Ejemplo #03: Solución:

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1 Ejemplo #3: Obtener caudales y presiones en cada tubería y nudos de la red respectivamente, elegir diámetro de las tuberías adecuadas. El sistema de agua potable mostrado está abastecido por dos reservorios como se muestra. Solución: El primer paso es dividir el sistema en una serie de elementos finitos identificando sus puntos extremos como nudos, una tubería debe estar plenamente identificada en la red por su nudo inicial y final estableciendo implícitamente la dirección del flujo del caudal en la tubería. Se debe enumerar nudos y tubería como se muestra. Donde: - Número de tuberías - Numeración de nudos - Dirección flujo de caudal. de 27

2 Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos 2. Argumentos 2. Definiendo la Red (RED) Cada fila representa la conectividad de la tubería en la red. Donde: Columna #: Número del nudo inicial Columna #2: Número del nudo final Columna #3: Longitud de la tubería en metros [m] Columna #4: Diámetro de la tubería en milímetros [mm] Columna #5: Sumatoria de los coeficientes de pérdidas locales RED := Cota Topográfica del terreno (CT) [msnm] 2.3 Demanda en nudos(qd) [lt/s] 2.4 Rugosidad absoluta de la tubería [m] CT := Qd := k s := Viscocidad cinemática [m 2 /s] ν := de 27

3 2.6 Reservorios que abastecen a la red (RSV) Son los nudos de cota piezométrica conocida y los argumentos son: Donde: Columna #: Número de nudo de cota piezométrica conocida Columna #2: Cota piezométrica [m] RSV := Definiendo bombas en la red (BMB) Se debe definir el número de la tubería y la altura de agua(presión de agua) adicional con la cual colabora la bomba a la red Donde: Columna #: Número de tubería La ecuación de la bomba es de la ma: γ = a(qac^2) + b(qac) + c, se debe ingresar: Columna #2: Coeficiente "a" de la ecuación siempre negativo Columna #3: Coeficneinte "b" de la ecuación de la bomba Columna #4: Coeficiente "c" de la ecuación de la bomba BMB := Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos No existe Bombas en la RED!!!! Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Resultados 3 de 27

4 Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales 3. Proceso de cálculo Para realizar el cálculo de presiones y caudales en la red, es necesario el siguiente planteamiento de matrices y vectores teniendo en ceunta que: Número de nudos de cota piezométrica desconocida: NN := rows( CT) rows( RSV) NN = 4 Número de tuberías (tramos) := rows( RED) = 7 Número de nudos de cota piezométrica conocida NS := rows( RSV) NS = 2 3. Resultados generales Todas las matrices obtenidas en esta sección se mantienen constante en todo el procedimeinto de diseño. 3.. Obteniendo la matriz de conectividad total (At), su dimensión es *(NN+NS) asociada a ca uno de los nudos de la red, con solo dos elementos diferentes de cero en la i-ésima fila "-" en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i "" en la columna correspondiente al nodo final del tramo i At := At.. ni nf RED i, RED i2, At ini, At inf, At = de la matriz At se obtiene las matrices A2 y A Matriz de conectividad A2 asociada a cada uno de los nudos de la red de cota piezométrica desconocida, de dimensión *NN 4 de 27

5 Los nudos de cota piezométrica desconocida son(ncpd): NCPD := submatrix( NODE, rows( RSV) +, rows( NODE),, ) NCPD = y la matriz A2 resulta: NCPD A2 A2 At, := n 2.. rows( NCPD) A2 i NCPD n, A2 augment A2, At i A2 = su traspuesta es A2: A2 A2 T := A2 = 3..3 Matriz topológica tramo a nodo, que asocia a las tuberías con los nodos de cota piezométrica conocida(los reservorios) de dimensión *NS Los nudos de cota piezométrica conocida son(ncpc): NCPC := RSV NCPC = la matriz A resulta: 2 5 de 27

6 NCPC A A At, := if A rows( NCPC) 2 n 2.. rows( NCPC) A i NCPC n, A augment A, At i A = A es la matriz topológica tramo a nodo, para los NS nodos de cota piezométrica conocida, su dimensión es *NS con un valor igual a - en las filas correspondientes a los tramos conectados a los reservorios(nudos de cota piezométrica conocida) 3..4 Vector de Cotas piezométricas fijas, cuya dimensión es NS* Ho := RSV 2 5 Ho = Vector de consumo, de dimensión NN* En este vector no interviene los nudos de cota piezométrica conocida. q := submatrix( Qd, rows( RSV) +, rows( Qd),, ) q.4.5 = en m3/s matriz identidad, de dimensión * I := identity 3..7 matriz diagonal M, de dimensión * N dw := 2I I = N dw = los elementos de la diagonal principal son iguales al coeficiente "m", que depende de qué ecuación para la pérdida de carga se esté utilizando, en este caso utilizaré la de Darcy-Weisbach, para lo cual m=2 6 de 27

7 3..6 Ordenando el coeficiente de las ecuaciones para cada tubería BOMB := f ( x, y) BOMB matrix(, 3, f ) i.. rows( BMB) t BMB i, BOMB BMB t, i2, BOMB BMB t2, i3, BOMB BMB t3, i4, BOMB BOMB = 3.2 Valores iniciales para las iteraciones Caudales que circulan en cada tubería f( x, y) :=.2 Q := matrix( rows( RED),, f ) Q T = ( ) Diámetro de la tuberías [m] D := RED 4 D T = ( ) Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Resultados 7 de 27

8 Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales 4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo 4. Iteración # El caudal para la iteración actual es: Qac := Q Qac = Obteniendo la matriz A Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: m i α i Q i + β i + γ i Qi. Obteniendo el coeficiente α α :=.. α Re fa. fa root 4 Qac i, π D ν i, k s log +, fa fa 3.7 D i, Re fa fa RED i3, α i, D i, 5 α = de 27

9 .2 Pérdida de carga localizadas β := β.. 8 Qac i, β i, 9.87 π 2 D i, 4 RED i5, β T = ( ).3 Cuando existe bombas en la red γ := γ.. 2 γ BOMB Qac i i, i, + BOMB Qac + BOMB i2, i, i3, γ T = ( ) La matriz A resulta: A :=.. 2 A α Qac ii, i, i, A + β i, + γ i, Qac i, A = Vector de cargas piezométricas H next A2 N dw A A2 := A2 N dw Qac + A A Ho + q A2 Qac H next T = ( ) 9 de 27

10 Vector de caudales en las tuberías Q next := I N dw Qac N dw A A2 H next + A Ho Q next = Comparando los caudales(en listros): la norma del vector es: ( Q next Qac ) = Error := Q next Qac Error = 3.2 Método del Gradiente Hidráulico - Resultados de 27

11 Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales 4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo 4. Iteración #2 El caudal para la iteración actual es: Qac := Obteniendo la matriz A Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: m i α i Q i + β i + γ i Qi. Obteniendo el coeficiente α α :=.. α Re fa. fa root 4 Qac i, π D ν i, k s log +, fa fa 3.7 D i, Re fa fa RED i3, α i, D i, 5 α = de 27

12 .2 Pérdida de carga localizadas β := β.. 8 Qac i, β i, 9.87 π 2 D i, 4 RED i5, β T = ( ).3 Cuando existe bombas en la red γ := γ.. 2 γ BOMB Qac i i, i, + BOMB Qac + BOMB i2, i, i3, γ T = ( ) La matriz A resulta: A :=.. 2 A α Qac ii, i, i, A + β i, + γ i, Qac i, A = Vector de cargas piezométricas H next A2 N dw A A2 := A2 N dw Qac + A A Ho + q A2 Qac H next T = ( ) 2 de 27

13 Vector de caudales en las tuberías Q next := I N dw Qac N dw A A2 H next + A Ho Q next = Comparando los caudales(en listros): la norma del vector es: ( Q next Qac ) = Error := Q next Qac Error =.442 Método del Gradiente Hidráulico - Resultados 3 de 27

14 Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales 4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo 4. Iteración #3 El caudal para la iteración actual es: Qac := Obteniendo la matriz A Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: m i α i Q i + β i + γ i Qi. Obteniendo el coeficiente α α :=.. α Re fa. fa root 4 Qac i, π D ν i, k s log +, fa fa 3.7 D i, Re fa fa RED i3, α i, D i, 5 α = de 27

15 .2 Pérdida de carga localizadas β := β.. 8 Qac i, β i, 9.87 π 2 D i, 4 RED i5, β T = ( ).3 Cuando existe bombas en la red γ := γ.. 2 γ BOMB Qac i i, i, + BOMB Qac + BOMB i2, i, i3, γ T = ( ) La matriz A resulta: A :=.. 2 A α Qac ii, i, i, A + β i, + γ i, Qac i, A = Vector de cargas piezométricas H next A2 N dw A A2 := A2 N dw Qac + A A Ho + q A2 Qac H next T = ( ) 5 de 27

16 Vector de caudales en las tuberías Q next := I N dw Qac N dw A A2 H next + A Ho Q next = Comparando los caudales(en listros): la norma del vector es: ( Q next Qac ) = Error := Q next Qac Error =.562 Método del Gradiente Hidráulico - Resultados 6 de 27

17 Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales 4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo 4. Iteración #4 El caudal para la iteración actual es: Qac := Obteniendo la matriz A Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: m i α i Q i + β i + γ i Qi. Obteniendo el coeficiente α α :=.. α Re fa. fa root 4 Qac i, π D ν i, k s log +, fa fa 3.7 D i, Re fa fa RED i3, α i, D i, 5 α = de 27

18 .2 Pérdida de carga localizadas β := β.. 8 Qac i, β i, 9.87 π 2 D i, 4 RED i5, β T = ( ).3 Cuando existe bombas en la red γ := γ.. 2 γ BOMB Qac i i, i, + BOMB Qac + BOMB i2, i, i3, γ T = ( ) La matriz A resulta: A :=.. 2 A α Qac ii, i, i, A + β i, + γ i, Qac i, A = Vector de cargas piezométricas H next A2 N dw A A2 := A2 N dw Qac + A A Ho + q A2 Qac H next T = ( ) 8 de 27

19 Vector de caudales en las tuberías Q next := I N dw Qac N dw A A2 H next + A Ho Q next = Comparando los caudales(en listros): la norma del vector es: ( Q next Qac ) = Error := Q next Qac Error =.24 Método del Gradiente Hidráulico - Resultados 9 de 27

20 Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales 4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo 4. Iteración #5 El caudal para la iteración actual es: Qac := Obteniendo la matriz A Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: m i α i Q i + β i + γ i Qi. Obteniendo el coeficiente α α :=.. α Re fa. fa root 4 Qac i, π D ν i, k s log +, fa fa 3.7 D i, Re fa fa RED i3, α i, D i, 5 α = de 27

21 .2 Pérdida de carga localizadas β := β.. 8 Qac i, β i, 9.87 π 2 D i, 4 RED i5, β T = ( ).3 Cuando existe bombas en la red γ := γ.. 2 γ BOMB Qac i i, i, + BOMB Qac + BOMB i2, i, i3, γ T = ( ) La matriz A resulta: A :=.. 2 A α Qac ii, i, i, A + β i, + γ i, Qac i, A = Vector de cargas piezométricas H next A2 N dw A A2 := A2 N dw Qac + A A Ho + q A2 Qac H next T = ( ) 2 de 27

22 Vector de caudales en las tuberías Q next := I N dw Qac N dw A A2 H next + A Ho Q next = Comparando los caudales(en listros): la norma del vector es: ( Q next Qac ) = Error := Q next Qac Error = Método del Gradiente Hidráulico - Resultados 22 de 27

23 Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales 4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo 4. Iteración #6 El caudal para la iteración actual es: Qac := Obteniendo la matriz A Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: m i α i Q i + β i + γ i Qi. Obteniendo el coeficiente α α :=.. α Re fa. fa root 4 Qac i, π D ν i, k s log +, fa fa 3.7 D i, Re fa fa RED i3, α i, D i, 5 α = de 27

24 .2 Pérdida de carga localizadas β := β.. 8 Qac i, β i, 9.87 π 2 D i, 4 RED i5, β T = ( ).3 Cuando existe bombas en la red γ := γ.. 2 γ BOMB Qac i i, i, + BOMB Qac + BOMB i2, i, i3, γ T = ( ) La matriz A resulta: A :=.. 2 A α Qac ii, i, i, A + β i, + γ i, Qac i, A = Vector de cargas piezométricas H next A2 N dw A A2 := A2 N dw Qac + A A Ho + q A2 Qac H next T = ( ) 24 de 27

25 Vector de caudales en las tuberías Q next := I N dw Qac N dw A A2 H next + A Ho Q next = Comparando los caudales(en listros): la norma del vector es: ( Q next Qac ) = Error := Q next Qac Error = Método del Gradiente Hidráulico - Resultados 25 de 27

26 Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Resultados 5. Ordenado Resultados Programa que Corrige H y Q con los argumentos establecidos en el capítulo 3, culmina cuando la norma del vector es menor a. H Q := f( x, y).2 Qan matrix(,, f ) DQ Qan H Qan Q Qan while DQ >... 4 Qan i, Re π D ν i, fa. k s 2.5 fa root + 2 log +, fa fa 3.7 D i, Re fa fa RED i3, α ( D i, ) 5 8 Qan i, β 9.87 π 2 ( RED 4 i5, ) D i, 2 (, ) 2 γ BOMB Qan i, i, A α Qan ii, i + BOMB Qan + BOMB i2, i, i3, γ + β + Qan i, H A2 N dw A A2 A2 N dw Qan + A A Ho Q I N dw Qan N dw A ( A2 H + A Ho) DQ ( Q Qan ) Qan Q H Q + q A2 Qan 26 de 27

27 Los caudales resultantes(que circulan) en cada tubería son(en litros/s): El signo negativo indica el flujo del caudal en sentido contrario al supuesto inicialmente. Q T = Las cotas piezométricas en cada nudo son(en metros): H f := augment( Ho T, H T ) H f = ( ) Las presiones en los puntos son(en metros): P:= H f CT T P = ( ) Método del Gradiente Hidráulico - Resultados 27 de 27