Guía docente de la asignatura. Cálculo Numérico

Transcripción

1 Guía docente de la asignatura Cálculo Numérico Titulación: Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Curso

2 Guía Docente 1. Datos de la asignatura Nombre Materia Módulo Cálculo Numérico Ampliación de Matemáticas (Advanced Mathematics) Ampliación de Materias básicas Código Titulación Plan de estudios Centro Tipo Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Plan Decreto nº 269/2009 de 31 de julio Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial Obligatoria Periodo lectivo Primer Cuatrimestre Curso 3º Idioma Castellano ECTS 6 Horas / ECTS 30 Carga total de trabajo (horas) 180 Horario clases teoría GRUPO 1 (turno Mañana): - Lunes, de 11 a 13 h. - Viernes, de 9 a 11 h. Aula Por determinar Horario clases prácticas GRUPO A (turno ): Mañana - Martes, de 16 a 18 h. 6 semanas alternas GRUPO B (turno ): Mañana - Martes, de 16 a 18 h 6 semanas alternas GRUPO C (turno ): Mañana - Martes, de 16 a 18 h 6 semanas alternas Lugar Aula de Informática del Departamento de Matemática Aplicada y Estadística 2. Datos del profesorado Profesor responsable Departamento Área de conocimiento Ubicación del despacho Antonio Vigueras Campuzano Matemática Aplicada y Estadística Matemática Aplicada Planta baja, despacho B014, Antiguo Hospital de Marina

3 Teléfono Fax Correo electrónico URL / WEB Horario de atención / Tutorías Ubicación durante las tutorías antonio.vigueras@upct.es AULA VIRTUAL UPCT Se anunciará en clase al inicio del curso Planta baja, despacho B014, Antiguo Hospital de Marina Profesor responsable Prácticas (Grupos A, B y C) Departamento Elena Soledad Jiménez Ayala Matemática Aplicada y Estadística Área de conocimiento Ubicación del despacho Correo electrónico Matemática Aplicada Planta baja, despacho B006, Antiguo Hospital de Marina Teléfono Fax URL / WEB Horario de atención / Tutorías Ubicación durante las tutorías elena.jimenez@upct.es Aula Virtual UPCT Se anunciará en clase al inicio del curso Planta baja, despacho B006, Antiguo Hospital de Marina 3. Descripción de la asignatura 3.1. Presentación El objetivo de la asignatura es conocer los métodos numéricos básicos relacionados en el programa que le permitan al alumnado su aplicación en situaciones concretas propias de su titulación, así como capacitar al alumno para que pueda preparar y manejar algoritmos y programas de cálculo para la resolución de problemas, a la vez que comprenda las posibilidades y limitaciones de las técnicas numéricas Ubicación en el plan de estudios La asignatura Cálculo Numérico se estudia en el primer cuatrimestre del tercer curso de la titulación. Se trata de una asignatura de ampliación de matemáticas, centrada en los

4 métodos numéricos Descripción de la asignatura. Adecuación al perfil profesional Las leyes que rigen buena parte de los problemas estudiados en esta titulación, como transmisión de calor, dinámica de sistemas mecánicos, planificación y control de trayectorias de un robot, análisis de circuitos eléctricos, dinámica de fluidos y medios continuos, deformaciones de sólidos, propagación de ondas, cálculo de estructuras, etc., se modelizan matemáticamente y a menudo acaban traduciéndose en sistemas de ecuaciones lineales o no, problemas de valor inicial o de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales, por lo que no cabe duda de que el conocimiento de estos tópicos, al menos en sus aspectos más básicos y elementales, resulta imprescindible en la formación del ingeniero. Ahora bien, como es sabido pocos son los problemas señalados que pueden abordarse únicamente con las herramientas matemáticas vistas hasta este momento, por ello se hace necesario introducir unos conocimiento mínimos de Cálculo Numérico. En frase de Henrici, podríamos definir el Cálculo (o Análisis) Numérico como la teoría de los métodos constructivos en Análisis Matemático. Se hace especial énfasis en la palabra constructivo ya que, propuesto un problema matemático, además de estudiar la existencia de solución, hay que dar un procedimiento para calcularla de modo explícito. Esta solución se construirá mediante algoritmos, entendiendo por tal una especificación no ambigua de operaciones aritméticas en un orden prefijado. La aparición de los ordenadores y su creciente potencia de cálculo ha potenciado el uso y desarrollo de métodos numéricos para resolver multitud de problemas y ha hecho posible abordar problemas tan complejos como el de la predicción meteorológica. Dos serán los objetivos esenciales de esta disciplina: 1º) Dado un problema matemático, encontrar algoritmos, a veces llamados métodos numéricos, que bajo ciertas condiciones permiten obtener una solución aproximada del problema propuesto. Y 2º) Analizar las condiciones bajo las cuales la solución del algoritmo es próxima a la verdadera, estimando los errores en la solución aproximada. Se trata pues de encontrar métodos aproximados para resolver todo tipo de problemas matemáticos y analizar los errores producidos en estas aproximaciones, si bien dada la amplitud de la materia ha sido necesario elegir determinados contenidos en detrimento de otros, los contenidos concretos se desarrollan en el párrafo cinco. En esta elección se han tenido en cuenta, fundamentalmente, las necesidades de los estudiantes de la titulación, intentando que los conceptos estudiados en esta asignatura sean de utilidad y sirvan para poder aprender otros por su cuenta cuando sea preciso. Pero, al mismo tiempo, se busca ofrecer un curso coherente y estructurado, para que el estudiante no perciba el estudio de esta signatura como una mera colección de técnicas y recetas para resolver problemas, sino que sea también consciente del significado de los diferentes métodos y conozca sus limitaciones y ámbitos de aplicación, para que sea capaz de decidir cuando un procedimiento es adecuado o no lo es. En resumidas cuentas, aunque un ingeniero no es un matemático, por lo que no tiene obligación de conocer el significado profundo de la materia, en particular los detalles más técnicos y sutiles, sí es un usuario avanzado, especialmente aquellos que desarrollarán su actividad profesional en el campo emergente de la I+D+i, tanto en instituciones públicas como en empresas privadas, por lo que debe ser consciente de las dificultades que encierra la utilización de los métodos numéricos contemplados en el programa de la asignatura Relación con otras asignaturas. Prerrequisitos y recomendaciones Como se ha mencionado ya en el punto 3.2, esta asignatura se plantea como una ampliación de materias básicas, en particular de matemáticas, por lo que es necesario haber superado las asignaturas de Matemáticas I y Matemáticas II. En Cálculo Numérico se proporcionan conocimientos básicos sobre los métodos numéricos fundamentales que permiten obtener soluciones aproximadas a multitud de problemas que se plantean en la ciencia y la técnica; también se capacita al alumno para que pueda preparar y manejar

5 algoritmos y programas de cálculo para la resolución de problemas, a la vez que comprenda las limitaciones y posibilidades de las técnicas numéricas, por ello, los métodos que aquí se le suministran podrían ser utilizados en casi todas las asignaturas a cursar por el alumno en su titulación y serle útiles para la realización del Trabajo Fin de Grado y en su futuro profesional Medidas especiales previstas A la vista de las diferentes problemáticas que puedan presentarse, se adoptarán medidas tendentes a paliar las dificultades y facilitar la integración de los estudiantes en situaciones especiales (discapacitados, alumnos extranjeros, compatibilizando trabajo/estudio, etc.). Se potenciará en particular el uso de medios telemáticos (Aula Virtual, comunicación por ) y de las tutorías. 4. Competencias 4.1. Competencias específicas de la asignatura Conocer y saber aplicar los métodos numéricos básicos contemplados en el programa de la asignatura que se detalla en el párrafo Competencias genéricas / transversales COMPETENCIAS INSTRUMENTALES X T1.1 Capacidad de análisis y síntesis X T1.2 Capacidad de organización y planificación X T1.3 Comunicación oral y escrita en lengua propia T1.4 Comprensión oral y escrita de una lengua extranjera X T1.5 Habilidades básicas computacionales X T1.6 Capacidad de gestión de la información X T1.7 Resolución de problemas T1.8 Toma de decisiones COMPETENCIAS PERSONALES x T2.1 Capacidad crítica y autocrítica x T2.2 Trabajo en equipo X T2.3 Habilidades en las relaciones interpersonales T2.4 Habilidades de trabajo en un equipo interdisciplinar T2.5 Habilidades para comunicarse con expertos en otros campos T2.6 Reconocimiento de la diversidad y la multiculturalidad T2.7 Sensibilidad hacia temas medioambientales T2.8 Compromiso ético COMPETENCIAS SISTÉMICAS X T3.1 Capacidad para aplicar los conocimientos a la práctica X T3.2 Capacidad de aprender X T3.3 Adaptación a nuevas situaciones

6 X T3.4 Capacidad de generar nuevas ideas (creatividad) T3.5 Liderazgo T3.6 Conocimiento de otras culturas y costumbres X T3.7 Habilidad de realizar trabajo autónomo T3.8 Iniciativa y espíritu emprendedor T3.9 Preocupación por la calidad T3.10 Motivación de logro 4.3. Competencias específicas del Título COMPETENCIAS ESPECÍFICAS DISCIPLINARES X E1.1 Conocimiento en las materias básicas matemáticas, física, química, organización de empresas, expresión gráfica e informática, que capaciten al alumno para el aprendizaje de nuevos métodos y teorías E1.2 Conocimientos en materias tecnológicas para la realización de mediciones, cálculos, valoraciones, tasaciones, peritaciones, estudios, informes, planes de labores y otros trabajos análogos E1.3 Conocimiento, comprensión y capacidad para aplicar la legislación necesaria en el ejercicio de la profesión de Ingeniero Técnico Industrial COMPETENCIAS PROFESIONALES E1.1 Capacidad para la redacción, firma y desarrollo de proyectos en el ámbito de la Ingeniería industrial que tengan por objeto, en el área de la Ingeniería Química, la construcción, reforma, reparación, conservación, demolición, fabricación, instalación, montaje o explotación de: estructuras, equipos mecánicos, instalaciones energéticas, instalaciones eléctricas y electrónicas, instalaciones y plantas industriales y procesos de fabricación y automatización en función de la ley de atribuciones profesionales E1.2 Capacidad para el manejo de especificaciones, reglamentos y normas de obligado cumplimiento E1.3 Capacidad de analizar y valorar el impacto social y medioambiental de las soluciones técnicas E2.4 Capacidad de dirección, organización y planificación en el ámbito de la empresa, y otras instituciones y organizaciones OTRAS COMPETENCIAS E3.1 Experiencia laboral mediante convenios Universidad-Empresa E3.2 Experiencia internacional a través de programas de movilidad 4.4. Objetivos del aprendizaje El objetivo genérico de la asignatura es que el estudiante aprenda los métodos fundamentales de Cálculo Numérico y sea capaz de aplicarlos en situaciones prácticas

7 relacionadas con los contenidos de la titulación. Más concretamente, al finalizar la asignatura el estudiante deberá ser capaz de: 1. Conocer las características y limitaciones de los métodos constructivos, la evolución de los errores en los cálculos numéricos y el esquema general de construcción y aplicación de los métodos iterativos. 2. Conocer y saber aplicar en situaciones concretas los métodos numéricos fundamentales de resolución aproximada de ecuaciones y sistemas no lineales. 3. Conocer y saber aplicar los principales métodos directos e iterativos de resolución se sistemas lineales. 4. Conocer el problema de la interpolación, así como los principales métodos de interpolación por polinomios y su aplicación para obtener los métodos de integración y derivación numérica. 5. Conocer los conceptos generales de los métodos numéricos de un paso para la resolución de problemas de valor inicial y saber aplicarlos en situaciones concretas. 6. Conocer y saber aplicar los métodos Runge-Kutta y lineales multipaso, así como sus limitaciones para la resolución numérica de problemas de valor inicial para EDO s. 7. Conocer los métodos de tiro y en diferencias finitas aplicables a la resolución de problemas de contorno para EDO s. 8. Conocer y saber aplicar los métodos en diferencias finitas para ecuaciones en derivadas parciales, en particular para la ecuación del calor, de ondas y de Laplace. Las actividades de enseñanza/aprendizaje diseñadas permitirán al alumno desarrollar además diferentes capacidades como: trabajo individual y en equipo, análisis de problemas y síntesis de información, expresión escrita y comunicación oral, diseño de procedimientos de resolución de problemas. 5. Contenidos 5.1. Contenidos según el plan de estudios Errores. Algoritmos. Interpolación polinomial. Resolución numérica de ecuaciones y sistemas no lineales. Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales. Derivación e Integración numérica. Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales Programa de teoría PARTE I 1. CÁLCULO NUMÉRICO: GENERALIDADES Introducción: métodos de cálculo numérico Esquema general de construcción y aplicación de métodos numéricos Orden y rapidez de convergencia: notaciones o y O de Landau 1.4. Errores en los métodos numéricos.

8 1.5. Algoritmos y diagramas de flujo. 2. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES Y SISTEMAS NO LINEALES Introducción Ecuaciones no lineales con una variable: El método de bisección El teorema del punto fijo: Método de iteración simple Métodos iterativos particulares de aproximación de soluciones Aceleración de la convergencia Caso particular de las ecuaciones polinomiales Sistemas no lineales: Método de iteración simple en varias variables El método de Newton en varias variables y sus variantes. 3. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS LINEALES. PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS Introducción. Normas vectoriales y matriciales Métodos directos de resolución de sistemas lineales: Sistemas triangulares Eliminación gaussiana: el método de Gauss y sus variantes Otros métodos de factorización: LU y Cholesky Métodos iterativos de resolución de sistemas lineales: Generalidades: convergencia y construcción de métodos Métodos iterativos particulares: Jacobi, Gauss Seidel y relajación Introducción al cálculo aproximado de valores y vectores propios. 4. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA Interpolación: Introducción. Diferentes problemas de interpolación Interpolación polinomial de Lagrange Diferencias divididas: Fórmula de Newton Diferencias finitas: Fórmulas de Newton Estimación del error en la interpolación Funciones spline. Splines cúbicos Derivación numérica: Fórmulas de tipo interpolatorio. Expresión del error Fórmulas de derivación numérica de orden superior Integración numérica: Fórmulas de tipo interpolatorio Fórmulas de Newton-Cotes simples Fórmulas de cuadratura compuestas Introducción a otros problemas de integración numérica. PARTE II 5. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL PARA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias Métodos de un paso: el método de Euler.

9 5.3. Métodos de un paso generales: definiciones y resultados Método de Taylor Desarrollo asintótico del error global y aplicaciones Estimación por el método de extrapolación al límite de Richardson. 6.- MÉTODOS RUNGE-KUTTA Y MULTIPASO LINEALES Métodos Runge-Kutta de dos etapas y orden dos Métodos Runge-Kutta explícitos de m etapas: formulación general Tablas de Butcher. Ejemplos diversos Convergencia y orden de los métodos Runge-Kutta explícitos Formulación general de los métodos lineales multipaso: orden, consistencia, estabilidad y convergencia. Teoremas de Dahlquist Fórmulas de Adams Fórmulas BDF. 7.- PROBLEMAS DE CONTORNO PARA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. MÉTODOS DE TIRO Y EN DIFERENCIALES FINITAS Introducción Métodos de tiro. Algoritmo del método de tiro general Método de tiro lineal Métodos en diferencias finitas. Problemas lineales. 8.- MÉTODOS EN DIFERENCIAS FINITAS PARA ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Generalidades sobre ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones elípticas: Problemas de valor en la frontera para ecuaciones de Poisson o Laplace Métodos en diferencias para la ecuación elíptica general Ecuaciones parabólicas; la ecuación del calor: métodos explícito e implícito Ecuaciones hiperbólicas; la ecuación de ondas: métodos explícito e implícito Programa de prácticas Dentro de las actividades presenciales de la asignatura se contemplan seis sesiones prácticas de dos horas de duración cada una en el aula de informática, trabajando con la versión disponible del software Mathematica, que los estudiantes ya conocen por haberlo usado en las prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II. Se persigue con ello un triple objetivo: 1. Saber utilizar y depurar programas de algoritmos diseñados en la parte teórica de la asignatura. 2. Estudiar el comportamiento numérico de los códigos programados. 3. Dotar al alumno de criterios para seleccionar un algoritmo para un problema concreto.

10 Se proponen las 6 sesiones prácticas, de unas dos horas de duración, siguientes: 1. El entorno Mathematica: repaso y aspectos avanzados. 2. Resolución de ecuaciones y sistemas no lineales. 3. Métodos directos e iterativos de resolución de sistemas lineales. 4. Interpolación. Derivación e integración numérica. 5. Métodos numéricos de integración de PVI para EDO s: métodos Runge-Kutta y lineales multipaso. 6. Métodos en diferencias finitas para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales Objetivos de aprendizaje detallados por Unidades Didácticas (opcional) 5.5. Programa resumido en inglés (opcional) 1. NUMERICAL METHODS: GENERAL CONCEPTS, ERRORS AND ALGORITHMS. 2. NUMERICAL SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS AND SYSTEMS. 3. NUMERICAL SOLUTION OF SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS. EIGENVALUE PROBLEMS. 4. INTERPOLATION BY POLINOMIALS. NUMERICAL DIFFERENTIATION AND INTEGRATION. 5. NUMERICAL SOLUTION OF INITIAL-VALUE PROBLEMS FOR ORDYNARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. 6. RUNGE-KUTTA AND LINEAR MULTISTEP METHODS. 7. BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR ORDINARY DIFFERENTIALS EQUATIONS: SHOOTING AND DIFFERENCE METHODS. 8. DIFFERENCE METHODS FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. 6. Metodología docente 6.1. Actividades formativas de E/A Actividad Trabajo del profesor Trabajo del estudiante ECTS Clase de teoría Clase de problemas. Resolución de Clase expositiva y planteamiento de cuestiones puntuables. Resolución de problemas tipo y planteamiento de cuestiones y problemas para su resolución por parte del alumno. Presencial: Toma de apuntes. Planteamiento de dudas. Resolución de cuestiones teóricas. No presencial: Estudio de la materia. Presencial: Participación mediante la resolución de cuestiones planteadas. Resolución de ejercicios. Planteamiento de dudas. 1,2 2,4 0,4

11 problemas tipo Clase de Prácticas. Sesiones en el aula de informática Tutorías individuales y de grupo Actividades de evaluación sumativa Las sesiones prácticas en el aula de informática son fundamentales para que el estudiante consolide los contenidos de la asignatura y adquiera habilidades básicas computacionales, mediante el manejo de programas (Mathematica) y la resolución de problemas complejos o que simulen situaciones profesionales. Las tutorías serán individuales o de grupo con objeto de realizar un seguimiento individualizado y/o grupal del aprendizaje y para que los alumnos planteen sus dudas al profesor. Revisión de exámenes por grupos y motivación por el aprendizaje. Se realizará una prueba final escrita individual de carácter teórico-práctico y una prueba práctica en el aula de informática, con objeto de comprobar el grado de consecución de las competencias específicas. No presencial: Estudio los problemas resueltos en el aula. Resolución de ejercicios y problemas propuestos por el profesor. Presencial: Resolución de ejercicios y problemas usando Mathematica. No presencial: Resolución de ejercicios y problemas. Repaso de los métodos numéricos presentados. Presencial: Planteamiento de dudas en horario de tutorías. No presencial: Planteamiento de dudas por correo electrónico u otros métodos informáticos. Presencial: Asistencias a las pruebas y realización de las mismas. 0,6 0, ,3 0, Evaluación 7.1. Técnicas de evaluación Instrumentos Realización / criterios Ponderación Prueba escrita individual (1) (70 %) Cuestiones teóricas y/o teórico-prácticas: Entre 2 y 4 cuestiones teóricas simples o acompañadas de una aplicación numérica de corta extensión. Estas cuestiones se orientan a: conceptos, definiciones, resultados, etc.). Se evalúan principalmente los conocimientos teóricos. Problemas: Tres problemas propuestos de media o larga extensión. Se evalúa principalmente la capacidad de análisis y de aplicar correctamente los conocimientos teóricos en casos prácticos. Se resolverá de forma individual en el aula las cuestiones prácticas que se planteen usando el software trabajado en las Alrededor del 25% de la prueba Alrededor del 75% de la prueba Competencias genéricas (4.2) evaluadas Objetivos de aprendizaje (4.4) evaluados T1.1, T1.3, T1.6, T3.1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 T1.1, T1.3, T1.6, T1.7, T3.1, T3.3 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

12 Prueba práctica individual (15%) sesiones prácticas. Se evalúa el conocimiento del software, el planteamiento, el procedimiento seguido y la resolución. Eventualmente podrá completarse la evaluación con la entrega de informes o trabajos en soporte informático sobre las sesiones prácticas realizadas. T1.1, T1.2, T1.5, T1.6, T1.7, T1.8, T3.1, T3.3, T3.7, T3.9 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Trabajo de investigación en equipo (2) (10%) Problemas propuestos (5%) Se propondrán trabajos de investigación para realizar en equipo (2-3 personas) relacionados con el programa de la asignatura y su titulación. Se deberá redactar un informe y realizar una presentación. Resolución no presencial de problemas propuestos durante el curso (individualmente o en equipo de 2 o 3 personas). T1.1, T1.2, T1.3, T1.4, T1.5, T1.6, T1.7, T1.8, T2.1, T2.2, T2.3, T2.6, T3.4, T3.9 T1.1, T1.3, T1.6, T1.7, T2.1, T2.2, T2.8, T3.1, T3.2, T3.4, T3.9 (1) La prueba escrita individual deberá superarse con nota superior a 4. (2) La extensión y estructura de los informes, así como los criterios de calidad serán establecidos previamente. 9, 10, 11, 12 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Prueba global.- Los alumnos que, por motivos debidamente justificados, no puedan realizar las actividades de evaluación continua previstas en esta guía podrán solicitar, en plazo y forma según determine el Departamento de Matemática Aplicada y Estadística, la realización de una prueba global de la asignatura, que supondrá el 100% de la nota final. En este último supuesto la prueba tendrá dos partes una parte de teoría y problemas (con alguna cuestión teórica y/o problema adicional a la prueba escrita individual prevista en el cuadro anterior de esta guía) que puntuará el 85% y otra de prácticas (con alguna cuestión práctica adicional a la prueba práctica individual prevista en esta guía) que puntuará el 15% restante, de características similares a las señaladas en el cuadro anterior Mecanismos de control y seguimiento El seguimiento y control del proceso de aprendizaje del estudiante se llevará a cabo mediante las siguientes acciones: - Cuestiones planteadas en las clases teóricas y realización de problemas en las clases prácticas en el aula. - Revisión de los problemas propuestos para ser realizados individualmente o en equipo de forma no presencial. - Supervisión y presentación del trabajo de investigación en equipo en sesiones de clase programadas al efecto.

13 - Supervisión del trabajo realizado en las sesiones de prácticas con ordenador y presentación de actividades propuestas. - Tutorías individuales o en grupo. 9. Recursos y bibliografía 9.1. Bibliografía básica - A. Vigueras: Cálculo Numérico (partes I y II). A disposición de los alumnos en el Aula Virtual y en reprografía. - J. D. Faires y R. L. Burden: Métodos Numéricos (3ª ed). Thompson. Madrid, V. Ramirez y otros: Matemáticas con Mathematica (Vol. III Cálculo Numérico). Proyecto Sur de Ediciones. Granada, Bibliografía complementaria - A. Aubanell, A. Benseny y A. Delshams: Útiles básicos de Cálculo Numérico. Labor. - M. Calvo, J. I. Montijano y L. Rández: Curso de Análisis Numérico (Métodos de Runge- Kutta para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias) y Curso de Análisis Numérico (Métodos lineales multipaso para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias). Servicio de Publicaciones de la Universidad de Zaragoza. - C. Conde Lázaro y G. Winter: Métodos y algoritmos básicos del Álgebra Numérica. Reverté. Barcelona, J. R. Dormand: Numerical Methods for Differential Equations. CRC Press. - F. García Merayo y A. Nevot Luna: Análisis Numérico (más de 300 ejercicios resueltos y comentados). Paraninfo. Madrid. - M. Gasca: Cálculo Numérico I. UNED. Madrid. - W, Gautschi; Numerical Analysis (An Introduction). Birkhäuser. Boston, D. Greenspan y V. Casulli: Numerical Analysis for Mathematics, Science and Engineering. Addison-Wesley, D. Kincaid y W. Cheney: Análisis Numérico. Adisson-Wesley Iberoamericana. Delaware (E.E.U.U.), J. D. Lambert: Computational Methods in Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, R. Malek-Madani: Advanced Engineering Mathematics with Mathematica and MATLAB, Addison Wesley, R. Théodor: Initiation a l analyse numérique. Masson. Paris, A. Tveito y R.Winther: Introduction to Partial Differential Equations (A computational Approach). Springer, 1998.

14 9.3. Recursos en red y otros recursos - A través del aula virtual los estudiantes tendrán acceso a diverso material complementario de la asignatura. En particular podrán descargarse hojas de problemas de los diferentes temas y apuntes de la asignatura. Este material estará también a su disposición en reprografía. - Los contenidos de Cálculo Numérico pueden completarse consultando alguno de los portales específicos dedicados a estudiantes de ingeniería como, por ejemplo También puede encontrarse material relacionado con los contenidos de la asignatura en la enciclopedia virtual en sus versiones en inglés o castellano.