Unas poquitas integrales que encontre por ahi. por Picosenotheta...bueno y que esperan, a bajar y trabajar y suerte en los controles 801 EJERCICIOS

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1 Para FMAT Unas poquitas integrales que enontre por ahi por Piosenotheta...bueno y que esperan, a bajar y trabajar y suerte en los ontroles 80 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL INDEFINIDA

2 INDICE INTRODUCCION... INSTRUCCIONES... 6 ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE...7 IDENTIFICACIONES USUALES... 7 IDENTIDADES ALGEBRAICAS... 7 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS... 8 FORMULAS FUNDAMENTALES...0 CAPITULO... INTEGRALES ELEMENTALES... EJERCICIOS DESARROLLADOS... EJERCICIOS PROPUESTOS...0 RESPUESTAS... CAPITULO...9 INTEGRACION POR SUSTITUCION...9 EJERCICIOS DESARROLLADOS...9 EJERCICIOS PROPUESTOS...9 RESPUESTAS... CAPITULO...9 INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS...9 EJERCICIOS DESARROLLADOS...9 EJERCICIOS PROPUESTOS...66 RESPUESTAS...67 CAPITULO...77 INTEGRACION POR PARTES...77 EJERCICIOS DESARROLLADOS...77 EJERCICIOS PROPUESTOS...88 RESPUESTAS...89 CAPITULO... INTEGRACION DE FUNCIONES CUADRATICAS... EJERCICIOS DESARROLLADOS... EJERCICIOS PROPUESTOS...6 RESPUESTAS...7 CAPITULO INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA...6 EJERCICIOS DESARROLLADOS...6 EJERCICIOS PROPUESTOS:... RESPUESTAS...7 CAPITULO 7... INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES... EJERCICIOS DESARROLLADOS... EJERCICICOS PROPUESTOS...6 RESPUESTAS...6 CAPITULO

3 INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO...88 EJERCICIOS DESARROLLADOS...88 EJERCICIOS PROPUESTOS...9 RESPUESTAS...9 CAPITULO INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES...99 EJERCICIOS DESARROLLADOS...99 EJERCICIOS PROPUESTOS...0 RESPUESTAS...0 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS...08 RESPUESTAS...0 BIBLIOGRAFIA...

4 A Patriia. / A Ana Zoraida. A los que van quedando en el amino, Compañeros de ayer, De hoy y de siempre.

5 INTRODUCCION El libro que os ofreemos, no es un libro auto ontenido, sino un instrumento de omplementaión, para la prátia indispensable en el tópio relativo a las integrales indefinidas. En este onteto, el buen uso que se haga del mismo llevará a haer una realidad, el sabio prinipio que unifia la teoría on la prátia. El trabajo ompartido de los autores de 80 ejeriios resueltos es una eperienia que esperamos sea positiva, en el espíritu universitario de la ativaión de las ontrapartes, en todo aso será el usuario quien de su veredito al respeto, ya sea por medio del onsejo oportuno, la rítia onstrutiva o la observaión fraterna, por lo ual desde ya agradeemos todo omentario al respeto. Nos es grato haer un reonoimiento a la ooperaión prestada por los estudiantes de UNET: Jhonny Bonilla y Omar Umaña.

6 INSTRUCCIONES Para un adeuado uso de este problemario, nos permitimos reomendar lo siguiente: a) Estudie la teoría pertinente en forma previa. b) Ejerite la ténia de aprehender on los asos resueltos. ) Trate de resolver sin ayuda, los ejeriios propuestos. d) En aso de disrepania onsulte la soluión respetiva. e) En aso de mantener la disrepania, reurre a la onsulta de algún profesor. f) Al final, hay una antidad grande de ejeriios sin espeifiar ténia alguna. Proeda en forma en forma análoga. g) El no poder haer un ejeriio, no es razón para frustrarse. Adelante y éito. 6

7 ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE e : Base de logaritmos neperianos. η : Logaritmo natural o neperiano. og : Logaritmo vulgar o de briggs. se n: Seno. ars e n : Aro seno. os : Coseno. aros : Aro oseno. ar o s : Aro oseno. τ g : Tangente. artg : Aro tangente. oτ g Cotangente. arotg Aro otangente. se : Seante. arse : Aro seante. os e : Coseante. arse : Aro oseante. ep : Eponenial. d : Diferenial de. : Valor absoluto de. m..m: Mínimo omún múltiplo. sen n (sen ) n IDENTIFICACIONES USUALES s n e arsen n n η ( η) og n ( og) og og n IDENTIDADES ALGEBRAICAS. Sean a, b: bases; m, n números naturales. m n m n a a a + ( a m ) n a mn a a m n m n ( ab) n a n b n a, a 0 n n a a, 0 n b b b a n n a m n n m n ( ) m a a a 0 a, a 0 7

8 . Sean a, b,: bases; m, n números naturales ( ) a± b a + ab+ b ( ) a± b a ± a b+ ab + b ( ) a± b a ± a b+ 6a b ± ab + b a b ( a+ b)( a b) a n b n ( a n + b n )( a n b n ) ( a + b + ) a + b + + ( ab + a + b) a ± b ( a± b)( a ab± b ). Sean b, n,, y, z: números naturales og( yz) ogb+ ogy b + ogbz ogb ogb ogy b y n ogb n ogb n ogb ogb n og 0 b ogbb η e η ep η e ep( η ) e η. se n os eθ se nθ τgθ osθ e θ + θ s n os IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS osθ s eθ τgθ oτ gθ + g se τ θ θ + oτ g θ os e θ osθ os eθ oτgθ osθτgθ s e nθ. (a) sen( α + β) senαosβ + osαsenβ senα senαosα os se n α α osα ± se n α sen( α β) senαosβ osαsenβ 8

9 (b) α + osα os( α + β) osαos β s enαs en β os ± + osα os( α β) osαos β + senαs en β os α os α os α s e n α s e n α os α () τ gα + τgβ τ gα τg( α + β) τgα τ gατ gβ τ g α osα τ gα τgβ τg α τg( α β) + osα + τ gατ gβ α osα s e nα osα τ g ± + osα + osα s e nα (d) senα osβ [ sen( α + β) + sen( α β) ] osα sen β [ s en( α + β) s en( α β) ] osα os β [ os( α β) os( α β) ] senα senβ os( α + β) os( α β) sen sen sen α + β os α α β β α + β α β + senα senβ os sen α + β α β α + β α β osα + os β os os osα os β s en s en + + [ ] (e) ars en(s en ) ar os(os ) ar τ g( τ g) ar o τ g(o τ g) ar se(se ) ar o se(o se ) 9

10 FORMULAS FUNDAMENTALES Difereniales Integrales du.- du d.- du u + u.- d( au) adu.- adu a du.- du ( + v) du+ dv.- ( du + dv) du + dv.- ( n n n+ d u ) nu du n u.- udu + n ( ) n + du du.- d( η u).- u u η + u u u u u 6.- de ( ) edu 6.- edu e + u u u 7.- d( a ) a ηadu u a 7.- adu ηa d(s en u) osudu 8.- osudu s e n u d(os u) se n udu 9.- senudu osu+ 0.- d( τ gu) se udu 0.- τ se udu gu +.- d(o τ gu) ose udu.- ose udu oτ gu+.- d(se u) seuτ gudu.- seuτ gudu seu +.- d(o se u) o seu oτ gudu.- oseuoτ gudu oseu+.- d(ars en u) du du.- u u ars en u.- d(ar os u) du du.- u u ar osu du du 6.- d(ar τ gu) 6.- ar + u τ gu+ + u du du 7.- d(ar o τ gu) 7.- aro + u τ gu+ + u du 8.- d(ar se u) du ar se u+ ; u > u u u u ar se u + ; u < 0 du 9.- d(arose u) du arose u+ ; u > u u u u arose u+ ; u < 0 0

11 OTRAS INTEGRALES INMEDIATAS η seu + τ gudu η osu +.- oτgudu η s e n u +.- η seu+ τgu +.- seudu.- u π o seudu η o seu oτgu + ητgu se nhudu os u os udu s n + 7.-τghudu η os u oτghudu η s e n u se hudu ar gh(s e n hu) o se hudu ar o τ gh(os hu) +.- u ars en + du a du.- η u+ u ± a a u u u ± a ars en + a + u ar τ g + du a a.-.- du η u a + u + a u u a a u+ a ar o τ g + a a u aros + du u.- η a u a ± u a+ a ± u du a a 6.- u u a u arse + a a 7.- u a u ± a du u ± a ± η u+ u ± a + u a u 8.- a u du a u + ars en + a au au e ( asenbu bos bu) 9.- e se nbudu + a + b au au e ( aosbu+ bsen bu) 0.- e osbudu + a + b Realmente, algunas de estas integrales no son estritamente inmediatas; tal omo se verá mas adelante y donde se desarrollan varias de ellas.

12 CAPITULO INTEGRALES ELEMENTALES El Propósito de este apitulo, antes de onoer y pratiar las ténias propiamente tales; es familiarizarse on aquellas integrales para las uales basta una transformaión algebraia elemental. EJERCICIOS DESARROLLADOS..- Enontrar: e η d η Se sabe que: e η Por lo tanto: e d d d + n+ Respuesta: e η n d +, Fórmula utilizada: d, n n Enontrar: a d a d a d a Respuesta: ad a +, Fórmula utilizada: del ejeriio anterior Enontrar: ( + + ) d ( + + ) d ( + + ) d d+ d+ d d + d + d + Respuesta: ( + + ) d Enontrar: ( + a)( + b) d ( + a)( + b) d + ( a+ b) + ab d + ( a+ b) + ab d d + ( a + b) d + abd d + ( a + b) d + ab d + ( a+ b) + ab +

13 ( a + b) ab Respuesta: ( + a)( + b) d Enontrar: ( a+ b ) d 6 6 ( a + b ) d ( a + ab + b ) d a d + ab d + b d 7 6 a d + ab d + b d a+ ab + b Respuesta: ( a + b ) d ab b a Enontrar: pd p pd p d p d p + + p Respuesta: pd + d.7.-enontrar: n + n + n + n n n d n n d n + n + n n n Respuesta:.8.- Enontrar: + n n d n + n n ( n) n n d n n n n n n n n n n n n n ( n) d n d n d n d n + n n n n n n+ n n + n n n n n n n n n n n n n n n n + n n Respuesta: n n n ( n) d n Enontrar: ( a ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( a ) d a a a + d

14 ( a a + a ) d a d a d+ a d d 7 a d a d+ a d d a a + a a 9a a a 9a Respuesta: ( a ) d a Enontrar: ( + )( + ) d ( + )( + ) d ( ( ) )d ( + ) d ( + ) d ( + ) d d+ d Respuesta: ( + )( + ) d + + ( + )( ) d..- Enontrar: ( + )( ) d ( ) d d d d d d d ( + )( ) d Respuesta: m n ( )..- Enontrar: d m n m m n n m m n n ( ) ( + ) ( + ) d d d / m /+ m+ n+ / n+ / m / m+ n / n / ( + ) d + + m /+ m+ n+ / n+ / m+ m+ n+ n+ m+ m+ n+ n m+ m+ n+ n+ m+ m+ n+ n+

15 m m+ n n + + m+ m+ n+ n+ m n m m+ n n ( ) Respuesta: d + + m+ m+ n+ n+ ( a )..- Enontrar: d a ( a ) a a a + 6a a + d a a a d ( a) a a a d 6a a d + d d + ( a) a ( a) a a d ad 6aa d d a d a d a d + a d d + a d a a+ a + a + 6 a a+ a + a + a a a a ( a ) Respuesta: d a a + a + + a a d..- Enontrar: 0 Sea: a 0, Luego: d d η a + 0 a a + a η + η d 0 0 Respuesta: η d..- Enontrar: + 7 Sea: a 7, Luego: d d ar τ g a a a d

16 7 7 arτg + arτg a d 7 7 Respuesta: arτ g a d.6.- Enontrar: + d d Sea: a, Luego: η + a a + η d Respuesta: η d.7.- Enontrar: 8 d d Sea: a 8, Luego: ars en 8 a a + ars en + ars en + 8 d Respuesta: ars en 8 + dy.8.- Enontrar: + 9 La epresión: atúa omo onstante, luego: + 9 dy y dy y dy y Respuesta: Enontrar: d + + d d d + d ( ) ( + ) d d d ( ) ( + ) + 6

17 d d Sea: a, Luego: a a + a ars en η + ( ) + + ars en η Respuesta: d ars e n η Enontrar: τ g d τg d (se ) d se d d τg + Respuesta: τg d τg +..- Enontrar: oτ g d ars en η a o τg d (ose ) d ose d d oτg + Respuesta: oτg d oτg + d..- Enontrar: + d d d ar + τ g + ( + ) arτ g + + d Respuesta: arτ g + + d..- Enontrar: 7 8 d d d d ( ) 7 ( ( 7 7) ( 7) η + η + η ( 7) η + η d 7 Respuesta: η d..- Enontrar: + 7

18 d ( ) d d d d d ( ) arτ g + arτ g + d Respuesta: arτ g + + d..- Enontrar: 7+ 8 d d η ( 8 ) + ( 7) 8 d Respuesta: η d.6.- Enontrar: 7 d d ars n e + 7 ( 7) ( ) 7 d Respuesta: ars en ( a b ) d.7.- Enontrar: ab ( ) ( ) a b d a a b + b a a b b d d ab ab d + ab ab a b d a b a b ( a/ b) ( b/ a) d d d d d d b + a b a a b η η b a ( a/ b) ( b/ a) ( a/ b) ( b/ a) ηa ηb + ηb ηa + ηa ηb ηa ηb + a b b a + ηa ηb a b ( a b ) d ab Respuesta: + ab ηa ηb 8

19 .8.- Enontrar: sen d sen d os os d d d os d sen + sen Respuesta: sen d + d.9.- Enontrar: ;(0 < b< a ) ( a+ b) + ( a b) d d Sea: a+ b, d a b, ; luego ( a+ b) + ( a b) + d d d d d artg + artg + d d + d + d d d d a b a b artg + artg + a+ b a b a+ b a b a+ b d a b Respuesta: artg + ( a+ b) + ( a b) a b a+ b d.0.-enontrar: ;(0 < b< a ) ( a+ b) ( a b) d d Sea: a+ b, d a b, Luego: ( a+ b) ( a b) d d d d d d η + η + d d + d d + d d d d a b a+ b η + a b a b+ a+ b d a b a + b Respuesta: η + ( a+ b) ( a b) a b a b+ a+ b..- Enontrar: ( a ) 0 d 9

20 ( ) 0 0 Respuesta: ( a ) 0 d a d ( a ) d ( ) d d d 0d EJERCICIOS PROPUESTOS Mediante el uso del álgebra elemental, o algunas identidades trigonométrias, transformar en integrales de fáil soluión, las integrales que se presentan a ontinuaión...- d..- ( + e) d..- ( +τ g) d..- os 0 d.6.- ( + ) d.7.- ( + ) d dy d d d d d (s e n + os ) d..- ( d ).6.- ( τ g + ) d d d d d d d d..- d +..- d 8 d d d d d os.6.- d sen.6.- sen d.6.- os d ( ) d ( ) n d s n.66.- e τ g d os.67.- d.68.- d.69.- d d.7.- d.7.- d.7.- d sen θdy.7.- η ud.76.- ep( η) d η.77.- e d d d.80.- d d.8.- η( e ) d 0

21 0 d d ( τ g + se ) d.86.- (oτgθ s en θ) d.87.- d d d d d d.9.- d d d d.97.- d ( ) d.99.- ( ) d.00.- ( ) n du.0.- ep( η ) d.0.- η( e ) d.0.- ( e + e+ ) d + τ g d ep( η + ) d d se d d d.09.- d d d d d ( ) d.6.- ( + + ) d.7.- ( + ) d.8.- ( + ) d os η.9.- e d.0.- ep η + sen d..- ηe d 0..- (+ ) d ( )..- η e + d RESPUESTAS d d ( + e) d a ( + e) Sea: a + e, Luego: ( + e) d a d + + ηa η( + e)..- ( + τg) d d+ τgd + η se + + os..-os d d d os d s e n + + +

22 .6.- ( + ) d (+ + ( ) + ) d d + + d + d ( + ) d d dy dy y d Sea: a, Luego: d d ars n ars n e + e + ( ).0.- d d η + + ( )..- d d η ( ) d..- + Sea: a d, Luego: ar τ g + + ( ) arτ g + d d..- η + η + ( ) (s en + os ) d ( ) d 0d..- ( d ) ( d ) d d +.6.-( τg + ) d se d τg η + η + ( ) + + η + + d d Sea: a, Luego: ar τ g + + ( )

23 d d η ( ),Luego: d d ( ) ars en + ars en + ars en + 6 d d ar se + ar se + ( ) η d d d ars en + ars en + 8 ( ) d d d η ( ) η arτg + arτg d d η + + ( ).0.- d..- Sea: a..- ar se d d..- η + ( ) + d..- η η + + d d d ( ) + + η d ( 0) d 0 η + 0 +

24 0 ( ) d d n n ( ) (0) 0 s n os os s n e d d d e + os d se n d se nd os + d d d η + + d ar se + ar se + 0 η d η d ( 0) d 0 + ars e n ars en + 0 os sen.6.- d d d sen + sen sen τg d ( τg τg) d 0d os d.67.- d + η.68.- d ( ) d + ars e n + + ars en d ( ) d η + + η d + ( ) d + + η d d.7.- η + ( ) d.7.- η

25 (s n θ) s n θ (s n θ) d d d d + ( τ g + se ) d 0d d d d η + ( ) + ( ) ( ) η + ( ) (oτgθ s en θ) d (oτgθ s en θ) d (oτgθ s en θ) e dy e dy e y η ud η u d η u ep( η ) d d + η.77.-e d d d d d d d d d.79.- d + ars e n + + ars e n d η d + + η η ( e ) d d d d d η d d d ars e n + ars e n + d d d.89.- arτg + arτg + + ( + ) +

26 .90.- d d arτg + arτg d d + η η d d d ar se + arse d d + + η η d d η d d + ars e n + + arsen d + d + + η η d d η ( ) d d d ( ) d d + n n n ( ) ( ) ( ) du du u + η d d d ep( ) η( ) e d d d d + ( e + e+ ) d 6

27 d d η + + d d η d d η + η d d η η d d ar se + ar se η η + ( + + ) d ( ) d ( ) Sea: a ( e a ( e + e ) + e+ ), Luego: ad + + ηa η( e + e ) τ g d ( ) d 0d se.0.-ep( η + ) d ( + ) d d + d d 7 + ar s e n d 7 η d η d d.09.- ar se ( ) +..- d d ( + ) d d d d + + η + + η d d d d d d

28 ( + ) (+ + + ) d d d d 6 d d d.7.- ( + + ) d ( + ) d ( ) d os η os e d d d os d s en d + + ep η d d d d d d sen sen ηe d d d send + os+ 0 (+ ) d d + ( ) ( ) η e d d d d+ d+ d

29 CAPITULO INTEGRACION POR SUSTITUCION A vees es onveniente haer un ambio de variable, para transformar la integral dada en otra, de forma onoida. La ténia en uestión reibe el nombre de método de sustituión. EJERCICIOS DESARROLLADOS η e d..-enontrar: + 7 η e d d Como: e η, se tiene: d d Sea la sustituión: u + 7, donde: du d, Dado que:, d du Se tiene: + 7, integral que es inmediata. u du Luego: 7 η u + η + + u η e d Respuesta: η η e d..-enontrar: + 8 η e d d Como: e η, se tiene: Sea la sustituión: w d d + 8, donde: dw d, Dado que:, d Se tiene: dw + 8 integral que es inmediata. w dw Luego: 8 η w + η + + w η e d Respuesta: η Enontrar: ( + )sen( + 6) d Sea la sustituión: u + 6, donde: du ( + ) d Dado que: ( + )sen( + 6) d (+ )sen( + 6) d, se tiene: 9

30 ( ) s en( 6) d s en udu + +, integral que es inmediata. Luego: s n ( os ) os os( 6) e udu u + u Respuesta: ( + )s en( + 6) d os( + 6) +..-Enontrar: sen( ) d Sea la sustituión: w, donde: dw d Dado que: sen( ) d ( )sen( ) d Se tiene que: ( )sen( ) d senwdw, integral que es inmediata. Luego: s n ( os ) os os( ) e wdw w dw+ w+ + Respuesta: s en( ) d os( ) +..-Enontrar: o τ g( + ) d Sea la sustituión: u +, donde: du d Dado que: o τg ( + ) d o τg ( + ) d Se tiene que: o ( ) o τg + d τgudu, integral que es inmediata. Luego: o s n s n( ) τgudu η e u + η e + + Respuesta: o τg ( + ) d η s en( + ) +.6.-Enontrar: + y y dy Sea la sustituión: w + y, donde: dw y dy Dado que: + y y dy ( + y ) y dy Se tiene que: ( + y ) y dy w dw Luego: w ( ) w dw + w + + y Respuesta: + y y dy ( + y ) + 6 tdt.7.-enontrar: t + Sea la sustituión: u t +, donde: du tdt, integral que es inmediata. 0

31 tdt tdt Dado que: t + ( t + ) tdt du Se tiene que: ( t + ) u, integral que es inmediata du u 9 9 Luego: ( ) u du u t u tdt 9 Respuesta: ( t + ) + t + d.8.-enontrar:, a y b onstantes. ( a+ b) Sea: w a+ b, donde: dw bd Luego: d bd dw w w + w + ( a+ b) b ( a+ b) b w b b b ( a+ b ) + b d Respuesta: ( a+ b ) + ( a+ b) b ars en.9.-enontrar: d ars n e d ars e n d, d Sea: u ars en, donde: du d Luego: ars en u du u (ars en ) + + ars n Respuesta: e d (ars e n ) + arτ g.0.-enontrar: d + d Sea: w arτ g, donde: dw ( ) d + ( ) + arτ g Luego: d d arτg ar wdw w + τg arτ g Respuesta: d arτ g + +

32 arτ g..-enontrar: d + arτ g d arτ g d d Sea: u +, donde: du 8d ; w arτ g, donde: dw + d arτ g 8d d Luego: arτ g du (ar ) 8 w dw u w g u η + η + τ Respuesta: arτ g d η + (arτ g ) d..-enontrar: ( + ) η + + d d ( + ) η η + + d Sea: u η + +, donde: du ( + ) du d du Luego: u du u + η η + + u Respuesta: d ( + ) η + + η o τ g( η)..-enontrar: d d Sea: w η, donde: dw o τ g( η) Luego: d oτ gwdw η s e n w + η s e n( η ) + o τ g( η) Respuesta: d η s e n( η ) + d..-enontrar: ( η) d Sea: u η, donde: du d du u Luego: u du ( η) u u ( η)

33 d Respuesta: ( η) ( η) + e..-enontrar: d Sea: w, donde: dw d Luego: e d w w d e e dw e + e + e Respuesta: d e Enontrar: e d Sea: u +, donde: du d + + u u + Luego: e d e ( d) e du e e Respuesta: e d e +.7.-Enontrar: e d Sea: w, donde: dw d w Luego: e d e d e dw e + Respuesta: e d e +.8.-Enontrar: ( e + ) e d Sea: u e +, donde: du e d u ( e + ) Luego: ( e + ) e d u du + + ( e + ) Respuesta: ( e + ) e d + e.9.-enontrar: d e + e e e e e d d d d d e + e + e + e + e + e e e e d d d d e + e ( e + ) e + + e Sea: u e +, donde: du e d ; w + e,donde: dw e d e e e e du dw Luego: d d d d + e + + e e + + e u w

34 η u + + η w + η e + + η + e + C η e + + e + e Respuesta: d η ( e + )( + e ) + e +, otra respuesta seria: e d η e + + e + e.0.-enontrar: d e + 0 e e e d d d e + e + e + e e e e e e e d d d d d d e + e + e + e ( e + ) e + + e Sea: u e +, donde: du e d ; w + e,donde: dw 6e d e e e 6e du dw Luego: d d d + d + e + + e e + 6+ e u 6 w η u + η w + η e + + η + e + η e + + η e e + η e + + η + η e + + η e + ηe + 6 e 6 6 / /6 η( e ) η( e ) η ( ) ( ) e + e + + ( ) / η e + + e / Respuesta: d η ( e + ) + e Enontrar: d Cuando el grado del polinomio dividendo es MAYOR o IGUAL que el grado del polinomio divisor, es neesario efetuar previamente la división de polinomios. El resultado de la división dada es: / /6 + + ( + ) +, Luego: d Sea u, donde du d d du Luego: d + d + d + d + u + Respuesta: d + + η Enontrar: d + d + + d d+ d+ + + η +

35 , Luego: + d + Sea u +, donde du d du d + + η u + + η + + u + Respuesta: d + η Enontrar: τ g se d Sea: w τ g, donde: dw se d + d d w ( τg) τg Luego: τg se d ( τg) se d w dw τ g Respuesta: τ g se d Enontrar: sense d sen sense d sen d d os os Sea: u os, donde: du se n sen send du u Luego: d u du os os u u os Respuesta: sense d se+ se d.6.-enontrar: +τ g Sea: u + τ gd, donde: du se d se d se d du Luego: η u + η + τg + + τg + τg u se d Respuesta: η + τg + + τ g.7.-enontrar: sen os d Sea: w sen, donde: dw os d w sen Luego: sen os d (sen ) osd w dw + + sen Respuesta: sen osd +.8.-Enontrar: os s en d Sea: u os, donde: du se n Luego: os se n d (os ) se n d (os ) ( se n ) d u du

36 u os os os Respuesta: os s en d + se.9.-enontrar: d os e se os sen d d d os e (os ) sen Sea: w os, donde: dw se nd sen dw w Luego: d w dw (os ) w w os se + se se Respuesta: d + os e τ g.0.-enontrar: e se d Sea: u τ g, donde: du se d τg τg u u τg Luego: e se d e (se d) e du e e + + τg τg Respuesta: e se d e +..-Enontrar: d Sea: w, donde: dw 6d ( ) 6 6d d Luego: d d d d d d d d d ( ) ( ) ( ) dw d d w w ( ) η + ; Sea: v, donde: dv d ( ) dv Además: a ; se tiene: η w + v a v a η + η + η η + C a v+ a + C C η η + η η + 6

37 Respuesta: d η η + C 6 + d..-enontrar: 9 η d d 9 η ( η) d Sea: u η, donde: du Luego: d d du u ars n e + ( η) ( η) ( u) η ars en + ars en η + d Respuesta: ars n e η + 9 η d..-enontrar: e ed Sea: u e, donde: du e ; Tal que: e u + d du du Luego: ar ar τgu+ τg e + + e u + u + d Respuesta: arτ g e + + e Enontrar: d ( + + ) + ( + ) + ( + ) + d d d d d ( + + ) d d + d + +, Sea: w +, donde: dw d + d dw Luego: d + d + d + d η w + + w + + η Respuesta: d + + η e..-enontrar: d e + Sea: u e +, donde: du e d 7

38 Luego: e + u u + u u + ( e + ) ( e + ) + e u u u d du ( u u ) du u du u du + u e Respuesta: d ( e + ) ( e + ) + e + η d.6.-enontrar: η d Sea: u η, donde: du ; además: η ( ) η+ η u η+ η η u η ηd u η η du Luego: du du du du η u η u + η u u u η η [ η( η ) ] + ηd Respuesta: η η [ η( η ) ] + η 7.7.-Enontrar: (+ ) d w Sea: w +, donde: dw d ; además: w 7 w 7 dw Luego: ( + ) d w ( w ) w dw ( w w ) dw w w wdw 9 wdw + w w ( + ) (+ ) (+ ) (+ ) Respuesta: (+ ) d Enontrar: d d Luego: + d ( + ) d d + d d Sea: u +, donde: du d ; Entones: du + arτg ar g u ar g + τ η + + τ η + + u + 6 Respuesta: d + arτg η

39 EJERCICIOS PROPUESTOS Usando Esenialmente la ténia de integraión por sustituión, enontrar las siguientes integrales:.9.- ed ad t a dt t + d a b..- d d a+ b α + β t dt.6.- d t.7.- d + b.8.- a+ d.9.- bdy d.0.- a ( + ) y..- a bd d..- + η..- d + d..- d y y dy a y + 6t dt.8.- d t d + d d a + b d + a + b.6.- d a.6.- d d arτ g ars en t ar τ g( ).66.- d.67.- dt d t 9 + dt m ae d.7.- d (9 + 9 t ) η t+ + t t t.7.- ( e e ( + ) a a ) dt.7.- e d.7.- ( e e ) d a.7.- d.76.- e d d.77.- a t d edt e a be d t e.8.- ( ) a a e + e d d.8.- ad.8.- ; 0 + a > + a b t e edt.8.- d b e os d t e.87.- se n( a + b) d d.88.- os.89.- s n( ) d e η.90.- (os a + s e n a ) d.9.- sen d.9.- os d 9

40 .9.- se ( a + b) d.9.- osτ g ad d.9.- se n a d d d π os( ).98.- sen( a+ b) os d d.99.- oτ g d.00.- τ g a b.0.- τ g.0.- d.0.- d os a.0.- sen senos d sen a.0.- tsen( t ) dt sen.06.- d.07.- τ g se d + os.08.- senos d os s en.09.- τ g.0.- d os asen ad os d 8..- t o τ g(t ) dt..- sen 6os6d os send..- d + sen.6.- d os (os a + s e n a) os e d.7.- d.8.- d sena b aoτ g d e d d + τ g oτ g d + sen..- d..- sen..- d e + os.6.- se d.7.- d sen.8.- a os d τ g η d.9.- d τ g ad + se d d η..- d τ g os a d d sen os..- τ g sen d sen+ os arτ g sen e + η( + ) + d e send ( s e n ) ds..- d..- d..- s se n e + dθ s πt..- e ds senaθ osaθ sen( T + ϕ0) dt s e 0

41 ar os d τ g.7.- d e se d ( η ) senos..- dt.0.- d..- sen seτ g d sen tos t se + ars en + d 7..- d ( ) d + η ( + + ) sen os d.6.- d.7.- d os + sen + e 7 (ars en ) d e d.6.- t(t+ ) dt t t t 0t+ e e.6.- dt.6.- t t dt t + e + e RESPUESTAS.9.- ed, Sea: u, du d, a e u u a ( e) ( e) e e ( e) d ( a) du ηa η( e) η ηe η + ηe η + ad.0.-, Sea: u a, du d a ad du a a η u + a η a + a u t + 6 t +..- dt, Sea: u t+, du dt; + t + t+ t+ t+ 6 du dt + dt dt + dt dt + t + η u + t+ t+ t+ u t+ η t d, Sea: u +, du d ; d du d + d d + d u + η + + a d..-, Sea: u a + b, du bd ; b a+ b a+ b b a+ b d a d a du a a d d η u + η a + b + a+ b b ba+ b b b u b b b b

42 αβ + b a b a b a..- d, Sea: u α + β, du αd ; α α + β a + b α α αβ aβ + αb + b a b a a a a b d d α β α d d α + d d α + β α α α α+ β α α aβ + αb a aβ + αb du a aβ + αb a aβ + αb d η u η β α α u α α α α t + t +..- dt, Sea: u t, du dt ; t + + t t t t + dt t + + dt tdt + dt + dt t + t + 6 η u + t t t 6 t + t+ η t d, Sea: u t, du t+ ; d + + d d + d + d + + η u η u η d, Sea: u, du d; + + d d d + d + d + d η u η + b.8.- a+ d a, Sea: u a, du d b a+ d a + ab + b d a d+ ab d + b d a a ( a) a ( a) du du u a d+ ab + b a + ab η u + b + a + ab η a b + u u a 9.- d, Sea: u +, du d ( + ). ( + ) + d d d u d d d η u + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) u u

43 η bdy.0.-, Sea: u y, du dy y bdy du b b u du bu + b( y) + y u..- a bd, Sea: u a b, du bd u a bd u du u ( a b ) b b b b d..-, Sea: u +, du d + d du u u du + u + ( + ) η d d, Sea: u η, du / + η / η / u d d + d d + udu + + / η + + d..-, Sea: u, u, du d; a ; a + d du u artg + artg + artg + + u + a a a d..-, Sea: u a, du d a d d a d d a d d a du a a a u a η u + a η a + y y dy, Sea: u y +, du ydy y + y + 6 ( + ) + dy + dy dy + dy dy + y + y + y + y + y + y η u + y y arτg + y η y + + arτg + 6t.7.- dt, Sea: u t, du 6 tdt; w t t, dw dt

44 6 t dt 6 tdt dt 6 tdt dt t t t t ( t ) ( ) du dw w η u η u + w w ( ) + 6 t η t η + t d, Sea: u + 7, du 0 d; w + 7, dw d d d d du d ( ) + ( 7) 0 u dw du arτg η u + u w + ( 7) 7 7 arτg η d, Sea: u +, du 0 d; w, dw d + + d d d d d ( ) + + ( ) + du dw u 0 + w w u + η w η d.60.-, Sea: u +, du d d du η u + η + u d.6.-, Sea: u +, du d + d du η u + η u a + b.6.- d, Sea: u a + b, du a d; w a, dw ad a + b a + b d d a du b dw d a + b + a + b a + b a + b a u a w + b b w a η u + arτg + η a + b + arτg + a b b a b

45 arτ g.66.- d d, Sea: u + 9, du 8 d; w arτ g, dw arτg d arτg du d d w dw u w (arτ g ) η u + η ars en t.67.- dt, Sea: u ars en t, du t dt t ars en t ars en t ars en t dt dt dt udu t t t u + u d a, Sea: u, du d d d du u ars e n a ( a ) ( ) ( a ) u a + ars e n + a d.6.-, Sea: u, du d 6 + d d du arτg u + arτg ( ) + u d.6.-, Sea: u, du d 6 d d du 6 6 η u+ u + η + + ( ) u (ars n ) e t + ar τ g( ) d.68.- d, Sea: u ar τ g, du ar τg( ) u ar τg( ) d udu + u dt.69.-, Sea: u η t+ + t, du (9 + 9 t ) η t+ + t dt + t dt du u + u + η t+ + t + ( + t ) η t+ + t u

46 m.70.- ae d, Sea: u m, du md m m a u a u a m ae d ae d e du e + e + m m m.7.- d, Sea: u, du d; a u u a d a du + + ηa η t t.7.- ( e e ) dt, Sea: u t, du dt t t t t t u t u t t ( e e ) dt edt e dt edt edt e + e + e + e + ( + ).7.- e d, Sea: u, du d ( + ) u u ( + ) e d e d e du e e e a a.7.- ( e e d d ) d, Sea: u, du ; w, dw a a a a ( a a) ( a a a a) a a e e d e e e e + + d e d + d + e d a u a w a u a w a a a a edu+ d edw e e e e a d d.7.- d, Sea: u, du ; w, dw a a a d d d a d a d a d a d a a a w u w u a a a a a adw adu ( a ) ηa ηa ηa ηa ηa e.76.- d, Sea: u d, du e d e u du e u + e + e + d d.77.-, Sea: u, du u d u du + + η η d, Sea: u, du d u u d 7 du + + η7 η7 t edt t t.79.-, Sea: u e, du e dt t e 6

47 t edt du t η u + η e + t e u.80.- e a be d, Sea: u a be, du be d u ( ) e a be d udu u a be b b b b a.8.- ( ) a a e + e d, Sea: a + e u e, du d a ( a au a e + ) a a a a ( e + ) e d e + e d a u du + + d.8.-, Sea: u +, du ηd + d d + + du d d d d u η + η u + η u + + η η ad.8.-, Sea: u a, du a ηad; a > 0 + a a d a d du ar gu ar ga a ( a ) a u a τ + τ η + η ηa b e b b.8.- d, Sea: u e, du be d b e b b e e du du u d d η + b b e ( e ) b u b ( )( u ) b u+ b e η +. b b e + t edt t t.8.-, Sea: u e, du e dt t e t t e dt e dt du t ars n ars n t t e u+ e e + e ( e ) u d.86.- os d, Sea: u, du os d osudu s e n u + s e n se n( a + b) d, Sea: u a + b, du bd se n( a + b) d se nudu osu os( a b) b b b 7

48 + + + ( osa se n a) d d os a se n ad d se n ad d d.88.- os, Sea: u, du d os osudu s e n u s e n sen( ) d d η, Sea: u η, du d se n( η) se nudu osu + os η (os a + s e n a ) d, Sea: u a, du ad (osa + se n a) d (os a + osa se na + se n a) d os a + a.9.- sen d, Sea: u, du d os s e n d d d os d d osudu s e n u + s e n os d, Sea: u, du d + os os d d d os d d osudu s e n u s e n se ( a + b) d, Sea: u a + b, du ad se ( a + b) d se udu τgu τg( a b) a a a.9.- o τ g ad, Sea: u a, du ad oτg ad o g udu (ose u ) du ose udu du a τ a a a oτgu u oτga a oτ ga a a a a a d.9.-, Sea: u, d se n a du a a d os e a d a os eudu a η os eu oτgu + se n a a η os e oτg + a a 8

49 d.96.-, Sea: u π, du d π os( ) d π se( ) d seudu η seu + τgu + π os( ) π π η se( ) + τg( ) + d.97.-, Sea: u a + b, du ad sen( a+ b) d os e( a b) d oseudu oseu o gu sen( a+ b) + a a η τ + os e( a b) o g( a b) a η + τ + + d.98.-, Sea: u, du d os d se d se udu gu g os τ + τ + d.99.- oτ g d, Sea: u, du a b a b a b o τ g d ( a b) o gudu ( a b) s e n u ( a b) s e n a b τ η + η + a b d d.00.- τ g, Sea: u, du d τg τgudu η seu + η se + d.0.-, Sea: u, du d τ g d o o s n s n τg d τgudu η e u + η e + τ g.0.- d sen, Sea: u, du d (os ) (os os ) d e d e e + d sen ose d ose d + d ose udu oseudu + d o τgu η os eu o τgu + + o τg η os e o τg + + 9

50 d.0.-, senos Sea: u, du d d d os ed os eudu os eu o gu senos η τ + sen η os e oτg + os a.0.- d, sen a Sea: u sen a, du aosad os a du u u s e n a d sen a a u a a a asen a.0.- s n( ), Sea: u t, du tdt ts en( t ) dt s en udu os u os( t ) + + sen.06.- d, + os Sea: u + os, du send sen du d η u + η + os + + os u.07.- τ g se d, Sea: u τ g( ), du se ( ) d ( u τ g ) τ g se d u du senos d os s en Sea: u os, du s e n d senos senos sen du u u d d os s n os + + e os u os + τ g.09.- d, Sea: u τ g, du se d os τ g u d g se d u du u g os τ + + τ os asen ad, Sea: u, du d a a a a os as e n ad s n a s n os os a e d e udu u t o g(t ) dt, Sea: u t, du tdt to τg(t ) dt oτgudu η s en u η s en(t ) + + 0

51 d..-, Sea: u, du d 8 + d d du u arτg + arτg ( ) ( ) + u + ( ) 0..- s e n 6 os6 d, Sea: u sen6, du 6os6d u u sen 6 sen 6os6d 6 u du os..- + os send, Sea: u, du s e n d + os + os + os send + ( )send + send + os u send u du u os d, Sea: u, du d u ( ) d u du + u sen.6.- d, Sea: u se n, du d; w os u, dw se nudu os + s n s n s n e d d e d se udu e u du os + os + os os u dw s e udu τgu + + τgu + + τg + + w w osu os (os a + s e n a).7.- d, Sea: u a, du ad sena (os a se n a) os a os ase n a se n a + d d sena + + sena os os s n a a e a d sena + d + sena sen a sena d s n e a d + os ad + s e n ad sena d osad sena + os ead + os ad os eudu + osudu a a

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