expuesto anteriormente (ver figura 6), para lo cual se tomará al diafragma del nivel tres como ejemplo representativo. De acuerdo con nuestras hipótesis, se supondrá que la rigidez del diafragma en su plano, viene proporcionada solamente por el firme de concreto de 20mm. Éste será modelado de dos maneras distintas: como una viga ancha y como un elemento membrana por un análisis por elementos finitos. 18

19 1.00 Altura relativa ensaye tiempo-historia NTCDS Aceleración de piso (g) a. Aceleraciones de piso actuantes en el espécimen prefabricado Altura relativa ensaye tiempo-historia diseño (NTCDC) Desplazamiento (mm) b. Desplazamientos laterales del espécimen prefabricado Altura relativa ensaye tiempo-historia diseño (NTCDC) Distorsión relativa c. Distorsión relativa de entrepiso Figura 19. Respuestas máximas del espécimen prefabricado para las acciones sísmicas consideradas 19

20 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 Modelado del firme como viga ancha La viga mostrada en la figura 20.b, tiene una sección transversal correspondiente a la del firme del nivel 3 y sus resortes tienen rigidez equivalente a la de las columnas de los marcos laterales de dicho nivel (figura 20.a). En esta etapa del estudio, las fuerzas sísmicas actuantes serán modeladas como cargas distribuidas en la longitud del diafragma, para tal fin se usarán las fuerzas de piso de diseño (ver tabla 5). Por tanto, la fuerza sísmica actuante en el diafragma del nivel tres es: w = 57.4kN / 3.3m = 17.4 kn/m. K = 1096 e = 2cm K = 2180 K = 511 K = 1096 a. Planta del diafragma del nivel 3 y rigideces de las columnas (kn/m) w = 17.4 b. Idealización del diafragma como viga ancha Figura 20 Modelado del firme del nivel 3 como viga ancha Del análisis elástico de la viga se obtienen los desplazamientos en los resortes y a lo largo de la viga. Se hace notar que los desplazamientos de los resortes representarían a los desplazamientos relativos de piso. Los valores máximos se presentan en la tabla 6. Modelado del firme por elementos finitos En este análisis, el firme de concreto es modelado en su totalidad mediante un enmallado de elementos finitos con comportamiento membrana (elmentos shell), mientras que las columnas son modeladas como en el caso anterior con resortes equivalentes (figura 21). Las vigas de los marcos laterales son modeladas mediante elementos barra (elementos frame) y las fuerzas de piso son aplicadas igual que en el caso anterior. Este análisis fue realizado en el programa SAP2000 (Computers and Structures, 2002), y se obtuvieron los desplazamientos máximos mostrados en la tabla 6. Tabla 6 Desplazamientos máximos del nivel 3 Análisis (1) Deformación diafragma (mm) K = 1022 K = 4372 (2) Desplazamiento nivel (mm) (1) / (2) Viga horizontal Elementos finitos

21 K = 1096 K = 2180 K = 511 K = 1096 Figura 21 Modelado del firme del nivel 3 mediante elementos finitos De la tabla 6, concluimos que el firme de concreto se comporta como un diafragma rígido, ya que su deformación relativa es despreciable. En efecto, su espesor de 20mm, corresponde a 80mm en el prototipo, el cual es mayor a los valores mínimos recomendados por los reglamentos para lograr un comportamiento de diafragma rígido. Además, se trata de un diafragma regular en planta. Idealización de las Fuerzas Sísmicas en el Diafragma A excepción de los casos en los que exista algún peso concentrado, se asumirá que la masa sísmica del piso se distribuye uniformemente en toda el área de la planta. Por lo tanto, si dividimos la planta en un cierto número de paneles, podremos repartir la fuerza sísmica del piso proporcionalmente al área de cada panel. Se recomienda colocar un número no muy grande de fuerzas concentradas, ya que esto dificultaría la elaboración de los modelos de puntal y tirante a realizar. Por ejemplo, la planta típica de piso del edificio en estudio puede ser dividida de la manera como se muestra en la figura 22, en cuyo caso la fuerza sísmica total del piso se divide en ocho fuerzas concentradas P de igual valor. Si uno quiere ser más preciso, la planta del piso puede ser dividida por un número mayor de paneles y por ejemplo tener 32 fuerzas concentradas, como se muestra en la figura 23. Si hacemos análisis por elementos finitos para cada uno de los casos mostrados en las figuras 22 y 23, se encuentra que la distribución de los esfuerzos principales en el firme es muy similar en ambos casos (figuras 24 y 25), y no afectará la geometría de los modelos de puntal y tirante a realizar. Por lo que para nuestros fines de diseño, un número reducido de fuerzas concentradas será suficiente. Usamos para el edificio en estudio, ocho fuerzas concentradas, P = 57.4 / 8 = 7.2 kn Figura 22 Idealización de la fuerza de piso como ocho fuerzas concentradas 21

22 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 Figura 23 Idealización de la fuerza de piso como 32 fuerzas concentradas Figura 24 Trayectoria de esfuerzos principales en el diafragma con ocho fuerzas concentradas Figura 25 Trayectoria de esfuerzos principales en el diafragma con 32 fuerzas concentradas Elaboración de los modelos de puntal y tirante Una vez ubicadas las fuerzas sísmicas en el diafragma (figura 22), se realiza un análisis global elástico para hallar las reacciones en las columnas. En el diafragma en estudio, esto equivale a repartir la fuerza sísmica actuante, 8P, proporcionalmente a las rigideces de los resortes equivalentes (figura 20.a). Enseguida se 22

23 procede a dibujar modelos de puntal y tirante con el objetivo de transmitir las fuerzas inerciales hacia el sistema lateral resistente del edificio. De esta manera, los puntales y tirantes se definen iniciándolos en los puntos de aplicación de las cargas y dirigiéndolos hacia las columnas. Por ejemplo, el modelo de puntal y tirante mostrado en la figura 26, fue elaborado con la idea de crear trayectorias en arco para transmitir las fuerzas hacia las columnas, mientras que para el modelo mostrado en la figura 27, la idea fue crear trayectorias en diagonal en el interior del diafragma. En ambos modelos, los demás puntales y tirantes fueron colocados para lograr el equilibrio del sistema. Las fuerzas en los puntales y tirantes se obtienen con base en el equilibrio de los nudos (figura 26 y 27). Figura 26 Modelo de puntal (líneas discontinuas) y tirante (líneas continuas) MPT1 Figura 27 Modelo de puntal (líneas discontinuas) y tirante (líneas continuas) MPT1 23

24 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 Con las recomendaciones dadas en el párrafo anterior, se podría seguir construyendo más modelos de puntal y tirante para el diafragma en estudio. Quizás lo más difícil sea elegir el modelo más adecuado. Para ello se recomienda analizar primero el fenómeno físico. Como el diafragma en estudio es regular y presenta doble simetría, es razonable pensar que el modelo de puntal y tirante más adecuado debe de cumplir con estos requisitos. Sin embargo, los modelos mostrados en las figuras 26 y 27, no cumplen con el requisito de simetría. Por este motivo se elaboró un tercer modelo de puntal y tirante cuidando de que sea simétrico. Como resultado se obtuvo el modelo mostrado en la figura 28. Ahora procedemos a verificar si este modelo es el más adecuado de los tres. Figura 28 Modelo de puntal (líneas discontinuas) y tirante (líneas continuas) MPT3 Usamos primero el criterio de que el modelo más adecuado debe de seguir las trayectorias de los esfuerzos principales de un análisis por elementos finitos. Dicho análisis ya fue realizado, y las trayectorias se muestran en la figura 24. En dicha figura, las flechas de color rojo representan a los esfuerzos principales máximos (generalmente en tensión) y las de color azul a los esfuerzos principales mínimos (generalmente en compresión). Comparando esta figura con los modelos realizados, vemos que efectivamente el MPT3 es el que sigue mejor las trayectorias de los esfuerzos principales. 1.1 Trabajo interno normalizado MPT Figura 29 Trabajo interno para los modelos de puntal y tirante realizados 24

25 Usamos ahora el criterio del trabajo interno mínimo. Para hallar el trabajo interno de los modelos realizados, se consideró que todos sus elementos (puntales y tirantes) tienen la misma deformación unitaria. Asimismo, se asumió cualquier valor para las fuerzas sísmicas, por ejemplo P=1. De esta manera, en la figura 29 se presenta el trabajo interno de cada modelo, como fracción del mayor trabajo interno, el cual correspondió al MPT1. De esta figura vemos que el MPT3 es el que presenta el menor trabajo interno. Concluimos que el MPT3 es el modelo más adecuado para el diafragma en estudio, y será usado para el cálculo de su resistencia. Detallado y resistencia del sistema de piso Anchos de los modelos de puntal y tirante Para poder determinar la resistencia de los modelos de puntal y tirante, es necesario elegir adecuadamente los anchos de sus elementos. Varios investigadores sugieren determinar dichos anchos en función de las dimensiones de los nudos del modelo (Schlaich, 1987). En el diafragma en estudio, los nudos están formados por las columnas de los marcos laterales, por lo que sus dimensiones pueden ser utilizadas para definirlos. Siendo rigurosos, los anchos de los tirantes y puntales debieran corresponder a los anchos de los campos de esfuerzos principales máximos (en tensión) y mínimos (en compresión), respectivamente, hallados mediante un análisis por elementos finitos. Por ejemplo, para el diafragma en estudio, los campos de esfuerzos principales máximos se muestran en la figura 30, sobrepuestos con el MPT3. Como se puede observar, el ancho del tirante inclinado a la izquierda del modelo, puede ser estimado como dos veces la dimensión de la diagonal de la columna; es decir, 325mm. De la misma manera, se podrían encontrar los anchos de los demás elementos; sin embargo, tal precisión no es necesaria. Se sugiere tomar los mismos anchos para los puntales y tirantes en el interior del diafragma, mientras que para los elementos de borde, sus anchos quedan definidos por las vigas de los marcos laterales. Las dimensiones propuestas de los puntales y tirantes, junto con sus fuerzas actuantes, se muestran en la figura 31. ancho Obtención del refuerzo distribuido Figura 30 Campos de esfuerzos principales máximos y MPT3 El refuerzo distribuido será obtenido con el tirante crítico; es decir, el que lleva la mayor fuerza actuante. De la figura 31, vemos que el tirante crítico es el AL. Para calcular la resistencia a tensión de este tirante solamente se tendrá en cuenta a la malla de refuerzo, ya que de acuerdo con nuestras hipótesis, se desprecia la 25

26 XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006 contribución del concreto a tensión. El esfuerzo de fluencia de diseño de la malla es: f y = 500 MPa, de esta manera: La fuerza sísmica actuante en el tirante es: P = x 7.2 = 11.9 kn La fuerza sísmica resistente en el tirante es: ρ x b x e x fy = ρ x 325 x 20 x 500 = 3.25 x 10 6 ρ Igualando ambas fuerzas encontramos la cuantía de acero requerida: ρ = A continuación se calcula la cuantía requerida utilizando ahora el esfuerzo máximo hallado con el método de los elementos finitos (figuras 24 y 30). De igual manera, igualando los esfuerzos actuante y resistente, As fy tenemos: 0.18P = = ρ fy befirme De esta manera, encontramos que la cuantía de acero requerida es: ρ = , la cual es 30% menor que la hallada con el procedimiento propuesto, pero mayor que la cuantía mínima requerida (NTCDC, 2004). Figura 31 Mitad izquierda del MPT3, mostrando los anchos y fuerzas de los puntales y tirantes Revisión del espesor del firme El espesor del firme será revisado con el puntal crítico. De la figura 31 vemos que los puntales con mayor carga, son los puntales CI, e IK. Sin embargo, el puntal IK, al ser atravesado por un tirante, experimenta tensiones transversales que disminuyen drásticamente la resistencia a la compresión del concreto (Vecchio y otros, 1986). En el Apéndice se calcula la resistencia a la compresión del concreto en dicho puntal utilizando 26

27 las recomendaciones de cuatro reglamentos de diseño diferentes. La menor resistencia del concreto resultó ser: f* cd = 0.34 f c = 11.9 Mpa. De esta manera: La fuerza resistente del puntal es: b x e x f* cd = 77.4 kn La fuerza actuante en el puntal es: P = 7.0 kn Con lo que concluimos que el espesor del firme de 20mm es adecuado por resistencia. Revisión del apoyo de las unidades prefabricadas del diafragma Mediante las ecuaciones 5, 6 y 7 se puede calcular la expansión en las vigas de los marcos laterales del edificio (marcos 1 o 3, en figura 10.a), producida por la formación de rótulas plásticas en su extremos. Como se mencionó anteriormente, la ecuación 7 lleva implícito un factor de seguridad de dos, debido a la incertidumbre que se tiene en un sismo severo. Sin embargo, para el edificio en estudio, se tienen registradas las distorsiones relativas máximas de los entrepisos, como resultado del ensaye dinámico en mesa vibradora (figura 19.c). De esta figura tomamos la mayor distorsión relativa /h = Por lo tanto, la ecuación 7 queda modificada de la siguiente manera: exp ansion = n ( d d ') (9) k Donde: n =1 (calcularemos la expansión de las vigas de una sola crujía) k = 785/900 = 0.87 (figura 8.b) (d-d ) = 66 mm expansión = 1.1mm Figura 32 Tensión inducida en el diafragma por rótulas plásticas en las vigas de borde Como se mostró en la figura 9, esta expansión puede causar también un alargamiento de la porción del diafragma cercana al sistema lateral, con la aparición de fuerzas de tensión. Estas tensiones pueden ser resistidas conjuntamente por el acero y concreto del firme, o solamente por el acero, si el concreto se agrieta. Suponiendo que toda la expansión de la viga es transmitida a la porción de losa de al lado, mediante la 27