DISEÑO ÓPTINO DE REDES DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA POTABLE UTILIZANDO UN ALGORITMO GENÉTICO MULTIOBJETIVO

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1 DISEÑO ÓPTINO DE REDES DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA POTABLE UTILIZANDO UN ALGORITMO GENÉTICO MULTIOBJETIVO Katya Rodríguez Vazquez 1, Óscar Arturo Fuentes Mariles, Martín Rubén Jiménez Magaña, Faustino de Luna Cruz Resumo Este trabalho apresenta um método de otimização de redes, utilizando técnicas de computação evolucionária chamado o algoritmo genético multi-objetivo. O objetivo é obter uma rede de tubulação com o menor custo que satisfaça pressão mínima e a demanda em todos os nós da rede e também limite da máxima velocidade em todas as tubulações. Abstract An evolutionary computation tool called multi-objective genetic algorithm used to get the optimal design of a water network distribution system is presented in this paper. The goal is to obtain the least cost pipe network satisfying the minimum pressure an demand in all network nodes and also the maximum limit velocity in all pipes. Palabras clave: Algoritmo genético, multiobjetivo, diseño óptimo. Keywords: Genetic algorithm, multi-objective, optimal design, pressure, velocity. 1 Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas, Universidad Nacional Autónoma de México, Circuito Escolar s/n, Coyoacán, 04510, México D.F. Tel. (+5) México. Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México Circuito Escolar s/n, Coyoacán, 04510, México D.F. Tel. (+5) Ext México. mjimenezm@iingen.unam.mx, ofm@pumas.iingen.unam.mx katya@uxdea4.iimas.unam.mx

2 INTRODUCCIÓN Una red de distribución de agua potable es un sistema compuesto por tanques, tubos, bombas y válvulas de diferentes tipos, conectados entre sí con el objeto de llevar este recurso hasta los usuarios finales. Es un componente vital de la infraestructura urbana y requiere de una inversión económica significativa. El diseño óptimo de redes de distribución tiene varios aspectos relevantes de tipo hidráulico, rentabilidad, disponibilidad de tuberías, calidad del agua y distribución de la demanda. Aunque cada uno de estos factores tiene su importancia en la planeación, diseño y operación del sistema, y a pesar de su dependencia inherente, es difícil llevar a cabo un análisis integral que contenga todos ellos. Con el desarrollo de las computadoras digitales de alta velocidad, y las técnicas de optimización en los años 50, parecía sólo cuestión de tiempo el que los ingenieros, con algunos datos importantes suministrados a la computadora, determinaran la red de tuberías óptima (óptimo, en el presente trabajo, se refiere a la minimización de los costos de inversión de la red de distribución). En los años 80, el problema del diseño óptimo de las redes de distribución aún no estaba completamente resuelto. Y no es que los investigadores no hayan trabajado arduamente para resolver el problema. Docenas de artículos, presentando soluciones al problema de la optimización de redes, han sido desarrollados. Sin embargo aún prevalecen reglas de prueba y error como las herramientas primarias para los ingenieros proyectistas que trabajan en el diseño de redes de distribución de agua potable. En los años 80, los programas de optimización de redes de distribución se encontraban en una posición similar a la que se encontraban en los años 60 los programas de simulación de flujo permanente. La cuestión matemática del problema ha sido tratada con cierta amplitud en artículos técnicos, y se han escrito algunos programas de cómputo para aplicarse a conducciones reales. Pero, la optimización de redes de distribución no se considera una herramienta estándar en la ingeniería y el uso de programas realmente amigables, apenas empieza. Recientes investigaciones sobre modelos de distribución de agua se han enfocado en técnicas tales como: enumeración, es decir la evaluación de todas las posibles soluciones. Se ha probado que el método de enumeración es extremadamente caro y es una técnica que consume mucho tiempo de cálculo, salvo en los casos más sencillos. La enumeración selectiva toma menos tiempo; sin embargo, como el proceso de selección está basado en la experiencia del diseñador, no se garantiza llegar al óptimo global. Uno de los métodos más prometedores que surgió en las investigaciones de la optimización de sistemas de distribución de agua ha sido la aplicación de los algoritmos genéticos. Estos algoritmos son procedimientos de búsqueda basados en la teoría de la selección natural y los mecanismos de población genética, y su eficiencia de búsqueda en espacios de solución complicados ha sido probada satisfactoriamente. El presente trabajo tiene por objetivo el uso de un algoritmo genético en un programa de cómputo que sea útil a los diseñadores y, en general a los técnicos que se dediquen al trabajo con las redes de distribución, pues si bien será un programa que en inicio funcionará sólo para el diseño, mediante algunas pequeñas modificaciones se podrá extender a la rehabilitación y calibración de extensas redes de distribución para mejorar su funcionamiento, así como también, podrá ser empleado, por ejemplo, en la detección de fugas en redes, que es, hasta el momento, un problema no completamente resuelto.

3 OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO Optimización multi-objetivo (o multicriterios) se define como el problema de encontrar un vector de variables de decisiones el cual satisface el conjunto de restricciones y optimiza el vector de funciones cuyos elementos representan la función objetivo. Estas funciones, generalmente, están en conflicto unas con otras. De aquí, el término optimizar significa encontrar una solución que nos proporcione valores aceptables en todos los objetivos. Matemáticamente se expresa como: Encontrar el vector x * = * * * [ x, x,... ] T 1 x n el cual satisface las m restricciones de desigualdad g i ( x) 0 i = 1,,..., m las prestricciones de igualdad h i ( x) = 0 i = 1,,..., p y optimiza el vector de funciones [ f ( x), f ( x),..., f ( )] f ( x) = donde 1 k x [ x x ] T x =,..., 1, x n es el vector de variables de decisión. El conjunto de restricciones define la región factible X y cualquier punto x en X, es una solución factible. Las k componentes del vector f (x) representan los objetivos en conflicto a evaluar. Las funciones g i (x) y h i (x) representan las restricciones impuestas a las variables de decisión. El * vector x denota el conjunto de soluciones óptimas. Desde el punto de vista tradicional de las matemáticas, el concepto de optimización es imposible cuando múltiples criterios están involucrados. De aquí se deriva el hecho de que la solución en un problema multi-objetivo es un conjunto de soluciones alternativas más que una única solución. Este concepto se conoce como Optimo de Pareto (Coello et al, 00). Definición 1. Óptimo de Pareto. Una solución x u U es un óptimo de Pareto si y sólo si no existe ninguna x v U para la cual v = f ( xv ) = ( v1,..., vn) domina a u = f ( xu ) = ( u1,..., un). El óptimo de Pareto generalmente produce no una solución única, sino un conjunto de soluciones, conocidas también como soluciones no-dominadas o no-inferiores.

4 Definición. No dominancia. Un vector u = ( u 1,..., u n ) domina al vector v = ( v 1,..., v n ) si y sólo si u es parcialmente menor a v ( u p p v). Esto es, { 1,..., n}, u v i {1,..., n} : u v i i i i< i Estos dos conceptos pueden ejemplificarse de manera gráfica como se muestra en la Figura 1. Basados en una función de dos objetivos, las soluciones marcadas con "cero" forman la curva de Pareto y todas ellas forman el conjunto de soluciones no-dominadas, o no-inferiores. Esto es, no existe ninguna otra solución que sea mejor en ambos objetivos. Tomando en consideración las soluciones f u y f v, podemos observar que la solución f u es una solución no-dominada. En el caso de f v, existen tres soluciones que son mejores que f v en ambos objetivos. En otras palabras f v es dominada con un rango de tres. Figura 1. Óptimo de Pareto y No-Dominancia En nuestro caso particular, deseamos optimizar en forma simultánea el costo de instalar tramos de tuberías con cierto diámetro lo cual se aplica a tener cargas de presión disponible en los nudos de la red dentro de un rango establecido y que las velocidades que se presentan en las distintas tuberías, también cumplan con un rango establecido. Una solución directa podría ser la instalación de un diámetro muy grande en cada tramo de tubería entre nudos para tener la menor pérdida de energía en dichos tramos, sin embargo, el costo sería elevado, además de que las velocidades en algunos casos sería tan pequeña que influiría en la sedimentación de partículas sólidas en dichos tramos. Este es claramente un problema multi-objetivo con tres objetivos en conflicto ya que el minimizar el costo no garantiza mantener las cargas de presión y las velocidades dentro del rango. METODOLOGÍA UTILIZADA Para realizar los cálculos de las cargas de presión y los gastos de los flujos de agua que circulan en el sector de la red de distribución se necesita contar con información de la infraestructura hidráulica de abastecimiento de agua potable, como son las tuberías y el nodo en que están conectadas, los planos del trazo de la red, la topografía de la zona cubierta por la red, válvulas, tanques, zona de distribución, puntos de extracción, etc.

5 También es fundamental disponer de datos de los consumos (demanda), gastos de entrada y salida al sector de la red y cargas de presión en las tuberías principales. De la comparación de los volúmenes de agua de entrada a la red con los volúmenes de consumo, y de salida, en su caso, se obtiene un balance hidráulico que permite la evaluación de los volúmenes de agua que se pierden por fugas. Generalmente no se cuenta con información de consumos y se recurre a factores índice, basados en las características socioeconómicas existentes en la zona de estudio y suponiendo consumos similares a otras donde se dispone de mediciones. Se tienen entonces tres objetivos a satisfacer: C i : costo de la red, que incluye tuberías accesorios, cruceros, excavación, etc. P: rango de presiones establecido V: velocidades permisibles Teniendo 3 funciones para evaluar la aptitud de cada uno de los individuos (redes de distribución) f f f 1 3 = C = = i ( p) ( V ) Donde p es la diferencia de presión existente en cada uno de los nodos respecto de la mínima o máxima establecidas como restricciones. V es la diferencia de velocidad existente en cada uno de los tramos de tubería respecto de la mínima o máxima establecida como límite permisible. La meta es obtener un diseño óptimo utilizando el AGMO (Algoritmo Genético Multi-Objetivo) y comparar el resultado con el obtenido mediante el AGS (Algoritmo Genético Simple) en el cual sólo se tiene un solo objetivo que es minimizar el costo y con una sola restricción, mantener las presiones dentro del rango establecido, sin tomar en cuenta las velocidades en las tuberías. Para cumplir con tal meta se hizo un programa en Matlab, apoyado en una caja de herramientas desarrollada en la Universidad de Sheffield, con el cual se realizaron las simulaciones pertinentes. Dicho programa incluye dentro de su función objetivo un modelo de simulación hidráulica en flujo permanente desarrollado en el Instituto de Ingeniería de la UNAM. EJEMPLO DE APLICACIÓN La red que se utilizó como ejemplo de aplicación es la red primaria de la ciudad de Hanoi, Vietnam, propuesta por Fujiwara y Kang en La red consta de 34 tuberías y hay 6 posibles diámetros para cada una de ellas, teniéndose un total de.8x10 6 posibles soluciones. Figura.

6 NUDOS TUBERÍAS NÚMERO DE NUDO NÚMERO DE TUBERÍA Figura. Trazo de la red utilizada como ejemplo Se corrió el AGMO por 150 generaciones con 1,000 individuos en la población, con lo cual se evaluaron 150,000 posibles soluciones en un tiempo de 1.5 horas; esas 150,000 evaluaciones representan 5.3X10-0 % del total. En la Figura 3 se presenta la evolución del AGMO; los resultados tanto de costo como hidráulicos obtenidos con el AGS y con el AGMO se muestran en la Tabla. Los diámetros comerciales disponibles para esta red son seis: 1, 16, 0, 4, 30 y 40 pulgadas. El costo se evalúa con la siguiente expresión: Ci = 1.1* Li * Di 1.5 donde: Ci - costo de la tubería, en unidades monetarias, $ por ejemplo Li - longitud de la tubería, en m Di - diámetro de la tubería, en pulgadas Para este caso se establecieron como mínima y máxima presión, 30 y 100 mca, respectivamente.

7 Tabla 1. Datos de la red utilizada como ejemplo Tram Longitud Demanda Nodo o (m) (l/s) , , , , , , , , , , , , , , , Carga en el tanque: 100 m h mín: 30 m C H : 130

8 Tabla. Resultados de la aplicación de la herramienta al diseño óptimo de redes de distribución de agua potable. AGS (004) AG MO (006) Tubo/Nod o Costo (UM) D(i n) Q (m 3 /s) V (m/s) h(mca ) D(i n) Q (m 3 /s) V (m/s) h(mca ) ,100,000 6,64,100 De la comparación de resultados que se encuentran en la Tabla se observa lo siguiente: 1) Al ser la velocidad un objetivo más a satisfacer, se incrementa el diámetro de algunas tuberías, por lo tanto el costo de la red también aumenta. ) En ambos casos las presiones se encuentran dentro del rango, existiendo ligeros incrementos en la red obtenida mediante el AGMO, ya que existió un incremento en los diámetros de algunas tuberías.

9 3) Respecto a las velocidades, hubo mejoría (incremento) en las tuberías 8 y 31, no así en las tuberías 1, y 18. La tubería 18 tiene una velocidad ligeramente (10%) mayor al límite superior y las velocidades en las tuberías 1 y son relativamente altas, la razón es que forman parte de la tubería principal que sale directamente del tanque; la única manera de lograr que las velocidades disminuyan en dichos casos sería incluir, dentro del conjunto de diámetros disponibles uno de mayor diámetro o en mejor caso, colocar una tubería paralela hasta conectarse en el nodo 3, siendo esto último lo más recomendable por efectos de confiabilidad, pues en redes primarias no es factible que la satisfacción de la demanda dependa en tan grande proporción de una sola tubería. Figura 7. Evolución del algoritmo genético multiobjetivo en la solución del diseño óptimo CONCLUSIONES La optimización de una red de tuberías para la distribución de agua potable es un problema común en la ingeniería civil. Obtener diseños que cumplan con los requisitos hidráulicos y además sean económicos permitiría atender un mayor número de aspectos ingenieriles con un menor presupuesto. Las técnicas de optimización pueden extenderse a redes construidas que requieren modificaciones con un mínimo de inversión. La optimización con AG representa un avance significativo en el diseño de sistemas de distribución de agua potable. En este trabajo se describió un procedimiento para aplicar los AG al diseño óptimo de una red de distribución. Esta técnica es innovadora y efectiva. Una de las ventajas de la optimización con AG es que usa un modelo de simulación hidráulica dentro de la misma técnica, eso permite que toda la sofisticación del modelo de simulación hidráulica se pueda utilizar directamente. La optimización con AG es muy flexible y está limitada solamente por lo que el modelo de simulación hidráulica sea capaz de hacer. Las técnicas tradicionales de optimización han sido usadas muy poco porque son difíciles de aplicar y requieren de mucha experiencia por parte del usuario. Además, las técnicas tradicionales de optimización tienen dificultades para trabajar con variables discretas, como es el caso de los diámetros comerciales disponibles. Al utilizar un AGMO se obtienen varias soluciones posibles, y es responsabilidad del ingeniero la decisión final; i.e. un modelo de simulación es una herramienta de apoyo para el ingeniero en la toma de decisiones, no significa que lo que se obtenga del modelo sea la verdad absoluta, todo

10 modelo requiere al final de la interpretación del ser humano, personal técnico, para poder tomar una decisión y establecer entonces si es o no factible la construcción de la solución propuesta. Dentro de las futuras líneas de trabajo se pretende que esta metodología se extienda para que sea utilizada en la rehabilitación de redes de distribución de agua potable que es un problema cotidiano en la ingeniería de los sistemas de abastecimiento. AGRADECIMIENTOS Al doctor Salles Paulo Afonso de Almeida, investigador del Instituto de Ingeniería de la UNAM, por el apoyo brindado en la traducción del resumen al portugués. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Chipperfield, A., Fleming, P., Pohlheim, H., Fonseca C. (00). Genetic Algorithm Tool Box. Department of Automatic Control and Systems Enginnering, University of Sheffield, England. Coello, C; Van Veldhuizen, D y Lamont, G. (00). Evolutionary Algorithms for Solving Multi- Objective Problems. Kluwer Academic Publishers. Fujiwara, O. y Khang, D.B. (1990). A two phase decomposition method for optimal design of looped water distribution networks. Water Resources Research, Vol. 6 No. 4, pages Jiménez, M. (004). Diseño óptimo de redes de distribución de agua potable utilizando un algoritmo genético. Tesis de Maestría en Ingeniería Hidráulica, DEPFI, UNAM. Michalewicz, Z. (1994). Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs, nd edition, Springer-Verlag, Heidelberg. Todini, E, and Pilati, S. (1987). A gradient method for the analysis of pipe networks. International Conference on Computer Applications for Water Supply and Distribution, Leicester Polytechnic, UK.