HACIA UNA DESCOMPOSICIÓN GENÉTICA DE LA RAÍZ CUADRADA1

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1 HACIA UNA DESCOMPOSICIÓN GENÉTICA DE LA RAÍZ CUADRADA 1 Mauricio Gamboa Inostroza, Marcela Parraguez González, Patricia Vásquez Saldías. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile maurigamboa@gmail.com, marcela.paraguez@ucv.cl, patricia.vasquez@ucv.cl Pensamiento Matemático, Media Resumen La presente investigación, con base en la teoría APOE (Acciones, Procesos, Objetos y Esquemas) (Dubinsky, 1991) tiene como objetivo establecer las construcciones mentales que necesitan evidenciar los estudiantes de enseñanza media para lograr la construcción del objeto matemático raíz cuadrada. APOE tiene como principio entender cómo se aprende la matemática, observando los fenómenos que ocurren en los alumnos que intentan construir un concepto matemático (Salgado, 007). Además, Salgado expone que por medio de esta teoría se han realizado muchas Descomposiciones Genéticas, DG, en distintas áreas de las matemáticas universitarias, las que hasta hoy han tenido mucho éxito en la docencia. Nuestra meta es establecer un modelo (DG) teórico que nos permita crear instrumentos de recolección de datos con el fin de evidenciar cómo los estudiantes están construyendo el concepto raíz cuadrada y las dificultades que presentan, para posteriormente refinar la DG y con ésta diseñar actividades de aula que permitan a los estudiantes aprender dicho concepto. Palabras clave: Teoría APOE, Descomposición genética, Didáctica de la Matemática, Raíz cuadrada Introducción Nuestra investigación está situada en la construcción del concepto matemático raíz cuadrada en estudiantes de enseñanza media, bajo la mirada cognitiva de la teoría APOE. La idea es indagar cómo estudiantes de enseñanza media logran aprender el concepto raíz cuadrada, noción que se presenta en aspectos geométricos, aritméticos, algebraicos y funcionales según lo propuesto en el Marco Curricular (MINEDUC, 011). La indagación está centrada en la construcción del concepto raíz cuadrada; y a partir del marco teórico APOE; se pretende establecer qué construcciones y mecanismos mentales necesitan mostrar los estudiantes para aprender el concepto raíz cuadrada. En nuestra experiencia como docentes, hemos pesquisados algunos fenómenos que evidencian obstáculos para la construcción de dicho concepto, por ejemplo: ciertos estudiantes de enseñanza media: escriben 4 = ±, asignándole un doble resultado, por lo que al resolver 4 + 4, se podrían tener tres resultados, 4, 0 ó -4. consideran que las raíces de números no cuadrados perfectos no existen o las llaman números inexactos (ver figura 1) establecen la siguiente equivalencia: x = y y = x, por lo que x = 9 x = 3. 1 Proyecto financiado por el Programa de Capital Humano Avanzado, CONICYT Chile. El Marco Curricular Chileno, divide la matemática en ejes de estudio y considera como uno solo la idea de álgebra y funciones.

2 confunden el concepto de raíz cuadrada, con la noción de raíz como solución de una ecuación. Para fortalecer la necesidad de indagar en la construcción del concepto raíz cuadrada, recurrimos a un estudio exploratorio en estudiantes de enseñanza media que habían trabajado el concepto, mostramos a continuación algunos datos: Figura 1 3 Figura 4 En base a la teoría APOE y a los cuatro puntos anteriores, se plantea la siguiente pregunta que guiará la investigación: Cómo construyen el concepto matemático raíz cuadrada los estudiantes de enseñanza media? Para dar respuesta a esta interrogante, nos planteamos los siguientes objetivos generales y específicos de investigación: Objetivo general de investigación Diseñar una DG teórica del concepto raíz cuadrada, esto es, en términos de APOE, describir construcciones y mecanismos mentales para la construcción del concepto matemático en estudio. Objetivos específicos de investigación 1. Reunir antecedentes histórico-epistemológicos del objeto matemático raíz cuadrada.. Hacer un estudio del estado del arte acerca de investigaciones en didáctica de la matemática sobre la raíz cuadrada. 3. Proponer elementos para el diseño de la DG, fundamentados en los puntos 1 y. Existen investigaciones que abordan el objeto matemático de raíz cuadrada, por ejemplo Colín (005) hace un estudio de la raíz cuadrada desde la aritmética al cálculo, centrando su investigación en el desarrollo del pensamiento y el lenguaje variaciacional; Gómez, (011); Buhlea & Gómez (008), hacen un estudio de textos para analizar la trasposición de la raíz cuadrada, estudio que compara textos de dos países (España y Rumania) investigación que reporta el obstáculo didáctico en los manuales para la transposición del objeto en cuestión. En una primera etapa de investigación desarrollamos un estudio epistemológico de la raíz cuadrada, con el fin de documentar cómo emerge, su evolución y obstáculos durante su desarrollo histórico. Estudio histórico-epistemológico de la raíz cuadrada 3 Ante la pregunta, qué número elevado al cuadrado da como resultado 9?, un estudiante que ha trabajado el concepto responde: no existe porque 5 = 5 falta para 9 y 6 = 36 y sobrepasa el nº 9 4 La pregunta es: Encuentre la medida de la longitud del lado de un cuadrado cuya área es 6 cm, el estudiante no recurre a la raíz, sino a aproximar mediante números decimales.

3 El papiro de Ahmes es una copia del 1650 a.c. de un trabajo incluso anterior, que muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas. Son cuatro aspectos los que se han venido estudiando acerca de la raíz cuadrada: geométrico, aritmético, algebraico y funcional (Colin & Martínez-Sierra, 007). Es así que según Colín (005), desde los elementos de Euclides, en el libro II, el objeto matemático raíz cuadrada aparece de forma geométrica, en donde su uso se da en el cálculo de la línea recta al considerar esa línea como la longitud del lado de un cuadrado que se quiere calcular dada la superficie de este (Colin M., 005), desde este punto de vista podemos considerar la idea de raíz cuadrada como la operación inversa de elevar al cuadrado. La raíz cuadrada como operador aritmético, emerge basándose en la idea de los números Euclidianos en el libro VII, pero no se encuentra explícitamente un proceso, inverso al de elevar al cuadrado, como en el ámbito geométrico. Es en los textos matemáticos babilónicos, de donde data la existencia de tablillas que contienen multiplicaciones y operaciones inversas con números, ya que desde la prehistoria estos podían resolver ecuaciones cuadráticas. En cuanto al aspecto algebraico, se pueden ver los distintos significados que se le pueden dar a las letras, ya que se puede considerar una incógnita, en donde la letra sería un número particular (el caso de las ecuaciones irracionales), un número cualquiera, una variable donde hay que tener un conjunto referencial (propiedades del producto, cociente de raíces entre otras). Todos los casos anteriores se dan en el estudio de la raíz cuadrada de forma algebraica Finalmente para el aspecto funcional de la raíz cuadrada, podemos señalar que hasta el siglo XVI aun no es posible encontrar curvas con ecuaciones que involucren la raíz cuadrada, pero sí que representen y = x. Fermat habla de porciones parabólicas e hiperbólicas y en otros escritos contemporáneos a Fermat se comienzan a hacer las distinciones entre y = x e y = x. Otro aspecto importante a señalar, corresponde a un comentario hecho por el gran matemático Euler en 1770: la raíz cuadrada de un número tiene siempre dos valores, uno positivo y otro negativo; esto es que 4 es igualmente y -, se puede adoptar tanto a ó + a para la raíz de a. (Gómez, 011). Con respecto a su simbología, en Cajori (1983), se dice que el símbolo fue introducido en 155 por el matemático alemán Christoph Rudolff, para representar esta operación. El signo no es otra cosa que la forma estirada de la letra r minúscula, para hacerla elegante, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. Es Leibniz, en julio de 1677 quien expone reglas para la diferenciación de sumas, productos, cuocientes, potencias y raíces, en donde relaciona la raíz n-ésima como una potencia de exponente fraccionario: n ( a + b ) m = ( a + b ) m : n (Cajori, 1983) Relevancia de indagar en la raíz cuadrada La raíz cuadrada está presente desde Educación Básica hasta la Educación Superior, es así como en los Planes y Programas del MINEDUC (011), se presenta en: el teorema de Pitágoras; la introducción a los noción de número irracionales por medio de raíz de, la distancia entre dos puntos del plano cartesiano en la geometría analítica, el teorema de Euclides en un triángulo rectángulo, el cálculo de la desviación estándar, las razones trigonométricas; y en la educación superior, al tratar la noción de distancia euclidiana en el álgebra lineal, en el estudio de las funciones inversas, temas relacionados con su notación para la derivación e integración de funciones que contengan raíces cuadradas, la completitud de los números reales por medio del axioma del supremo al definir la

4 existencia de n, n 0 y así muchos otros conceptos matemáticos. Aunque debemos señalar que este concepto, raíz cuadrada es utilizado también como herramienta en otras ciencias, como la física, química, economía, ingeniería, entre otras. Marco teórico La Teoría APOE fue creada por Ed Dubinsky en 1991 y toma como base la epistemología genética de Piaget. Según Kú, Trigueros y Oktaç (008), esta teoría nace al estudiar el mecanismo de entendimiento de la Abstracción Reflexiva piagetiana, que se refiere a la reflexión sobre las acciones y procesos que se efectúan desde un objeto de conocimiento. Así, para esta teoría la construcción del conocimiento matemático se origina por medio de Acciones, Procesos y Objetos, las cuales no necesariamente son secuenciales. El objetivo de esta teoría es establecer un modelo que explica el camino que los estudiantes pueden seguir para construir un concepto. A este modelo se le llama Descomposición Genética (Asiala, Brown, Devries, Dubinsky, Mathews y Thomas, 1996) y se compone de construcciones mentales (Acciones, Procesos, Objetos y Esquemas) y mecanismos mentales (Interiorización, coordinación, encapsulación, entre otros). En cuanto a las construcciones mentales se dice que un alumno evidencia una concepción Acción cuando solamente es capaz de realizar transformaciones a algún objeto motivado por estímulos externos y no por sí solo. Si este alumno reflexiona sobre estas acciones y las realiza conscientemente, se dice que las acciones se han interiorizado, por lo que muestra una concepción Proceso. Dos o más procesos se pueden coordinar en un nuevo proceso. Cuando surge internamente la necesidad de transformar los procesos desarrollados, el alumno los encapsula en Objetos, sobre los cuales puede volver a aplicar acciones. La teoría define por Esquema a la colección de acciones, procesos, objetos y otros esquemas de un individuo que están ligadas, consciente o inconscientemente, en un marco coherente en la mente del individuo y se pueden utilizar en una situación problemática que tiene relación con esa área de las matemáticas. La Teoría APOE es un marco teórico y tiene su propia metodología presentando un ciclo de investigación compuesto por tres componentes: a) el análisis teórico, b) diseño y aplicación de instrumentos, c) el análisis y verificación de datos. La aplicación de este ciclo de investigación nos permite obtener una visión detallada de la manera en que los estudiantes construyen los conceptos matemáticos, es decir sus construcciones y mecanismos mentales. Según Trigueros (005), en al análisis teórico se genera un mapa del aprendizaje del estudiante relacionado con las construcciones mentales lo que se conoce como Descomposición Genética teórica, la que luego es refinada tras probar la viabilidad de esta. Elementos de relieve para el diseño de la DG El ciclo de investigación en la teoría APOE conlleva en su inicio a establecer una descomposición genética del concepto con el que se trabaja (en este caso el de raíz cuadrada), y consiste en plasmar en ella las construcciones que se consideran necesarias para aprender un concepto. En base a esto, Trigueros y Oktaç (005) lo explican como una primera aproximación para modelar el aprendizaje del concepto matemático en cuestión. En Parraguez (009), basado en el glosario de la teoría APOE se afirma que esta descomposición genética está basada en un marco teórico de aprendizaje general, la totalidad de nuestras observaciones y experiencias, y nuestra propia comprensión de las matemáticas implicadas. Es necesario mencionar que las descomposiciones genéticas no son únicas en un concepto. Lo que es importante es que cualquier descomposición genética

5 de un concepto sea un instrumento que dé cuenta del comportamiento observable del sujeto (Trigueros y Oktaç, 005). Se debe considerar que la raíz cuadrada, según nuestro estudio histórico-epistemológico, está presente en aspectos geométrico, aritmético, algebraico y funcional. Por lo anterior para proceder a la elaboración de nuestra descomposición Genética teórica, debemos tomar en cuenta elementos que involucren el concepto de raíz cuadrada, dentro de la geometría, la aritmética, el álgebra y las funciones. Desde la geometría consideramos los teoremas de Pitágoras y Euclides en el triángulo rectángulo, dentro de los cuales los estudiantes al utilizarlos deben usar la raíz cuadrada para calcular la medida de trazos. No podemos dejar fuera la génesis geométrica, la longitud del lado de un cuadrada de área dada, y el gran problema de los pitagórico acerca de la, como número no racional. Desde la aritmética es necesario considerar los cuadrados perfectos y la utilización de la raíz para establecer qué número multiplicado por sí mismo es el cuadrado perfecto dado. Otro aspecto importante, es acerca del estudio de los números irracionales, cuestión que da pie al estudio de R, como un cuerpo completo. En álgebra, podemos ver una generalización de la definición aritmética, y como por medio de esta (el álgebra) se pueden establecer las propiedades de las raíces cuadradas (producto y cociente, raíz de una raíz, etc.) En el aspecto funcional, se puede definir la raíz cuadrada como la función inversa de la función cuadrática, estudiando las restricciones que deben hacerse en el dominio para cumplir con la condición de función. Para lo anterior es necesario tener claridad en el concepto de función, para desde la función cuadrática, no invertible sin haberla restringido antes, establecer su inversa. Consideramos, que nuestra DG, debe contener todos estos elementos, interpretados desde las construcciones mentales, y entrelazados por medio de mecanismos mentales, para llegar a conformar el modelo de construcción del concepto en estudio, que vamos a documentar, en una próxima etapa. A modo de conclusión Podemos concluir que epistemológicamente el objeto raíz cuadrada tiene en principio un uso geométrico, los griegos representaban los números como longitudes de trazos. En cuanto al tratamiento aritmético existen datos de los babilónicos, los cuales incluso resolvían ecuaciones cuadráticas por medio de tablas, de aquí la idea de raíz como la solución de una ecuación. Lo importante de estos es, que tenían nociones de operaciones inversas. Del tratamiento algebraico, se enfatiza la algoritmización, y depende mucho de la noción de letra que se tenga, pues puede representar ecuaciones irracionales o trabajar con las propiedades de las raíces. Se puede considerar esto como un paso para la noción de funcionalidad, pues es aquí donde comienza un análisis más profundo, observado diferencias entre ecuaciones que a simple vista parecen iguales pero no lo son, y que más adelante se genera la forma de función inversa de la cuadrática. Como se mencionó en la primera parte de este artículo, debemos establecer diferencias entre el concepto de raíz como operador aritmético y/o funcional y la noción de raíz como solución de una ecuación, dos usos diferentes de la misma palabra que llevan a confusión y a la dualidad de signo de la raíz cuadrada, al pensar que se resuelve una ecuación del tipo x = a. Proponemos en base a la teoría APOE, diseñar un modelo (DG) que incorpore las construcciones y

6 mecanismos mentales para el aprendizaje del concepto, la cual debe considerar todos los aspectos evidenciados por nuestro estudio histórico-epistemológico. En cuanto a las siguientes etapas de esta investigación, es necesario construir instrumentos que den cuenta de la viabilidad del modelo diseñado, es decir, recolectar datos acerca de cómo los alumnos construyen el concepto, por medio de la metodología de estudio de casos, con el fin de refinar la DG teórica y construir situaciones que permitan a los estudiantes aprender y comprender el concepto raíz cuadrada, a partir de la DG documentada. Referencias Bibliográficas Asiala, M., Brown, A., Devries, D., Dubinsky, E., Mathews, D., Thomas, K. (1996). A framework for research and curriculum development in undergraduate mathematics education. In J. Kaput, A. H. Schoenfeld, E. Dubinsky (Ed.s) Research in Collegiate Mathematics Education. Vol.. Providence, RI: American Mathematical Society. p Buhlea, C & Gómez, B (008). Sobre raíces y radicales. Efecto de dos culturas de enseñanza (España-Rumania) Cajori, F. (1983). A History of Mathematics. London: Macmillan and Co. Colin, M. (005). De la aritmética al cálculo: un estudio transversal de la raíz cuadrada. Tesis de Maestría en Matemática Educativa (no publicada). Instituto Politecnico Nacional,CICATA. México Colin, M., Martínez-Sierra, G. (007). De la aritmética al cálculo: Un estudio transversal de la raíz cuadrada. Memorias de la XVII semana regional de investigación y docencia en Matemáticas: Mosaicos Matemáticos, nº0, (págs ). México. Dubinsky, E. (1991), Reflective abstraction in advanced mathematical thinking, en D. Tall (ed.), Advanced Mathematical Thinking, Dordrecht, Kluwer, pp Euclides (00). Los elementos de Euclides. Versión electrónica disponible en Kú, D; Trigueros, M; Oktaç, A. (008), Comprensión del concepto de base de un espacio vectorial desde el punto de vista de la teoría APOE. Educación Matemática, Vol. 0, Núm., agosto, 008, pp Santillana, México MINEDUC. (011). Curriculum, Objetivos fundamentales y contenidos mínimos obligatorios de la ensñanza media. Santiago, Chile. Parraguez, M (009). Evolución Cognitiva del Concepto Espacio Vectorial. Tesis para obtener el grado de Doctora en Matemática Educativa (no publicada), CICATA, México. Salgado, H. (007), Conteo: una propuesta didáctica y su análisis. Tesis para obtener el grado de Maestría en Ciencias en Matemática Educativa (no publicada), CICATA, México. Trigueros, M. (005). La noción de esquema en la investigación en matemática educativa a nivel superior. Educación matemática 17, (1), Trigueros, M. y Oktac, A. (005). La Théorie APOS et l enseignement de l algebre linéaire. Annales de didactique et de sciences cognitves. Revue internationale de didactique des mathematiques, 10,