4. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE RUTEO DE VEHÍCULOS (VRP) 4.1. Introducción al Problema de Ruteo de Vehículos

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1 4. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE RUTEO DE VEHÍCULOS (VRP) 4.1. Introducción al Problema de Ruteo de Vehículos Para comprender el mecanismo de los algoritmos de cálculo de rutas, primero se deben entender los problemas para los que están diseñados, además de comprender las diferentes variantes que pueden surgir. Por esta razón se realiza una ligera introducción a este tipo de problema más conocido por su denominación en inglés Vehicule Routing Problem (VRP). El principal objetivo del problema de ruteo de vehículos [25] es suministrar los pedidos a un grupo de clientes que por lo general se encontrarán dispersos a lo largo de una zona geográfica de manera que se minimice el coste. Principalmente las características de este problema son: 1. Se cuenta con demanda determinista (conocida), exceptuando a la variante del problema que sufre demandas estocásticas. 2. Las entregas deben realizarse con el mínimo coste, para ello se deben optimizar las rutas de los vehículos que tienen origen y final en el depósito o almacén. Los clientes solo pueden ser atendidos una vez, por lo tanto, el vehículo que le suministre el pedido deberá tener una capacidad mayor que la demanda total del cliente. Todos los clientes deben ser atendidos una sola vez, por lo que a cada uno le visitara un vehículo con una capacidad de carga mayor que la demanda del cliente. Todas las variantes de un problema de ruteo de vehículos tienen tres aspectos comunes: 1. Los clientes: Un cliente tiene siempre una demanda que tendrá que ser satisfecha por un solo vehículo. Para la mayoría de los problemas, la demanda es un producto o un bien que tiene asignado un volumen dentro del vehículo. Pero a veces, la demanda no se entiende como un bien o un producto, sino como simplemente la realización de un servicio que dura cierto tiempo, así, en estos casos el vehículo solo deberá visitar al cliente. 27

2 A lo largo del capítulo, se mostrarán los diferentes VRP en los cuales los clientes tienen restricciones temporales, por ejemplo, sobre cuando pueden ser atendidos y cuando no. Se crean las denominadas ventanas temporales. 2. El depósito o almacén: Tanto los bienes a distribuir vehículos como los vehículos suelen encontrarse ubicados en depósitos o almacenes. Generalmente las rutas seguidas por los vehículos de reparto empiezan y finalizan en el depósito. Se puede dar el caso de tener varios depósitos con una flota determinada de vehículos. Pueden existir restricciones temporales asociadas a la carga de los bienes en los vehículos, es decir, ventanas temporales sobre el depósito, con el objetivo de evitar que varios vehículos acudan a la vez a cargar la mercancía al depósito. 3. Los vehículos: La capacidad de un vehículo de transporte puede expresarse en términos de volumen, de peso, de número visitas máximas a clientes, etc. y en ciertos problemas es deseable que la capacidad soportada por cada vehículo sea más o menos pareja. Cada vehículo, por lo general, se asume que recorrerá una única ruta durante el horizonte temporal, pero en los últimos años se han realizado estudios de modelos en los que el número de rutas de un vehículo puede ser mayor El VRP en la práctica. Debido a la importancia que ha cobrado en los últimos siglos el transporte de mercancías como una necesidad de una sociedad moderna, el VRP se ha desarrollado con velocidad, obteniendo una capacidad de aplicación fuerte en múltiples sectores. Un factor muy importante para el desarrollo económico de una región es contar con una buena red de transporte, donde la relación y la comunicación entre los diferentes sistemas de transporte son básicas. A lo largo de la historia, se ha 28

3 demostrado que las regiones con mejores redes de transporte han prosperado más que las que no lo poseen, y eso entre otros factores se debe a que su existencia facilita las relaciones comerciales entre las empresas. Para una empresa, la reducción de costes es una de las tareas que siempre está en continua gestación. Una buena política de logística por parte de la empresa permitirá a ésta una disminución muy considerable de los costes asociados y repercutirá directamente en el margen de beneficio de ésta. Para una empresa que preste servicios de entrega comprometidos en tiempo, el VRP se convierte en un problema fundamental a resolver con el mejor resultado posible, puesto que competirán con las demás empresas ofreciendo un mejor servicio [14]. El VRP es motivo de estudios continuados ya que es un reto resolver el modelo de una manera óptima. Para casos en los que el problema no consta de muchos nodos (clientes), es posible encontrar soluciones exactas numéricamente en tiempos razonables. Sin embargo, a medida que el problema aumenta de tamaño, los tiempos se van haciendo muy grandes y llega a ser inviable su resolución tanto por tiempo de resolución como por lo complicado del modelo. Matemáticamente el VRP se dice que es un problema del tipo NP. Llegar a saber a qué grupo pertenece cada problema es primordial, ya que permite no intentar resolver el problema con un algoritmo exacto y optar por aplicar métodos no exactos de resolución que sin embargo pueden obtener un resultado muy aproximado al óptimo. Estos métodos no exactos son las heurísticas y metaheurísticas. El alcanzar una solución cercana al óptimo, en la mayoría de los casos reales donde se aplican estos métodos, es ya considerado como un buen resultado. Aplicar heurísticas o metaheurísticas proporciona estas soluciones y disminuyen considerablemente el tiempo empleado para ello con respecto a los métodos exactos [18]. La variedad de VRP existentes hace que la función objetivo de estos problemas no sea siempre alcanzar la ruta más corta posible, sino que se debe buscar la solución óptima respetando las restricciones impuestas intentando obtener el menor coste posible. 29

4 4.3. Variantes del VRP La base del problema es siempre el VRP original, pero en los casos reales, los diferentes VRP tienen una serie de restricciones con aspectos muy característicos que hacen que cada uno se enfoque de manera diferente. A continuación se encuentran expuestas algunas de las variantes principales del Vehicule Routing Problem, cuyos modelos pueden ser resueltos por algoritmos cada vez más avanzados en la búsqueda conjunta de mejorar la función objetivo mientras se respetan las restricciones del problema. En la figura 2 se muestra la relación entre ellas: Figura 2: Variantes principales de VRP 1. Capacited VRP (CVRP): Para esta variante del VRP se tiene una capacidad de carga uniforme en los vehículos y se debe minimizar el coste de transporte de atender las demandas conocidas de los clientes [8]. Así, sobre el problema original VRP se añade la restricción de capacidad de que los vehículos poseen una capacidad de carga uniforme de un solo producto. 30

5 2. Multiple Depot VRP (MDVRP): Se dispone de varios depósitos desde los que pueden ser atendidos los clientes. Si es posible separar grupos de clientes que estén cerca de cada depósito, podría resolverse el problema como un conjunto de problemas independientes VRP. En el MDVRP se requiere una asignación de cada cliente a un depósito, además de conocer el número de vehículos establecidos en cada depósito. Un vehículo inicia su ruta en un depósito, atiende a sus clientes y regresa al depósito. 3. Periodic VRP (PVRP): Es la variante que tiene en cuenta que el periodo se extiende a varios días, y por lo tanto su planificación. En el VRP original, el periodo de planificación es de un día. 4. Split Delivery VRP (SDVRP): En esta variante la restricción que limita la visita de un cliente a una sola vez es eliminada, y por lo tanto, un vehículo pasa a poder visitar a un cliente más de una vez a lo largo del horizonte temporal. 5. Stochastic VRP (SVRP): En este caso, uno o más de los datos que en el VRP original eran conocidos serán en este caso aleatorios. Podrían ser los clientes, las demandas 6. VRP with Backhauls (VRPB): La particularidad de esta variante es que existe la posibilidad de que se produzca una recogida o entrega de bienes a los clientes. 7. VRP with Pick-Up and Delivering (VRPPD): Como su propio nombre indica, se realiza una recogida de mercancía de ciertos clientes y se reparte en otros. 8. VRP with Satellite Facilities (VRPSF): Es un caso especial ya que se permite el reabastecimiento de vehículos sin necesitar que vuelvan al depósito. 9. VRP with Time Windows (VRPTW): Esta variante introduce las ventanas temporales. Se establece o puede establecerse un intervalo de tiempo en el que se permite o se restringe la entrega de mercancía a los clientes, también pudiendo tener restricciones temporales el acceso de los vehículos al depósito. 31

6 10. VRP with Access Time Windows (VRPATW): En el VRPATW se agrega una restricción temporal relacionada con el acceso a ciertas zonas de las ciudades. Este tipo de problemas surge de la restricción por parte de las administraciones locales de acceder a ciertas zonas de la ciudad (principalmente el centro de la ciudad) durante una franja horaria del día determinada debido a razones sociales, ambientales y económicas. En general, cada problema VRP de la vida real supone en sí mismo una variante del problema original, ya que cada caso tiene sus características y restricciones propias. Es por esto que necesitan adaptarse los algoritmos existentes al problema concreto Algoritmos para el VRP Los problemas derivados del transporte de mercancías están relacionados de manera directa con el VRP, pero éste a su vez no solo se ha desarrollado en ese ámbito, sino en muchos otros, por lo que se convirtió pronto en un problema importante de optimización, para el que se han desarrollado diversas soluciones a lo largo de las últimas cinco décadas. Fueron Dantzing y Ramser quienes en 1959 propusieron un método de resolución para un modelo que representaba una situación real. Se modeló el abastecimiento de las gasolineras de combustible, y éste método se convirtió en la primera formulación matemática para solucionarlo. G. Clarke y J.M. Wright [4] presentaron en 1964 un método heurístico capaz de mejorar la solución conseguida por Dantzing y Ramser. A partir de ahí, han aparecido una gran cantidad de métodos para resolver las diversas variantes del VRP. En algunos casos se intenta encontrar la solución óptima, en otros simplemente una buena aproximación a ella. Las metodologías de resolución se agrupan según la finalidad y el modo de intentar obtener la solución. Se va a proceder a presentar algunos de los métodos más importantes en la resolución de problemas VRP hasta la fecha. La mejora de estos métodos es continua y acaban existiendo muchas posibilidades a la hora de afrontar una familia de problemas. Las distintas necesidades de recursos de cada algoritmo de resolución provocan que existan ventajas e inconvenientes relacionadas con los tiempos de computación necesarios para resolver los problemas [18]. 32

7 Se distinguen tres familias de algoritmos utilizados para resolver el VRP, las cuales se listan a continuación: 1. Los métodos Exactos 2. Los métodos Heurísticos. Dentro de ellos, se explican brevemente los siguientes algoritmos: a) Clarke & Wright. b) Método del barrido. c) Búsqueda local (Lin y Kernighan) 3. Los métodos Metaheurísticos. De los cuales, los más destacados son los siguientes: a) GRASP. b) Algoritmos Genéticos (GA). c) Búsqueda Tabú. d) Simulated Annealing (SA) Métodos Exactos Debido a la complejidad de los modelos matemáticos, solo los problemas con hasta 100 clientes (aproximadamente) pueden ser resueltos mediante métodos exactos. En estas metodologías, la resolución suele aplicarse a problemas relajados y suelen utilizarse variantes del método Branch and Bound (ramificación y poda). Además, se han desarrollado algoritmos de programación dinámica, los cuales se ven acelerados los cálculos a partir de una relajación del espacio de estados. Sobresale también el método de generación de columnas, que resulta ser muy efectivo en problemas con ventanas temporales muy ajustadas. Destacamos dos métodos exactos para resolver problemas VRP: El método de Branch and Bound (Ramificación y Poda) y el método de Branch and Cut (Ramificación y Corte) [3]: 1. Branch and Bound (Ramificación y poda): Este método se basa en la idea de divide y vencerás. Con dividir se refiere a ramificar el conjunto de soluciones enteras en subconjuntos separados cada vez de menor tamaño. Posteriormente se determina el valor de la mejor solución del subconjunto. En base a una cota superior o inferior establecida el 33

8 algoritmo elimina (poda) la rama del árbol que no puede contener la solución óptima. 2. Branch and Cut (Ramificación y Corte): Es una mezcla de métodos en sí mismo basado en el método de Branch and Bound y también en el método de planos de corte en los nodos. Primero se comienza eligiendo un nodo al que evaluar (inicialmente el nodo raíz). Posteriormente decide si se van a generar planos de corte o no. Finalmente se aplican los criterios del método de ramificación y poda. Debido a que generalmente los métodos exactos se aplican solo a problemas con una pequeña cantidad de nodos, son desarrollados en su mayoría para fines académicos, ya que en los problemas reales de VRP se tiene una estructura nodal muy amplia y por lo tanto no son recomendables porque requerirían mucho tiempo de computación Métodos Heurísticos 1. Algoritmo de Clarke & Wright (Método de los ahorros) Este algoritmo se diseñó para un problema donde existe un depósito central y se cuenta con uno o más vehículos de entrega para n clientes, cada una demanda conocida previamente. El objetivo principal es proporcionar las rutas de los vehículos que hagan que se cumpla la demanda de cada cliente respetando las restricciones de minimización de costes. G. Clarke y J.M. Wright en Scheduling of Vehicles from a Central Depot to a Number of Delivery Points [4], proponen un algoritmo para resolver el problema. Este algoritmo de Clark & Wright consigue soluciones aceptables, y es bastante utilizado en la práctica, por su simplicidad de aplicación y por el poco tiempo que se precisa para resolver el problema. Se identifica el depósito en la localización 0, y los clientes en las localizaciones posteriores hasta n, y se consideran conocidos los costes por trayecto desde el depósito a cada cliente; esto es: coj = Coste de realizar el trayecto desde el depósito hasta el cliente. Para desarrollar el método, es fundamental conocer el coste del trayecto entre todos los clientes, lo que significa que se considera que se conocen todos los costes de cada trayecto. 34

9 cij = Coste de realizar el trayecto desde el cliente i al cliente j. En la práctica, se hace la consideración de que cij = cji, para todo i>=1 y n>=j. Se expone una explicación de cómo procede el algoritmo a continuación: Primero debe suponerse que hay una asignación de vehículos hecha para cada cliente. Es una solución inicial compuesta por n rutas desde el depósito hasta cada cliente. Así el coste total derivado de todas las rutas en este caso es: Posteriormente, se realiza el enlace entre los clientes i y j, lo que provoca que ahora el vehículo se dirija desde el depósito a i, después a j y finalmente regrese al depósito. Tras realizar esto, se ha conseguido un ahorro en el coste de: ( ) ( ) El algoritmo calcula para cada posible pareja de combinaciones (i,j) el ahorro Sij ordena los resultados en orden decreciente. El número total de combinaciones posibles viene determinado por el número combinatorio: ( ) 2. Método del Barrido. En este método, se representa el mapa de clientes y el depósito como puntos sobre un plano en coordenadas polares (r, ), siendo r la distancia en línea recta entre el depósito y el cliente, y el ángulo formado entre los dos Se procede haciendo rotar una recta con origen en el depósito y barrer el plano hasta que las demandas de los clientes que han sido barridos sean igual a la capacidad máxima permitida por el vehículo. 35

10 Así, obtenemos diversos conjuntos de clientes donde la suma de la demanda total requerida por cada conjunto es menor o igual a la que un vehículo es capaz de suplir debido a su limitación de capacidad. Para obtener la mejor ruta dentro de cada conjunto debe emplearse un algoritmo destinado a esté a fin, como podría ser el anteriormente comentado Método de los ahorros, consiguiendo así la ruta más económica posible para cada conjunto. La figura 3 muestra el modo en el que se forman los conjuntos de clientes donde la demanda total es menor o igual que la que es capaz de proporcionar un vehículo limitado por su capacidad. Figura 3: Ejemplo Método de Barrido 3. Técnicas de búsqueda local En este caso, el algoritmo también parte del conocimiento de una solución inicial que deberá mejorar progresivamente. En cada iteración, el algoritmo se mueve hacia una solución mejor que la anterior y el proceso global finaliza cuando no es posible encontrar el movimiento que hace que la solución mejore. Debido al procedimiento de las técnicas de búsqueda local, es normal que lleguen a obtener la solución correspondiente de un óptimo local. 36

11 Para resolver esta problemática, tendría que existir la posibilidad de que el algoritmo pudiese moverse hacia soluciones peores para intentar encontrar otra vía de avance hacia otro óptimo diferente del anterior. Esta posibilidad conllevaría un algoritmo algo más complejo. Lin y Kernighan desarrollaron un algoritmo que se basa en este hecho y proponen movimientos compuestos, donde puede ocurrir un movimiento simple que no mejore exclusivamente, pero que sin embargo, el global de todos los movimientos si consiga mejorar la solución original. La idea es la de realizar movimientos de mejora y de empeoramiento de forma consecutiva, pero respetando la finalidad del algoritmo de manera que no se pierda nunca el control sobre la mejora global de la búsqueda Métodos Metaheurísticos Los métodos metaheurísticos están ligados a los procedimientos heurísticos ya que intentan proporcionar mejoras sobre estos últimos. Se puede hacer una clasificación según el tipo de heurística que se aborde, en este caso los métodos metaheurísticos se clasifican en: a) Métodos constructivos. Aquellos donde se introducen elementos a una solución inicial vacía (algoritmo GRASP). b) Métodos Evolutivos. Estos métodos construyen grupos de soluciones completas, realizan una selección basándose en el valor de ciertos atributos, posteriormente se combinan algunas de las soluciones seleccionadas y se remplazan finalmente el grupo de soluciones (Algoritmo Genético, Búsqueda Dispersa). c) Métodos de búsqueda. Los métodos de búsqueda dan por hecho que debe existir una solución óptima y ejecutan un procedimiento que no llega a la solución del óptimo global del problema pero sí a una solución muy cercana a ésta. El riesgo más común de estos métodos es el de obtener la solución de un óptimo local y quedar atrapado en él. 37

12 Los métodos de búsqueda local más importantes se desarrollan según la manera que tienen de salir del óptimo local. Hay tres maneras de proceder: I. Retornar a una solución inicial diferente y volver a comenzar. (Multi start) II. Variación de la estructura de entornos. (Metaheurística de búsqueda de entornos variables) III. Realizar movimientos que empeoren la solución para salir del óptimo local. Simulated annealing y Búsqueda Tabú. 1. GRASP. Greedy Randomized Adaptive Search Procedure El algoritmo GRASP (en español puede traducirse como Procedimiento de Búsqueda Voraz Aleatorio y Adaptativo) fue desarrollado por (T.A. Feo and M.G.C. Resende en 1995 [9] y se presentó como una metaheurística con propósito general. En este método, cada iteración o paso, tiene dos fases: construcción y mejora. Durante la construcción se ejecuta una heurística constructiva de la que se obtiene una solución inicial. Posteriormente en la fase de mejora, esta solución inicial es tratada con un algoritmo de búsqueda local para ser mejorada. El componente particular de este algoritmo es una función que se encarga de seleccionar al elemento a incluir en la solución actual que proporciona el mejor resultado sin llevar en consideración otros puntos de vista (de aquí la característica de voraz) El concepto de que es adaptativo viene de que tras cada iteración es actualizado el beneficio conseguido tras la adición del elemento a la solución. 2. Algoritmo Genético El algoritmo genético genera en cada iteración un grupo de soluciones. Las soluciones posteriores resultantes son una mezcla de las soluciones anteriores. Así, a diferencia de otros algoritmos, aquí no se produce la transformación de una única solución. La teoría de la evolución de las especies de Darwin es la base de este algoritmo. Las soluciones generadas a partir de otras conservarán algunas características de éstas dependiendo del grado de mutación que se quiera conseguir en cada iteración. 38

13 La mutación es el aspecto aleatorio de este algoritmo, y gracias a esta característica queda resuelta la problemática de los óptimos locales anteriormente comentada. 3. Simulated Annealing (Algoritmo de Recocido Simulado) Básicamente es un método donde se construyen nuevas soluciones de un modo aleatorio basado en determinadas reglas probabilísticas. Es un algoritmo denominado Hill-Climbing y está basado en el recocido de los metales donde se "calienta" a alta temperatura el sistema que se quiere optimizar, para después rebajar la temperatura lentamente, hasta que ya no ocurran modificaciones en el sistema. Aunque los cambios de temperatura durante el proceso real se dan de forma continua, en el algoritmo sólo se producen de forma escalonada. 4. Búsqueda Tabú El algoritmo búsqueda tabú está basado en el concepto de movimientos prohibidos (movimientos tabú) dentro de la solución que se quiere mejorar. Estos movimientos tabú permiten al algoritmo moverse por una zona más amplia de posibles soluciones sin caer en soluciones anteriormente ya encontradas. Es lo que se conoce como memoria, y en la búsqueda tabú se encuentra el desarrollo de memoria tanto a corto plazo como a largo plazo. Debido a esto, se dice que es una búsqueda inteligente que aprende a medida que itera el algoritmo a partir de la solución inicial. El modo de salir de óptimos locales encontrados es mediante técnicas de diversificación aleatorias pero inteligentes, es decir, respetando a la memoria a largo plazo, que es la que guía a la diversificación hacia zonas inexploradas. 39