CN - Cálculo Numérico

Transcripción

1 Unidad responsable: Unidad que imparte: Curso: Titulación: Créditos ECTS: FME - Facultad de Matemáticas y Estadística MAT - Departamento de Matemáticas ECA - Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental GRADO EN MATEMÁTICAS (Plan 2009). (Unidad docente Obligatoria) 7,5 Idiomas docencia: Catalán Profesorado Responsable: Otros: ANTONIO RODRIGUEZ FERRAN Primer quadrimestre: SONIA FERNANDEZ MENDEZ - A, B ABEL GARGALLO PEIRO - A, B ANTONIO RODRIGUEZ FERRAN - A, B Horario de atención Horario: Se anunciará en el inicio del curso. Capacidades previas Álgebra lineal numérica Programación Cálculo diferencial e integral Competencias de la titulación a las cuales contribuye la asignatura Específicas: 1. CE-2. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otros, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos. 2. CE-3. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en Matemáticas y resolver problemas. 3. CE-4. Desarrollar programas que resuelvan problemas matemáticos utilizando para cada caso el entorno computacional adecuado. Genéricas: 5. CB-1. Demostrar poseer y comprender conocimientos en el área de las Matemáticas construidos a partir de la base de la educación secundaria general, a un nivel que, apoyándose en libros de texto avanzados, incluya también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia en el estudio de las Matemáticas y en sus aplicaciones en la ciencia y la tecnología. 6. CB-2. Saber aplicar los conocimientos matemáticos a su trabajo de una forma profesional y poseer las capacidades que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro del área de las Matemáticas y en sus aplicaciones en la ciencia y la tecnología. 7. CB-3. Tener la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes, dentro del área de 1 / 6

2 las Matemáticas y sus aplicaciones, para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética. 8. CG-1. Comprender y utilizar el lenguaje matemático. 9. CG-2. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática. 10. CG-3. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos. 11. CG-4. Saber trasladar al lenguaje matemático problemas de otros ámbitos y utilizar esta traslación para resolverlos. 12. CG-6. Detectar deficiencias en el propio conocimiento y superarlas mediante la reflexión crítica y la elección de la mejor actuación para ampliar este conocimiento. Transversales: 4. APRENDIZAJE AUTÓNOMO: Detectar deficiencias en el propio conocimiento y superarlas mediante la reflexión crítica y la elección de la mejor actuación para ampliar este conocimiento. Metodologías docentes La actividad docente se articula en cinco horas semanales, de las cuales tres se realizan en aula convencional, y dos se realizan en aulas informáticas. Las clases en aula convencional se centran en los desarrollos y presentaciones más teóricas, aunque siempre motivados por las aplicaciones. También se hacen las correcciones de los problemas y ejercicios propuestos. Las clases en aula informática se centran en la codificación y utilización de los métodos numéricos, y en la ilustración de la aplicación de las técnicas numéricas en la ingeniería computacional. También se realiza en seguimiento de la evolución de los trabajos prácticos propuestos. Toda la información referente a la organización y seguimiento de la asignatura, y todo el material docente se cuelga en la intranet docente. Objetivos de aprendizaje de la asignatura La asignatura tiene dos objetivos principales: (1) dar una idea global del papel de los métodos numéricos en la resolución de problemas habituales en la matemática, la física y la ingeniería, y (2) proporcionar una sólida base en la resolución numérica de los problemas de cálculo numérico, complementando la formación recibida en la asignatura Álgebra Lineal Numérica. El estudiante ha de adquirir capacidades para: - Conocer y entender las posibilidades, y las limitaciones, de los métodos numéricos para la resolución de los problemas de la matemática, la física y la ingeniería. - Entender la necesidad de asegurar la calidad del resultado de interés, y ser capaz de controlar el error en la solución numérica. - Conocer y entender las técnicas numéricas básicas para el cálculo de ceros de funciones y resolución de sistemas no lineales, así como las técnicas más habituales de aproximación de funciones e integración numérica. - Conocer los fundamentos y entender los conceptos básicos de la resolución numérica de ecuaciones diferenciales. - Seleccionar y utilizar un método numérico apropiado para la resolución de un problema concreto, identificando sus ventajas e inconvenientes. - Codificar métodos numéricos de forma eficiente en un lenguaje de programación (Matlab / Octave). - Analizar críticamente los resultados obtenidos (precisión en el resultado de interés, adecuación del método numérico y del modelo matemático, interpretación de los resultados). - Presentar los resultados de forma clara y concisa. 2 / 6

3 Horas totales de dedicación del estudiantado Dedicación total: 187h 30m Horas grupo grande: 45h 24.00% Horas grupo mediano: 0h 0.00% Horas grupo pequeño: 30h 16.00% Horas actividades dirigidas: 0h 0.00% Horas aprendizaje autónomo: 112h 30m 60.00% 3 / 6

4 Contenidos 1. Ceros de funciones Dedicación: 23h 30m Grupo grande/teoría: 6h Grupo pequeño/laboratorio: 4h Aprendizaje autónomo: 13h 30m Planteamiento general de un esquema iterativo. Métodos de la bisección, de la secante y de Newton. Consistencia y convergencia (orden y velocidad). Análisis de la convergencia de los métodos de iteración funcional, aplicación al análisis del método de Newton. Métodos híbridos. Efecto de los errores de redondeo en un esquema iterativo. 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Dedicación: 23h 30m Grupo grande/teoría: 6h Grupo pequeño/laboratorio: 4h Aprendizaje autónomo: 13h 30m Introducción. Problemas no lineales en física e ingeniería. Método de Newton. Convergencia del método de Newton. Derivación numérica para la aproximación de la matriz jacobiana. Introducción a los métodos cuasi- Newton. Método de Broyden. 3. Aproximación funcional Dedicación: 47h Grupo grande/teoría: 12h Grupo pequeño/laboratorio: 8h Aprendizaje autónomo: 27h Planteamiento general: motivación, tipos y criterios de aproximación. Interpolación polinómica: teorema fundamental del álgebra, existencia y unicidad de solución. Interpolación de Lagrange. Fenómeno de Runge. Interpolación seccional (splines): caracterización como espacio vectorial, splines lineal C0, cúbico C1, cúbico C2 y natural. Propiedades de convergencia y adaptatividad. Aproximación por mínimos cuadrados: planteamiento general y ecuaciones normales para espacios vectoriales, propiedad de ortogonalidad. Malcondicionamiento de las ecuaciones normales. Familias de polinomios ortogonales: planteamiento y propiedades. 4 / 6

5 4. Integración numérica Dedicación: 36h Grupo grande/teoría: 9h Grupo pequeño/laboratorio: 6h Aprendizaje autónomo: 21h Planteamiento general y orden de una cuadratura. Cuadraturas de Newton-Cotes: deducción del método del trapecio y del método de Simpson, fórmula del error para puntos equiespaciados. Cuadraturas de Gauss: deducción de las cuadraturas, familias más populares. Fórmulas compuestas. Convergencia y cuadraturas adaptativas. Integración múltiple. 5. Introducción a los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales Dedicación: 47h Grupo grande/teoría: 12h Grupo pequeño/laboratorio: 8h Aprendizaje autónomo: 27h Problemas de valor inicial. Métodos basados en aproximaciones de las derivadas (Euler, Euler atrás, otros). Análisis de la convergencia y la estabilidad. Métodos de Runge-Kutta: planteamiento general, métodos explícitos óptimos. Problemas de contorno. Introducción y aplicaciones. Método del disparo. Fundamentos del método de los elementos finitos (MEF): residuos ponderados, forma débil, interpolación seccional. Aspectos computacionales: integració numérica y resolución de sistemas lineales de ecuaciones. 5 / 6

6 Sistema de calificación La asignatura se evalúa mediante exámenes (E) y trabajos prácticos en grupo (TP). Exámenes - Examen parcial (EP) - Examen final (EF) La nota E es una media aritmética ponderada de los exámenes: E = max(0.3 EP EF, EF) Trabajos prácticos Los trabajos prácticos (TP1 y TP2) se realizan en equipos de dos o tres personas. Para ser evaluado, es indispensable la presentación de los dos trabajos prácticos en la fecha indicada. Todos los miembros del equipo son responsables de la totalidad del informe, y deber conocer todos los aspectos de éste. Las preguntas en los exámenes relativas a los trabajos prácticos podrán ser consideradas como una prueba de validación de los trabajos. La nota TP es una media aritmética de los trabajos prácticos: TP = 0.5 TP TP2 Nota final La calificación final de la asignatura (NF) es una media geométrica ponderada de los exámenes (E) y los trabajos prácticos (TP): NF = E^(3/4) TP^(1/4) Bibliografía Básica: Deuflhard, P.; Bornemann, F. Scientific computing with ordinary differential equations. Springer, Hoffman, Joe D.. Numerical methods for engineers and scientists. 2a ed. Marcel Dekker, ISBN Isaacson, E.; Keller, H.B.. Analysis of numerical methods. Dover Publications, Quarteroni, A.; Saleri, F. Scientific computing with MATLAB and Octave [en línea]. Springer, 2006Disponible a: < Ralston, A.; Rabinowitz, P. A first course in numerical analysis. Dover, Quarteroni, A.; Saleri, F. Scientific computing with MATLAB and Octave. 3rd ed. Heidelberg: Springer, Complementaria: Dennis, J.E.; Schnabel, R.B. Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations. SIAM, Kincaid, D.; Cheney, W. Análisis numérico : las matemàticas del calculo científico. Addison-Wesley Iberoamericana, Recktenwald, G.W. Numerical methods with MATLAB : implementations and applications. Prentice Hall, Shampine, L.W. Numerical solution of ordinary differential equations. Chapman & Hall, Stoer, J.; Bulirsch, R. Introduction to numerical analysis. 3rd ed. Springer-Verlag, ISBN / 6