ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ. MARIA CLAUDIA BORRERO CHAUX

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1 ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ. MARIA CLAUDIA BORRERO CHAUX PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL BOGOTÁ, COLOMBIA JUNIO DE 2011 FIRMA FECHA

2 ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ. MARIA CLAUDIA BORRERO CHAUX PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL BOGOTÁ, COLOMBIA JUNIO DE 2011

3 ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ. TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL MARIA CLAUDIA BORRERO CHAUX DIRECTOR DANIEL MAURICIO RUIZ VALENCIA INGENIERO CIVIL M.Sc. PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL BOGOTÁ, COLOMBIA JUNIO DE 2011

4 Bogotá, 11 de Julio de 2011 Ingeniera Sandra Patricia Jarro Sanabria Directora de Carrera Ingeniería Civil Pontificia Universidad Javeriana Apreciada Ingeniera: Por medio de la presente hacemos entrega del proyecto de grado titulado: ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ. Atentamente, Maria Claudia Borrero Chaux C.C.:

5 REGLAMENTO DE LA PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA Art. 23 de la resolución No. 13 del 6 de Julio de 1964 La Universidad no se hace responsable por los conceptos emitidos por sus alumnos en sus trabajos de tesis. Solo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral católica y porque las tesis no contengan ataques o polémicas puramente personales; antes bien, se ve en ellas el anhelo de buscar la verdad y la justicia.

6 FORMATO DE DESCRIPCIÓN DE LA TESIS AUTOR (O AUTORES) Apellidos Borrero Chaux Nombres Maria Claudia. TÍTULO DEL TRABAJO ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ. CIUDAD BOGOTÁ AÑO DE ELABORACIÓN NÚMERO DE PÁGINAS 188 TIPO DE ILUSTACIONES Esquemas de Word, modelos en SAP2000, esquemas de AutoCAD, gráficas en Excel y esquemas de Bestfit.. MATERIAL ANEXO Excel.. Esquemas de SAP2000, esquemas de Bestfit, archivos Microsoft FACULTAD Ingeniería PROGRAMA Ingeniería Civil TÍTULO OBTENIDO Ingeniero Civil MENCIÓN DESCRIPTORES Deriva elástica, deriva inelástica, análisis no lineal estático, variabilidad de las propiedades mecánicas de los materiales, análisis no lineal Pushover, cortante basal resistente.

7 Bogotá, 11 de Julio de 2011 Señores BIBLIOTECA GENERAL Pontificia Universidad Javeriana Ciudad Respetados Señores, Autorizo a los interesados, consultar y reproducir (parcial o totalmente) el contenido del trabajo de grado titulado: ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ, presentado por la estudiante Maria Claudia Borrero Chaux como requisito para optar por el título de Ingeniero Civil, en el año 2011, siempre que mediante la correspondiente cita bibliográfica se les dé crédito al trabajo de grado y a sus autores. Atentamente, Maria Claudia Borrero Chaux C.C.:

8 AGRADECIMIENTOS La autora agradece cordialmente a: CESAR AUGUSTO BORRERO GARCÍA, Ingeniero Civil, padre maravilloso y ejemplo de vida, por su apoyo, su dedicación y su amor. A mi madre, mi hermano, mis familiares, mis amigos y todos aquellos conocidos y desconocidos que me apoyaron, colaboraron y acompañaron incondicionalmente durante la realización del trabajo. RICARDO JARAMILLO RIVERA y CARLOS EDUARDO RIVEROS PEDRAZA, compañeros de estudio y futuros ingenieros civiles, por su gran colaboración y su eterna paciencia. DANIEL MAURICIO RIUZ VALENCIA, Ingeniero Civil y Director del trabajo grado, por la colaboración, las enseñanzas, las correcciones, la confianza y la paciencia durante el desarrollo del trabajo.

9 A mis padres, mi hermano y mi familia. A todos aquellos que sueñan.

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11 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. TABLA DE CONTENIDO 1 Introducción Objetivos Objetivo general Objetivos específicos Alcance Marco teórico Conceptos básicos del análisis no lineal Análisis no lineal por la geometría Análisis no lineal por el material Materiales Concreto inconfinado Concreto confinado Acero de refuerzo Diagrama momento curvatura Determinación de la curva teórica del diagrama M-f para vigas simplemente reforzadas Punto A: primer agrietamiento Punto B: punto de fluencia del acero Punto C punto último Determinación de la curvatura teórica del diagrama M φ para columnas Punto A: Primer agrietamiento Punto B: Punto de fluencia del acero a tensión Punto C punto ultimo Nivel de desempeño de las estructuras Elementos estructurales Elementos no estructurales Introducción Página 11 de 188

12 Maria Claudia Borrero Chaux Nivel global de desempeño Respuesta histerética Deriva inelástica Variabilidad de las propiedades mecánicas de los materiales de Bogotá Concreto Acero de refuerzo Análisis de la variabilidad de los materiales Concreto Acero de refuerzo Generación de números aleatorios Fórmula para determinar el módulo de elasticidad Diseño de pórticos Metodología de diseño Avalúo de Cargas Carga muerta Carga viva Metodología de Análisis Dimensionamiento de elementos estructurales Modos de vibración Diseño de concreto reforzado Deriva Elástica Visual Basic Piedemonte-B Análisis dinámico elástico espectral Fuerza Horizontal Equivalente Lacustre Página 12 de 188 Introducción

13 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá Análisis dinámico elástico espectral Fuerza Horizontal Equivalente Análisis de resultados Deriva inelástica Visual Basic Piedemonte-B Lacustre Análisis de resultados Cortante basal resistente Piedemonte-B Lacustre Conclusiones y recomendaciones Referencias Introducción Página 13 de 188

14 Maria Claudia Borrero Chaux ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2-1 Propiedades de la sección Tabla 2-2 Propiedades de la sección Tabla 2-3 Niveles de desempeño. Tomado de (ATC-40, 1996) Tabla 2-4 Pasos para ir de carga a deflexión en sistemas elásticos. Teoría de Navier. Tomado de (García, 1998) Tabla 2-5 Valores estadísticos para el total de barras ensayadas. Tomado de (González et al, 2005) Tabla 3-1 Análisis estadístico Resistencia a la compresión del concreto (f'c) Tabla 3-2 Análisis estadístico Módulo elástico del concreto (E) Tabla 3-3 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) Tabla 3-4 Análisis estadístico Resistencia última (fu) Tabla 3-5 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1" Tabla 3-6 Análisis estadístico Resistencia última (fu) para barras de Tabla 3-7 Análisis estadístico fu/fy Tabla 3-8 Análisis estadístico de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto (f'c) Tabla 3-9 Análisis estadístico de 1000 valores aleatorios de la resistencia a la fluencia (fy) Tabla 4-1 Características de los materiales Tabla 4-2 Características espectros de diseño Tabla 4-3. Características de la losa de entrepiso Tabla 4-4. Avalúo de carga muerta para pisos intermedios Tabla 4-5. Peso por metro lineal vigas para pisos intermedios Tabla 4-6. Avalúo de carga muerta para la cubierta Tabla 4-7. Cargas por metro lineal para vigas de cubierta Tabla 4-8. Avalúo de carga Viva Tabla 4-9. Dimensiones de elementos estructurales Tabla 4-10 Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para Piedemonte-B Tabla Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa Lacustre Tabla 4-12 Refuerzo para pórtico Lacustre Página 14 de 188 Introducción

15 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 4-13 Refuerzo para pórtico Piedemonte Tabla 5-1 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte Tabla 5-2 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método del espectro - Piedemonte Tabla 5-3 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte Tabla 5-4 Fuerza horizontal equivalente - Piedemonte Tabla 5-5 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE - Piedemonte Tabla 5-6 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método FHE - Piedemonte Tabla 5-7 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método FHE Piedemonte Tabla 5-8 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro. Lacustre Tabla 5-9 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro Lacustre Tabla 5-10 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre Tabla 5-11 Fuerza Horizontal Equivalente - Lacustre Tabla 5-12 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE Lacustre Tabla 5-13 Análisis estadístico de 500 valores de deriva elástica por el método de FHE Lacustre Tabla 5-14 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método de FHE Lacustre Tabla 5-15 Resumen resultados deriva elástica para Piedemonte B Tabla 5-16 Resumen resultados deriva elástica para Lacustre Tabla 6-1 Valores mínimos de f'c y fy Tabla 6-2 Valores máximos de f'c y fy Tabla 6-3 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y Pushover Tabla 6-4 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte Introducción Página 15 de 188

16 Maria Claudia Borrero Chaux Tabla 6-5 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte Tabla 6-6 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Piedemonte Tabla 6-7 Valores mínimos de f'c y fy Tabla 6-8 Valores máximos de f'c y fy Tabla 6-9 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y Pushover Tabla 6-10 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B Lacustre Tabla 6-11 Análisis estadístico deriva inelástico. Nivel de daño IO - Lacustre Tabla 6-12 Anbálisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre Tabla 6-13 Resumen de resultados deriva inelástica - Piedemonte Tabla 6-14 Resumen de resultados deriva inelástica Lacustre Tabla 7-1 Análisis estadístico cortante basal resistente - Piedemonte Tabla 7-2 Análisis estadístico cortante basal resistente - Lacustre Página 16 de 188 Introducción

17 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. ÍNDICE DE GRÁFICAS Gráfica 2-1 Diagrama momento - curvatura Gráfica 3-1 Histograma Resistencia a la compresión del concreto (f c) Gráfica 3-2 Histograma Módulo elástico del concreto (E) Gráfica 3-3 Histograma Resistencia a la fluencia (fy) Gráfica 3-4 Histograma Resistencia última (fu) Gráfica 3-5 Histograma Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1" Gráfica 3-6 Histograma Resistencia última (fu) para barras de Gráfica 3-7 Histograma fu/fy Gráfica 3-8 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema internacional Gráfica 3-9 Regresión estadística para el módulo de elasticidad Gráfica 4-1. Espectros de diseño Microzonificación Sísmica de Bogotá Gráfica 5-1 Comportamiento de la deriva en función del número de simulaciones Gráfica 5-2 Espectro de diseño Piedemonte-B. (Tomado de la Microzonificación sísmica de Bogotá, Decreto 523 de 2010) Gráfica 5-3 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte Gráfica 5-4 Resultados típicos deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte 111 Gráfica 5-5 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE Piedemonte Gráfica 5-6 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE - Piedemonte Gráfica 5-7 Espectro de diesño Lacustre-500. Tomado de la Microzonificación sísmica de Bogotá Gráfica 5-8 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre Gráfica 5-9 Resultados deriva elástica por el método del espectro - Lacustre Gráfica 5-10 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE Lacustre Gráfica 5-11 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE Piedemonte Gráfica 5-12 Probabilidad de excedencia de la deriva máxima con respecto a la deriva de diseño Introducción Página 17 de 188

18 Maria Claudia Borrero Chaux Gráfica 6-1 Curva Pushover para valores mínimos - Piedemonte Gráfica 6-2 Curva Pushover para valores máximos Piedemonte Gráfica 6-3 Resultados típicos de Pushover para Piedemonte Gráfica 6-4 Resumen distribución de probabilidad deriva inelástica - Piedemonte Gráfica 6-5 Curva Pushover para valores mínimos Lacustre Gráfica 6-6 Curva Pushover para valores máximos Lacustre Gráfica 6-7 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 Lacustre. (Tomado de Bestfit) Gráfica 6-8 Resumen distribución de probabilidad deriva inelástica - Lacustre Página 18 de 188 Introducción

19 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2-1 Diferencia de la respuesta entre análisis lineal y no lineal. Tomado de 30 Figura 2-2 Análisis no lineal por la geometría de una estructura Tomado de 31 Figura 2-3 Carga y descarga de la unión viga columna de acero bajo cargas dinámicas. Tomado de 31 Figura 2-4 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto inconfinado. (Tomado de XTRACT, 2004) Figura 2-5 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto confinado. (Tomado de XTRACT, 2004) Figura 2-6 Curva esfuerzo - deformación para el acero. (Tomado de XTRACT, 2004) Figura 2-7 Deformaciones unitarias de un elemento sometido a flexión. Tomado de (Ruiz, 2000) Figura 2-8 Curva típica del diagrama de momento-curvatura de una sección sub reforzada (cuantía menor a la balanceada). Tomado de (Ruiz, 2000) Figura 2-9 Curva teórica para el diagrama momento curvatura para sección sobrerreforzada. Tomado de (Ruiz, 2000) Figura 2-10 Dimensiones de la sección transversal. Tomado de (Ruiz,2000) Figura 2-11 Dimensiones de la sección transversal de una viga en concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000) Figura 2-12 Deformaciones unitarias en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz, 2000) Figura 2-13 Fuerzas y deformaciones unitarias en el punto de resistencia última de la sección. Tomado de (Ruiz, 2000) Figura 2-14 Dimensiones de la sección transversal de una columna de concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000) Figura 2-15 Propiedades geométricas de una columna de concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000) Figura 2-16 Sumatoria de fuerzas en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz, 2000) Figura 2-17 Sumatoria de fuerzas en el punto de resistencia última de sección. Tomado de (Ruiz, 2000) Introducción Página 19 de 188

20 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 2-18 Curva de capacidad típica. Tomado de (ATC-40, 1996) Figura 2-19 Estructura somedita a un evento sísmico. Tomado de (Crisafulli, 2002) Figura 2-20 Curva esfuerzo - deformación para un material inelástico. Tomado de (García, 1998) Figura 2-21 Curva típica de momento-giro de una viga de concreto reforzado. Tomado de (Marín, 2004) Figura 2-22 Distribución de la curvatura de una viga en voladizo. Tomado de (García y Ramírez, 2004) Figura 2-23 Modelos de histéresis. Adaptada de (García, 1998) Figura 2-24Deriva máxima en ensayos para a) Todos los especímenes y b) Especímenes que no fueron llevados a la falla. (Tomado de Dymiotis,Ch.et al.,1999) Figura 2-25 Regresión estadística que dió origen a la fórmula del módulo de elasticidad de la referencia AIS (1998) (promedio nacional). Extractado (escaneado) de Cortés, Zabaleta y Amézquita (1995) Figura 2-26 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema internacional. Tomado de: Ruiz, Vacca y León, Figura 3-1 Distribución de probabilidad Resistencia a la compresión del concreto (f'c). (Tomado de Bestfit) Figura 3-2 Distribución de probabilidad Módulo de elasticidad del concreto (E). Tomado de Bestfit Figura 3-3 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy). Tomado de Bestfit Figura 3-4 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu). Tomado de Bestfit Figura 3-5 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1". Tomado de Bestfit Figura 3-6 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu) para barras de 1. Tomado de Bestfit Figura 3-7 Distribución de probabilidad de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto (f'c). Tomado de Bestfit Figura 3-8 Distribución de probabilidad de 1000 valores aleatoreos del esfuerzo de fluencia del acero (fy). (Tomado de Bestfit) Figura 4-1. Planta Típica adaptada de García (1996) Página 20 de 188 Introducción

21 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 4-2. Esquema pórtico eje Figura 4-3 Sección transversal losa Figura 4-4. Asignaciones de carga muerta. Tomado de SAP Figura 4-5. Asignación de carga viva. (Tomado de SAP2000 ) Figura 4-6 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Piedemonte. Tomado de SAP Figura 4-7 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Lacustre. Tomado de SAP Figura 4-8 Orientación y dimensiones columnas Lacustre Figura 4-9 Orientación columnas para pórtico Lacustre. Tomado de SAP Figura 4-11Sección transversal COLY. Lacustre Figura 4-10 Sección transversal COLCENTRO. Laustre Figura 4-12 Sección transversal CCENTRO. Lacustre Figura 4-15 Orientación y dimensiones columnas Piedemonte Figura 4-16 Orientación columnas para pórtico Piedemonte. Tomado de SAP Figura 4-14 Sección transversal Viga 5. Lacustre Figura 4-13 Sección transversal Viga 1-4. Lacustre Figura 4-18 Sección transversal COLCENTRO. Piedemonte Figura 4-17 Sección transversal COLY. Piedemonte Figura 4-19 Sección transversal Viga5. Piedemonte Figura 4-20 Sección transversal Viga 1-4. Piedemonte Figura 5-1 Distribución de probabilidad para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit) Figura 5-2 Distribución de proabilidad para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro Piedemonte. (Tomado de Bestfit) Figura 5-3 Distribución de probabilidad para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit) Figura 5-4 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit) Figura 5-5 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método FHE Piedemonte. (Tomado de Bestfit) Figura 5-6 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit) Introducción Página 21 de 188

22 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 5-7 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro Lacustre. (Tomado de Bestfit) Figura 5-8 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre. (Tomado de Bestfit) Figura 5-9 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro. (Tomado de Bestfit) Figura 5-10 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE Lacustre. (Tomado de Bestfit) Figura 5-11 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método de FHE Lacustre. (Tomado de Bestfit) Figura 5-12 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método de FHE - Lacustre. (Tomado de Bestfit) Figura 5-13 Deriva máxima permitida en la NSR-10. (Tomado de (AIS, 2010)) Figura 5-14 Análisis estadísticos y funciones de distribución de probabilidad ajustada para la deriva de los dos edificios diseñados (con Piedemonte B y con Lacustre 500) y para análisis modal espectral y para fuerza horizontal equivalente Figura 6-1 Diagrama de momento rotación con los niveles de daño Figura 6-4 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA Figura 6-2 Sección transversal COLY Figura 6-3 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000 ) Figura 6-5 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-6 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-7 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-8 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-9 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-10 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Página 22 de 188 Introducción

23 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-11 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-12 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-13 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-14 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-15 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-16 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-17 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-18 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 14 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-19 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 15 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-20 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-21 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-22 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-23 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-24 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-25 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-26 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-27 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Introducción Página 23 de 188

24 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-28 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-29 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-30 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-31 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-32 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-33 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 14 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-34 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 15 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP Figura 6-35 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 Piedemonte. (Tomado de Bestfit) Figura 6-36 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte Figura 6-37 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte. (Tomdado de Bestfit) Figura 6-38 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS - Piedemonte. (Tomado de Bestfit) Figura 6-39 Sección transversal CCENTRO. (Tomado de SAP2000 ) Figura 6-40 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000 ) Figura 6-41 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA 5. (Tomado de SAP2000 ) Figura 6-42 Sección transversal COLY. (Tomado de SAP2000 ) Figura 6-43 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-44 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-45 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Página 24 de 188 Introducción

25 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-46 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-47 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-48 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-49 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-50 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-51 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-52 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-53 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-54 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-55 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-56 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-57 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-58 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-59 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-60 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-61 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-62 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Introducción Página 25 de 188

26 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-63 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-64 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-65 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP Figura 6-66 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B Lacustre. (Tomado de Bestfit) Figura 6-67 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño IO - Lacustre. (Tomado de Bestfit) Figura 6-68 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre. (Tomado de Bestfit) Figura 6-69 Deriva inelástica. (Tomado de (AIS, 2010)) Figura 7-1 Distribución de probabilidad cortante basal resistente Piedemonte. (Tomado de Bestfit) Figura 7-2 Distribución de probabilidad cortante basal resistente - Piedemonte. (Tomado de Bestfit) Página 26 de 188 Introducción

27 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. 1 INTRODUCCIÓN Los parámetros más importantes que utilizan los ingenieros calculistas para el diseño de edificaciones de concreto reforzado son: Módulo de elasticidad, resistencia a la compresión del concreto a los 28 días, el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo, la geometría de los elementos estructurales, las cargas y la ubicación y la cantidad del acero de refuerzo. Al tener en cuenta simultáneamente esas variables, se diseñan las edificaciones de acuerdo con la normatividad existente (ACIS,2010). Para considerar la variabilidad de la resistencia de los materiales y de las cargas que actúan sobre los sistemas estructurales, se utiliza desde hace más de 25 años en Colombia el método LRFD (Load and Resistance Factor Design), en el cual se mayoran las cargas y se disminuyen las resistencias con el fin de tener adecuados valores de factores de seguridad. Este método de diseño parte de análisis probabilísticos cuyo fundamento se explica en detalle en (Sánchez, 2004). Dichas combinaciones de carga fueron derivadas para el diseño estructural de elementos, más no para evaluar los desplazamientos que se presentan en un sistema estructural que ha sido afectado por cargas externas. Sin embargo, en la actualidad se utilizan dichas combinaciones de carga tanto para el diseño como para evaluar la flexibilidad. En el caso específico de Bogotá la carga sísmica es la que normalmente controla el diseño de los edificios; siendo la deriva sísmica uno de los parámetros que mayor influencia tiene en el tamaño de los elementos estructurales. La deriva elástica depende de tres parámetros básicamente: la carga sísmica, el módulo de elasticidad del concreto, y las dimensiones de los elementos estructurales. Según la referencia (Gallego y Sarria, 2006) la incertidumbre del módulo de elasticidad aumenta la incertidumbre de la rigidez de un sistema estructural; y se menciona que estudios de confiabilidad han establecido que los resultados de los modelos numéricos pueden dar errores de hasta el 30% de la estimación real de los desplazamientos de un edificio. Esto puede ser la diferencia entre un desastre y la supervivencia de los elementos estructurales y no estructurales de una edificación. De acuerdo con la referencia (Ruiz, Vacca y León, 2007) para el caso de Bogotá y para el concreto de 21MPa, el concreto puede tener un módulo de elasticidad que varía entre 7500MPa y 22500MPa. Esta variación automáticamente genera que las derivas Introducción Página 27 de 188

28 Maria Claudia Borrero Chaux calculadas mediante modelos numéricos sean diferentes a las reales y corrobora las anotaciones que hicieron (Gallego y Sarria, 2006). Por otro lado, la deriva inelástica calculada mediante análisis no lineales estáticos de Pushover, como los descritos en (ATC40, 1996), depende tanto de la rigidez inicial de los materiales como de sus valores de resistencia: Resistencia a la compresión del concreto a los 28 días, y esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo (f c y fy). De acuerdo con (DIACO y CIMOC 2000) y (Ruiz, Vacca y León, 2007), fy y f c también son variables aleatorias. Específicamente en el estudio de (DIACO y CIMOC, 2000) se estableció que el coeficiente de variación para el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo utilizado en el país era del 7%. Sin embargo, para el caso específico de Bogotá no se han encontrado publicaciones que muestren dicha variación; siendo este uno de los objetivos específicos del trabajo que se va a realizar. En la literatura técnica y científica nacional, no abundan análisis de confiabilidad que consideren comportamientos inelásticos del concreto reforzado sometidos a carga sísmica y usando materiales colombianos. Dentro de los pocos documentos que estudiaron este tema está el de (Muñoz et al, 2005) y (Prieto et al, 2005) en donde se realizaron análisis de confiabilidad para una edificación indispensable (hospital) que no fue construido con la norma sismoresistente vigente. De acuerdo con todo lo anterior existe un vacío conceptual de la variabilidad que pueden tener las derivas elásticas e inelásticas así como el cortante basal resistente de edificaciones de concreto construidas en Bogotá. Es precisamente este vacío el que pretende llenar el presente trabajo. Página 28 de 188 Introducción

29 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. 1.1 OBJETIVOS Objetivo general Evaluar la variabilidad de la deriva elástica e inelástica y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado diseñados con la NSR-10 y con la microzonificación sísmica de Bogotá Objetivos específicos Determinar la variación del esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo utilizado en Bogotá. Estimar las funciones de distribución de probabilidad de la deriva inelástica con base en análisis no lineales estáticos de Pushover. Determinar la variación en el comportamiento estructural de pórticos de concreto reforzado considerando la aleatoriedad de las propiedades mecánicas del concreto y el acero usados en Bogotá. 1.2 ALCANCE El alcance de este trabajo está definido por las siguientes limitaciones: El estudio realizado sólo es aplicable a Estructuras construidas en Concreto Reforzado de acuerdo con la NSR-10 y la Microzonificación Sísmica para Bogotá (2010). El análisis de las edificaciones se realizó mediante modelos computacionales, por lo cual constituye un análisis teórico y no hay verificación experimental del mismo. El análisis se realizó en pórticos planos y no se tuvo en cuenta los efectos tridimensionales ni de la cimentación. Introducción Página 29 de 188

30 Maria Claudia Borrero Chaux 2 MARCO TEÓRICO (Adaptado de Romero, A; Becerra, O (2006)) 2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DEL ANÁLISIS NO LINEAL El análisis lineal asume que la relación entre cargas y desplazamientos resultantes es lineal, es decir, se cumple el principio de superposición: si se duplica la magnitud de la carga se obtiene el doble de respuesta del modelo (desplazamientos, deformaciones y tensiones resultantes). Sin embargo, todas las estructuras construidas se comportan de forma no lineal a partir de un cierto nivel de la carga. Por tanto, un análisis lineal como el que se realiza normalmente, puede ser adecuado, pero en otros muchos la solución lineal producirá resultados erróneos, en cuyo caso se deberá realizar un análisis no lineal, tomando en cuenta la fluencia y la falla de los elementos. Figura 2-1 Diferencia de la respuesta entre análisis lineal y no lineal. Tomado de Análisis no lineal por la geometría En el análisis no lineal, una importante fuente de no linealidades se debe al efecto de los grandes desplazamientos en la configuración geométrica global de la estructura. En un análisis lineal los desplazamientos inducidos son muy pequeños, de tal forma que se ignoran los cambios de rigidez de la estructura causados por las cargas. En cambio, las estructuras y las características mecánicas de los materiales con grandes desplazamientos pueden experimentar importantes cambios en la geometría debido a que las cargas inducidas por la deformación pueden provocar una respuesta no lineal de la estructura en forma de rigidización (stress stiffening) o ablandamiento (stress softening). Página 30 de 188 Marco teórico

31 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 2-2 Análisis no lineal por la geometría de una estructura Tomado de Análisis no lineal por el material Otra importante causa de no linealidad se debe a la relación no lineal existente entre esfuerzo y deformación. Esta situación ocurre cuando el material no sigue la Ley de Hook, es decir, los esfuerzos no son directamente proporcionales a las deformaciones. Algunos materiales se comportan linealmente sólo si las deformaciones son muy pequeñas, pero a medida que la deformación o la carga aumentan, la relación deja de ser lineal. Existen diferentes factores que hacen que un material tenga un comportamiento no lineal como la dependencia de la curva de esfuerzo-deformación del material de la historia de cargas (problemas con plasticidad), la duración de la carga (análisis de fluencia - creep) o la temperatura (problemas termo-plásticos). Un ejemplo de comportamiento no lineal por el material es el caso de plastificación de la unión viga-columna de acero durante un sismo. Figura 2-3 Carga y descarga de la unión viga columna de acero bajo cargas dinámicas. Tomado de Marco teórico Página 31 de 188

32 Maria Claudia Borrero Chaux 2.2 MATERIALES Los elementos estructurales están hechos de concreto reforzado y según (AIS, 2010), siempre se debe colocar refuerzo transversal al eje del elemento, aunque sea con la cuantía mínima, esto hace que los elementos tengan una zona de concreto confinada lo que hace que la resistencia a la compresión de los elementos estructurales sea mayor. Según (Ruiz, 2000), el concreto sin confinamiento, cargado uniaxialmente en compresión tiene una relación de Poisson del orden de 0.15 a 0.20 en los estados iniciales de carga cuando se introducen niveles de deformación axial altos. Las deformaciones transversales se vuelven muy grandes debido a una microfisuración progresiva interna, lo cual conlleva a un aumento del volumen del concreto, cuando los esfuerzos se acercan a los valores de la resistencia no confinada del concreto. La falla ocurre por ruptura longitudinal del concreto. Cuando hay refuerzo transversal, se sabe que a niveles bajos de deformación longitudinal el refuerzo transversal está sometido a esfuerzos muy bajos y por lo tanto está en un estado no confinado. Por esta razón la curva esfuerzo-deformación presentada por Kent y Park es la misma para concreto confinado y no confinado para deformaciones unitarias inferiores a Se supone que a estos valores de deformación unitaria y por lo tanto de esfuerzos, el refuerzo transversal no está confinando el núcleo central del elemento estructural, en cuanto el volumen de concreto no se ha expandido lo suficiente por efectos del módulo de Poisson del material. En la medida que las deformaciones transversales se hacen mayores, el refuerzo transversal induce confinamiento en el concreto del núcleo. Por lo tanto, el refuerzo transversal aplica una presión de confinamiento pasiva la cual mejora substancialmente la relación esfuerzo-deformación del concreto para valores altos de deformación Concreto inconfinado En la Figura 2-4 se muestra la curva característica de esfuerzo deformación para el concreto inconfinado conocida como la curva de Mander para el concreto inconfinado. Página 32 de 188 Marco teórico

33 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 2-4 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto inconfinado. (Tomado de XTRACT, 2004) Donde: ξ cc = Deformación unitaria del concreto en la máxima resistencia (0.002) ξ cu = Deformación última del concreto ξ sp = Deformación de descascaramiento f c = Resistencia de compresión del concreto a los 28 días f cu = Esfuerzo para la deformación ξ cu f cp = Resistencia del concreto después del descascaramiento E c = Módulo de elasticidad del concreto Las ecuaciones que describen el comportamiento del modelo esfuerzo deformación con el cual se obtiene la curva que se muestran en la referencia (Mander, 1988) son las siguientes: Cuando la deformación es lenta y hasta que llega a f c f c f cc * x * r r 1 x r (Ec 2.1) x c (Ec 2.2) cc Marco teórico Página 33 de 188

34 Maria Claudia Borrero Chaux E r (Ec 2.3) E c c E sec Donde: f cc = Resistencia a la compresión del concreto confinado ξ c = Deformación longitudinal a compresión del concreto E c = Módulo de elasticidad tangente del concreto E sec = Módulo de elasticidad secante Cuando la deformación unitaria es menor a la deformación de descascaramiento se utiliza la siguiente ecuación: f c cu f cu f cp f cu * (Ec 2.4) sp c u Esta resistencia para el concreto inconfinado se utiliza para la zona de la sección de los elementos de concreto reforzado que queda afuera del acero transversal Concreto confinado En la Figura 2-5 se muestra la curva esfuerzo-deformación para el concreto confinado, conocida como la curva de Mander para una sección circular de concreto confinado. Figura 2-5 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto confinado. (Tomado de XTRACT, 2004) Página 34 de 188 Marco teórico

35 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Donde: ξ cc = Deformación unitaria del concreto en la máxima resistencia (0.002) ξ cu = Deformación última del concreto. f c = Resistencia de compresión del concreto a los 28 días. f cc = Resistencia máxima del concreto confinado (aproximadamente 25% más de la resistencia del concreto). Las ecuaciones que describen el comportamiento del modelo esfuerzo deformación con el cual se obtiene la curva que se muestran en la referencia (Mander, 1988) son las siguientes: f c f cc * x * r r 1 x r (Ec 2.5) f cc cc * 1 (Ec 2.6) f c Este aumento en la resistencia se debe a las presencia del acero transversal. El aumento es válido para deformaciones menores a (deformación para la máxima resistencia) Acero de refuerzo La curva característica para el acero basada en el modelo bilineal de endurecimiento por deformación parabólica se muestra en la Figura 2-6. Figura 2-6 Curva esfuerzo - deformación para el acero. (Tomado de XTRACT, 2004) Marco teórico Página 35 de 188

36 Maria Claudia Borrero Chaux Donde: f y = Esfuerzo de fluencia. ξ cc = Deformación de fluencia. ξ sh = Deformación de la fase de endurecimiento. f y = Esfuerzo último o de rotura. ξ u = Deformación ultima del material. El comportamiento del modelo se representa por la ecuación: f s u fu fu f y * (Ec 2.7) u sh 2.3 DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA El radio de curvatura de una sección se mide con respecto al eje neutro de la sección. El radio de curvatura, R, la profundidad del eje neutro kd, la deformación del concreto en la fibra extrema a compresión y la deformación del acero a tensión varían a lo largo del miembro. Si se considera un pequeño elemento de longitud dx, componente de un elemento estructural sometido a flexión, se puede elaborar un grafico (ver Figura 2-7) a partir del cual se establecen las siguientes relaciones: dx R cdx kd 1 c s R kd d 1 sdx d1 k k (Ec. 2.8) (Ec. 2.9) Página 36 de 188 Marco teórico

37 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 2-7 Deformaciones unitarias de un elemento sometido a flexión. Tomado de (Ruiz, 2000) Como 1/R es la curva del elemento (rotación por unidad de longitud), entonces se tiene que: c s s c kd d(1 k) d (Ec. 2.10) La curvatura (f) puede variar a lo largo de la longitud del miembro de las fluctuaciones del eje neutro y de las deformaciones. Con incrementos en el momento, las fracturas en el concreto reducen la rigidez de la sección, reducción que es mayor para las secciones que no poseen demasiado refuerzo de acero longitudinal. De acuerdo con (García, 1998) cuando el acero fluye, se presenta un gran incremento en la curvatura para aproximadamente el mismo momento flector. El momento va creciendo lentamente y luego baja hasta la falla, que se define cuando el concreto llega a la deformación unitaria de ξ c. La ecuación Ec se fundamenta en la suposición de que las secciones transversales son planas. Una curva típica para una sección con poco acero (con cuantía inferior a la balanceada o sub-reforzada) se presenta en la Figura 9. Marco teórico Página 37 de 188

38 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 2-8 Curva típica del diagrama de momento-curvatura de una sección sub reforzada (cuantía menor a la balanceada). Tomado de (Ruiz, 2000) Si la sección tiene demasiado acero, el diagrama Momento curvatura se vuelve no lineal cuando el concreto entra en el rango inelástico de la curva esfuerzo deformación, y la falla ocurre de manera frágil a menos que tenga confinado el concreto. Es por esta razón que en la práctica se usan vigas con contenido de acero menor al balanceado, para asegurar que no se va a presentar una falla frágil de la sección Determinación de la curva teórica del diagrama M-f para vigas simplemente reforzadas En una sección sobrerreforzada, la relación momento curvatura, se puede tomar elastoplástica. La distribución teórica debe estar compuesta por dos segmentos con una marcada tendencia lineal, y dos curvas (Ver Figura 2-9). Figura 2-9 Curva teórica para el diagrama momento curvatura para sección sobrerreforzada. Tomado de (Ruiz, 2000) Página 38 de 188 Marco teórico

39 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. En un inicio se tiene una recta que cambia abruptamente su pendiente cuando se presenta una micro fisura, la cual logra atravesar la sección a tensión del concreto, luego se presenta otra recta que llega un momento tal que se presenta una rótula plástica, ya que la sección presenta altas curvaturas para pequeños incrementos de momento. Cuando se llega al rango inelástico de la estructura, la curva de esfuerzo contra deformación se comporta de manera diferente dependiendo de sí el concreto está confinado o no. Cuando el concreto no está confinado, su comportamiento es como el de un cilindro estándar, en el cual f c es la resistencia máxima a la compresión. La curvatura inicial es una parábola que al llegar a f c se convierte en una recta con pendiente negativa, teniendo una pendiente mayor (menos negativa) en concreto no confinado. Conociendo las curvas de esfuerzo deformación del concreto y del acero, puede determinarse el diagrama M-f para diferentes configuraciones de refuerzo del elemento estructural analizado. Cuando se tiene un bajo nivel de esfuerzos, en el cual el concreto se comporta elásticamente, el eje neutro de la sección se encuentra en el centroide. En el momento en que aparece la primera grieta el eje neutro comienza a desplazarse hacia la zona de compresión, originándose un aumento en el esfuerzo de compresión debido a que aumenta la fuerza y disminuye el área efectiva que soporta los esfuerzos. En este punto la tensión es absorbida únicamente por el acero de tal forma que se conserva el equilibrio en toda la sección. De acuerdo con (Reyes,1989), la aparición de la primera grita hace que las deformaciones aumenten en el miembro así mismo cuando un concreto es de alta resistencia, es fácil que se presenten descascaramientos debidos a la fragilidad del material. El diagrama de momento-curvatura puede definirse con tres puntos básicos como se muestra en la Gráfica 2-1: Punto A: Primer agrietamiento del concreto Punto B: Fluencia del acero a tensión Punto C: Punto de resistencia última del concreto Marco teórico Página 39 de 188

40 Maria Claudia Borrero Chaux Gráfica 2-1 Diagrama momento - curvatura La teoría que se desarrollará a continuación está basada en unidades de fuerza en kg y unidades de desplazamiento en cm. Para otro tipo de sistema de unidades, deben cambiarse algunas constantes. Figura 2-10 Dimensiones de la sección transversal. Tomado de (Ruiz,2000) Nomenclatura utilizada en los materiales estructurales: Acero de refuerzo: A s = Área de acero de refuerzo a tensión A s = Área de acero de refuerzo a compresión E s = Módulo de elasticidad del acero F y = Esfuerzo de fluencia del acero Página 40 de 188 Marco teórico

41 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Concreto: f c = Resistencia máxima a la compresión de un cilindro de concreto a los 28 días E c = Módulo de elasticidad del concreto Punto A: primer agrietamiento Cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en el concreto: f r = Esfuerzo en el concreto para el primer agrietamiento (Ec 2.11) Deformación unitaria en el primer agrietamiento n = Relación modular f E r (Ec. 2.12) E c s n (Ec. 2.13) Cálculo de deformaciones unitarias en el acero s = Deformación unitaria en el acero a tensión para la carga aplicada y = Deformación unitaria de fluencia en el acero E s s y Es Calculo de la inercia de la sección transformada (Ver Figura 2-11) c f (Ec. 2.14) Marco teórico Página 41 de 188

42 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 2-11 Dimensiones de la sección transversal de una viga en concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000) Y b = Localización de la fibra extrema a compresión medida a partir del centroide de la sección. Y t = Localización de la fibra extrema a tensión medida a partir del centroide de la sección. Y h (Ec. 2.15) t Y b Tabla 2-1 Propiedades de la sección Material Área (A) Centroide (Y) AY I O AY 2 I O +AY 2 Concreto Bh Yb-h/2 bh(yb-h/2) bh 3 /12 Bh(Yb-h/2) 2 bh3/12+bh(yb-h/2)2 Acero (n-1)a s d-yb (n-1)a s (d-yb) (n-1)a s (d-yb) 2 (n-1)as(d-yb)2 TOTAL A AY Punto B: punto de fluencia del acero A Y2 I o I yy Ocurre cuando el esfuerzo del acero que se encuentra a tensión (A s ) llega a un valor de f y. Sea Kd la distancia desde el eje neutro hasta la fibra extrema a compresión. Luego K es una fracción de la altura efectiva d. Kd K (Ec. 2.16) d Página 42 de 188 Marco teórico

43 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Marco teórico Página 43 de 188 Se debe proceder a verificar la deformación unitaria en el concreto sabiendo que el acero se encuentra en su esfuerzo de fluencia. Se compara c con o = Si c < o =0.002, entonces se debe usar las siguientes expresiones: 2 o c o c c o c o (Ec. 2.17) Si c > o =0.002, entonces se deben usar las siguientes expresiones para y para : c c o o c o Z (Ec. 2.18) c o c o c o Z Z (Ec. 2.19) Realizando la sumatoria de fuerzas, a partir del diagrama de cuerpo libre de la Figura 2-12 se tiene: Figura 2-12 Deformaciones unitarias en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz, 2000) En este punto s = y, luego T s =A s f y. Del equilibrio de fuerzas se tiene que: s C c T fcbkd f A y s (Ec. 2.20) De compatibilidad de deformaciones se tiene: k kd d c y c c y c (Ec. 2.21)

44 Maria Claudia Borrero Chaux Y reemplazando: A s f y c f cbd (Ec. 2.22) c y Pero es una función de c y por lo tanto utilizando tanteos se busca un valor de c que cumpla la ecuación anterior. Con el valor de c se busca, y el momento se obtiene con: M y A f d 1 k (Ec. 2.23) s y La curvatura se calcula con: c y (Ec. 2.24) kd Punto C punto último Figura 2-13 Fuerzas y deformaciones unitarias en el punto de resistencia última de la sección. Tomado de (Ruiz, 2000) En este punto ξ c = ξ cu del equilibrio de fuerzas se tiene que: T sfy fcbkd s C c De compatibilidad de deformaciones: (Ec. 2.25) cu d y cu kd cu cu s k (Ec. 2.26) Página 44 de 188 Marco teórico

45 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Y reemplazando: A s f y cu f cbd (Ec. 2.27) cu s 0.8 Si c 20c , entonces se deben usar las siguientes expresiones para α y para : c (Ec. 2.28) c 2 c c (Ec. 2.29) 0.8 Si 0 c 20c entonces deben usarse las siguientes expresiones para α y para : Pero (Ec. 2.30) 3 c c c (Ec. 2.31) 12 3 c cu es conocido, por lo tanto α y también. Esto permite despejar el valor de s que cumple la ecuación A S f Y cu f cbd cu s Finalmente el momento se obtiene con la siguiente expresión: Mu AsFyd 1k (Ec. 2.32) Marco teórico Página 45 de 188

46 Maria Claudia Borrero Chaux La curvatura se calcula con: cu y (Ec. 2.33) kd Así mismo pueden ser calculados los diagramas de momento curvatura para columnas y vigas doblemente reforzadas Determinación de la curvatura teórica del diagrama M φ para columnas Toda la teoría que se desarrollará a continuación está basada en unidades de fuerza en Kg y desplazamiento en cm. Para otro tipo de sistema de unidades, deben cambiarse algunas constantes. Figura 2-14 Dimensiones de la sección transversal de una columna de concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000) Nomenclatura utilizada en los materiales estructurales: Acero de refuerzo A s = Área de acero de refuerzo a tensión. A s = Área de acero de refuerzo a compresión. Es = Módulo de elasticidad del acero (se asumirá igual a kg/cm 2 ) f y = Esfuerzo de fluencia del acero Página 46 de 188 Marco teórico

47 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Concreto f c = Resistencia máxima a la compresión de un cilindro de concreto a los 28 días. E c = Módulo e elasticidad del concreto. Se asumirá un valor de (f c 1/2 ) El diagrama de momento-curvatura puede definirse con tres puntos básicos: Punto A: Primer agrietamiento del concreto Punto B: Fluencia del acero a tensión Punto C: Punto de resistencia última del concreto. En la Figura 2-15 y en la Tabla 2-2 se tienen las propiedades geométricas de la sección correspondiente a una columna de concreto reforzado. Figura 2-15 Propiedades geométricas de una columna de concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000) Tabla 2-2 Propiedades de la sección Material Área (A) Centroide (Y) AY Io AY2 Io + AY2 Concreto bh Yb-h/2 bh(yb-h/2) bh 3 /12 bh(yb-h/2) 2 bh 3 /12 + bh(yb-h/2) 2 Acero a tensión Acero a compresión (n-1)a s Yt-(h-d) (n-1)a s (Yt-(h-d)) (n-1)a s (Yt-(h-d)) 2 (n-1)a s (Yt-(h-d)) 2 (n-1)a s Yb-d (n-1)a s (Yb-d ) (n-1)a s (Yb-d ) 2 (n-1)a s (Yb-d ) 2 TOTAL ΣA ΣAY ΣAY 2 + I o = I yy Marco teórico Página 47 de 188

48 Maria Claudia Borrero Chaux Punto A: Primer agrietamiento Cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en el concreto f r = Esfuerzo en el concreto para el primer agrietamiento. Deformación unitaria en el primer agrietamiento n = Relación modular Cálculo de deformaciones unitarias en el acero f r = 2(f c 1/2 ) (Ec. 2.34) f r r (Ec. 2.35) c E E s n (Ec. 2.36) s = Deformación unitaria en el acero a tensión para la carga aplicada y = Deformación unitaria de fluencia en el acero ' s = Deformación unitaria en el acero a compresión para la carga aplicada. c ' y f (Ec. 2.37) s s y Es kd d' c ' y (Ec. 2.38) kd Punto B: Punto de fluencia del acero a tensión Sea Kd la distancia desde el eje neutro hasta la fibra extrema a compresión. Luego K es una fracción de la altura efectiva d. El acero en la zona a tensión se encuentra en fluencia, por lo tanto Kd K (Ec. 2.16) d. s y Página 48 de 188 Marco teórico

49 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Se debe verificar la deformación unitaria en el concreto sabiendo que el acero se encuentra en su esfuerzo de fluencia. Por relaciones de triángulos de llega a la siguiente expresión: Se compara c con Si c siguientes expresiones para α y para : K c y (Ec. 2.39) 1 K, entonces se debe usar las c c c c 2 4 c c (Ec. 2.40) c 0.8 Si c 20c , entonces se debe usar las siguientes expresiones para α y para : 2 o 0 c 1 0 (Ec. 2.41) 3 c 2 c c 1 (Ec. 2.42) c 6 c 2 3 Parámetro Z 0.5 tan( ) (Ec. 2.43) f ' 50u 50h c f ' c 50u (Ec. 2.44) f ' 70 c 3 b '' 50h s (Ec. 2.45) 4 S h s = Relación del volumen del esfuerzo transversal al volumen de concreto en el núcleo confinado, medido fuera-fuera de los estribos b '' = Ancho del estribo medido fuera-fuera S h = Espaciamiento de estribos Marco teórico Página 49 de 188

50 Maria Claudia Borrero Chaux Se debe cumplir equilibrio entre las fuerzas actuantes y las fuerzas resistentes. Para esto, se realiza una sumatoria de fuerzas en la Figura 2-16, con lo que se obiene: F A f P f ' kdb A' fs (Ec. 2.46) s y c s Donde se tiene el acero a tensión trabajando en fluencia (A s f y ), el concreto trabajando a compresión kdb, y el acero a compresión trabajando a un esfuerzo A f f ' c f. s s s Figura 2-16 Sumatoria de fuerzas en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz, 2000) Se realiza la verificación del acero a compresión: Si Si kd d' ' s c kd kd d' kd, el acero a compresión no fluye. ' s c y, el acero a compresión fluye y se tiene que s y '. Posteriormente se calcula el esfuerzo al que está sometido el acero a compresión: Si el acero a compresión no fluye, f ' s ' s s Si el acero a compresión fluye, f ' s ' s y Página 50 de 188 Marco teórico

51 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Sea M y el momento de fluencia, se calcula con respecto al centroide de la sección de la columna. y h 2d' h A f A f ' f ' kdb kd s y ' s s c (Ec. 2.47) 2 2 Finalmente se debe calcular la curvatura de la sección en fluencia del acero a tensión, con la siguiente expresión: c y (Ec. 2.48) kd Punto C punto ultimo En este punto, y no se tiene en cuenta el endurecimiento por deformación del c cu acero de refuerzo. 0.8 Si c c 20c , entonces se debe usar las siguientes expresiones para α y para : c 1 0 (Ec. 2.49) 3 c 2 c c 1 (Ec. 2.50) c 6 c Si 0 c 20c entonces deben usarse las siguientes expresiones para α y para : (Ec. 2.51) 3 c c c (Ec. 2.52) c c 12 3 Marco teórico Página 51 de 188

52 Maria Claudia Borrero Chaux Se realiza una sumatoria de fuerzas con respecto a la Figura 2-17, con lo que se obtiene la siguiente expresión: F As f y P f ' c kdb A' s fs (Ec. 2.53) Figura 2-17 Sumatoria de fuerzas en el punto de resistencia última de sección. Tomado de (Ruiz, 2000) Se supone que f ' s f y. Luego se debe verificar lo siguiente: As A' s f y P kd (Ec. 2.54) f ' b c Si kd>d =5cm (se supuso un recubrimiento de 5 cm para el refuerzo), entonces el acero a compresión fluye, por lo tanto f f s y. Si por el contrario kd<d =5cm, se debe recalcular f s Para realizar lo anterior se debe seguir el siguiente procedimiento: Se calcula kd con la ecuación kd A s A' s f ' c f b y P Luego se calcula ' s con la ecuación kd d' ' s c y kd. Página 52 de 188 Marco teórico

53 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Luego se calcula f ' s '. s s Este valor calculado debe ser semejante al valor supuesto. De lo contrario se debe reiniciar el proceso suponiendo el f ' s hallado mediante esta última ecuación. Por último se calcula el momento último de la sección mediante la siguiente ecuación: u h 2d' h A f A f ' f ' kdb kd s y ' s s c (Ec. 2.55) 2 2 y la curvatura última de la sección con la siguiente ecuación: cu u (Ec. 2.56) kd 2.4 NIVEL DE DESEMPEÑO DE LAS ESTRUCTURAS El documento (ATC-40, 1996) Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings clasifica por separado el nivel de desempeño de la estructura y el nivel de desempeño de los elementos no-estructurales para que al tener en cuenta ambos niveles de desempeño se pueda estimar el nivel de desempeño de la edificación Elementos estructurales Estos niveles describen el posible estado de daño de los elementos estructurales. Las siglas SP (Structural Performance) anteceden las siglas correspondientes a los niveles de daño. SP-1 Ocupación Inmediata (IO): El sistema resiste cargas verticales y horizontales, permanece prácticamente inalterado, el peligro a la vida es despreciable. Se pueden presentar daños estructurales menores, pero el edificio sigue funcionando en su totalidad. SP-2 Rango de Daños Controlados (IO-LS): La vida de los ocupantes no corre peligro pero posiblemente pueden ser afectados, los daños estructurales se encuentran controlados. Marco teórico Página 53 de 188

54 Maria Claudia Borrero Chaux SP-3 Protección a la Vida (LS): Se presenta un daño significativo en la estructura; sin embargo, la mayoría de los elementos se mantienen aunque no se puede garantizar la protección a la vida. Costos elevados asociados a las reparaciones estructurales. SP-4 Rango de seguridad limitada (LS-CP): Estado de daño que varía entre las condiciones de Seguridad y Estabilidad Estructural, con alto peligro para los ocupantes. SP-5 Estabilidad estructural (D): Estado de daño en el cual el sistema estructural está en el límite de experimentar un colapso parcial o total. Han sucedido daños sustanciales, con una significativa degradación de la rigidez del sistema que resiste las cargas laterales. Aún cuando el sistema que soporta las cargas verticales mantiene la capacidad suficiente para evitar el colapso, existe un elevado peligro para los ocupantes y transeúntes, así como un peligro elevado en caso de réplicas. Estas edificaciones requieren reparaciones estructurales significativas. SP-6 Colapso (E): No corresponde a un nivel de desempeño de la estructura, sino a una condición en la cual sólo se incluye una evaluación de los componentes No Estructurales. En la Figura 2-18 se muestra una curva de capacidad típica, mostrando gráficamente lo descrito anteriormente. Figura 2-18 Curva de capacidad típica. Tomado de (ATC-40, 1996) Página 54 de 188 Marco teórico

55 2.4.2 Elementos no estructurales Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Estos niveles describen los posibles estados de daño de los componentes no estructurales. Se definen cuatro estados de daño: Operacional, ocupación inmediata, seguridad y amenaza, la sigla NP ( Non Structural Performance ), antecede las siglas de los niveles de daño. NP-A Operacional: Después del sismo, los sistemas, componentes y elementos no estructurales permanecen sin daño y funcionando. Todos los equipos y las máquinas deben permanecer operando, aunque algunos servicios externos no estén del todo disponibles. NP-B Ocupación Inmediata: Los sistemas, componentes y elementos estructurales permanecen en su sitio, con pequeñas interrupciones que no comprometen o limitan su funcionamiento. NP-C Seguridad: Contempla considerables daños en sistemas, componentes y elementos no estructurales, pero sin colapso o interrupción de los mismos que puedan atentar seriamente contra los ocupantes. No debería haber fallo en los componentes, sin embargo, el equipamiento y las maquinas pueden quedar fuera de servicio. NP-D Amenaza: Incluye importantes daños en sistemas, componentes y elementos no estructurales, pero sin colapso de los grandes y pesados elementos que pongan en peligro a grupos de personas. El peligro a la vida por daños en los componentes estructurales es alto. NP-E No considerado: no corresponde a un nivel de desempeño de los elementos no estructurales, sino con una condición en la cual se incluye una evaluación sísmica de los componentes estructurales Nivel global de desempeño Los niveles globales de desempeño describen los posibles estados de daño para la edificación. Estos niveles de desempeño se obtienen de la apropiada combinación de los niveles de desempeño de la estructura y de los componentes no estructurales. En la Tabla 2-3 se muestra las posibles combinaciones en donde se destacan los cuatro niveles de desempeño de edificaciones que se referencian más frecuentemente: Marco teórico Página 55 de 188

56 Maria Claudia Borrero Chaux Operacional (1-A), Ocupación Inmediata (1-B), Protección a la Vida (3-C), y Estabilidad Estructural (5-E), así como los niveles de desempeño posibles (2A, 2B, ). La sigla NR corresponde a niveles de desempeño No Recomendables en el sentido de que no deben ser considerados en la evaluación. 1-A Operacional: Se relaciona básicamente con la funcionalidad. Los daños en componentes permanecen funcionando. Cualquier reparación requerida no perturbará ninguna función. Se mantiene la seguridad de los ocupantes. Se mantienen las funciones de los servicios de la edificación, incluso cuando los externos a la misma no estén disponibles. 1-B Ocupación Inmediata: Los espacios de la edificación, los sistemas y los equipamientos permanecen utilizables. Se mantienen en funcionamiento los servicios primarios. Quizás algunos servicios secundarios presenten pequeñas interrupciones de fácil e inmediata reparación. Se mantiene la seguridad de los ocupantes. 1-C Protección a la Vida: Estado de daño que representa una baja probabilidad de atentar contra la vida. Constituye el nivel de desempeño de la edificación que se espera alcanzar con la aplicación de los actuales códigos sísmicos. Se caracteriza por presentar daños limitados en los componentes estructurales y el eventual fallo o volcamiento de los componentes no estructurales, con posibilidad incluso de falla en algún elemento peligroso o en alguno de los componentes primarios (servicios de agua y electricidad ), y secundarios (acabados, fachadas...), siempre que no atente contra la vida de los usuarios. 5-E Estabilidad Estructural: Estado de daño en el que prácticamente no queda reserva alguna del sistema resistente a carga lateral que permita soportar una réplica, solo se mantiene cierta capacidad del sistema resistente a cargas verticales para mantener la estabilidad de la estructura, de manera que el peligro para la vida es muy alto. El nivel de daño estructural implica que no se requiere la revisión de los componentes no estructurales. El peligro de los ocupantes y transeúntes por el colapso o falla de componentes no estructurales exige el desalojo de la edificación. Página 56 de 188 Marco teórico

57 SP-1 Ocupación Inmediata Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 2-3 Niveles de desempeño. Tomado de (ATC-40, 1996) SP-2 Rango Daño Controlado SP-3 Protección a la Vida SP-4 Rango Seguridad Limitada SP-5 Estabilidad Estructural SP-6 Colapso NP-A 1-A Operacional Operacional 2-A NR NR NR NR NP-B 2-B Ocupación Ocupación Inmediata Inmediata 2-B 3-B NR NR NR NP-C 3-C Seguridad 1-C 2-C Protección a la Vida 47-C 5-C NR NP-D Amenaza NR 2-D 3-D 4-D 5-D 6-D NP-E 5-E No Estabilidad NR NR 3-E 4-E Estabilidad Aplicable estructural Estructural 2.5 RESPUESTA HISTERÉTICA Este tipo de amortiguamiento es muy importante cuando se está hablando de análisis estructural sometido a fuerza sísmica, ya que la característica fundamental de éste análisis es que se tiene en cuenta que el comportamiento de un determinado evento depende de la historia de una acción previa que hace que las características del sistema cambien en cada momento, de donde se desarrolla el concepto de no linealidad. Este concepto implica necesariamente que los materiales después de haber soportando cierto grado de exigencia; no vuelven a su estado original. Para que se produzca histéresis es necesario analizar el caso de un ciclo de carga descarga (similar al efecto de un sismo, ver la Figura 2-26) en donde existen fuerzas aplicadas en dos sentidos opuestos; si no existieran deformaciones permanentes y si los materiales se comportaran elásticamente en todo momento, no habría histéresis, pero como en algunas ocasiones, las fuerzas que actúan sobre el sistema sobrepasan los límites de la elasticidad, los materiales no se recuperan y se producen deformaciones permanentes. Marco teórico Página 57 de 188

58 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 2-19 Estructura somedita a un evento sísmico. Tomado de (Crisafulli, 2002) Figura 2-20 Curva esfuerzo - deformación para un material inelástico. Tomado de (García, 1998) Según la teoría elástica, es posible a partir de las cargas aplicadas en un elemento, llegar hasta sus deflexiones. Esto se hace llevando a cabo un proceso de cálculo que incluye pasar por la determinación del cortante, momento, curvatura y rotación, hasta llegar a las deflexiones punto a punto del elemento (Tabla 2-4). La restricción que presenta este procedimiento es que sólo es válido para sistemas en los cuales los materiales se mantienen en los rangos elásticos de esfuerzos y además que se presenten deformaciones pequeñas como se explica en (Ruiz, 2000). Página 58 de 188 Marco teórico

59 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 2-4 Pasos para ir de carga a deflexión en sistemas elásticos. Teoría de Navier. Tomado de (García, 1998) Las expresiones tienen una aplicabilidad muy limitada cuando se está trabajando con concreto reforzado debido a que, como se ha expuesto anteriormente, el concreto sólo se comporta elásticamente hasta un valor muy pequeño de deformaciones. Adicionalmente, el comportamiento elástico del acero de refuerzo, aunque abarca deformaciones mayores a las del concreto, desaparece cuando se sobrepasa el esfuerzo de fluencia. Considerando que el concreto reforzado es la combinación de estos dos materiales, su comportamiento deja de ser elástico desde que se presenta la primera fisura, por lo que las expresiones mostradas en la Figura 2-21 no pueden ser utilizadas. A pesar de esto, es posible hallar las deflexiones en un elemento de concreto reforzado integrando su diagrama de momento giro a lo largo de su longitud. Figura 2-21 Curva típica de momento-giro de una viga de concreto reforzado. Tomado de (Marín, 2004) Marco teórico Página 59 de 188

60 Maria Claudia Borrero Chaux En la Figura 2-21 se puede ver que la sección se comporta elásticamente hasta que se presente la primera fisura en el concreto (punto 1 - Mcr). Hasta este punto todos los cálculos se realizan con la inercia de la sección total sin fisurar Ig. A partir de ahí el eje neutro se eleva debido de la fisura y el comportamiento sigue siendo similar al inicial hasta que fluye el acero de refuerzo (punto 2 - My). Desde este punto cambia el comportamiento debido a la fluencia del acero, en la cual aumenta la curvatura sin que aumente el momento. Esta etapa termina cuando se presenta el inicio del endurecimiento por deformación del acero (punto 3 - Mu), en la cual la curva aumenta su resistencia hasta que el acero llegue a su resistencia máxima. En este momento se da la resistencia máxima del concreto (Mu). De ahí la resistencia del elemento empieza a descender hasta que se presenta la falla por tensión del acero. Este comportamiento se presenta para vigas con cuantías menores a la balanceada, y además se garantiza que no va a haber falla por cortante ni falla de adherencia entre el concreto y el acero (García, 1998). Ahora, si se analiza el comportamiento de una viga en voladizo a la cual se le aplica una carga en el extremo libre (Figura 2-22), se pueden apreciar las distribuciones de las curvaturas en los casos de que la carga sea la de fluencia y que sea la carga última. En el caso de la carga de fluencia, se observa una distribución uniforme de las curvaturas. Pero al pasar a la carga que provoca el momento último de la sección, hay una concentración de curvaturas grande en una zona adyacente a la base del voladizo. En esta zona se presenta el mayor momento de toda la viga y además las más grandes rotaciones. Esta zona se llama articulación plástica, y la longitud en la que se presenta esta concentración de curvaturas se llama longitud de plastificación (Lp en la Figura 2-22) (García, 1998). Según (Ruiz, 2000) la longitud de plastificación se define como la zona donde el momento aplicado sobre la sección iguala o excede el momento de fluencia del acero. Es decir, la zona del elemento estructural donde la curvatura es mayor a la curvatura de fluencia (φ Y ) pero inferior a la curvatura última (φ U ). Esta zona de plastificación no posee una distribución uniforme, sino que por el contrario es variable. En gran medida la distribución de la curvatura depende de la formación de grietas de flexión, que no son otra cosa que concentración de curvatura. Página 60 de 188 Marco teórico

61 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 2-22 Distribución de la curvatura de una viga en voladizo. Tomado de (García y Ramírez, 2004) Existen diferentes modelos de ciclos de histéresis, cada uno con diferentes hipótesis con el objeto de representar adecuadamente el comportamiento de los materiales o de las estructuras teniendo en cuenta sus diversas características de deformación. Algunos de estos modelos son: el modelo elastoplastico (Figura 2-23 a), el cual maneja niveles de elasticidad hasta que llega al punto en que se deforma sin aumentar la carga, luego se descarga y se devuelve manteniendo un comportamiento elástico hasta que se carga de nuevo y vuelve a llegar al punto de plasticidad. Este es uno de los métodos más convencionales, también existen otros métodos que se basan en análisis experimentales como ensayos sobre mesas vibratorias y curvas de fuerza- deformación de diferentes materiales. Ejemplo de esto son el modelo de Ramberg Osgood (Figura 2-23 b.), y el de rigidez degradante (Figura 2-23 c.). Marco teórico Página 61 de 188

62 Maria Claudia Borrero Chaux a. Elastoplastico b. Ramberg Osgood c. rigidez degradante Figura 2-23 Modelos de histéresis. Adaptada de (García, 1998) 2.6 DERIVA INELÁSTICA En la literatura existen pocas referencias en las que se haya realizado investigaciones o estudios similares al presente, sin embargo, en la investigación realizada por (Dymiotis, Ch., et al., 1999), en el que se estudió el comportamiento de la deriva de pórticos de concreto reforzado a escala y en tamaño original, mencionan que a nivel mundial existen valores máximos recomendados para que la estructura no llegue al colapso, dichos valores oscilan entre 2% y 6%. Según las referencias (Kappos, 1991) y (Vision, 2000) se debe ser precavidos con valores de deriva entre 2% y 3%, ya que una estructura de concreto reforzado que llegue a estos valores tiene una gran probabilidad de colapsar. Por otro lado, según (Ghobarah y El-Attar, 1997), una deriva del 3% está asociada a daños que pueden ser remediados a corto plazo, y valores de deriva cercanos a 5.6%, provocan el colapso de la estructura. En la Figura 2-24 a) se muestran los resultados de la investigación realizada por (Dymiotis,Ch. et al, 1999), para todos los especímenes ensayados. Posteriormente, se hace una depuración de los resultados y en la Figura 2-24 b) se muestran aquellos especímenes que no llegaron a la falla con las cargas aplicadas. Con lo anterior, se consideró que los resultados de la Figura 2-24 corresponde a la deriva en la cual se presenta fluencia en los materiales, pero la estructura no llega a la falla. La media de los resultados es 4.30% y la distribución que mejor se ajusta a la serie de datos es la LogNormal. Página 62 de 188 Marco teórico

63 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Finalmente, hacen la aclaración que los ensayos de los especímenes no fueron controlados por los investigadores, sino que fueron una recopilación de investigaciones pasadas, por lo que los resultados dependen de las condiciones en las que se realizaron. Figura 2-24Deriva máxima en ensayos para a) Todos los especímenes y b) Especímenes que no fueron llevados a la falla. (Tomado de Dymiotis,Ch.et al.,1999) Marco teórico Página 63 de 188

64 Maria Claudia Borrero Chaux 2.7 VARIABILIDAD DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES DE BOGOTÁ El comportamiento mecánico de un material refleja la relación entre la fuerza aplicada y la respuesta que tiene el material ante esta, en otras palabras, la relación entre la fuerza aplicada y la deformación del material. Una de las propiedades mecánicas más importantes en cualquier material es la resistencia, definiendo resistencia como la capacidad del material de soportar un esfuerzo. En Bogotá, una gran parte de las edificaciones están hechas de concreto reforzado, por lo que, conocer las propiedades mecánicas del acero y el concreto ha sido tema de constante estudio. De acuerdo con (González et al, 2005) las diferencias entre los resultados analíticos y experimentales de respuestas de edificios sometidos a eventos sísmicos, son ocasionadas por las incertidumbres involucradas en el proceso de diseño, que hacen referencia a la variación entre la resistencia real y nominal de los materiales, las diferencias entre las solicitaciones reales y las empleadas en el diseño, y el grado de aproximación entre el modelo propuesto y el construido Concreto Cuando el concreto llega a obra, se realiza un control de calidad para aceptarlo mediante ensayos in-situ, adicionalmente se toman cilindros de concreto que posteriormente son ensayados en laboratorios. Aunque el supuesto es que los concretos que llegan a obra tienen exactamente la resistencia que especifica la concretera, puede tener pequeñas diferencias, que aunque son aceptadas en obra, pueden tener efectos sobre el módulo de elasticidad. Adicionalmente, aunque las buenas prácticas de trabajo para la manipulación, fundición, compactación o vibrado y curado del concreto en obra deben asegurar un adecuado porcentaje de esa resistencia, existen diferencias que afectan directamente el módulo de elasticidad y por consiguiente en la flexibilidad de la estructura, lo que da como resultado una variación en la deriva de la estructura. Página 64 de 188 Marco teórico

65 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Según la referencia (Ruiz, Vacca, León, 2007), en el caso colombiano, el módulo de elasticidad para el concreto de peso normal puede determinarse experimentalmente a partir de las curvas esfuerzo-deformación obtenidas para un grupo representativo de cilindros estándar de concreto, como la pendiente de la línea trazada desde el origen hasta el punto en la curva esfuerzo-deformación correspondiente a un esfuerzo de 0,45f c en compresión, sin embargo, de acuerdo con la Norma Técnica Colombiana (NTC) 4025 (Método de ensayo para determinar el módulo de elasticidad estático y la relación de Poisson en concreto a compresión), se calcula el módulo de elasticidad como: Ec En donde E = módulo de elasticidad secante, en MPa (psi) s 2 = esfuerzo correspondiente al 40% de la carga última. s 1 = esfuerzo correspondiente a la deformación longitudinal, 1, de las 50 millonésimas, en MPa = deformación longitudinal producida por el esfuerzo s 2. Según (Ruiz, Vacca y León, 2007), aunque es probable que este diferencia en la definición no tenga una marcada influencia en el valor final del módulo de elasticidad (por cuanto ambas alternativas de cálculo corresponden a líneas secantes), debería existir una unificación de criterios al respecto. Por otro lado, siendo f c la resistencia a la compresión del concreto y E el módulo de elasticidad del mismo, en la referencia (AIS, 1998) se planteaba la expresión (en MPa) siendo la constante el valor medio para toda la información nacional sin distinguir el origen del agregado, expresión que es resultado de la regresión estadística realizada en la investigación de la referencia (Cortez, Zabaleta y Amézquita, 1995) que se muestra en la Figura La dispersión de los datos de la Figura 2-25 es excesivamente alta y el factor R 2 es muy bajo (0.149). Marco teórico Página 65 de 188

66 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 2-25 Regresión estadística que dió origen a la fórmula del módulo de elasticidad de la referencia AIS (1998) (promedio nacional). Extractado (escaneado) de Cortés, Zabaleta y Amézquita (1995) En la actualización de la NSR-98, publicada en el año 2010, NRS-10, la expresión fue modificada. Según la referencia (AIS, 2010), para concreto de densidad normal, E puede tomarse como (en MPa). La dependencia del módulo de elasticidad de la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión tuvo su origen en (Pauw, 1960), donde se reporta que E puede estimarse como donde es el peso unitario del concreto y es una constante adimensional. Según la referencia (Gallego y Sarria, 2006), el parámetro toma valores que oscilan entre y en unidades Kg y cm y anotan que esta es una variación sumamente grande y peligrosa porque si el valor del módulo E usado en obra es menor que el usado en el diseño, necesariamente los desplazamientos, rotaciones y deformaciones serán mayores que los calculados. De acuerdo con (Ruiz, Vacca y León, 2007), en la Figura 2-26 se muestra la línea de ajuste (ubicada en el centro) con su respectivo R 2, el cual es de 0,57 (bajo). Se muestran las líneas inferior por encima de las cuales se encuentra el 90% de los datos. Señalan también que, la cota superior propuesta coincide con el promedio nacional que propone la Página 66 de 188 Marco teórico

67 Módulo de elasticidad - E - (kg/cm 2 ) Módulo de elasticidad - E - (MPa) Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. referencia (AIS, 1998) y que sugiere la referencia (AIS,2010), demostrando que usar un coeficiente de (en kg/cm 2 ) para Bogotá es muy poco conservativo, y peor aún, usar un coeficiente de (en kg/cm 2 ) que equivaldría a un coeficiente de 4700 en MPa como se presenta ahora en la NSR10. A) 40,000 35,000 30,000 25,000 20,000 15,000 10,000 5,000 y = 3900 (f c) 1/2 y = (f c) 1/2 R 2 = E = 2750 (f c) 1/ Raíz (f c) (MPa 1/2 ) B) 400, , , , , , ,000 50,000 E = (f c) 1/2 y = 10598(f c) 1/2 R 2 = E = 8800 (f c) 1/ Raíz (f c) (kg-f 1/2 /cm) Figura 2-26 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema internacional. Tomado de: Ruiz, Vacca y León, 2007 Como se observa en la Figura 2-26, los datos del módulo de elasticidad están concentrados entre los y los kg/cm 2, aunque se tienen valores entre y kg/cm 2. Marco teórico Página 67 de 188

68 Maria Claudia Borrero Chaux Con base en el análisis efectuado en (Ruiz, Vacca y León, 2007), se proponen las siguientes expresiones para la estimación del módulo de elasticidad del concreto (E) en Bogotá: (en kg/cm 2 ) Ec a (en MPa) Ec b En la referencia (Ruiz, Vacca y León, 2007) se comparan las expresiones obtenidas en la investigación con las del promedio nacional de la referencia AIS (1998) ( en unidades kg/cm 2 y (en MPa), dando como resultado una disminución del 42% en el módulo de elasticidad estimado. Adicionalmente, se menciona que las derivas calculadas subirían automáticamente un 42%, y por esta razón, las edificaciones diseñadas con la referencia (AIS, 1998) y con la microzonificación sísmica (vigente en el momento) no cumplirían con el requisito de mantener las derivas por debajo del 1% Acero de refuerzo Con el fin de reducir las incertidumbres en la variación de la resistencia del acero de refuerzo (González et al, 2005) realizaron una investigación con la que relacionan los criterios teóricos de las propiedades mecánicas del acero y los resultados obtenidos mediante ensayos experimentales. En el estudio realizado por (González et al, 2005), se realizó un análisis estadístico de las variables principales que definen las propiedades mecánicas del acero de acuerdo con el diámetro de la varilla y la empresa productora de acero. En la Tabla 2-5 se presentan los resultados obtenidos por (González et al, 2005) para el número total de barras ensayadas, en donde es la estimación de la media aritmética, es la estimación de la desviación estándar y V es el coeficiente de variación. Adicionalmente, se presentan los valores máximos y mínimos, así como los percentiles 5 y 95. Página 68 de 188 Marco teórico

69 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 2-5 Valores estadísticos para el total de barras ensayadas. Tomado de (González et al, 2005) Con lo anterior se puede ver que el valor mínimo obtenido fue de MPa, que de acuerdo con (González et al, 2005), es aproximadamente igual al mínimo nominal especificado por la Norma Técnica Colombiana NTC 2289, que especifica un valor de 420MPa. Sin embargo, en la norma también se establece como valor máximo de fluencia 540 MPa, y el valor máximo encontrado fue igual a 538,804 MPa. Esta característica puede ser desfavorable debido a que pueden presentarse modos de falla frágiles. Adicionalmente, en el estudio de (DIACO y CIMOC, 2000) se estableció que el coeficiente de variación para el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo utilizado en el país era del 7%. Marco teórico Página 69 de 188

70 Maria Claudia Borrero Chaux 3 ANÁLISIS DE LA VARIABILIDAD DE LOS MATERIALES Las propiedades de los materiales no tienen valores exactos, razón por la cual siempre existe dispersión y variabilidad en los resultados. Las Normas Técnicas Colombianas establecen rangos en los cuales es posible tener resultados satisfactorios, sin embargo, existen pocos estudios en los que se relacione la variabilidad de los materiales con el diseño de estructuras de concreto reforzado en Colombia. Por otro lado, en la literatura se encontraron pocos estudios relacionados con la variabilidad de las propiedades mecánicas del acero de refuerzo utilizado en la construcción en Bogotá. Como consecuencia, se realizó el análisis del esfuerzo de fluencia del acero (fy) y la resistencia última (fu) basado en resultados de ensayos de laboratorio. Con la variabilidad de las propiedades mecánicas del concreto y del acero se generaron 1000 números aleatorios para realizar posteriormente las simulaciones de Montecarlo (en la propuesta se había indicado solamente 100). Con el fin de establecer la distribución de probabilidad de las variables estudiadas, se empleó, por medio del programa Bestfit, la técnica de bondad del ajuste para la curva de densidad de probabilidad acumulada de Kolgomorov-Smirnov, y se estableció la distribución óptima para la serie de datos. 3.1 CONCRETO De acuerdo con lo mencionado anteriormente, y para conocer la variabilidad de las propiedades mecánicas del concreto: resistencia a la compresión (f c) y módulo de elasticidad (E), se acudió a los datos utilizados en la investigación realizada en (Ruiz, Vacca y León, 2007) y se adicionaron los reportes de ensayos realizados entre los años 2007 y 2010 del Laboratorio de Pruebas y Ensayos del Departamento de Ingeniería Civil de la Pontificia Universidad Javeriana, para un total de 1514 datos. El histograma de frecuencias y el análisis estadístico para la resistencia a la compresión de los datos recopilados se presenta en la Gráfica 3-1 y la Tabla 3-1. Página 70 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales

71 Frecuencia Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá % 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Resistencia f'c (kg-f/cm2) Frecuencia % acumulado Gráfica 3-1 Histograma Resistencia a la compresión del concreto (f c). Tabla 3-1 Análisis estadístico Resistencia a la compresión del concreto (f'c) Resistencia (f c) (kg-f/cm 2 ) Media Error típico 3.50 Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría 1.88 Mínimo Máximo Cuenta 1514 Nivel de confianza (95.0%) 6.86 Los valores de f c varían entre Kg-f/cm 2 (92.37 MPa) y Kg-f/cm 2 (1.33 MPa). De acuerdo con el análisis estadístico realizado, la muestra tiene una media de Kg-f/cm 2 y una desviación estándar de Kg-f/cm 2. Con el fin de conocer la distribución de probabilidad para los valores de f c, se utilizó la herramienta Bestfit. En la Figura 3-1 se muestra el histograma de frecuencias y la distribución que más se ajusta: LogLogistica. Análisis de la variabilidad de los materiales Página 71 de 188

72 Frecuencia Maria Claudia Borrero Chaux Figura 3-1 Distribución de probabilidad Resistencia a la compresión del concreto (f'c). (Tomado de Bestfit) El histograma de frecuencias y el análisis estadístico para el módulo de elasticidad del concreto de los datos recopilados se presenta en la Gráfica 3-2 y la Tabla % 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% Módulo (kg-f/cm2) Frecuencia % acumulado Gráfica 3-2 Histograma Módulo elástico del concreto (E) Página 72 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales

73 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 3-2 Análisis estadístico Módulo elástico del concreto (E). Módulo elástico (kg-f/cm2) Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría 0.48 Mínimo Máximo Cuenta Nivel de confianza (95.0%) Los valores del módulo de elasticidad de la muestra oscilan entre kg-f/cm 2 ( MPa) y kg-f/cm 2 ( MPa). La media de la muestra es de kg-f/cm 2 y la desviación estándar de kg-f/cm 2. En la Figura 3-2 se muestra la distribución de probabilidad para el módulo de elasticidad, de acuerdo con el análisis realizado en Bestfit, la distribución de probabilidad que se ajusta es LogLogistica. Figura 3-2 Distribución de probabilidad Módulo de elasticidad del concreto (E). Tomado de Bestfit Análisis de la variabilidad de los materiales Página 73 de 188

74 Frecuencia Maria Claudia Borrero Chaux 3.2 ACERO DE REFUERZO Para determinar la variación del esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo en Bogotá, se tomaron los reportes de ensayos realizados entre los años 2005 y 2010 del Laboratorio de Pruebas y Ensayos del Departamento de Ingeniería Civil de la Pontificia Universidad Javeriana, para un total de 986 datos. Inicialmente se realizó un análisis para todos los datos sin diferenciar el diámetro de las barras ensayadas. El histograma de frecuencias y el análisis estadístico del esfuerzo de fluencia del acero (fy) de todos los datos, sin diferenciar su diámetro, se presentan en la Gráfica 3-3 y en la Tabla % 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% Resistencia a la fluencia (MPa) Frecuencia % acumulado Gráfica 3-3 Histograma Resistencia a la fluencia (fy) Página 74 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales

75 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 3-3 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) Resistencia a la fluencia (MPa) Media Error típico 0.78 Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría 0.33 Mínimo Máximo Nivel de confianza (95.0%) 1.53 De acuerdo con el análisis estadístico, los valores de fy varían entre 277MPa y MPa. La media de la muestra es MPa y 24.21MPa. la desviación estándar es En la Figura 3-3 se presenta la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la variabilidad del esfuerzo de fluencia (fy): LogLogistica. Figura 3-3 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy). Tomado de Bestfit Análisis de la variabilidad de los materiales Página 75 de 188

76 Frecuencia Maria Claudia Borrero Chaux En la Gráfica 3-4 y en la Tabla 3-4 se muestra el histograma de frecuencia y el análisis estadístico de los valores de la resistencia última (fu) % 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% Resistencia última (MPa) Frecuencia % acumulado Gráfica 3-4 Histograma Resistencia última (fu) Tabla 3-4 Análisis estadístico Resistencia última (fu) Resistencia última (Mpa) Media Error típico 1.02 Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría Mínimo Máximo Cuenta Nivel de confianza (95.0%) 2.00 Los valores de la resistencia última (fu) varían entre MPa y MPa. La media de la muestra es MPa y la desviación estándar es 32.02MPa. Página 76 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales

77 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. La distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la variabilidad de la resistencia última (fu) se muestra en la Figura 3-4. De acuerdo con esto, la distribución que mejor se ajusta es LogLogistica. Figura 3-4 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu). Tomado de Bestfit. Adicionalmente, se tomaron los resultados obtenidos en los ensayos para barras de 1 y se les realizó el correspondiente análisis estadístico. En la Gráfica 3-5 y en la Tabla 3-5 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1" se presentan el histograma de frecuencias y el análisis estadístico para la resistencia a la fluencia (fy) para las barras de 1. Análisis de la variabilidad de los materiales Página 77 de 188

78 Frecuencia Maria Claudia Borrero Chaux % 90.00% 80.00% % 60.00% 50.00% % 30.00% % 10.00% 0.00% Resistencia a la fluencia (MPa) Frecuencia % acumulado Gráfica 3-5 Histograma Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1". Tabla 3-5 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1" Resistencia a la fluencia (Mpa) Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría Mínimo Máximo Cuenta 71 Nivel de confianza (95.0%) Para los valores de barras de diámetro igual a 1, los valores de la resistencia a la fluencia (fy) oscilan entre MPa y MPa. La media de la muestra es MPa y la desviación estándar es 18.98MPa. Página 78 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales

79 Frecuencia Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. En la Figura 3-5 se presenta la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la variación de la resistencia a la fluencia (fy) para las barras de 1 : LogLogistica. Figura 3-5 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1". Tomado de Bestfit. El histograma de frecuencias y el análisis estadístico de los valores de la resistencia última para los barras de 1 se muestran en la Gráfica 3-6y en la Tabla % 90.00% % 70.00% % % 40.00% 30.00% % 10.00% 0.00% Resistencia a última (MPa) Frecuencia % acumulado Gráfica 3-6 Histograma Resistencia última (fu) para barras de 1. Análisis de la variabilidad de los materiales Página 79 de 188

80 Maria Claudia Borrero Chaux Tabla 3-6 Análisis estadístico Resistencia última (fu) para barras de 1. Resistencia última (Mpa) Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría Mínimo Máximo Cuenta 71 Nivel de confianza (95.0%) Para las varillas de 1, la resistencia última (fu) varía entre MPa y MPa. La media de la muestra es MPa y la desviación estándar es 25.42MPa. En la Figura 3-6 se muestra la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la variación de la resistencia última de las varillas de 1. Figura 3-6 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu) para barras de 1. Tomado de Bestfit. Página 80 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales

81 Frecuencia Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Para realizar el análisis del presente trabajo, fue necesario conocer la relación existente entre la variación del esfuerzo último del acero (fu) y esfuerzo de fluencia (fy). En consecuencia, se realizó la división del esfuerzo último sobre el esfuerzo de fluencia y se realizó el histograma de frecuencias mostrado en la Gráfica 3-7 y el análisis estadístico que se encuentra en la Tabla % 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% fu/fy Frecuencia % acumulado Gráfica 3-7 Histograma fu/fy Tabla 3-7 Análisis estadístico fu/fy fu/fy Media 1.48 Error típico 2.11E-03 Mediana 1.48 Moda 1.51 Desviación estándar 0.07 Varianza de la muestra 4.37E-03 Coeficiente de asimetría Mínimo 1.00 Máximo 1.96 Cuenta 986 Nivel de confianza (95.0%) 4.13E-03 La relación fu/fy oscila entre 1.00 y La media de la muestre es 1.48 y la desviación estándar Con esto, se planteó la ecuación Ec. 3.1 Ec. 3.1 Análisis de la variabilidad de los materiales Página 81 de 188

82 Maria Claudia Borrero Chaux 3.3 GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS Conociendo la variabilidad de las características mecánicas del acero de refuerzo y del concreto, se generaron 1500 valores aleatorios para la resistencia a la compresión del concreto (f c) y 1000 valores aleatorios para el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo (fy). Se utilizó la herramienta Generación de números aleatorios del menú Análisis de datos del programa Microsoft Excel. De los 1500 valores de resistencia a la compresión se seleccionaron 1000 para hacer los cálculos de la variabilidad de la deriva elástica (2000 corridas, 1000 por cada edificio). Por su parte para las modelaciones de la deriva inelástica se tomaron 200 datos aleatorios de resistencia a la compresión del concreto y 200 datos de resistencia a la fluencia del acero para una total de corridas para dos edificios ( corridas por edificio). Las distribuciones de probabilidad de estas dos variables (fy y f c) son LogLogistica, sin embargo, para la generación de los números aleatorios se consideró, para las dos variables, una distribución Normal. De acuerdo con (González et al, 2005) los valores que caracterizan la curva esfuerzo-deformación del acero, se consideran variables continuas, por lo cual se puede buscar una aproximación de ajuste a una distribución normal. Por otro lado, en el análisis estadístico realizado, se obtuvo el índice de confiabilidad, que, de acuerdo con las referencias (Mays, L, et al, 1992) y (Ang.A.H-S, 1973), se utiliza aún para funciones de distribución de probabilidad diferentes a la normal con resultados satisfactorios, pues consideran este procedimiento como aproximado con un error mínimo y aceptable. A continuación se presentan los análisis estadísticos realizados para los valores aleatorios generados, confirmando que la media de los valores aleatorios es similar a la obtenida con los valores originales. Adicionalmente se presentan las figuras de Bestfit que muestran la distribución Normal para cada una de las series. Los valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto oscilan entre 12.44kg-f/cm 2 y kg-f/cm 2. La media obtenida con los valores originales es kg-f/cm 2, la media de los valores aleatorios es kg-f/cm 2. En la Figura 3-7 se muestra la distribución Normal asociada a los 1500 valores generados. Página 82 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales

83 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 3-8 Análisis estadístico de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto (f'c) Aleatorios f c Media Error típico 3.36 Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría 0.26 Mínimo Máximo Cuenta Nivel de confianza (95.0%) 6.59 Figura 3-7 Distribución de probabilidad de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto (f'c). Tomado de Bestfit. Los 1000 valores aleatorios que se generaron para el esfuerzo de fluencia del acero varían entre MPa y MPa. La media de estos valores es de MPa, similar a la media obtenida en el análisis estadístico realizado para todos los datos de la resistencia a la fluencia, MPa. Por otro lado, en la Figura 3-8 se muestra la distribución de probabilidad que mejor se ajusta: Normal. Análisis de la variabilidad de los materiales Página 83 de 188

84 Maria Claudia Borrero Chaux Tabla 3-9 Análisis estadístico de 1000 valores aleatorios de la resistencia a la fluencia (fy) Aleatorios fy Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría Mínimo Máximo Cuenta Nivel de confianza (95.0%) Figura 3-8 Distribución de probabilidad de 1000 valores aleatoreos del esfuerzo de fluencia del acero (fy). (Tomado de Bestfit). Página 84 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales

85 Módulo de elasticidad - E - (MPa 1/2 ) Módulo de elasticidad - E - ((kg-f 1/2 /cm) Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. 3.4 FÓRMULA PARA DETERMINAR EL MÓDULO DE ELASTICIDAD Al graficar el módulo de elasticidad y raíz cuadrada de la resistencia a la compresión del concreto se obtiene la relación planteada por el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10). Sin embargo, siguiendo las recomendaciones hechas en (Ruiz, Vacca y León, 2007), para concretos de Bogotá, y con los datos recolectados para este trabajo, se obtuvo la Gráfica 3-8 A) y B). A) 400, , , ,000 E = 10591(f'c) 1/2 R² = , , ,000 50, Raíz (f c) (kg-f 1/2 /cm) B) 40,000 35,000 30,000 25,000 E= (f'c) 1/2 R² = ,000 15,000 10,000 5, Raíz (f c) (MPa 1/2 ) Gráfica 3-8 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema internacional. Análisis de la variabilidad de los materiales Página 85 de 188

86 Maria Claudia Borrero Chaux Con la Gráfica 3-8 A) y B), se determinó la regresión lineal de la distribución de puntos y se obtuvieron las ecuaciones Ec. 3.1 a y b. (en kg/cm 2 ) (en MPa) Ec. 3.1 a Ec. 3.1 b Con estas ecuaciones se calculó el módulo de elasticidad para realizar las simulaciones y determinar la variabilidad de la deriva elástica e inelástica. Vale la pena aclarar que estas nuevas regresiones, calculadas con los datos usados en (Ruiz, Vacca y León, 2007) y varios cientos de datos adicionales no arrojaron una gran variación. Específicamente en (Ruiz, Vacca y León, 2007) se reportó una regresión en MPa muy similar a la anterior (véase la ecuación 3.2). (en MPa) Ec. 3.2 En la Gráfica 3-9 se presenta la línea de ajuste mostrada anteriormente, con su respectivo R 2 (0.57). Por otro lado, se muestran las líneas que definen el intervalo de confianza (al 99 %) de la ecuación de ajuste por mínimos. Es obvio que en la zona en donde hay menos datos la incertidumbre crece de forma importante (f`c0.5<4 y f`c0.5>6). Obsérvese también que la curva sugerida por la normativa vigente en MPa, está muy por encima de la ecuación de ajuste para los concretos bogotanos que se observa en la figura, ya que el coeficiente que multiplica a (4700 en MPa) es un 39% inferior al valor de la regresión estadística (3317 en MPa). Aunque en la referencia AIS (2010) se deja la opción de usar valores de E inferiores, queda únicamente como una simple sugerencia que muchos calculistas nunca usarán. Página 86 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales

87 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Gráfica 3-9 Regresión estadística para el módulo de elasticidad. Análisis de la variabilidad de los materiales Página 87 de 188

88 Maria Claudia Borrero Chaux 4 DISEÑO DE PÓRTICOS De acuerdo con la actualización del Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente NSR 10 y la microzonificación sísmica de Bogotá (Decreto 523 de 2010), y tomando como referencia la planta usada por García (1996), se realizó el diseño de 2 edificios tridimensionales con losas en una dirección, siendo los pórticos cargueros aquellos con mayores luces entre apoyos. Figura 4-1. Planta Típica adaptada de García (1996). Para las simulaciones, se tomó el diseño del pórtico central correspondiente al eje 3, de 5 pisos, con luces de 9 metros y altura de entrepiso de 3 m. Figura 4-2. Esquema pórtico eje 3. Página 88 de 188 Diseño de pórticos

89 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. El diseño del edificio se realizó con base en las características típicas de los materiales con los que se diseña en Bogotá. Tabla 4-1 Características de los materiales Características de los materiales γ concreto 24 kn/m³ f'c 28 MPa E concreto MPa fy 420 MPa El módulo de elasticidad se determinó mediante la ecuación Ec tomada directamente de la NSR-10. Vale la pena aclarar, que a pesar de que en apartados anteriores se indicó que para Bogotá usar este valor de módulo pueden ser poco conservativo, se buscó en el presente trabajo realizar un diseño a la luz de la normatividad vigente y no con las recomendaciones hechas por diferentes autores. (en MPa) Ec. 4.1 Para realizar el análisis, se tomaron los dos casos más críticos para suelo rocoso (donde el estrato de suelo es pequeño) y el segundo caso suelo blando (donde el estrato de suelo rocoso se encuentra a gran profundidad). Se utilizaron dos espectros de diseño característicos de la nueva microzonificación sísmica de Bogotá (Decreto 523 de 2010): Piedemonte B y Lacustre-500. En la Tabla 4-2 se muestran el ancho de la plataforma y la aceleración espectral en la plataforma para cada espectro de diseño. Tabla 4-2 Características espectros de diseño Piedemonte B Lacustre-500 Plataforma 0-0,56 segundos segundos Aceleración espectral g g Diseño de pórticos Página 89 de 188

90 Sa (g) Maria Claudia Borrero Chaux Espectro de Diseño Periodo (s) CERROS PIEDEMONTE A PIEDEMONTE B PIEDEMONTE C LACUSTRE-50 LACUSTRE-100 LACUSTRE-200 LACUSTRE-300 LACUSTRE-500 LACUSTRE ALUVIAL-200 Gráfica 4-1. Espectros de diseño Microzonificación Sísmica de Bogotá. 4.1 METODOLOGÍA DE DISEÑO El diseño de los pórticos se realizó de acuerdo con los lineamientos del Reglamento de Construcción Sismo Resistente NSR-10 (Decreto 926 de 2010), y los espectros de diseño mencionados anteriormente, seleccionados de la microzonificación sísmica de Bogotá (Decreto 523 de 2010). Teniendo en cuenta que se planteó realizar el análisis de la variabilidad de la deriva en pórticos de concreto reforzado de Bogotá, se asumió un sistema aporticado en una dirección y se realizó el análisis sobre pórticos cargueros en la dirección en las que las luces eran mayores (dirección X) Avalúo de Cargas. Se determinaron las cargas muertas y vivas para establecer el peso total de los pórticos, incluyendo el peso de los elementos estructurales y no estructurales. Página 90 de 188 Diseño de pórticos

91 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá Carga muerta El avalúo de la carga muerta se realizó según lo consignado en el título B de la NSR-10. Se determinó el peso del entrepiso por metro cuadrado para poderlo asignar por metro lineal a los pórticos. En la Tabla 4-1 se mencionan las características de los materiales con los que se diseñaron los pórticos. En la Tabla 4-3 se muestran las dimensiones del entrepiso y en la Tabla 4-4 se establece el peso por metro cuadrado del entrepiso y elementos no estructurales para los pisos intermedios (piso 2, 3, 4 y 5). Tabla 4-3. Características de la losa de entrepiso. Longitud 7.5 m Altura entrepiso calculado m Altura entrepiso 0.42 m Losa superior 0.05 m Losa inferior 0.03 m Altura vigueta 0.34 m Ancho vigueta 0.15 m Figura 4-3 Sección transversal losa. Tabla 4-4. Avalúo de carga muerta para pisos intermedios. Carga Muerta (kn/m²) Pisos 2-penúltimo Losa superior 1.2 kn/m² Losa inferior 0.72 kn/m² Vigueta kn/m² Casetón 0.2 kn/m² Muros divisorios kn/m² Afinado 1.5 kn/m² TOTAL kn/m² Diseño de pórticos Página 91 de 188

92 Maria Claudia Borrero Chaux Con el peso por metro cuadrado de entrepiso, se establece el peso por metro lineal tomando el área aferente de los pórticos (7.5 m). Tabla 4-5. Peso por metro lineal vigas para pisos intermedios. Pórticos Cargueros Pisos 2-penúltimo Vigas kn/m El avalúo de cargas del último piso, correspondiente a la cubierta, se realiza aparte, pues los elementos no estructurales tenidos en cuenta para dicho avalúo son diferentes (ver Tabla 4-6). Adicionalmente, en la Tabla 4-7 se establece el peso por metro lineal para el pórtico. Tabla 4-6. Avalúo de carga muerta para la cubierta. Carga Muerta (kn/m²) Cubierta Losa superior 1.2 kn/m² Losa inferior 0.5 kn/m² Vigueta kn/m² Capa Bituminosa 0.22 kn/m² Casetón 0.2 kn/m² TOTAL kn/m² Tabla 4-7. Cargas por metro lineal para vigas de cubierta. Pórticos Cargueros Cubierta Vigas kn/m En la Figura 4-4 se muestra mediante un esquema de SAP2000 la asignación de la carga muerta para los pórticos con los valores obtenidos en la Tabla 4-4 y en la Tabla 4-6. Página 92 de 188 Diseño de pórticos

93 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 4-4. Asignaciones de carga muerta. Tomado de SAP Carga viva El avalúo de la carga viva en los pórticos se realizó de acuerdo al título B de la NSR-10. Conociendo la carga por metro cuadrado correspondiente a vivienda, se determinó la carga por metro lineal para el pórtico en sus pisos intermedios (piso 2, 3, 4 y 5) como se muestra en la Tabla 4-8. Tabla 4-8. Avalúo de carga Viva. Carga Viva (kn/m²) Uso: Residencial 1.8 kn/m² Pórticos Cargueros Vigas 13.5 kn/m En la Figura 4-5, se muestra la distribución de la carga viva en el pórtico. Diseño de pórticos Página 93 de 188

94 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 4-5. Asignación de carga viva. (Tomado de SAP2000 ) 4.2 METODOLOGÍA DE ANÁLISIS El análisis estructural de una edificación se puede realizar mediante diferentes métodos definidos en El Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente, NSR-10. Existe la posibilidad de realizarlo por el método de la fuerza horizontal equivalente, en donde a partir de la rigidez de cada piso, se asignan cargas horizontales en el centro de masa del piso, de acuerdo con la aceleración espectral de la zona en la que vaya a ser construida la edificación. Sin embargo, esta metodología asume periodos de edificaciones basándose únicamente en su altura, y no en su rigidez y su masa, que son las verdaderas variables que gobiernan el periodo fundamental de una estructura. El análisis de los pórticos se realizó mediante el método de análisis dinámico elástico espectral. Los requerimientos más importantes de esta metodología incluyen el garantizar una participación máxima de mínimo 90%, por lo que se debe juzgar cuántos modos utilizar para el análisis. La herramienta para realizar el presente trabajo es el programa de análisis SAP2000, que diferencia una asignación de cargas de una asignación de masas. Es por esto que se requiere indicarle al programa la fuente de masas que se debe utilizar para realizar el análisis modal. Para este caso, las mismas cargas muertas (incluidas las cargas debidas Página 94 de 188 Diseño de pórticos

95 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. al peso propio de los elementos) fueron la fuente de masa para la asignación de masas, utilizando la función de Mass Source. Finalmente, para conocer el comportamiento sísmico de la estructura aprovechando sus formas modales de movimiento, se utilizan los espectros de diseño de Piedemonte-B y Lacustre-500 de la microzonificación Sísmica de Bogotá. Ingresando estos como funciones de Response Spectrum y agregando casos de análisis de espectro de respuesta, utilizando el método de combinación estadística de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, conocida en SAP2000 como SRSS (Square Root Sum Square) Dimensionamiento de elementos estructurales De acuerdo con el capítulo B del Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente NSR-10, para el método de resistencia, se deben evaluar las solicitaciones de carga mediante 7 combinaciones de carga, que combinan carga muerta, carga viva, carga de viento, carga de sismo, cargas de presión lateral del suelo, cargas de empozamiento de agua y granizo. Las dimensiones de las vigas y de las columnas se variaron hasta conseguir cumplir con una deriva máxima del 1% para cada una de las 7 combinaciones de carga. Con las dimensiones preliminares de los elementos estructurales que garantizan derivas inferiores al 1%, se procedió a revisar las solicitaciones de fuerzas internas (axial, cortante y momento) de cada una de las combinaciones de carga. Las solicitaciones de carga se realizan teniendo en cuenta que la fuerza sísmica debe estar atenuada por el factor R de capacidad de disipación de energía, que para Bogotá, estando en una zona de amenaza sísmica intermedia, debe garantizar una disipación moderada de energía, o DMO. (AIS, 2010). De acuerdo con lo anterior y con la referencia (AIS, 2010), el valor del factor R que se utilizó fue 5. En términos generales, el diseño de las vigas estuvo gobernado principalmente por la combinación de carga B (AIS, 2010), en donde se aplica un 20% más de carga muerta, y un 60% más de carga viva como factores de mayoración. Diseño de pórticos Página 95 de 188

96 Maria Claudia Borrero Chaux Para el caso de las columnas, la combinación de carga B (AIS, 2010) que aplica un factor de mayoración de 1.2 para la carga muerta, y a esto le suma tanto la carga viva como la carga sísmica sin mayorar Al finalizar el predimensionamiento gobernado por derivas, y las dimensiones finales con la comprobación de solicitaciones, se obtuvieron para los dos pórticos, tres tipos de columnas y dos tipos de vigas diferenciadas en su refuerzo. Tabla 4-9. Dimensiones de elementos estructurales Tipo Piedemonte-B Lacustre-500 Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m) Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m) VIGA VIGA COLCENTRO COLY CCENTRO Nota: Dir x corresponde a la dimensión en dirección del pórtico y Dir y corresponde a la dimensión en dirección perpendicular al pórtico En la Figura 4-6 y en la Figura 4-7 se muestra la asignación de las vigas y de las columnas en el pórtico. Figura 4-6 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Piedemonte. Tomado de SAP2000 Página 96 de 188 Diseño de pórticos

97 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 4-7 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Lacustre. Tomado de SAP Modos de vibración. Los modos de vibración de las estructuras dependen de su masa y su rigidez, y éstas están gobernadas por las dimensiones de sus elementos. Así pues, con las dimensiones finales, se obtuvieron las siguientes formas modales y factores de participación modal de masa, tanto para cada modo, como acumulativas. Se realizó un análisis en el plano XZ, lo que hace que la participación de la masa que aparece en la Tabla 4-10 y en la Tabla 4-11 sea en dirección X. Diseño de pórticos Página 97 de 188

98 Maria Claudia Borrero Chaux Tabla 4-10 Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para Piedemonte-B. Modo Periodo (s) Piedemonte-B Participación de Masa (%) Participación de Masa Acumulada (%) % 66.35% % 90.74% % 90.74% % 90.74% % 90.74% % 95.06% % 95.06% % 95.06% % 99.42% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Página 98 de 188 Diseño de pórticos

99 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa Lacustre-500. Modo Periodo (s) Lacustre-500 Participación de Masa (%) Participación de Masa Acumulada (%) % 75.98% % 90.60% % 96.59% % 96.59% % 96.59% % 96.59% % 99.24% % 99.24% % 99.24% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Como se puede apreciar, se restringió el caso de análisis modal a 20 modos, ya que esta combinación garantizó una participación acumulada de masa de más del 90%, como lo exige la NSR-10. (AIS, 2010) Diseño de concreto reforzado. El diseño del refuerzo de las vigas y las columnas sólo se realizó en los nudos, ya que en los nudos es donde se presentan las rótulas plásticas, que se necesitan para el análisis no lineal estático de Pushover, adicionalmente estas zonas en donde ocurre la plastificación y es donde se concentran las mayores solicitaciones sísmicas. Por otro lado, no se tomó en cuenta la reducción del refuerzo longitudinal en las columnas, aunque en Diseño de pórticos Página 99 de 188

100 Maria Claudia Borrero Chaux los últimos pisos la solicitación fuera menor. Sin embargo, las vigas intermedias tuvieron un diseño diferente a las vigas de cubierta por la distribución de esfuerzos en las mismas. En la Figura 4-9 y en la Figura 4-16 muestra la orientación de los elementos en cada pórtico, en la Tabla 4-12 y en la Tabla 4-13 se muestra el refuerzo longitudinal tanto para vigas como para columnas. Finalmente se muestran las secciones transversales de los elementos estructurales indicando las dimensiones y el refuerzo de cada una. Figura 4-8 Orientación y dimensiones columnas Lacustre. Figura 4-9 Orientación columnas para pórtico Lacustre. Tomado de SAP2000 Página 100 de 188 Diseño de pórticos

101 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 4-12 Refuerzo para pórtico Lacustre. Lacustre-500 Refuerzo Tipo Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m) VIGA No 7 VIGA No 8 COLCENTRO No 8 COLY No 8 CCENTRO No 8 Figura 4-11 Sección transversal COLCENTRO. Laustre Figura 4-10Sección transversal COLY. Lacustre Figura 4-12 Sección transversal CCENTRO. Lacustre Diseño de pórticos Página 101 de 188

102 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 4-14 Sección transversal Viga 1-4. Lacustre Figura 4-13 Sección transversal Viga 5. Lacustre Figura 4-15 Orientación y dimensiones columnas Piedemonte. Figura 4-16 Orientación columnas para pórtico Piedemonte. Tomado de SAP2000 Página 102 de 188 Diseño de pórticos

103 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 4-13 Refuerzo para pórtico Piedemonte Piedemonte-B Refuerzo Tipo Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m) VIGA No 7 VIGA No 8 COLCENTRO No 8 COLY No 8 Figura 4-17 Sección transversal COLCENTRO. Piedemonte Figura 4-18 Sección transversal COLY. Piedemonte Figura 4-20 Sección transversal Viga 1-4. Piedemonte. En los dos pórticos el diseño a cortante estuvo gobernado por parámetros constructivos ya que el cortante es absorbido por el concreto. Esto debido a las dimensiones de los elementos y la dimensión de las luces de los pórticos. Figura 4-19 Sección transversal Viga5. Piedemonte. Un análisis no lineal estático de Pushover implica que son los nudos de los elementos estructurales los que se plastifican, por lo que sólo se calculó el refuerzo longitudinal, el refuerzo transversal para la zona cercana a los nudos, o zona de confinamiento, y no se realizó un cálculo de la separación de los flejes en zonas diferentes a los nudos. Diseño de pórticos Página 103 de 188

104 Maria Claudia Borrero Chaux 5 DERIVA ELÁSTICA El análisis de la variabilidad de la deriva elástica se realizó mediante dos métodos propuestos en el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10): El análisis dinámico elástico espectral y la fuerza horizontal equivalente. Para los dos métodos, se define la deriva elástica como: Ec.5.1 Donde: : Deriva máxima : Desplazamiento horizontal máximo de un punto en el piso i. : Desplazamiento horizontal máximo de un punto localizado en el mismo eje vertical localizado en el piso inmediatamente inferior (i-1). : Altura del piso i. Para realizar el análisis se tomaron 1000 valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto (f c) generados como se describió en el numeral 3.3. Con estos valores se utilizó la ecuación Ec. 3.1a para determinar 1000 valores de módulo de elasticidad del concreto. Las estadísticas y los diagramas de frecuencia se realizaron mediante la herramienta Microsoft Excel y el análisis para conocer la distribución de probabilidad se realizó mediante el programa Bestfit. Lo anterior con las derivas máximas obtenidas en las simulaciones. Con el fin de establecer si la muestra estadística de 1500 puntos era confiable para estimar cada una de las cuatro derivas, se presenta en la Gráfica 5-1 la evolución de las derivas elásticas para diferentes simulaciones, en donde se hace evidente que a partir 200 simulaciones los valores medios de las deriva estimadas se mantienen aproximadamente constantes. Las derivas de los dos edificios diseñados y los dos análisis tienen un comportamiento similar puesto que se analizaron los mismos 1500 Página 104 de 188 Deriva Elástica

105 Deriva promedio (%) Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. datos de f `c y E para las edificaciones. Por otro lado, la desviación estándar de las muestras analizadas tuvo un comportamiento similar Número de simulaciones Modal espectral Lacustre 500 Fuerza Horizontal Equivalente Lacustre 500 Modal espectral Piedemonte B Fuerza Horizontal Equivalente Piedemonte B Gráfica 5-1 Comportamiento de la deriva en función del número de simulaciones 5.1 VISUAL BASIC Con el fin de realizar las simulaciones para la obtención de la deriva elástica, se utilizó la interfaz que tiene el programa SAP2000 desde su versión 11 para manejar la mayoría de sus comandos desde la aplicación Visual Basic. Con esto, se creó una macro en Microsoft Excel que hace ciclos en los que cambia el valor del módulo de elasticidad del concreto en el modelo del pórtico plano realizado en SAP2000 y guarda los resultados en Excel. A continuación se muestra el código utilizado con sus respectivos comentarios. Sub Sap2000_modulo() Dim SapObject As Sap2000.SapObject Dim ret As Long Dim coordmodulo As Range Dim coordfc As Range Dim totale As Integer Dim Nmodulo As Integer Deriva Elástica Página 105 de 188

106 Maria Claudia Borrero Chaux Dim Nfc As Integer Dim modulo As Double Dim fc As Double Dim Poi As Double Dim ExTe As Double Dim NumResult As Long Dim obj() As String Dim elm() As String Dim acase() As String Dim StepType() As String Dim stepnum() As Double Dim u1() As Double Dim u2() As Double Dim u3() As Double Dim r1() As Double Dim r2() As Double Dim r3() As Double Dim i As Integer Dim resultados As Range 'Variación Módulo de Elasticidad del Concreto Poi = Range("c5") ExTe = Range("c6") Set coordmodulo = Range("e3:e102") Set coordfc = Range("f3:f102") totale = coordmodulo.rows.count For Nmodulo = 1 To totale modulo = coordmodulo(nmodulo, 1).Value fc = coordfc(nmodulo, 1).Value 'Propiedades material "Concreto" 'ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete_1("Concreto", fc, False, fcsfactor, SSType, SSHysType, StrainAtfc, strainultimate) ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete("Concreto", fc, False, 1, 1, 2, 0.002, 0.003) ret = SapModel.PropMaterial.SetMPIsotropic("Concreto", modulo, Poi, ExTe) 'Correr modelo ret = SapModel.Analyze.RunAnalysis 'Limpiar todos los casos y combos en resultados ret = SapModel.Results.Setup.DeselectAllCasesAndCombosForOutput 'Escoger casos para mostrar resultados ret = SapModel.Results.Setup.SetCaseSelectedForOutput("100x30ypiedemonte") 'Obtener los desplazamientos de los nudos Página 106 de 188 Deriva Elástica

107 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. ret = SapModel.Results.JointDispl("ALL", GroupElm, NumResult, obj, elm, acase, StepType, stepnum, u1, u2, u3, r1, r2, r3) 'Pasar los resultados a Excel Set resultados = Range("h3:dc102") For i = 0 To NumResult - 1 resultados(i + 1, Nmodulo).Value = u1(i) Next i 'Desbloquear archivo ret = SapModel.SetModelIsLocked(False) Next Nmodulo End Sub Nótese que se tomó un valor constante para la relación de Poisson igual a 0.2 y un valor constante para el coeficiente de expansión térmica igual a 9.9 x Adicional a esto, el valor strainultimate se tomó como y el valor StrainAtfc se tomó como PIEDEMONTE-B En la Gráfica 5-2 se presenta el espectro de diseño de la zona Piedemonte-B tomado de la Microzonificación sísmica de Bogotá (Decreto 523 de 2010), con el que se realizó el análisis de la deriva elástica. Gráfica 5-2 Espectro de diseño Piedemonte-B. (Tomado de la Microzonificación sísmica de Bogotá, Decreto 523 de 2010). Deriva Elástica Página 107 de 188

108 Frecuencia Maria Claudia Borrero Chaux Análisis dinámico elástico espectral Como se mencionó anteriormente, para realizar el análisis dinámico elástico espectral se ingresó el espectro correspondiente a Piedemonte-B como una función de Response Spectrum y agregando el caso de análisis de espectro de respuesta, utilizando el método de combinación estadística de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, conocida en SAP2000 como SRSS (Square Root Sum Square). Con el caso de análisis definido en SAP2000, se realizaron 1000 simulaciones y se encontró la deriva máxima para cada simulación. Posteriormente, con los valores encontrados de deriva elástica, se obtuvieron los resultados presentados en la Gráfica 5-3 y en la Tabla 5-1. Adicional a esto, se determinó la distribución de probabilidad que mejor se ajustara a estos resultados, obteniendo una distribución Pearson5 como se muestra en la Figura % 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% Deriva Frecuencia % acumulado Gráfica 5-3 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte. Página 108 de 188 Deriva Elástica

109 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 5-1 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte. Deriva Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría Mínimo Máximo Cuenta Nivel de confianza (95.0%) Figura 5-1 Distribución de probabilidad para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit). De acuerdo con la Figura 5-1 se pude decir con un nivel de confianza del 95%, que la deriva elástica para un pórtico diseñado con materiales de Bogotá y con el espectro de Deriva Elástica Página 109 de 188

110 Maria Claudia Borrero Chaux diseño Piedemonte-B, puede tener una deriva que toma valores entre 0.37% y 1.36%, teniendo presente que el pórtico fue diseñado para una deriva de 0.7 %. Para verificar que 1000 simulaciones son suficientes para realizar el análisis estadístico y determinar la distribución de probabilidad, se realizaron los mismos análisis a 500 y a 1500 simulaciones. Tabla 5-2 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método del espectro - Piedemonte. Deriva Media Desviación estándar Máximo Mínimo Figura 5-2 Distribución de proabilidad para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro Piedemonte. (Tomado de Bestfit) Tabla 5-3 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte. Deriva Media Desviación estándar Máximo Mínimo Página 110 de 188 Deriva Elástica

111 Piso Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 5-3 Distribución de probabilidad para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit) De acuerdo con lo anterior, con 500 simulaciones se obtuvo una media de 0.852, con 1000 simulaciones y con 1500 simulaciones 0.853, lo que verifica que con 1000 simulaciones se pueden obtener resultados válidos para el análisis estadístico y por consiguiente para la distribución de probabilidad. En la Gráfica 5-4 se muestran algunos de resultados típicos de la deriva en cada piso del pórtico para diferentes módulos de elasticidad Deriva Gráfica 5-4 Resultados típicos deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte Deriva Elástica Página 111 de 188

112 Maria Claudia Borrero Chaux Fuerza Horizontal Equivalente Las fuerzas sísmicas horizontales para realizar el análisis de la deriva elástica al pórtico se obtuvieron tomando como referencia lo mencionado en el Capítulo A.4 del Código Colombiano de construcción Sismo Resistente (NSR-10). Vale la pena aclarar que se usó siempre el mismo periodo especificado en la norma sismo resistente; a pesar de que es obvio que en la medida que se cambia el módulo de elasticidad varía el periodo estructural. Sin embargo debe recordarse que la fórmula para calcular el periodo de una edificación en la NSR-10 NO depende de la rigidez ni tampoco de la masa; simplemente depende del sistema estructural y de la altura de la edificación. En la Tabla 5-4 se presenta la fuerza sísmica horizontal Fx aplicada al pórtico para realizar el análisis mediante la Fuerza Horizontal Equivalente (FHE). Piso Peso piso (kn) Tabla 5-4 Fuerza horizontal equivalente - Piedemonte. h (m) Wxh Cvx Fx (kn) Vs Σ En la Gráfica 5-5 y en la Tabla 5-5 se presentan los resultados obtenidos para 1000 derivas elásticas máximas, derivadas de las 1000 simulaciones realizadas con el método de Fuerza Horizontal Equivalente. En la Figura 5-4 se muestra la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados: Pearson5. Página 112 de 188 Deriva Elástica

113 Frecuencia Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá % 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% Deriva Frecuencia % acumulado Gráfica 5-5 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE Piedemonte. Tabla 5-5 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE - Piedemonte. Deriva Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría Mínimo Máximo Cuenta Nivel de confianza (95.0%) Deriva Elástica Página 113 de 188

114 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 5-4 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit). De acuerdo con la Figura 5-4 se pude decir con un nivel de confianza del 95%, que la deriva elástica para un pórtico diseñado con materiales de Bogotá y con el espectro de diseño Piedemonte-B, puede tener una deriva que toma valores entre 0.43% y 1.57%, teniendo presente que el pórtico fue diseñado para una deriva de 0.70 %. Con el fin de verificar que 1000 simulaciones son suficientes para realizar el análisis estadístico y determinar la distribución de probabilidad, se realizaron los mismos análisis a 500 y a 1500 simulaciones. Tabla 5-6 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método FHE - Piedemonte. Deriva Media Desviación estándar Máximo Mínimo Página 114 de 188 Deriva Elástica

115 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 5-5 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método FHE Piedemonte. (Tomado de Bestfit). Tabla 5-7 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método FHE Piedemonte. Deriva Media Desviación estándar Máximo Mínimo Figura 5-6 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit). Deriva Elástica Página 115 de 188

116 Piso Maria Claudia Borrero Chaux De acuerdo con lo anterior, con 500 simulaciones se obtuvo una media de 0.998, con 1000 simulaciones y con 1500 simulaciones 0.998, lo que verifica que con 1000 simulaciones se pueden obtener resultados válidos para el análisis estadístico y por consiguiente para la distribución de probabilidad. En la Gráfica 5-6 se muestran resultados típicos obtenidos de la deriva elástica para los pisos del pórtico, variando el módulo de elasticidad del concreto, analizado por el método de la Fuerza Horizontal Equivalente Deriva Gráfica 5-6 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE - Piedemonte. Página 116 de 188 Deriva Elástica

117 5.3 LACUSTRE-500 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. En la Gráfica 5-7 se muestra el espectro de la zona Lacustre-500 de la Microzonificación sísmica de Bogotá, con el que se realizó el análisis de la deriva elástica. Gráfica 5-7 Espectro de diesño Lacustre-500. Tomado de la Microzonificación sísmica de Bogotá Análisis dinámico elástico espectral El análisis dinámico elástico espectral se realizó ingresando el espectro correspondiente a Lacustre-500 como una función de Response Spectrum y agregando el caso de análisis de espectro de respuesta, utilizando el método de combinación estadística de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, conocida en SAP2000 como SRSS (Square Root Sum Square). Con el caso de análisis definido en SAP2000, se realizaron 1000 simulaciones y se encontró la deriva máxima para cada simulación. Posteriormente, con los valores encontrados de deriva elástica, se obtuvieron los resultados presentados en la Gráfica 5-8 y en la Tabla 5-8. Adicional a esto, se determinó la distribución de probabilidad que mejor se ajustara a estos resultados, obteniendo una distribución Pearson5 como se muestra en la Figura 5-7. Deriva Elástica Página 117 de 188

118 Frecuencia Maria Claudia Borrero Chaux % % 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% Deriva Frecuencia % acumulado Gráfica 5-8 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre. Tabla 5-8 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro. Lacustre. Deriva Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría Mínimo Máximo Cuenta Nivel de confianza (95.0%) Página 118 de 188 Deriva Elástica

119 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 5-7 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro Lacustre. (Tomado de Bestfit). De acuerdo con la Figura 5-7 se pude decir con un nivel de confianza del 95%, que la deriva elástica para un pórtico diseñado con materiales de Bogotá y con el espectro de diseño Lacustre-500, puede tener una deriva que toma valores entre 0.40% y 1.47%, teniendo presente que el pórtico fue diseñado para una deriva de 0.8 %. Para verificar que 1000 simulaciones son suficientes para realizar el análisis estadístico y determinar la distribución de probabilidad, se realizaron los mismos análisis a 500 y a 1500 simulaciones. Tabla 5-9 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro Lacustre. Deriva Media Desviación estándar Máximo Mínimo Deriva Elástica Página 119 de 188

120 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 5-8 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre. (Tomado de Bestfit). Tabla 5-10 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre. Deriva Media Desviación estándar Máximo Mínimo Figura 5-9 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro. (Tomado de Bestfit). Página 120 de 188 Deriva Elástica

121 Piso Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. De acuerdo con lo anterior, con 500 simulaciones se obtuvo una media de 0.921, con 1000 simulaciones y con 1500 simulaciones 0.931, lo que verifica que con 1000 simulaciones se pueden obtener resultados válidos para el análisis estadístico y por consiguiente para la distribución de probabilidad. En la Gráfica 5-9 se muestran los resultados típicos de deriva elástica en cada piso, utilizando el método del análisis dinámico elástico espectral, variando el módulo de elasticidad del concreto (E) Deriva Gráfica 5-9 Resultados deriva elástica por el método del espectro - Lacustre Fuerza Horizontal Equivalente Las fuerzas sísmicas horizontales para realizar el análisis de la deriva elástica al pórtico se obtuvieron tomando como referencia lo mencionado en el Capítulo A.4 del Código Colombiano de construcción Sismo Resistente (NSR-10). En la Tabla 5-1 se presenta la fuerza sísmica horizontal Fx aplicada al pórtico para realizar el análisis mediante la Fuerza Horizontal Equivalente (FHE). Deriva Elástica Página 121 de 188

122 Frecuencia Maria Claudia Borrero Chaux Tabla 5-11 Fuerza Horizontal Equivalente - Lacustre. Peso piso h Wxh Cvx Fx Vs Σ Los resultados obtenidos en las 1000 simulaciones realizadas con el método de Fuerza Horizontal Equivalente se muestran en la Gráfica 5-8 y en la Tabla 5-8. En la Figura 5-10 se presenta la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados: Pearson % % 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% Deriva Frecuencia % acumulado Gráfica 5-10 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE Lacustre. Página 122 de 188 Deriva Elástica

123 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 5-12 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE Lacustre. Deriva Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Coeficiente de asimetría Mínimo Máximo Cuenta Nivel de confianza(95.0%) Figura 5-10 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE Lacustre. (Tomado de Bestfit). De acuerdo con la Figura 5-10 se pude decir con un nivel de confianza del 95%, que la deriva elástica para un pórtico diseñado con materiales de Bogotá y con el espectro de diseño Lacustre-500, puede tener una deriva que toma valores entre 0.41% y 1.52%, teniendo presente que el pórtico fue diseñado para una deriva de 0.8%. Deriva Elástica Página 123 de 188

124 Maria Claudia Borrero Chaux Para verificar que 1000 simulaciones son suficientes para realizar el análisis estadístico y determinar la distribución de probabilidad, se realizaron los mismos análisis a 500 y a 1500 simulaciones. Tabla 5-13 Análisis estadístico de 500 valores de deriva elástica por el método de FHE Lacustre. Deriva Media Desviación estándar Máximo Mínimo Figura 5-11 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método de FHE Lacustre. (Tomado de Bestfit). Tabla 5-14 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método de FHE Lacustre. Deriva Media Desviación estándar Máximo Mínimo Página 124 de 188 Deriva Elástica

125 Piso Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 5-12 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método de FHE - Lacustre. (Tomado de Bestfit). De acuerdo con lo anterior, con 500 simulaciones se obtuvo una media de 0.958, con 1000 simulaciones y con 1500 simulaciones 0.967, lo que verifica que con 1000 simulaciones se pueden obtener resultados válidos para el análisis estadístico y por consiguiente para la distribución de probabilidad. En la Gráfica 5-11 se presentan resultados típicos de la deriva elástica en cada piso, calculadas mediante el método de la Fuerza Horizontal Equivalente, variando el módulo de elasticidad Deriva Gráfica 5-11 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE Piedemonte. Deriva Elástica Página 125 de 188

126 Maria Claudia Borrero Chaux 5.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS De acuerdo con el numeral A del Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10), la necesidad de controlar la deriva está asociada con evitar la deformación inelástica de los elementos estructurales y no estructurales, garantizar la estabilidad global de la estructura durante un temblor y evitar los daños a los elementos estructurales que no hacen parte del sistema de resistencia sísmica y a los elementos no estructurales, tales como muro divisorios, particiones, enchapes, acabados, instalaciones eléctricas, mecánicas, etc. Por esta razón, en el numeral A.6.4.1, define para estructuras de concreto reforzado que la deriva máxima debe ser del 1% (Figura 5-13). Figura 5-13 Deriva máxima permitida en la NSR-10. (Tomado de (AIS, 2010)). En la actualidad, las estructuras que se diseñan deben cumplir con la NSR-10, y en su versión anterior con el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-98). Estas normas presentan el mismo límite de deriva máxima para estructuras de concreto reforzado que es del 1%. Sin embargo, en las simulaciones realizadas a pórticos diseñados con los requisitos establecidos en la NSR-10, la microzonificación sísmica de Bogotá y variando únicamente el módulo de elasticidad del concreto (E), se encontró que las derivas tienen una variabilidad ligada directamente con la variabilidad del módulo de elasticidad en concretos de Bogotá. Lo que quiere decir que una estructura de concreto reforzado diseñada con materiales de Bogotá y con una deriva de diseño de 0.7%, como el pórtico analizado en la zona de Piedemonte, puede alcanzar derivas de hasta 1.57% (Tabla 5-15), lo que se traduce en un aumento de más del 100% en la deriva de diseño y un aumento de hasta el 60% con respecto a la máxima estipulada en la NSR-10. Página 126 de 188 Deriva Elástica

127 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 5-15 Resumen resultados deriva elástica para Piedemonte B. Deriva elástica - Piedemonte B Deriva de diseño 0.70 Espectro FHE Media (μ) Simulaciones Desviación estándar (σ) μ + 2σ Por otro lado, se puede realizar el mismo análisis en el caso de una estructura de concreto reforzado diseñada con materiales de Bogotá, en la zona Lacustre 500, con una deriva de diseño igual a 0.8%. De acuerdo con el análisis realizado, para estas condiciones, la deriva puede alcanzar valores de hasta 1.52% (Tabla 5-16) si se realiza mediante el método de la Fuerza Horizontal Equivalente, lo que equivale a un aumento de más del 100% en la deriva de diseño, y un aumento de 65% con respecto a la deriva máxima estipulada en la NSR-10. Tabla 5-16 Resumen resultados deriva elástica para Lacustre 500. Deriva elástica - Lacustre 500 Deriva de diseño 0.80 Espectro FHE Media (μ) Simulaciones Desviación estándar (σ) μ + 2σ La diferencia entre la deriva de diseño y la deriva real que se puede presentar en un evento sísmico, como consecuencia de la variabilidad de las propiedades mecánicas de los materiales. Esto puede significar el daño de elementos no estructurales o la estabilidad global de la estructura, o en palabras de (Gallego, M.; Sarria, A., 2006), puede ser la diferencia entre un desastre y la supervivencia de los elementos estructurales y no estructurales de una edificación. Deriva Elástica Página 127 de 188

128 Figura 5-14 Análisis estadísticos y funciones de distribución de probabilidad ajustada para la deriva de los dos edificios diseñados (con Piedemonte B y con Lacustre 500) y para análisis modal espectral y para fuerza horizontal equivalente Maria Claudia Borrero Chaux Página 128 de 188 Deriva Elástica

129 Probabilidad de excedencia Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. En la Figura 5-14 se muestra el resumen de los resultados obtenidos para el pórtico diseñado con el espectro de Lacustre-500 y Piedemonte-B por los métodos Modal Espectral y Fuerza Horizontal Equivalente. Adicionalmente se señala el límite señalado en la NSR-10 para la deriva máxima (1%), con lo anterior, se puede ver que en el peor de los casos el 62% de la muestra estadística (para FHE y para el edificio diseñado en Piedemonte B) cumplan con una deriva máxima de 1%. Lo anterior es consistente con que el coeficiente de asimetría en todos los casos indica que las funciones de distribución tienen la tendencia hacia valores superiores al límite del 1%. Por otro lado en la Gráfica 5-12 se presentan las probabilidades de excedencia asociadas con las funciones de distribución de probabilidad de la Figura De acuerdo con estos datos, en promedio 52 de cada 100 edificios de cinco pisos construidos en Bogotá con la NSR-10 y tendrían derivas mayores a la deriva de diseño al ser cometidas a las fuerzas sísmicas de la nueva microzonificación (Decreto 523 de 2010). 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Modal espectral Lacustre 500 Fuerza Horizontal Equivalente Lacustre 500 Deriva máxima/deriva de diseño Modal Espectral Piedemonte B Fuerza Horizontal Equivalente Piedemonte B Gráfica 5-12 Probabilidad de excedencia de la deriva máxima con respecto a la deriva de diseño. Deriva Elástica Página 129 de 188

130 Maria Claudia Borrero Chaux 6 DERIVA INELÁSTICA La deriva inelástica se define como la máxima deriva presentada en el pórtico en cada paso considerado en el análisis no lineal estático de Pushover. Para realizar el análisis no lineal estático de Pushover, es necesario asignar a las vigas y a las columnas los diagramas momento curvatura y adicionalmente, a las columnas, se les debe asignar el diagrama de interacción. Ya que los valores de los diagramas momento curvatura y el diagrama de interacción se determinan con las características de los materiales y de las secciones, se asignaron automáticamente mediante la herramienta SAP2000. Con los parámetros necesarios para el análisis, el programa está en capacidad de inducir esfuerzos generados por incrementos en el desplazamiento de la estructura, de tal forma que se puede observar cómo se degrada la rigidez de cada elemento. La variación del comportamiento de los elementos es monitoreada por el programa SAP2000 a través de los siguientes niveles de desempeño: Sigla Nivel de daño B Esfuerzo de fluencia de la sección IO Nivel de ocupación inmediata LS Nivel de protección a la vida CP Prevención de colapso C Rango de seguridad limitada D Estabilidad estructural E Colapso Figura 6-1 Diagrama de momento rotación con los niveles de daño Página 130 de 188 Deriva inelástica

131 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Un análisis de Pushover muestra el mecanismo de colapso de una estructura en pasos de carga, adicionalmente desplaza a la estructura una distancia definida al inicio del análisis. Con los resultados obtenidos en cada simulación se calcularon las derivas máximas en el paso 3, 4, 5 y 6 del análisis de Pushover, pues como se observará en el desarrollo del presente capítulo, es en estos pasos donde los pórticos presentan rótulas B, IO y LS. De acuerdo con el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10), la deriva, determinada con análisis no lineales se debe tomar verificando el desempeño de la totalidad de los elementos estructurales en un rango de desempeño no mayor a Protección a la vida, correspondiente a LS en el programa SAP2000. Cada pórtico fue sometido a análisis no lineales estáticos de Pushover (uno para cada combinación de f c y fy), lo que hacen un total de simulaciones. Fueron análisis teniendo en cuenta que se combinaron 200 valores aleatorios de f`c con 200 valores aleatorios de fy, para un total de datos. Vale la pena mencionar que para el cálculo de las rótulas (automáticas por SAP 2000) la relación entre la resistencia máxima del acero (fu) y la resistencia a la fluencia del acero (fy) se mantuvo en el valor medio de los análisis estadísticos de laboratorio presentados en capítulos anteriores. Dicho valor se supuso constante en 1.48=fu/fy. 6.1 VISUAL BASIC Similar a la deriva elástica, se realizó una macro en Microsoft Excel para realizar las simulaciones y obtener la deriva inelástica. De igual manera, se utilizó la interfaz que tiene el programa SAP2000 desde su versión 11 para manejar la mayoría de sus comandos desde la aplicación Visual Basic. En este caso, se creó una macro en Microsoft Excel que hace ciclos en los que cambia el valor del módulo de elasticidad del concreto (f c), el valor del esfuerzo de fluencia del acero (fy) y el valor de la resistencia última del acero (fu) en el modelo del pórtico plano realizado en SAP2000 y guarda los resultados en Excel. El código utilizado para obtener los resultados de la deriva inelástica se presente a continuación: Sub Sap2000_modulo() Dim SapObject As Sap2000.SapObject Dim ret As Long Dim coordmodulo As Range Deriva inelástica Página 131 de 188

132 Maria Claudia Borrero Chaux Dim coordfc As Range Dim coordfy As Range Dim totale As Integer Dim totalfy As Integer Dim Nmodulo As Integer Dim Nacero As Integer Dim modulo As Double Dim fc As Double Dim fy As Double Dim fu As Double Dim Poi As Double Dim col As Double Dim Ncol As Double Dim ExTe As Double Dim NumResult As Long Dim obj() As String Dim elm() As String Dim acase() As String Dim StepType() As String Dim stepnum() As Double Dim u1() As Double Dim u2() As Double Dim u3() As Double Dim r1() As Double Dim r2() As Double Dim r3() As Double Dim i As Integer Dim resultados As Range Dim fuerza As Range Dim f1() As Double Dim f2() As Double Dim f3() As Double Dim m1() As Double Dim m2() As Double Dim m3() As Double Dim j As Double Dim k As Double Dim resultreac As Range Dim contador As Double 'Variación E concreto, f'c concreto, fy Acero Sheets("Hoja1").Select Poi = Range("c5") ExTe = Range("c6") col = "1" Ncol = col der = 1 Página 132 de 188 Deriva inelástica

133 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Set coordmodulo = Range("e3:e102") Set coordfc = Range("f3:f102") Set coordfy = Range("g3:g5") totale = coordmodulo.rows.count totalfy = coordfy.rows.count For Nmodulo = 1 To totale modulo = coordmodulo(nmodulo, 1).Value fc = coordfc(nmodulo, 1).Value 'Propiedades material "Concreto" 'ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete_1("Concreto", fc, False, fcsfactor, SSType, SSHysType, StrainAtfc, strainultimate) ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete("Concreto", fc, False, 1, 0, 0, 0.002, 0.003) ret = SapModel.PropMaterial.SetMPIsotropic("Concreto", modulo, Poi, ExTe) For Nacero = 1 To totalfy fy = coordfy(nacero, 1).Value fu = * fy 'Propiedades material "Acero" ret = SapModel.PropMaterial.SetORebar("Acero", fy, fu, efy, efu, SSType, SSHys, StainAtHardening, StrainUltimate, UseCaltransSSDefaults(False, True)) ret = SapModel.PropMaterial.SetORebar("Rebar", fy, fu, fy, fu, 0, 0, 0.012, 0.14, False) 'Correr modelo ret = SapModel.Analyze.RunAnalysis 'Escoger casos para mostrar resultados ret = SapModel.Results.Setup.SetCaseSelectedForOutput("pushx") 'Extraer resultados 'Desplazamientos de los nudos ret = SapModel.Results.JointDispl("ALL", GroupElm, NumResult, obj, elm, acase, StepType, stepnum, u1, u2, u3, r1, r2, r3) 'Pasar los resultados a Excel Set resultados = Range("i3:iv699") For i = 0 To NumResult - 1 resultados(i + 1, Ncol).Value = u1(i) Next i 'Fuerzas en los nudos Deriva inelástica Página 133 de 188

134 Maria Claudia Borrero Chaux ret = SapModel.Results.JointReact("ALL", GroupElm, NumResult, obj, elm, acase, StepType, stepnum, f1, f2, f3, m1, m2, m3) For i = 0 To NumResult - 1 resultados(i + 1, Ncol + 1).Value = f1(i) Next i 'Cantidad de datos k = 0 For i = 0 To NumResult If resultados(i + 1, Ncol).Value = 0 Then j = k + 1 k = j Else i = NumResult End If Next i 'Suma de Fuerzas For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 2).Value = (resultados(i + 1, Ncol + 1) + resultados(i k * 6, Ncol + 1).Value + resultados(i k * 12, Ncol + 1).Value + resultados(i k * 18, Ncol + 1).Value + resultados(i k * 24, Ncol + 1).Value) * -1 Next i 'Desplazamientos j = k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 3).Value = resultados(numresult - j, Ncol).Value j = j - 1 Next i 'Derivas 'Deriva piso 1-2 j1 = 5 * k - 1 j2 = 4 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 4).Value = ((resultados(numresult - j2, Ncol).Value - resultados(numresult - j1, Ncol).Value) / 3) * 100 j1 = j1-1 j2 = j2-1 Next i 'Deriva piso 2-3 j2 = 4 * k - 1 Página 134 de 188 Deriva inelástica

135 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. j3 = 3 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 5).Value = ((resultados(numresult - j3, Ncol).Value - resultados(numresult - j2, Ncol).Value) / 3) * 100 j2 = j2-1 j3 = j3-1 Next i 'Deriva piso 3-4 j3 = 3 * k - 1 j4 = 2 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 6).Value = ((resultados(numresult - j4, Ncol).Value - resultados(numresult - j3, Ncol).Value) / 3) * 100 j3 = j3-1 j4 = j4-1 Next i 'Deriva piso 4-5 j4 = 2 * k - 1 j5 = 1 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 7).Value = ((resultados(numresult - j5, Ncol).Value - resultados(numresult - j4, Ncol).Value) / 3) * 100 j4 = j4-1 j5 = j5-1 Next i Range("c19") = contador contador = contador + 1 'Desbloquear archivo ret = SapModel.SetModelIsLocked(False) Next Nacero Next Nmodulo End Sub En las simulaciones, el material Concreto tomó un valor constante para la relación de Poisson igual a 0.2 y un valor constante para el coeficiente de expansión térmica igual a 9.9 x Adicional a esto, el valor strainultimate se tomó como y el valor StrainAtfc se tomó como En el material Acero, el valor StainAtHardening se tomó como y el valor StrainUltimate se tomó como Deriva inelástica Página 135 de 188

136 Maria Claudia Borrero Chaux 6.2 PIEDEMONTE-B El programa SAP2000 genera automáticamente las rótulas plásticas de los elementos y los diagramas de interacción de las columnas, para esto, se debe definir la sección de los elementos y su respectivo refuerzo. En las siguientes figuras se muestra la sección transversal de las columnas y las vigas para el pórtico diseñado con el espectro de diseño Piedemonte-B. Figura 6-3 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000 ). Figura 6-2 Sección transversal COLY (Tomado de SAP2000 ). Figura 6-4 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA5. (Tomado de SAP2000 ) Con los límites asociados a la generación de los valores aleatorios para f c y fy, se realizaron análisis no lineales estáticos de Pushover y con esto se determinaron los valores dentro de los que estan las curvas generadas por las simulaciones. En la Gráfica 6-1 se muestra la curva de Pushover para los valores mínimos obtenidos de los valores aleatorios. Página 136 de 188 Deriva inelástica

137 Fuerza (kn) Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 6-1 Valores mínimos de f'c y fy. Valores Mínimos fy fu f'c MPa M Pa 5.02 MPa Desplazamiento (m) Gráfica 6-1 Curva Pushover para valores mínimos - Piedemonte. El análisis no lineal estático de Pushover se llevó hasta un desplazamiento de 38cm, la fuerza máxima a la que llegó el pórtico fue 3910kN. Deriva inelástica Página 137 de 188

138 Maria Claudia Borrero Chaux En las siguientes figuras se muestra el mecanismo de colapso del pórtico con los valores mínimos de f c, fy y fu. Obsérvese que en el paso 2 se presentan las primeras rótulas B (fluencia) en las columnas del primer piso, adicionalmente, en el paso 5 se presentan las primeras rótulas que sobrepasan el valor LS (seguridad a la vida), en estas mismas columnas. Figura 6-5 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-6 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Página 138 de 188 Deriva inelástica

139 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-7 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-8 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-9 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Deriva inelástica Página 139 de 188

140 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-10 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-11 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-12 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Página 140 de 188 Deriva inelástica

141 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-13 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-14 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-15 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Deriva inelástica Página 141 de 188

142 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-16 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-17 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-18 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 14 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Página 142 de 188 Deriva inelástica

143 Fuerza (kn) Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-19 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 15 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. El mismo análisis se realizó para los valores máximos obtenidos en la generación de los valores aleatorios. En la Gráfica 6-2 se muestra la curva de Pushover para los valores máximos. Tabla 6-2 Valores máximos de f'c y fy fy fu f'c Máximos MPa MPa 71.2 MPa Desplazamiento (m) Gráfica 6-2 Curva Pushover para valores máximos Piedemonte Deriva inelástica Página 143 de 188

144 Maria Claudia Borrero Chaux El análisis no lineal estático de Pushover se llevó hasta un desplazamiento de 38cm, la fuerza máxima a la que llegó el pórtico con los valores máximos fue 8230kN, menor a la fuerza máxima inducida por el método de la fuerza horizontal equivalente que fue de kn (Tabla 6-3)Tabla 6-3 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y Pushover. Tabla 6-3 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y Pushover. Método fuerza horizontal equivalente Pushover Fuerzas máximas inducidas en el pórtico (kn) ,43 Deriva (%) * *NOTA: De acuerdo con la NSR-10 cuando se realiza un análisis no lineal se pueden multiplicar las derivas por 0.7. En las siguientes figuras se muestra el mecanismo de colapso del pórtico con los valores mínimos de f c, fy y fu. Obsérvese que en el paso 1 se presentan las primeras rótulas B (fluencia) en las columnas del primer piso, adicionalmente, en el paso 5 se presentan las primeras rótulas que sobrepasan el valor LS (seguridad a la vida), en estas mismas columnas. Figura 6-20 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Página 144 de 188 Deriva inelástica

145 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-21 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-22 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-23 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Deriva inelástica Página 145 de 188

146 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-24 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-25 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-26 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Página 146 de 188 Deriva inelástica

147 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-27 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-28 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-29 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Deriva inelástica Página 147 de 188

148 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-30 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-31 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-32 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Página 148 de 188 Deriva inelástica

149 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-33 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 14 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. Figura 6-34 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 15 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000. En la Gráfica 6-3 se muestran algunas de las diferentes curvas del análisis de Pushover obtenidas en las simulaciones realizadas incluyendo la que da una mayor resistencia y una menor resistencia. Deriva inelástica Página 149 de 188

150 Fuerza (kn) Maria Claudia Borrero Chaux Desplazamiento (m) Max Min Gráfica 6-3 Resultados típicos de Pushover para Piedemonte. Los resultados de las simulaciones en el paso 3, 4 y 5 del análisis de Pushover se muestran en la Figura En el histograma de los valores de deriva máxima registrados en los pasos 3, 4 y 5 se puede observar rangos en los que se presentan histogramas con una distribución definida, por lo que se analizaron los resultados obtenidos en 3 rangos de deriva. El primero, derivas entre 0.30% y 0.65%, el segundo, derivas entre 0,65% y 1.1% y el tercero derivas entre 1.1 a 1.5%. Página 150 de 188 Deriva inelástica

151 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-35 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 Piedemonte. (Tomado de Bestfit). Es muy importante anotar que al igual que en los trabajos de (Muñoz et al, 2005) y (Prieto et al, 2005) en el presente trabajo también se obtuvo histograma histogramas con frecuencias claramente diferenciables para diferentes niveles de desplazamiento. De acuerdo con los resultados obtenidos en el análisis no lineal de Pushover con los valores medios de f c y fy de la generación de números aleatorios, se determinó que el primer rango, correspondiente a derivas entre 0.30% y 0.65%, genera en el pórtico un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia). Esto se corroboró al determinar la curva de pushover para el pórtico calculado con los valores medios de f`c y de fy. El análisis estadístico para las derivas que oscilan entre 0.30% y 0.65% se presenta en la Tabla 6-4. Adicionalmente en la Figura 6-36 se presenta la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los valores (Weibull). Deriva inelástica Página 151 de 188

152 Maria Claudia Borrero Chaux Tabla 6-4 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte. Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95.0%) B Figura 6-36 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte. Con un nivel de confianza del 95% la deriva para que se genere un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia) en pórticos de concreto reforzado diseñados en la zona Piedemonte-B, varía entre 0.35% y 0.62%. Página 152 de 188 Deriva inelástica

153 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. En el segundo rango, en donde las derivas varían entre 0.65% y 1.1%, el pórtico tiene un nivel de daño en el que hay rótulas B (esfuerzo de fluencia), pero predominan las rótulas que han llegado nivel de daño IO (ocupación inmediata). El análisis estadístico se presenta en la Tabla 6-5 y la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados, distribución Weibull, se presenta en la Figura Tabla 6-5 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte. IO Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95.0%) Deriva inelástica Página 153 de 188

154 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-37 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte. (Tomdado de Bestfit) Con un nivel de confianza de 95%, un pórtico de concreto reforzado diseñado en la zona Piedemonte, tiene un nivel de daño IO (ocupación inmediata), en algunos de sus elementos, si la deriva varía entre 0.69% y 1.06%. El tercer rango, correspondiente a derivas que varían entre 1.1% y 1.5%, presenta rotulas con un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia), rótulas con un nivel de daño IO (ocupación inmediata) y empiezan a generarse rótulas con un nivel de daño LS (protección a la vida). Esto se corroboró al determinar la curva de pushover para el pórtico calculado con los valores medios de f`c y de fy. El análisis estadístico se presenta en la Tabla 6-6 y la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados, distribución Weibull, se presenta en la Figura Para el tercer rango, con un nivel de confianza de 95%, un pórtico de concreto reforzado diseñado en la zona Piedemonte, llega a un nivel de daño LS (Protección a la vida), en algunos de sus elementos, si la deriva varía entre 1.12% y 1.40%. Página 154 de 188 Deriva inelástica

155 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 6-6 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Piedemonte. LS Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95.0%) Figura 6-38 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS - Piedemonte. (Tomado de Bestfit). Deriva inelástica Página 155 de 188

156 Gráfica 6-4 Resumen distribución de probabilidad deriva inelástica - Piedemonte. Maria Claudia Borrero Chaux Finalmente en la Gráfica 6-4 se presenta el histograma de frecuencias de los pasos 3, 4 y 5 con las distribuciones de probabilidad para cada intervalo de derivas. Página 156 de 188 Deriva inelástica

157 6.3 LACUSTRE-500 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. En las siguientes figuras se muestra la sección transversal de las columnas y las vigas para el pórtico diseñado con el espectro de diseño Lacustre-500. Figura 6-39 Sección transversal CCENTRO. (Tomado de SAP2000 ). Figura 6-40 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000 ) Figura 6-42 Sección transversal COLY. (Tomado de SAP2000 ) Figura 6-41 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA 5. (Tomado de SAP2000 ) En la Gráfica 6-5 se muestra la curva de Pushover para los valores mínimos obtenidos de los valores aleatorios. Tabla 6-7 Valores mínimos de f'c y fy Valores Mínimos fy fu f'c MPa MPa 5.02 MPa Deriva inelástica Página 157 de 188

158 Fuerza (kn) Maria Claudia Borrero Chaux Desplazamiento (m) Gráfica 6-5 Curva Pushover para valores mínimos Lacustre El análisis no lineal estático de Pushover se llevó hasta un desplazamiento de 38cm, la fuerza máxima a la que llegó el pórtico fue 1893kN. En las siguientes figuras se muestra el mecanismo de colapso del pórtico con los valores mínimos de f c, fy y fu. Obsérvese que en el paso 1 se presentan las primeras rótulas B (fluencia) en las columnas del primer piso, adicionalmente, en el paso 5 se presentan las primeras rótulas que sobrepasan el valor LS (seguridad a la vida), en estas mismas columnas. Figura 6-43 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Página 158 de 188 Deriva inelástica

159 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-44 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-45 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-46 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Deriva inelástica Página 159 de 188

160 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-47 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-48 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-49 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Página 160 de 188 Deriva inelástica

161 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-50 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-51 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-52 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Deriva inelástica Página 161 de 188

162 Fuerza (kn) Maria Claudia Borrero Chaux La curva Pushover para los valores máximos se muestra en la Gráfica 6-6. Tabla 6-8 Valores máximos de f'c y fy fy fu f'c Máximos MPa MPa 71.2 MPa Desplazamiento (m) Gráfica 6-6 Curva Pushover para valores máximos Lacustre El análisis no lineal estático de Pushover se llevó hasta un desplazamiento de 38cm, la fuerza máxima a la que llegó el pórtico fue 7549kN. Este valor es mayor que la fuerza máxima inducida por el Método de la Fuerza Horizontal Equivalente, que fue de kN. Tabla 6-9 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y Pushover. Método fuerza horizontal equivalente Pushover Fuerzas máximas inducidas en el pórtico (kn) Deriva (%) * *NOTA: De acuerdo con la NSR-10 cuando se realiza un análisis no lineal se pueden multiplicar las derivas por 0.7. Página 162 de 188 Deriva inelástica

163 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. En las siguientes figuras se muestra el mecanismo de colapso del pórtico con los valores máximos de f c, fy y fu. Obsérvese que en el paso 1 se presentan las primeras rótulas B (fluencia) en las columnas del primer piso, adicionalmente, en el paso 4 se presentan las primeras rótulas que sobrepasan el valor LS (seguridad a la vida), en estas mismas columnas. Figura 6-53 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-54 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Deriva inelástica Página 163 de 188

164 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-55 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-56 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Página 164 de 188 Deriva inelástica

165 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-57 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-58 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-59 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Deriva inelástica Página 165 de 188

166 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-60 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-61 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-62 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Página 166 de 188 Deriva inelástica

167 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Figura 6-63 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-64 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Figura 6-65 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000. Deriva inelástica Página 167 de 188

168 Fuerza (kn) Maria Claudia Borrero Chaux En la Gráfica 6-3 se muestran diferentes curvas del análisis de Pushover obtenidas en las simulaciones realizadas Dezplazamiento (m) Min Max Los resultados de las simulaciones en el paso 3, 4 y 5 del análisis de Pushover se muestran en la Gráfica 6-7. En el histograma de los valores de deriva máxima registrados en los pasos 3, 4 y 5 se puede observar rangos en los que se presentan histogramas con una distribución definida, por lo que se analizaron los resultados obtenidos en 3 rangos de deriva. El primero, derivas entre 0.35% y 0.65%, el segundo, derivas entre 0,65% y 0.96% y el tercero derivas entre 0.96% a 1.2%. Página 168 de 188 Deriva inelástica

169 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Gráfica 6-7 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 Lacustre. (Tomado de Bestfit). De acuerdo con los resultados obtenidos en el análisis no lineal de Pushover con los valores medios de f c y fy de la generación de números aleatorios, se determinó que el primer rango, correspondiente a derivas entre 0.35% y 0.65%, genera en el pórtico un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia). El análisis estadístico para derivas entre 0.35% y 0.65% se muestra en la Tabla En la Figura 6-66 se muestra el histograma de frecuencias con la distribución de probabilidades que mejor se ajusta los resultados, Weibull. Deriva inelástica Página 169 de 188

170 Maria Claudia Borrero Chaux Tabla 6-10 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B Lacustre. B Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95.0%) Figura 6-66 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B Lacustre. (Tomado de Bestfit). Página 170 de 188 Deriva inelástica

171 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Con un nivel de confianza del 95%, la deriva para que un pórtico de concreto reforzado diseñado en la zona Lacustre-500 alcance un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia), varía entre 0.44% y 0.65%. En el segundo rango, en donde las derivas varían entre 0.65% y 0.96%, el pórtico tiene un nivel de daño en el que hay rótulas B (esfuerzo de fluencia), pero predominan las rótulas que han llegado nivel de daño IO (ocupación inmediata). El análisis estadístico se presenta en la Tabla 6-11 y la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados, distribución Weibull, se presenta en la Figura Tabla 6-11 Análisis estadístico deriva inelástico. Nivel de daño IO - Lacustre. IO Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95.0%) Deriva inelástica Página 171 de 188

172 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-67 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño IO - Lacustre. (Tomado de Bestfit). Con un nivel de confianza del 95%, la deriva para que un pórtico de concreto reforzado diseñado en la zona Lacustre-500 alcance un nivel de daño IO (ocupación inmediata) en algunos de sus elementos, varía entre 0.44% y 0.65%. El tercer rango, con derivas que oscilan entre 0.96% y 1.2%, presenta rotulas con un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia), rótulas con un nivel de daño IO (ocupación inmediata) y empiezan a generarse rótulas con un nivel de daño LS (protección a la vida). El análisis estadístico se presenta en la Tabla 6-12 y la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados, distribución Weibull, se presenta en la Figura Para el tercer rango, con un nivel de confianza de 95%, un pórtico de concreto reforzado diseñado en la zonalacustre-500, llega a un nivel de daño LS (Protección a la vida), en algunos de sus elementos, si la deriva varía entre 0.90% y 1.20%. Página 172 de 188 Deriva inelástica

173 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Tabla 6-12 Anbálisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre. LS Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95.0%) Figura 6-68 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre. (Tomado de Bestfit). Deriva inelástica Página 173 de 188

174 Gráfica 6-8 Resumen distribución de probabilidad deriva inelástica - Lacustre Maria Claudia Borrero Chaux Finalmente en la Gráfica 6-8 se presenta el histograma de frecuencias de los pasos 3, 4 y 5 con las distribuciones de probabilidad para cada intervalo de derivas. Página 174 de 188 Deriva inelástica

175 6.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Los resultados obtenidos en el presente trabajo se resumen en la Tabla 6-13 y en la Tabla 6-14, en donde se muestran las derivas en las que los elementos de los pórticos llegaron a estados de daño B (esfuerzo de fluencia), IO (ocupación inmediata), y LS (protección de la vida). Tabla 6-13 Resumen de resultados deriva inelástica - Piedemonte. Deriva inelástica - Piedemonte B B IO LS Media (μ) Desviación estándar (σ) μ + 2σ Media (μ) Desviación estándar (σ) μ + 2σ Media (μ) Desviación estándar (σ) μ + 2σ Media (μ) Tabla 6-14 Resumen de resultados deriva inelástica Lacustre. Deriva inelástica - Lacustre 500 B IO LS Desviación estándar (σ) μ + 2σ Media (μ) Desviación estándar (σ) μ + 2σ Media (μ) Desviación estándar (σ) μ + 2σ La deriva de diseño de los pórticos diseñados con los espectros Piedemonte-B y Lacustre-500 es 0.70% y 0.80% respectivamente. Con los resultados expuestos anteriormente, los elementos de los pórticos llegarían a un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia). Sin embargo, la variabilidad de la deriva podría llevar estos pórticos a tener rótulas con nivel de daño IO (ocupación inmediata) y hasta LS (protección de la vida). Por otro lado, el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10), señala que la deriva se puede obtener de los resultados de un análisis inelásticos verificando el desempeño de la totalidad de los elementos estructurales en un rango no mayor a Protección a la vida, y multiplicándola por 0.7. (Figura 6-69). Deriva inelástica Página 175 de 188

176 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 6-69 Deriva inelástica. (Tomado de (AIS, 2010)) Si se toma como referencia lo mencionado, la deriva del pórtico diseñado con el espectro Piedemonte-B es 0.88% y la deriva del pórtico diseñado con el espectro Lacustre-500 es 0.74%. Página 176 de 188 Deriva inelástica

177 7 CORTANTE BASAL RESISTENTE Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Según el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10), el cortante en la base se debe calcular como la suma algebraica, tomada en la base, de todas las fuerzas sísmicas horizontales del edificio, en otras palabras, el cortante basal es la fuerza total sísmica en la base de la estructura. Con el fin de establecer la distribución de probabilidad del cortante basal resistente de los pórticos analizados, se tomaron los pasos 3, 4 y 5 del análisis no lineal estático de Pushover. 7.1 PIEDEMONTE-B Con la suma algebraica de las fuerzas en la base del pórtico diseñado con el espectro Piedemonte-B, se realizó el análisis estadístico que se presenta en la Tabla 7-1. Adicionalmente, se realizó el análisis para conocer la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la serie de datos. La distribución LogLogística se presenta en la Cortante basal resistente Página 177 de 188

178 Maria Claudia Borrero Chaux Figura 7-1. Tabla 7-1 Análisis estadístico cortante basal resistente - Piedemonte. Cortante basal (kn) Media Error típico 2.57 Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría 0.44 Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95.0%) 5.03 Página 178 de 188 Cortante basal resistente

179 Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá. Los valores del cortante basal resistente para el pórtico diseñado con el espectro Piedemonte oscilan entre kN y kN. La serie de datos tiene una media igual a kN y una desviación estándar de kN. Figura 7-1 Distribución de probabilidad cortante basal resistente Piedemonte. (Tomado de Bestfit) 7.2 LACUSTRE-500 El análisis estadístico realizado para los resultados obtenidos de cortante basal resistente en el modelo del pórtico diseñado con el espectro de Lacustre-500 se muestra en la Tabla 7-2 Análisis estadístico cortante basal resistente - Lacustre.. En la Figura 7-2 se presenta la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados, LogLogística. Cortante basal resistente Página 179 de 188